初中中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓?？贾R(shí)點(diǎn)總結(jié)和講解

初中中考復(fù)習(xí)專題：圓常考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和講解

重要考點(diǎn)一：圓中的相關(guān)計(jì)算

弧長(zhǎng)公式：、察；

180

扇形面積公式：S=—=~IR

3602

圓柱表面積S表=S側(cè)+2S底=2萬泌+2%廠2（側(cè)面是矩形，底面是圓）

圓柱的體積：V=萬廠”（底乘以高）

圓錐表面積：S表=%j+S底=?rx母線長(zhǎng)+乃嚴(yán)（r是底面圓的半徑）

圓錐的體積：V=-7ir-h

3

例題］（2017?齊齊哈爾）一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則圓錐側(cè)面展開圖的扇形的

圓心角是（）

A.120°B.180°C.240°D.300°

【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍得到圓錐底面半徑和母線長(zhǎng)的關(guān)系，根據(jù)圓錐側(cè)

面展開圖的弧長(zhǎng)=底面周長(zhǎng)即可求得圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù).

【解答】解：設(shè)底面圓的半徑為r,側(cè)面展開扇形的半徑為R,扇形的圓心角為n度.

由題意得S底面面積=?！?，

I底面周長(zhǎng)=2rtr，

S扇形=3S底面面積=3?！?,

I扇形弧長(zhǎng)=1底面周長(zhǎng)二2nr.

2

由s扇形=11扇形弧長(zhǎng)XR得3nr=—X2nrXR，

22

故R=3r.

由?扇形弧長(zhǎng)二門可W得:

180

2nr=n兀＞〈3r解得n=12o0.

180

故選A.

重要考點(diǎn)二：垂徑定理

要求：畫圖描述垂徑定理

如圖，CD為前弦，如果AB為直徑且AB垂直于CD,那么CE=DE.BC=&）,AC=AD

i

這個(gè)定理中一共有五個(gè)因素：直徑，垂直于弦，平分弦，平分優(yōu)弧，平分劣?。ㄖ迫?/p>

考察形式：垂徑定理及逆命題的理解與判斷，幾何證明，線段的長(zhǎng)度求解（常常需要連半徑,

做弦的垂線構(gòu)建直角三角形）

切記“平分弦（不是直徑的弦）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧"中如果題目沒有

強(qiáng)調(diào)“不是直徑的弦”，則果斷判斷這句話是錯(cuò)的。

例題2如圖，AB是。。的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P,AP=2,BP=6,

ZAPC=30°,則CD的長(zhǎng)為（）

A.V15B.2而C.2,^15D.8

【分析】題目中出現(xiàn)了0,并且CD、AB為的勺弦，且兩弦夾角30°,此時(shí)要考慮過圓心

作弦CD的垂線，這就同時(shí)用上了30°特殊角和弦的條件

作OHLCD于H,連結(jié)OC,如圖，根據(jù)垂徑定理由OHLCD得至UHC=HD,再利用AP=2,

BP=6可計(jì)算出半徑OA=4,則OP=OA-AP=2,接著在RtAOPH中根據(jù)含30度的直角三角形

的性質(zhì)計(jì)算出OH=}OP=1,然后在RtAOHC中利用勾股定理計(jì)算出CH=任，所以CD=2CH=2

V15.

【解答】解：作OHLCD于H,連結(jié)0C,如圖，

VOH±CD,

，HC=HD,

VAP=2,BP=6,

2

，AB=8,

.*.0A=4,

.*.OP=OA-AP=2,

在RtZXOPH中，?.?NOPHuBO。，

ZPOH=60°,

/.OH=XoP=l,

2

在RtZXOHC中，VOC=4,OH=1,

CHRoc2_0H2=4,

.*.CD=2CH=2V15.

故選C.

【總結(jié)】見到圓中的弦，可以考慮過圓心作弦的垂線，用垂徑定理解題

例題3已知。。的半徑為10,P為。。內(nèi)一點(diǎn)，且0P=6,則過P點(diǎn)，且長(zhǎng)度為整數(shù)的弦有

()

A.5條B.6條C.8條D.10條

【分析】求出過P點(diǎn)的弦長(zhǎng)的取值范圍，取特殊解，根據(jù)對(duì)稱性綜合求解.

【解答】解：如圖，AB是直徑，OA=10,0P=6,過點(diǎn)P作CDLAB,交圓于點(diǎn)C,D兩點(diǎn).

由垂徑定理知，點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，由勾股定理求得，PC=8,CD=16,則CD是過點(diǎn)P最短的

弦，長(zhǎng)為16；AB是過P最長(zhǎng)的弦，長(zhǎng)為20.所以過點(diǎn)P的弦的弦長(zhǎng)可以是17,18,19各兩

條.總共有8條長(zhǎng)度為整數(shù)的弦.

故選：C.

3

【總結(jié)】結(jié)論：過圓內(nèi)一點(diǎn)的任意弦中，由該點(diǎn)和圓心確定的直徑是過該點(diǎn)的最長(zhǎng)弦，垂直

于這條直徑的弦為最短的弦。注意在最短和最長(zhǎng)的弦中的弦長(zhǎng)為某一整數(shù)時(shí)有兩條弦(圓的

對(duì)稱性)。

講義回顧：秋季人教版尖子班第五講例題1(2)和隨堂測(cè)第1題

例題4如圖，在。0內(nèi)有折線OABC,點(diǎn)B、C在圓上，點(diǎn)A在。。內(nèi)，其中0A=4cm,

BC=10cm,NA=NB=60。，則AB的長(zhǎng)為()

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

【分析】延長(zhǎng)AO交BC于D,過。作BC的垂線，設(shè)垂足為E,根據(jù)NA、NB的度數(shù)易證得

△ABD是等邊三角形，設(shè)AB的長(zhǎng)為xcm,由此可表示出OD、BD和DE的長(zhǎng)；在RgODE

中，根據(jù)NODE的度數(shù)，可得出OD=2DE,進(jìn)而可求出x的值.

【解答】解：延長(zhǎng)A0交BC于D,作OELBC于E,

設(shè)AB的長(zhǎng)為xcm,

VZA=ZB=60°,AZADB=60°；

.?.△ADB為等邊三角形；

，BD=AD=AB=x；

V0A=4cm,BC=10cm,

「?BE=5cm,DE=(x-5)cm,0D=(x-4)cm,

XVZADB=60°,

.?.DE」OD,

2

4

.*.x-5=—(x-4),

2

解得：x=6.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用.解答此題時(shí)，通過

作輔助線將半徑0B置于直角三角形OBE中，從而利用勾股定理求得.

重要考點(diǎn)三：證明切線

思路一：有切點(diǎn)，連半徑證垂直（依據(jù)判定定理）

運(yùn)用判定定理是證明切線最常用的方法：如果直線與圓有交點(diǎn)，則連接交點(diǎn)與圓心得半徑，只

要證明這條半徑與該直線垂直即可.這種方法可簡(jiǎn)單概括為:連半徑，證垂直

例題5如圖，在aABC中,AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D

作DELAC于E.

求證:DE是。0的切線.

【分析】有切點(diǎn)D,連接0D證明ODLDE.

【解答】

證明:連接0D.

VOB=OD,

.*.ZOBD=ZODB.

VAB=AC,

.*.ZABC=ZACB.

.*.ZODB=ZACB.

.?.OD〃AC.

.*.ZODE=ZDEC.

VDEXAC,

5

.*.ZDEC=90o

.*.ZODE=90,即OD±DE.

ADE是。O的切線

思路二：沒切點(diǎn)，作垂直證半徑（依據(jù)性質(zhì)）

當(dāng)不明確直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)或交點(diǎn)的位置時(shí),可以經(jīng)過圓心作直線的垂線，然后證明圓心到

直線的距離等于圓的半徑即可.這種方法可簡(jiǎn)單概括為:作垂直，證半徑.

例題6如圖，在^ABC中，AB=AC,。是BC的中點(diǎn)，以。為圓心的。。切AB于D,求證:

AC是。。的切線.（提示：證明切線的基本思路：不知共點(diǎn)，作垂直，證半徑）

【分析】連接OD、A0,作OELAC于E,只要證明OE=OD即可.

【解答】證明：連接OD、A0,作OELAC于E.

VAB=AC,OB=OC,

.,.0A平分NBAC,

VAB切。0于D,

.\OD±AB,

VOE±AC,

.*.OD=OE,

...AC是。0的切線.

重要考點(diǎn)四：圓中的導(dǎo)角

6

1.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心

角的一半

AB為。的弦，ZC,ZD為所對(duì)的圓周角，AD為直徑，ZC=ZD=-ZAOB

2

證明方法，依據(jù)0。=05和來證

此外上圖中是所對(duì)圓心角，NDA4是所對(duì)圓周角，ZDBA=-ZD0A=9&?

2圓周角定

即直徑所對(duì)的圓周角為90。

理常用于在圓中導(dǎo)角關(guān)系，一定找準(zhǔn)圓周角和圓心角對(duì)應(yīng)的弧

直徑所對(duì)的圓心角為90度，常記心間，常與三角函數(shù)、勾股定理結(jié)合，用于構(gòu)造直角三角

形，求出邊的長(zhǎng)度或是未知角度

例題7已知：如圖，在。。中，OALBC,ZAOB=70°,則NADC的度數(shù)為（）

A.30°B.35°C.45°D.70°

【分析】CB為。的弦（1）,OA垂直于四（2）,可推出CA=A5（即“知二推三”），再

由圓周角定理即可得出結(jié)論.

【解答】

解：VOA±BC,ZAOB=70°,

?*.AB=AC-

.?.NADC」NAOB=35°.

2

故選B.

2.圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角

7

A

D

A、B、C、D為。上的四個(gè)點(diǎn)，/A為BCD所對(duì)的圓周角，NC為A4D所對(duì)的圓周角

ZA=-ZBOD

2

ZC=1(360-ZBOD)

ZA+ZC=180°

A、B、aD為。上的四個(gè)點(diǎn)，NA為BCD所對(duì)的圓周角，NC為84。所對(duì)的圓周角

ZA+ZBCD=180'利用圓的

ZDCE+ZBCD=180°

NA=NDCE

內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)和平角180。通過互補(bǔ)關(guān)系導(dǎo)相等角

3.利用切線、直徑通過互余關(guān)系導(dǎo)角

通過等角或者同角的余角相等倒角

例題8已知：如圖，在；"「中，L"仆，以<為直徑的?。交「I〃于點(diǎn)X,交于點(diǎn)

連接A、，過點(diǎn)（’的切線交A〃的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

(1)求證:./?7,-.H\,\.

AM_CB

(2)求證：礪?麗.

8

AC為。的直徑，可推出NANC=90。，ZACN+ZCAN=90:

—尸。為切線，可推出N4CN+NPCB=90,

所以NPCB=NC4N

題目還有條件AB=AC,結(jié)合⑷V1BC,根據(jù)三線合一推出NA4N=NCAN

【解答】⑴證明：【7('為直徑，

.IV'!lti,

\kticv_'Mi,

,All-

.//1V-.(AX,

「是.”的切線，

三90,

乙4CV+,

(2)

：AB^AC,

..乙4*=/AC8,

.」/力「一1〃jn心―k”，

由⑴知."「/'一.a\\,

/.ABH

AMBC

‘麗=麗.

重要考點(diǎn)五：切線長(zhǎng)定理

切線長(zhǎng)定義：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，并且圓心和這點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾

角

例題9