高中數(shù)學(xué)橢圓習(xí)題(含詳細(xì)答案)

提能拔高限時(shí)訓(xùn)練35

、選擇題

22

l.A(O,b),點(diǎn)B為橢圓j+A=l(a>b>0)的左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).假設(shè)線段AB的中點(diǎn)C在橢圓上,那么該

ab

橢圓的離心率為〔)

口百

B.-----D2

24

解析:由，得B(--,0)，又A(0,b),

C

**?AB的中點(diǎn)C為(----,—).

2c2

??,點(diǎn)C在橢圓上,

/1=1.*=3,即e邛.

—r—

4c24

答案:C

2.橢圓會(huì)+/=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fl、F2,過Fl作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P,

那么|PF?|等于()

7

ABC.-D.4

-T.62

解析:方法一:設(shè)Fi(-V3,0),F2(V3,0),

那么點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-6.

由點(diǎn)P在橢圓上，得中+/=L

y=土!，即|PFii=1.

22

7

又,.,|PF|+|PFi|=2a=4,.-.|PF|=一.

222

方法二:由得a=2,c=C,e='3

2

a14r~

橢圓的右準(zhǔn)線方程為X=-=-43.

c3

1尸61+e嚀.[呷=]

|A/3-(-V3)

答案:c

V2

3.設(shè)P、F2分別是橢圓”+=l(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，假設(shè)在其右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)P,使線段PF1的

中垂線過點(diǎn)F2,那么該橢圓的離心率的取值范圍是(〕

A.(0,爭(zhēng)B.(0,鼻c.[爭(zhēng))_rV3

D.[—J)

解析:如圖，設(shè)右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為H,那么|PF2囹HFzI.

又；|FIF2|=|PF2|,

.??|FIF2|>|HF2|,

2

即2<:之幺一c

C

1V3

3c2>a2.e2>—,即e>----.

-3-3

又曾<：!,…[―,1).

3

答案:D

X2y2

4.設(shè)點(diǎn)P(-3,l)在橢圓二+=l(a>b>0)的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P且方向?yàn)閍=(2,-5)的光線，經(jīng)直線y=-2反射后

a

通過橢圓的左焦點(diǎn)，那么這個(gè)橢圓的離心率為〔

1c變1

B.-D.-

3,22

5Q

解析:入射光線所在直線的方程為y-l=-1^+3),它與直線y=-2的交點(diǎn)為(-1-2).

又反射光線過點(diǎn)(-c,0),

.-2-0_5

=2，C=

——+c

5

2

又----二—3,a2=3,〃=V3

c

答案:A

5.設(shè)橢圓二+=l(a>b>0)與x軸正半軸的交點(diǎn)為A,和y軸正半軸的交點(diǎn)為B,P為第一象限內(nèi)橢圓上

ab

的點(diǎn)，那么四邊形OAPB的面積最大值為(〕

rrV271

A.J2abB.-----abC.—abD.2ab

22

解析:方法一:設(shè)P(acosO,bsin。),那么S四邊形

OAPB=SAOAP+SAOBP=—absind+—bacosO=—"(sin0+cos。).

222

*.*sin0+cos0=V2sin(0+—)<V2,

4

,V2

??S四邊形OAPBS-----ab.

2

方法二:設(shè)點(diǎn)P(x,y),那么S四邊形OAPB=S4AOP+S^BOP=/ay+5bx=5+b%).

由不等式性質(zhì):a>0,b>0時(shí)，

b1

方法三:如圖，直線AB的方程為y—0=-一(％—Q),S四邊形OAPB=S^AOB+SAAPB=_cib+SAAPB.

a2

設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d,那么SAAPB=g|A3|?d=gja2+/?1,

由題意，知過點(diǎn)P的直線與橢圓相切且和直線AB平行時(shí)d有最大值,.?.可設(shè)過點(diǎn)P且與AB平行的直線

、ib

為y=——x+m.

a

b

y=——x+m,

聯(lián)立方程組2:

[二a2+二b2~=15

得2b2x2-2mabx+a2(m2-b2)=0,

A=(-2mab)2-8a2b2(m2-b2)=0,

解得m=41b.

由兩平行線間的距離公式，得d=唱匚坐,SAAPB最大值=立二C”,

加+/2

.目V2

***S四邊形OAPB最大值=---ab.

2

答案:B

6.設(shè)直線l:2x+y+2=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為匕假設(shè)Y與橢圓d+；=1交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上

的動(dòng)點(diǎn)，那么使仆PAB的面積為1的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為〔)

2

A.lB.2C.3D.4

解析:可求出直線F:2x+y-2=0.

2%+y—2=0,

由方程組]y2解得X=0或X=l.

XH------1,

I4

.,.A(0,2),B(l,0),|AB|=V5.

???點(diǎn)P到AB的距圖為.

由AB所在的直線方程為y=2x+2,設(shè)P（xo,yo）,

，2

九2"=1

人0十一}

那么1

I2%+%_21_

、V5-忖

解之有兩組解.

故存在兩個(gè)不同的P點(diǎn)滿足題意.

答案:B

x=2cos僅

7.橢圓《儂為參數(shù)）的離心率為（〕

丫=3sin0

V?2

C.-----D.--j^=

3V13

解析:將橢圓的參數(shù)方程化為普通方程,

222

得($+(])=1,即彳+三=1.

/.a2=9,b2=4,BPa=3,b=2.

/.c2=a2-b2=5,c=V5.

V5

答案:C

8.設(shè)e為橢圓匕=1（加＞-2）的離心率，且蚱（苗4,1）,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為1

2m2

A.(-l,0)

D.(-2,-1)

C.(-1,D

解析:..?橢圓方程為1+工=1,

2-m

*.*m>-2且-m>0,

0<-m<2.

a2=2,b2=-m,即a=V2,b=J-m.

222

c=a-b=2+m,c=+m,e=—二G(^^,1).解得m^(-l,O).

aV22

答案:A

22

9.假設(shè)AB為過橢圓二+2-=1中心的弦,Fi為橢圓的右焦點(diǎn)，那么AFjAB面積的最大值為〔)

2516

A.6B.12C.24D.48

解析:由得Fi為(3,0),那么△FiAB可看成由小OBF/DAOAFI組成.

設(shè)A(xo,yo),那么B(-xo,-yo).

?,月AB=SAOBR+SAOA6

O《|?|—%1+gl0片|?|%|

=2xgx3x|%l=3|九|.

由橢圓的定義，知|yo|Wb=4,

?Q<17

,,國(guó)AB—,乙?

答案:B

22

10.橢圓=1,過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn),設(shè)兩期赤，麗加而,

那么加+加的值為〔)

950509

A.------B.------c.—D.—

259925

解析:設(shè)直線AB的方程為y=k(x-c),那么

2

Yy、

7+5=1(">">0)>=d/+/一2/心+一*=°,

y=k(x-c)

._201k2c

，，Xa+Xb=a^+b2'

a2k2c2-a2b2

xx=

ABa2k2+b2

=c（X+/）-2X/B

2

c-c（xA+xB）+xAxB

2a2_2a2_2_2

b2a1-c2（f）2_]e2-1'

a

??e/.50

*?儲(chǔ)+心=----

59

答案:B

二、填空題

22?，那么m的值為

ll.ffiH—+—=1的離心率e

5m

解析:分兩種情況.

焦點(diǎn)在x軸上時(shí),0<m<5,

._V5-m_V10

??e-F=——--------，角牛倚m—3;

V55

焦點(diǎn)在y軸上時(shí),m>5,

:.e=5」5=①解得加=二

際53

答案：3或—

3

7

12.（理）在△ABC中,AB=BC,cosB=——.假設(shè)以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C,那么該橢圓的禺心率

解析:：以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C,

A3

AC+BC

AB

'：AB=BC,e=-------------

AC+AB

AB?+3。2—AC?7

又cos3=

2AB?BC18

.2AB2-275

——，解得AC=/A8.

"-2AB2-183

._3

8

答案」3

8

3

（文）在△ABC中,NA=9（F,tanB=一.假設(shè)以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C,那么該橢圓的離心率

4

e=.

解析:設(shè)|AC|=3x,|AB|=4x,

XVZA=90°,.'.|BC|=5x.

由橢圓定義知IAC|+|BC|=2a=8x,

那么2c=|AB|=4x,

.c4x1

??€————--——.

aSx2

答案:一

2

13.A、B為橢圓C：-一+匕=1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且NAPB的最大值是』，那

m+1m3

么實(shí)數(shù)m的值是.

解析：由橢圓知識(shí)，知當(dāng)點(diǎn)P位于短軸的端點(diǎn)時(shí)NAPB取得最大值，根據(jù)題意那么有

答案』

2

14.橢圓工+2-=1的焦點(diǎn)為Fi、Fz,點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)NF1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍

94

是.

解析:假設(shè)/FIPF2=90。,設(shè)P(x,y),那么由橢圓方程得a=3,b=2,c=A/32-22=舊.

.,.FI(-V5,0),F2(V5,0).

①

解①②得*=±|后.

結(jié)合橢圓圖形可得，當(dāng)/F1PF2為鈍角時(shí),—|逐

答案：——yl~5<x<—V5

三、解答題

15橢圓中心在原點(diǎn)0,它的短軸長(zhǎng)為22,對(duì)應(yīng)于焦點(diǎn)F(c,0)(00)的準(zhǔn)線1與x軸相交于點(diǎn)A,且IOFI=2I

FAI,過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).

(1)求橢圓的方程及離心率；

⑵設(shè)麗?詼=0,求直線PQ的方程.

解:⑴由題意，設(shè)橢圓的方程為1("揚(yáng).

a2-c2=2,

由，得《a2

c=2(-----c),

c

解得a=V6,c=2.

橢圓的方程為三+二=1,離心率e=￡=Y5.

62a3

(2)由⑴知A(3,0),設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-3),

f22

土+匕=1

由方程組｛62'^#(3k2+l)x2-18k2x+27k2-6=0.

y=左(x—3).

依題意A=12(2-3k2)>0,

一見＜k(星.

33

設(shè)P(xi,yi),Q(x2,y2),

18Zr2Tile-6

Xl+X2=Mi%=

3k2+13Zr2+l

由直線PQ的方程，得

yiy2=k(xi-3)?k(X2-3)

2

=kEXIX2-3(XI+X2)+9].

VOP<02=0,

/.xiX2+yiy2=0.

TIE-618k2

+嘴A+9]=0.

3左2+13k2+1

整理得5k2=1,

k=土旦€(-1也).

533

???直線PQ的方程為y=土B(x-3),

即x-4iy-3=0或x+百〉-3=0.

16.(理)菱形ABCD的頂點(diǎn)A,C在橢圓x2+3y2=4上,對(duì)角線BD所在直線的斜率為1.

(1)當(dāng)直線BD過點(diǎn)(0,1)時(shí),求直線AC的方程；

⑵當(dāng)NABC=60。時(shí),求菱形ABCD面積的最大值.

解：(1)由題意得直線BD的方程為y=x+L

,/四邊形ABCD為菱形,，AC，BD.

設(shè)直線AC的方程為y=-x+n.

由｛,得4x2-6nx+3n2-4=0.

y=-x+n,

VA,C在橢圓上，

4J34J3

A=-12n2+64>0,解得——<n<—.

33

、3n3n2-4

設(shè)A(xi,yi),C(X2,y2),aB么xi+x2=—,%1%2=-------,yi=-xi+n,y2=-x2+n.

n,,,,,3nn.

..yi+y2=—,AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(一,—).

244

由四邊形ABCD為菱形可知，點(diǎn)(―,-)在直線y=x+l上.

■44

.?/=加+1,解得n=-2.

44

「?直線AC的方程為y=-x-2,即x+y+2=0.

(2)V四邊形ABCD為菱形，且NABC=60。，

.?.|AB|=|BC|=|CA|.

S菱形ABCD=IACp.

2

,,OO—3〃2+16

由(1)知|AC|o2=(x「X2)2+(yi-y2)2=---------

.uV3(Q24A4V3x

??S菱形ABCD=(—3〃+16)(-------<n<---).

當(dāng)n=0時(shí),S菱形ABCD取得最大值4若.

(文)△ABC的頂點(diǎn)A,B在橢圓x2+3y2=4±,C在直線l:y=x+2上，且AB〃L

(1)當(dāng)AB邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求AB的長(zhǎng)及△ABC的面積；

(2)當(dāng)NABC=90。,且斜邊AC的長(zhǎng)最大時(shí)，求AB所在直線的方程.

解:(1)因?yàn)锳B〃1，且AB邊通過點(diǎn)(0,0),

所以AB所在直線的方程為y=x.

設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(xi,yi為X2J2).

[x1+3/=4,

由＜得x=±L

所以|AB|=V^|X1-X21=272.

又因?yàn)锳B邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線1的距離,

所以h=J5,SABC--\AB\^=2.

A2

⑵設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m.

,[x2+3y2=4,/日，

由《得4x2+6mx+3m29-4=0.

y=x+m.

因?yàn)锳,B在橢圓上，

所以A=-12m2+64>0.

設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(xi,yi),(X2,y2),

切,3m3m2-4

那么$+工2=--=——~——?

所以|AB|=拒|xi-x2|=^^.

I2—mI

又因?yàn)锽C的長(zhǎng)等于點(diǎn)(0,m)到直線1的距離，即|BC|」1，

J2

所以|AC|2=|AB『+|Bq2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11.

所以當(dāng)m=-l時(shí),AC邊最長(zhǎng).(這時(shí)A=-12+64>0)

此時(shí)AB所在直線的方程為y=x-l.

【例1】橢圓M的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為FI(-1,0),F2(1,0),離心率e=±P是橢圓M上的動(dòng)點(diǎn).

2

(1)求橢圓M的方程；

(2)設(shè)|而|-|而|=m,求m的取值范圍.

⑶求西?麗的取值范圍.

解:⑴由得c=l,—=—a=2,b=V3,

a2

22

即橢圓M的方程為工+匕=1.

43

(2)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo,yo),那么xo￡[-2,2],又?而尸e(xo+幺)=a+ex0,