江蘇省百校大聯(lián)考2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

江蘇省百校大聯(lián)考2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.點(diǎn)O在AABC所在的平面內(nèi)，|。4|=|0目=|。。|,|鉆|=2,,。卜1,AO=+（4〃eR）,且

42-4=2（〃wO）,則|葉（）

A.-B.且C.7D.近

32

2.已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2,則球的體積與圓柱的體積的比為（）

49316

A.—B.—C.—D.—

31649

3.某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.0

4.在直角坐標(biāo)平面上，點(diǎn)P（尤M的坐標(biāo)滿足方程k-2》+/=0,點(diǎn)。的坐標(biāo)滿足方程

〃+〃+64—83+24=0則的取值范圍是（）

x-a

—4—y/l—4+y/l-3,一；D.6-S6+A/7

A.[-2,2]

3'3

3

5.一個(gè)算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結(jié)果是“則判斷框中應(yīng)填入的條件是（）

S=S+l/(T*z)

A.z>5?B.z<5?C.z>4?D.z<4?

6.在直三棱柱ABC—A31cl中，己知AB=BC=2,CC1=2五,則異面直線AQ與所成的角

為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.如圖所示，三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直

角三角形及一個(gè)小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為30。，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不

計(jì)，取百。1.732）,則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）

A.134B.67C.182D.108

8.r匚口匚中，如果—僮<_一一_sin_一_一ski一一--，，貝U---------的形狀是（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

9.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,3,4},則集合電（AB）=（）

A.{1,2,6}B.{1,3,6}C.{1,6}D.{6}

10.給定下列四個(gè)命題：

①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，則這兩個(gè)平面相互平行；

②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面相互垂直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.

其中，為真命題的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

11.某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的外接球表面積為（）

A.12萬(wàn)B.167r

C.24乃D.48?

12.函數(shù)f（x）=Asin（or+e）的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與/。）的圖象交于兩點(diǎn)，且"在V軸

上，則下列說(shuō)法中正確的是

A.函數(shù)的最小正周期是2兀

B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)兀,oj成中心對(duì)稱

C.函數(shù)/（尤）在（-=,＜）單調(diào)遞增

36

57r

D.函數(shù)/（尤）的圖象向右平移——后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

12

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格，從A地移動(dòng)到3地，每次只移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則亮亮從A移動(dòng)到B最近的走

法共有一種.

-BC=3CACB，貝!IcosC的最小值是.

15.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若%=3,邑=16,則數(shù)列｛4｝的公差d=,通項(xiàng)公式4=

16.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：二二），則該幾何體的表面積是二二,體積是

j□

I------4-HH2T

正視圖俯說(shuō)圖

第視圖

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（同=三±1,其中a>0,>>0.

（1）①求函數(shù)/（力的單調(diào)區(qū)間

②若對(duì)W滿足N|>\。=1,2）,且芯+馬〉0,馬>0.求證：/（X1）+2/（X2）>—.

1（1、

（2）函數(shù)目（力=彳依2―足兀.若石e0,方=對(duì)任意，彳尸與都有I/（』）-/（占）1>1g&）-g（w）l，求b-a

2\）

的最大值.

22

18.（12分）在直角坐標(biāo)系x0y中，橢圓C：二+與=l（a〉b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月,工，點(diǎn)〃在橢圓C上且

ab

軸，直線交V軸于〃點(diǎn)，OH=叵,橢圓C的離心率為變.

42

（1）求橢圓C的方程;

(2)過(guò)片的直線/交橢圓C于A,3兩點(diǎn)，且滿足|。4+2。@=|班-，求AABO的面積.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=xlnx-ax2+i,aeR.

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程為y=gx+6,求。，b；

(2)當(dāng)時(shí)，f(x)<ax2-3ax+l,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

20.(12分)若養(yǎng)殖場(chǎng)每個(gè)月生豬的死亡率不超過(guò)1%,則該養(yǎng)殖場(chǎng)考核為合格，該養(yǎng)殖場(chǎng)在2019年1月到8月養(yǎng)殖

生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

月份1月2月3月4月5月6月7月8月

月養(yǎng)殖量/千只33456791012

月利潤(rùn)/十萬(wàn)元3.64.14.45.26.27.57.99.1

生豬死亡數(shù)/只293749537798126145

(1)從該養(yǎng)殖場(chǎng)2019年2月到6月這5個(gè)月中任意選取3個(gè)月，求恰好有2個(gè)月考核獲得合格的概率；

(2)根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù)，求出月利潤(rùn)y(十萬(wàn)元)關(guān)于月養(yǎng)殖量x(千只)的線性回歸方程(精確到0.001).

(3)預(yù)計(jì)在今后的養(yǎng)殖中，月利潤(rùn)與月養(yǎng)殖量仍然服從(2)中的關(guān)系，若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬(wàn)只，試估計(jì)：該

月利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？

工七力一加歹

附：線性回歸方程$=&+晟中斜率和截距用最小二乘法估計(jì)計(jì)算公式如下：5=母----------，a=y-bx

tx；2-rix2

i=l

88

參考數(shù)據(jù)：Xx；=460,ZX;.y=379.5.

z=li=l

21.(12分)已知函數(shù)E(x)=—工丁+必+2。，G(x)=aln尤，設(shè)/(x)=尸'(％)-6(%).

6

(1)當(dāng)a=—3時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)方程/''(￡)=c(其中。為常數(shù))的兩根分別為a,(3證明：

(注：_T(x)是/〈X)的導(dǎo)函數(shù))

22.(10分)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，判斷

x=l+2r.

直線/:,c”為參數(shù)）與圓C:夕2+22COS?！?2sin6?=0的位置關(guān)系.

[y=l—2.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

54

確定點(diǎn)。為AABC外心，代入化簡(jiǎn)得到再根據(jù)=AC—A3計(jì)算得到答案.

63

【詳解】

由網(wǎng)=畫(huà)=的可知,點(diǎn)。為AABC外心,

12121

則AJB.AO=5AB=2,AC,AO——AC=—9XAO=AAB+/nAC,

2

AO-AB=AAB+/zAC-AB=4A+ptAC-AB=2,

所以21①

AO-AC=AAB-AC+piAC=AAB-AC+//=—,

因?yàn)?2-〃=2,②

54

聯(lián)立方程①②可得％ABAC=-b因?yàn)?C=AC—A3,

63

所以BC?nAC?+AB?—2AC-AB=7，即,。卜療?

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量模長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

2、D

【解析】

分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.

【詳解】

設(shè)圓柱的底面圓半徑為廠，則廠二五-產(chǎn)=石,所以圓柱的體積匕=兀?（百y*2=6兀.又球的體積

4,3?23_2_萬(wàn)_

V,=-7ix23=—7T,所以球的體積與圓柱的體積的比桃廠3廠16,故選D.

33K6乃9

【點(diǎn)睛】

本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

3、C

【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù).

【詳解】

由三視圖還原原幾何體如圖，

其中AABC,ASCD,AAZJC為直角三角形.

該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為3.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

由點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足方程/-2》+/=0,可得p在圓（龍+丁=i上，由。（口力）坐標(biāo)滿足方程

/+〃+6〃—86+24=0,可得Q在圓（x+3）2+（y—4）2=1上，則三=島°求出兩圓內(nèi)公切線的斜率，利用數(shù)

形結(jié)合可得結(jié)果.

【詳解】

V

點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足方程X2-2X+/=0,

5

.?./在圓（％-1）2+、2=l_h,

Q（a,b）在坐標(biāo)滿足方程4+廿+6。一8匕+24=0,

??.0在圓（龍+3）2+（丁—4）2=1上，

則"=島。作出兩圓的圖象如圖，

x-a

設(shè)兩圓內(nèi)公切線為A5與。。，

由圖可知七B＜女相＜左8,

設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為y^kx+m,

k+m

，1+左2

圓心在內(nèi)公切線兩側(cè)，.7律=一（一3左+〃?一4）,

\k+m\2^+2

可得加=k+2,I=,=1,

J1+左2y/1+k2

化為3左2+8左+3=0，左=_4±夕

3

即左=-4-6-4+77

1^AB3，83

-4-V7y-b-4+V7

?——kpQ—

3x-a3

T的取值范圍］，1,言4,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著

奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數(shù)

形結(jié)合的思想方法能夠使問(wèn)題化難為簡(jiǎn)，并迎刃而解.

5、D

【解析】

首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類(lèi)型，得到判斷框內(nèi)的語(yǔ)句性質(zhì)，然后對(duì)循環(huán)體進(jìn)行分析，找出循環(huán)規(guī)律，判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次

數(shù)以及i的關(guān)系，最終得出選項(xiàng).

【詳解】

經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu)，判斷框?yàn)樘鲅h(huán)的語(yǔ)句，

第一次循環(huán)：S=0+」=:，，=1+1=2；

1x22

112

第二次循環(huán)：5=-+--=-,z=2+l=3;

22x33

213

第三次循環(huán)：S=—+——=-,z=3+l=4,

33x44

此時(shí)退出循環(huán)，根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語(yǔ)句，.?"<4?,故選D.

【點(diǎn)睛】

題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問(wèn)題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框

和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處

理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個(gè)框的順序，(6)在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題

中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.

6、C

【解析】

由條件可看出ABA與，則/為異面直線AG與44所成的角，可證得三角形BAG中，1BQ,解得

tanNB4￡,從而得出異面直線AG與A片所成的角.

【詳解】

連接A。，BCi，如圖:

又AB|4用，則ABAC,為異面直線AC,與\BX所成的角.

因?yàn)锳B，6C,且三棱柱為直三棱柱，,AB1CC1；AAB，面BCQB1,

:.AB±BQ,

又AB=BC=2,CQ=2>/2,二陽(yáng)=J（2⑹2+2、=2

二tan/胡G=6,解得NBAG=60°.

故選C

【點(diǎn)睛】

考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質(zhì)，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1,則小直角三角形的邊長(zhǎng)為工,走，

22

則小正方形的邊長(zhǎng)為走-工，小正方形的面積S=1W-工］=1-—,

22122）2

則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為

-Y^-x500=|"l-^x500-（1-0.866）x500=0.134x500=67）

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用，求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.

8、B

【解析】

化簡(jiǎn)得，gcosA=/g_=-Igl,即_,結(jié)合?--可求一，得代入si"C=.si"8,從

云0°s」=芯=!口=1a+n=73

而可求GB,進(jìn)而可判斷.

【詳解】

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

根據(jù)集合的混合運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

AoB={1,2,34,5},故可得2（4B）={6}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的混合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對(duì)四個(gè)命題分別分析進(jìn)行選擇.

【詳解】

當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個(gè)平面，故①錯(cuò)誤；由平面與平面垂直的判定可知②正

確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯(cuò)誤；若兩個(gè)平面垂直，只有在一個(gè)平面內(nèi)與它

們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直，故④正確.綜上，真命題是②④.

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，是中檔題.

11、A

【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代

入求得表面積公式計(jì)算.

【詳解】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2,

底面為等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)為2夜，如圖:

...AABC的外接圓的圓心為斜邊AC的中點(diǎn)。，0D1.AC,且。。u平面S4C,

SA^AC=2,

的中點(diǎn)。為外接球的球心,

單徑R=6,

外接球表面積S=4;rx3=12萬(wàn).

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)

求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.

12、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)/（x）=Asin2x+。，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案.

【詳解】

T[1TCTCTC

根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為；，所以；7=:-（-：）=工，解得了=》，

32362

所以/（九）的最小正周期丁=?,不妨令4＞0,0＜。＜萬(wàn)，由周期T=?,所以6y=2,

又/[一彳）=0，所以夕=?，所以/（%）=Asin[2x+g

jrKTT7TX=y,即函數(shù)/（龍）的一個(gè)對(duì)稱中心為］g肛0

^2x+-=k7T,keZ,mnx=—--,k^Z,當(dāng)左=3時(shí),

326

即函數(shù)/（力的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得

三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能

力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、80

【解析】

分三步來(lái)考查，先從4到C,再?gòu)腃到。，最后從。到3,分別計(jì)算出三個(gè)步驟中對(duì)應(yīng)的走法種數(shù)，然后利用分步

乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.

【詳解】

分三步來(lái)考查：①?gòu)腁到C,則亮亮要移動(dòng)兩步，一步是向右移動(dòng)一個(gè)單位，一步是向上移動(dòng)一個(gè)單位，此時(shí)有C；種

走法；

②從。到。，則亮亮要移動(dòng)六步，其中三步是向右移動(dòng)一個(gè)單位，三步是向上移動(dòng)一個(gè)單位，此時(shí)有或種走法；

③從。到3,由①可知有C；種走法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有C；C；C；=80種不同的走法.

故答案為：80.

【點(diǎn)睛】

本題考查格點(diǎn)問(wèn)題的處理，考查分步乘法計(jì)數(shù)原理和組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題.

14、—

3

【解析】

分析：可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為：bccosA+2accosB=3abcosC,然后再結(jié)合余弦定理整理為

/+2廿=302,再由cosC的余弦定理得到a,b的關(guān)系式，最后利用基本不等式求解即可.

詳解：已知AB-AC+2848c=3CA-CB，可得。ccosA+2tzecosB=3abcosC,將角A,B,C的余弦定理代入得

a~+2b2=3c2,由。2_耳/+3”行，當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)，故cosC的最小值為變.

COSC=-----------------------=----------------------2-------Q

lablab3

點(diǎn)睛：考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運(yùn)用，能正確轉(zhuǎn)化AB-AC+2A4-8。=3。4?四是解題關(guān)

鍵.屬于中檔題.

15、2an=277-1

【解析】

直接利用等差數(shù)列公式計(jì)算得到答案.

【詳解】

a,=a1+d=3,“=4。1+6d—16,解得q=l,d=2,故a”=2n—1.

故答案為：2；an=2z?-l.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的基本計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

16、J.J-S.

【解析】

試題分析：由題意得，該幾何體為三棱柱，故其表面積=■--?「?一一?二?二廠=二”一1，

體積二=：X；X二X二=,故填：二，二--\5,S.

考點(diǎn)：1.三視圖；2.空間幾何體的表面積與體積.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明、過(guò)程或演算步驟。

17、(1)①單調(diào)遞增區(qū)間,+8,單調(diào)遞減區(qū)間;②詳見(jiàn)解析；(2)

716

【解析】

⑴①求導(dǎo)可得f'(x)="二,Xw0,再分別求解/■'(1)>0與/'(X)<0的解集，結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即

2bx

可.

②根據(jù)(1)中的結(jié)論，求出/(玉)+2/(%)的表達(dá)式，再分為<0與芭>。兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析

/(石)+2/(%)的范圍即可.

⑵求導(dǎo)分析g(x)=gg2-InX的單調(diào)性,再結(jié)合/(%)單調(diào)性，設(shè)占<々，去絕對(duì)值化簡(jiǎn)可得

(1、

/(%)-8(％)-"(X2)-8(X2)]>0，再構(gòu)造函數(shù)河(%)=/(%)g(x),xeQ,-j=，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問(wèn)

\7a

2b

題可知1--尸20,再換元表達(dá)b—a求解最大值即可.

【詳解】

解：(1)/。)=染，xwo.

1、(1/11]

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間

%>0或看<0,

若％]>0,因?yàn)棰?gt;—y=，故M>—,

7a7a

、3y/a4a

由①知/(%)在,+00上單調(diào)遞增"(石)+)〉37

7

若玉V0,由㈤〉可得演<—廣xi,

7a7cl

因?yàn)?1+x2>0,x2>0,

、、1

所以％2>一/=,

7a、

由①/'(X)在,+8上單調(diào)遞增,

/(%)+)>〃％)+2〃-石月(F)>q

綜上)+2八々)>與.

不妨設(shè)為<12,

由⑴/(%)在上單調(diào)遞減,

由|/(%)一/(9)?1(%)-g(%)|，

可得/(%)—/(%)>g(石)一g(%2)，

所以/(%)—g(xj—"(%)—8仁)]^，

(1)

令M(x)=/(x)-g(x),xe0,-r

k7。)

可得M(x)單調(diào)遞減,

ax'-11(蘇

所以“(%)=—UXT---40在上恒成立,

2

2bx%2fc?

,2b

即l-2Zzx20在上恒成立，即20,

7a

所以/?<亞aK必^-a=-(&-，］+—<—,

22I4J1616

所以爐a的最大值」.

16

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分類(lèi)討論分析函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式以及構(gòu)造函數(shù)分析函數(shù)的最

值解決恒成立的問(wèn)題.需要根據(jù)題意結(jié)合定義域與單調(diào)性分析函數(shù)的取值范圍與最值等.屬于難題.

2

xX2,/E、2A/3

1O8、(1)一+y=1；(2)—.

25

【解析】

(1)根據(jù)離心率以及班=20”,即可列方程求得“，"c,則問(wèn)題得解;

(2)設(shè)直線方程為x=my-1,聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)題意中轉(zhuǎn)化出的QA.。8=0，即可求得參數(shù)加，

則三角形面積得解.

【詳解】

V2V2b2

(1)設(shè)&(c,0),由題意可得、+==1?〃=±幺.

aba

因?yàn)?”是△4EM的中位線，且0H=叵,

4

所以|ME,|=走，即必=正,

2a2

因?yàn)閑=—==Z?2+c2

a2

進(jìn)而得k=1,6=2,

所以橢圓方程為J+V=1

(2)由已知得|。4+20q=|。4-20q兩邊平方

整理可得。405=0.

當(dāng)直線/斜率為。時(shí)，顯然不成立.

直線/斜率不為0時(shí)，

設(shè)直線I的方程為x^my-l.A^,%).3(々,為)，

x=my—1

聯(lián)立%224肖去心得(加2+2)y2-2my-1=0,

——+y=1

12'

2m-1

所以％+%=

由0A-。臺(tái)=。得=0

將X[=根乂-1,々=my2T代入

整理得(m^-l)(mj2-l)+y1y2=0,

展開(kāi)得療％為一皿%+%)+1+%%=0，

整理得加=土J注i，

2

所以sMBO=^\oFl\\%-％I=孚?即為所求?

【點(diǎn)睛】

本題考查由離心率求橢圓的方程，以及橢圓三角形面積的求解，屬綜合中檔題.

1

Cl———

4r\

19、(1)〈；(2)[1,+co)

b=—

4

【解析】

⑴對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，運(yùn)用可求得。的值，再由(1,/。))在直線上，可求得力的值；

⑵由已知可得Inx—0c2+依<0恒成立，構(gòu)造函數(shù)8(%)=111》一Q2+四，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論。和0的大小關(guān)系,

結(jié)合單調(diào)性求出最大值即可求得。的范圍.

【詳解】

(1)由題得/'(x)=lnx+l-2G:,

因?yàn)閥=〃力在點(diǎn)與y=；x+b相切

*1)=1-2a=。1

a———

4

所以

/(l)=l-a=g+6

b=-

4

(2)由/'(%)4q2—3依+1得inx—公2+依<(),g(x)=lnx-ax2+ax,只需g(%)^^40

短⑴=--lax+a--2ax+"x+1,設(shè)為(%)=-2加+ov+l(x>l)>

xx

當(dāng)a=0時(shí)，g'(x)之0,g(x)在時(shí)為增函數(shù)，所以g(x)2g⑴=0,舍;

當(dāng)a<0時(shí)，〃(尤)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=；,/z(l)=l-a>0,所以g(x)在尤>1時(shí)為增函數(shù),

所以g(x)?g⑴=0,舍;

當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)/z(x)開(kāi)口向下，且/，(0)=1>0,

所以網(wǎng)力在尤>0時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)尤。,在(0,%)時(shí)力(%)>0,在(％,”)時(shí)/z(x)<0,

①當(dāng)人⑴=1一aWO即“21時(shí)，/z(%)在(1,+<?)小于零,

所以g(x)在時(shí)為減函數(shù)，所以g(x)Wg(l)=O,符合題意;

②當(dāng)MD=l—a>0即a<l時(shí)，〃⑴在（1,5）大于零，

所以g（x）在（1,%）時(shí)為增函數(shù)，所以g（xo"g⑴=0,舍.

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍為［1,+8）

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最小值，屬于中檔題.處理函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，注意利用

導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，特別是已知單調(diào)性問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒不小于零，或恒小于零，再分離參數(shù)求解，求函數(shù)最值時(shí)

分析好單調(diào)性再求極值，從而求出函數(shù)最值.

3

20、（1）-；（2）y=0-640%+1.520；（3）利潤(rùn)約為111.2萬(wàn)元.

【解析】

（1）首先列出基本事件，然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個(gè)月合格的概率；

（2）首先求出利潤(rùn)y和養(yǎng)殖量x的平均值，然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程;

（3）根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤(rùn).

【詳解】

（1）2月到6月中，合格的月份為2,