2024年荊州中學(xué)高三數(shù)學(xué)5月第三次模擬考試卷附答案解析

年荊州中學(xué)高三數(shù)學(xué)5月第三次模擬考試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8道小題，每題四個(gè)選項(xiàng)中有且僅有一個(gè)正確答案，每小題5分，共40分）1．已知集合，，其中是實(shí)數(shù)集，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知圓，直線，方程，則“圓與直線相切”是“方程表示的曲線為橢圓”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件3．同宿舍六位同學(xué)在食堂排隊(duì)取餐，其中A，B，C三人兩兩不相鄰，A和D是雙胞胎，必須相鄰，則符合排隊(duì)要求的方法數(shù)為（

）A．288 B．144 C．96 D．724．已知，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為，下底面邊長(zhǎng)為，體積為，則正四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．6．已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．7．上周聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，且，負(fù)責(zé)命題的王老師考后隨機(jī)抽取了個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，設(shè)這個(gè)學(xué)生中得分在的人數(shù)為，則隨機(jī)變量的方差為（

）A． B． C． D．8．斜率為的直線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，交雙曲線于兩點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共3道小題，每題四個(gè)選項(xiàng)中至少有兩個(gè)正確答案，每小題6分，共18分）9．已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，則（

）A．a(chǎn)0的值為2B．a(chǎn)5的值為16C．a(chǎn)1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值為－5D．a(chǎn)1＋a3＋a5的值為12010．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，恒成立條件，.附加條件①的面積取到最大值；附加條件②.下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．若恒成立條件和附加條件①成立，則 D．若恒成立條件和附加條件②成立，則11．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)和連線的斜率之積等于，記點(diǎn)的軌跡為曲線，直線：與交于，兩點(diǎn)，則（

）A．的方程為 B．的離心率為C．的漸近線與圓相切 D．滿足的直線僅有1條三、填空題（本題共3道小題，每小題5分，共15分）12．棣莫弗定理：若為正整數(shù)，則，其中為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)，則，的實(shí)部為．13．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線發(fā)射后必經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則直線的斜率為．14．天道酬勤，勤能補(bǔ)拙，努力的人得到的結(jié)果也許不盡如人意，雖然問(wèn)心無(wú)愧的他們往往能平靜看待生活中的點(diǎn)點(diǎn)滴滴，后悔這個(gè)詞離他們似乎很遙遠(yuǎn)，但面對(duì)不順時(shí)，他們有時(shí)候也會(huì)反思一些細(xì)節(jié)，情不自禁的流下悔恨的淚水.其實(shí)每個(gè)人在生活中都曾有過(guò)后悔的經(jīng)歷，即便是懶惰成性，不思進(jìn)取的人，遇到挫折時(shí)，他們中也會(huì)有人會(huì)反思過(guò)去的不足，即使明知悔之晚矣，也往往會(huì)流下悔恨的淚水.某位經(jīng)驗(yàn)豐富的班主任老師，從高一開(kāi)始，一直在反復(fù)告誡自己的學(xué)生：珍惜當(dāng)下，積極進(jìn)取，爭(zhēng)做高考后無(wú)怨無(wú)悔的人，不做高考后如祥林嫂般的悔恨者.一晃三年過(guò)去了，這位班主任老師結(jié)合學(xué)生三年的表現(xiàn)，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，自己任教的班級(jí)勤懶生人數(shù)之比為，結(jié)合自己對(duì)以前畢業(yè)于自己班的學(xué)生高考后的表現(xiàn)發(fā)現(xiàn)，勤生高考后流下悔恨的淚水的概率為0.001，而懶生高考后流下悔恨的淚水的概率為0.020.展望本屆學(xué)生高考，他清楚地知道，自己班上一定有學(xué)生會(huì)在高考后流下悔恨的淚水，若真如該老師所料，有一位學(xué)生流下了悔恨的淚水，則這個(gè)學(xué)生恰好是一名懶生的概率為（結(jié)果用既約分?jǐn)?shù)表示）四、解答題（本題共5道小題，共77分）15．“數(shù)列”定義：數(shù)列的前項(xiàng)和為，如果對(duì)于任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)使則稱數(shù)列是“數(shù)列”.(1)若數(shù)列的前項(xiàng)和為求證：數(shù)列是“數(shù)列”；(2)已知數(shù)列是“數(shù)列”，且數(shù)列是首項(xiàng)為，公差小于的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若數(shù)列滿足：求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．（2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．

（1）證明：平面AEC⊥平面AFC；（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值．17．為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促銷活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開(kāi)的概率分別為；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開(kāi)的概率分別為；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí)．(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．18．已知，圓心是原點(diǎn)，點(diǎn)，以線段為直徑的圓內(nèi)切于，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若直線，點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)與曲線交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn).①若，求直線的斜率；②若記直線的斜率分別為問(wèn)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的斜截式方程；(2)當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的所有零點(diǎn)；(3)證明：.1．B【分析】解出一元二次不等式后，結(jié)合補(bǔ)集定義與交集定義計(jì)算即可得.【詳解】由可得或，則，又，故.故選：B.2．D【分析】借助圓與直線相切的性質(zhì)可得圓與直線相切時(shí)的的值，借助橢圓定義可得當(dāng)方程表示的曲線為橢圓時(shí)的的取值范圍，結(jié)合充分條件與必要條件的定義即可得解.【詳解】若圓與直線相切，則有，即，解得或，若方程表示的曲線為橢圓，則，即且，故“圓與直線相切”是“方程表示的曲線為橢圓”的既非充分也非必要條件.故選：D.3．D【分析】先將除A，B，C三人的其余三人排序，再安排D，最后將B，C插入剩余三個(gè)空位即可.【詳解】分三步：先將除A，B，C三人的其余三人進(jìn)行排序，有種方法，因?yàn)锳和D必須相鄰，所以A只能插入與D相鄰的兩個(gè)空位，有2種方法，最后將B，C插入剩余三個(gè)空位，有種方法故共有種方法.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查采用“插空法”，“捆綁法”排序，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.4．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由，可得，可得則，因?yàn)椋耘c異號(hào)，可得為第二或第四象限，當(dāng)為第二象限角時(shí)，可得；當(dāng)為第四象限角時(shí)，可得.故選：C.5．D【分析】畫(huà)出相應(yīng)圖形，借助正四棱臺(tái)的性質(zhì)及體積公式可得其高，結(jié)合線面角定義計(jì)算即可得解.【詳解】如圖所示，作于點(diǎn)，則，即，，則，由正四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角即為與底面所成角，設(shè)其為，則，即.故答案為：.6．D【分析】計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7．C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，求得學(xué)生得分在的概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布方差的計(jì)算方法求解即可.【詳解】由正態(tài)分布知，學(xué)生得分在的概率為，抽取個(gè)學(xué)生得分在的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，.故選：.8．D【分析】利用點(diǎn)差法代入計(jì)算得，然后結(jié)合，可得，設(shè)直線的傾斜角為，則可得，從而得，即可得雙曲線的漸近線方程.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，設(shè)，則，得，則，設(shè)直線的傾斜角為，又，所以，可得，所以直線的傾斜角為，則的斜率為，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：【點(diǎn)睛】一般在圓錐曲線中涉及中點(diǎn)弦的問(wèn)題通常采用點(diǎn)差法計(jì)算，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算得與的關(guān)系.9．ABC【分析】對(duì)于A，利用賦值法，令即可求解；對(duì)于B，利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)進(jìn)行求解；對(duì)于C，利用賦值法，令得到a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，再減去即可；對(duì)于D，利用賦值法，分別令與，得到兩個(gè)式子聯(lián)立即可求解.【詳解】對(duì)于A，令x＝0，得a0＝2×1＝2，故A正確；對(duì)于B，(1－2x)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以，故B正確；對(duì)于C，令x＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6

①，即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－a0＝－3－2＝－5，故C正確；對(duì)于D，令x＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6

②，由①②解得a1＋a3＋a5＝－123，故D不正確.故選：ABC10．ABC【分析】依題意可得，利用正弦定理將邊化角，即可判斷A；由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式判斷B；求出，即可求出，再由二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系判斷C；由正弦定理可得，將兩邊平方，再結(jié)合，即可求出，從而判斷D.【詳解】對(duì)于A、B：因?yàn)?，，所以，由正弦定理得，又，所以，則，故A正確；又，所以，所以，顯然，，所以，故B正確；對(duì)于C：若的面積取到最大值，即，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，由B可知，所以，故C正確；對(duì)于D：若，由正弦定理得，所以，由B知，即，所以，，所以，即，所以，所以，故D錯(cuò)誤．故選：ABC11．AC【解析】根據(jù)已知求得曲線的方程，求得曲線的離心率，其漸近線與圓的位置關(guān)系，以及弦長(zhǎng)AB，逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由已知得，整理得，所以點(diǎn)的軌跡為曲線的方程為，故A正確；又離心率，故B不正確；圓的圓心到曲線的漸近線為的距離為，又圓的半徑為1，故C正確；直線與曲線的方程聯(lián)立整理得，設(shè)，，且，有，所以，要滿足，則需，解得或或，當(dāng),此時(shí)，而曲線E上，所以滿足條件的直線有兩條，故D不正確，故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查求點(diǎn)的軌跡方程，雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，以及直線與雙曲線相交的弦長(zhǎng)，屬于中檔題.12．##【分析】化解復(fù)數(shù)，由棣莫弗定理可得，，根據(jù)復(fù)數(shù)模及共軛復(fù)數(shù)定義即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以由棣莫弗定理可得，，所以.所以，所以的實(shí)部為.故答案為：①985；②.13．【分析】由拋物線方程求出，令，代入，可得，再根據(jù)由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，反射光線經(jīng)過(guò)，從而有，最后利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率即可得出結(jié)果.【詳解】解：由可得，，所以焦點(diǎn)，已知一平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射，則令，代入，得，可得，由于光線經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，反射光線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，即直線經(jīng)過(guò)，所以，所以直線的斜率為.故答案為：.14．【分析】利用條件概率的公式可求答案.【詳解】記事件“抽取學(xué)生是勤生”，事件“抽取學(xué)生是懶生”，事件“抽取學(xué)生流下了悔恨的淚水”，則依題意有，，;同理，，故,.故答案為：15．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）利用求出，再利用題中“數(shù)列”的定義進(jìn)行證明.（2）數(shù)列即是“數(shù)列”，又是等差數(shù)列，表示出通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和，利用“數(shù)列”的定義求出公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.（3）由（1），（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即.所以數(shù)列是“數(shù)列”.（2）設(shè)數(shù)列的公差為d,.對(duì)，使；取時(shí)，得，解得，，又，故，是小于2正整數(shù).此時(shí)對(duì)于任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)使，故.（3），當(dāng)時(shí)，，，，.當(dāng)時(shí)，，滿足上式.綜上，.16．（1）見(jiàn)解析；（2）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）連接BD，設(shè)BD∩AC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1易證EG⊥AC，通過(guò)計(jì)算可證EG⊥FG，根據(jù)線面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，利用向量法可求出異面直線AE與CF所成角的余弦值.試題解析：（Ⅰ）連接BD，設(shè)BD∩AC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.在Rt△FDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，∴，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.

（Ⅱ）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0,），F(xiàn)（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分故.所以直線AE與CF所成的角的余弦值為.考點(diǎn)：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計(jì)算；空間想象能力，推理論證能力17．(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由題意兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元，然后求出相應(yīng)的概率即可；（2）確定ξ的所有可能取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，得出分布列，進(jìn)一步求解均值和方差即可．【詳解】（1）兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元，甲、乙兩人2小時(shí)以上且不超過(guò)3小時(shí)離開(kāi)的概率分別為1－－＝，1－－＝．兩人都付0元的概率為P1＝×＝，兩人都付40元的概率為P2＝×＝，兩人都付80元的概率為P3＝×＝，則兩人所付費(fèi)用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．（2）ξ的所有可能取值為0，40，80，120，160，則P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝40)＝×＋×＝，P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝120)＝×＋×＝，P(ξ＝160)＝×＝．所以ξ的分布列為ξ04080120160PE(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．18．(1)(2)①；②是定值，定值為【分析】（1）結(jié)合兩圓內(nèi)切的性質(zhì)與橢