第12講 冪函數(shù)-人教A版高中數(shù)學(xué)必修一練習(xí)（解析版）

第十二講冪函數(shù)一、選擇題1．下列關(guān)于冪函數(shù)的結(jié)論，正確的是（）.A．冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn) B．冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限C．冪函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù) D．冪函數(shù)在其定義域內(nèi)都有反函數(shù)解析：冪函數(shù)不過點(diǎn)，則A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，則B正確；的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)或軸對(duì)稱，則C錯(cuò)誤；在內(nèi)無反函數(shù)，則D錯(cuò)誤；答案B2．如果冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則在定義域內(nèi)()A．為增函數(shù) B．為減函數(shù) C．有最小值 D．有最大值解析：冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，解得，，在遞減，在遞增，有最小值，無最大值。答案C3．設(shè)α∈{－2，－1，－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，1,2,3}，則使f(x)＝xα為奇函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減的α的值的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解析：∵f(x)＝xα為奇函數(shù)，∴α＝－1，eq\f(1,3)，1,3.又∵f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴α＝－1.答案A4．函數(shù)y＝x的圖象大致是()解析：由于eq\f(5,3)>1，故可排除選項(xiàng)A，D.根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)下凸，故排除選項(xiàng)C，只有選項(xiàng)B正確．答案B5．如果冪函數(shù)y＝(m2－9m＋19)x2m－7的圖像不過原點(diǎn)，則()．A．B．m＝3C．m＝3或6D．m不存在解析：由冪函數(shù)的形式特征可知，m2－9m＋19＝1，即m2－9m＋18＝0，解得m＝3或m＝6.當(dāng)m＝3時(shí)，y＝x－1的圖像不過原點(diǎn)；當(dāng)m＝6時(shí)，y＝x5的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，所以m＝3.答案B6．有下列函數(shù)：①y＝x2－3|x|＋2；②y＝x2，x∈(－2,2]；③y＝x3；④y＝x－1，其中是偶函數(shù)的有()．A．①B．①③C．①②D．②④解析：函數(shù)y＝x2－3|x|＋2的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝(－x)2－3|－x|＋2＝x2－3|x|＋2＝f(x)，所以此函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)y＝x2，x∈(－2,2]的定義域(－2,2]不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以此函數(shù)不是偶函數(shù)；函數(shù)y＝x3的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而f(－x)＝(－x)3＝－x3≠f(x)，所以此函數(shù)不是偶函數(shù)；函數(shù)y＝x－1的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而f(－x)＝－x－1≠f(x)，所以此函數(shù)不是偶函數(shù)．答案A7．設(shè),若,則（）A．2 B．4 C．6 D．8解析：由時(shí)是增函數(shù)可知,若,則,所以,由得,解得,則,故選C.答案C8．函數(shù)fx=xa+b，不論a為何值fA．-1 B．1 C．2 D．3解析：因?yàn)椴徽揳為何值冪函數(shù)y=xa的圖象均過點(diǎn)不論a為何值fx的圖象均過點(diǎn)1,1+b又因?yàn)椴徽揳為何值fx的圖象均過點(diǎn)m,0所以m=1且1+b=0，即b=?1，故選A.答案A9．冪函數(shù)，當(dāng)取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間上它們的圖象是一簇曲線（如圖）.設(shè)點(diǎn)，，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)，的圖象三等分，即有，則mn等于（）A．1 B．2 C．3 D．無法確定解析：由題，，，所以，，，，，.答案A10．已知函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc的圖象如圖所示，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<a<b解析：由冪函數(shù)圖像特征知，，，，所以選A．答案A11．冪函數(shù)f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且f(－x)＝f(x)，則m可能等于()A．0 B．1C．2 D．3解析：∵冪函數(shù)f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴3m－5＜0，即m＜.又∵m∈N，∴m＝0,1.∵f(－x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝x－5是奇函數(shù)；當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝x－2是偶函數(shù)．∴m＝1,故選B.答案B二、填空題12．為了保證信息的安全傳輸，有一種為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．現(xiàn)在加密密鑰為y＝xα(α為常數(shù))，如“4”通過加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，則解密后得到的明文是________．解析：由題目可知加密密鑰y＝xα(α是常數(shù))是一個(gè)冪函數(shù)模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必須先求出α的值．由題意得2＝4α，解得α＝eq\f(1,2)，則y＝x.由x＝3，得x＝9.答案913．已知冪函數(shù)的圖像不過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為__________.解析：依題意得，解得或．當(dāng)時(shí)，，其圖像經(jīng)過原點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，其圖像不經(jīng)過原點(diǎn)，符合題意，因此實(shí)數(shù)m的值為3．答案314．已知冪函數(shù)的圖像滿足，當(dāng)時(shí)，在直線的上方；當(dāng)時(shí)，在直線的下方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______。解析：當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)和直線第一象限的圖像如下，由圖可知，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)和直線重合，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)和直線第一象限的圖像如下，由圖可知，滿足題意，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)和直線第一象限的圖像如下，由圖可知，滿足題意，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)和直線第一象限的圖像如下，由圖可知，滿足題意，綜上，。答案三、解答題15．已知冪函數(shù)f(x)＝x(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝eq\r(fx)＋2x＋c，若g(x)>2對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.解析：(1)∵f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，依據(jù)函數(shù)y＝m2－2m－3的圖象，解得－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而當(dāng)m＝0,2時(shí)，f(x)＝x3不是偶函數(shù)；當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝x4是偶函數(shù)．故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x4.(2)由(1)知f(x)＝x4，則g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋(c－1)．∵g(x)>2對(duì)任意的x∈R恒成立，∴g(x)min>2，且x∈R.又g(x)min＝g(－1)＝c－1，∴c－1>2，解得c>3.故實(shí)數(shù)c的取值范圍是(3，＋∞)．答案（1）（2）16．試用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖象，求函數(shù)的定義域、值域；討論函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，并證明.解析：因?yàn)?列表如下：x…-3-2-1123……11…描點(diǎn)，連線.圖象如圖所示.定義域：，值域：.在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).證明如下：設(shè)任意的，且.則..，即，在上是增函數(shù).設(shè)任意的，且，則.，，即.在上是減函數(shù).，是偶函數(shù).答案圖像見解析，定義域：，值域：，討論見解析，證明見解析17．已知冪函數(shù)在上是增函數(shù)，且在定義域上是偶函數(shù).（1）求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式.（2）對(duì)于（1）中求得的函數(shù)，設(shè)函數(shù)，問是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出q；若不存在，請(qǐng)說明理由.解析：（1）由于已知在上是增函數(shù)，因而，解得.又，因而或1或2