2024屆博雅聞道高一數(shù)學第二學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆博雅聞道高一數(shù)學第二學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，在長方體中，M，N分別是棱BB1，B1C1的中點，若∠CMN=90°，則異面直線AD1和DM所成角為（）A．30° B．45°C．60° D．90°2．設函數(shù)的最大值為，最小值為，則與滿足的關系是（）A． B．C． D．3．已知單位向量，，滿足.若點在內，且，，則下列式子一定成立的是（）A． B．C． D．4．設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且，則的最大值為（）A． B．1 C． D．5．趙爽是三國時期吳國的數(shù)學家，他創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱“趙爽弦圖”，如圖，若在大正方形內隨機取-點，這一點落在小正方形內的概率為，則勾與股的比為（）A． B． C． D．6．已知的內角的對邊分別為，若，則的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形7．已知正方形的邊長為，若將正方形沿對角線折疊為三棱錐，則在折疊過程中，不能出現(xiàn)（）A． B．平面平面 C． D．8．如圖，設，是平面內相交的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系中的坐標.假設在坐標系中的坐標為，則（)A． B． C． D．9．已知等差數(shù)列的公差為2，且是與的等比中項，則等于()A． B． C． D．10．平面直角坐標系xOy中，角的頂點在原點，始邊在x軸非負半軸，終邊與單位圓交于點，將其終邊繞O點逆時針旋轉后與單位園交于點B，則B的橫坐標為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等比數(shù)列中，，公比，若，則達到最大時n的值為____________．12．如圖甲是第七屆國際數(shù)學教育大會（簡稱）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長度構成數(shù)列，則此數(shù)列的通項公式為_____．13．已知常數(shù)θ∈(0,π2)，若函數(shù)f(x)在Rf(x)=2sinπx-1≤x≤1log是________.14．如圖,貨輪在海上以的速度沿著方位角(從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角)為150°的方向航行.為了確定船位,在點B觀察燈塔A的方位角是120°,航行半小時后到達C點,觀察燈塔A的方位角是75°,則貨輪到達C點時與燈塔A的距離為______nmile15．過P(1,2)的直線把圓分成兩個弓形，當其中劣孤最短時直線的方程為_________.16．在正四面體中，棱與所成角大小為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在等差數(shù)列中，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．18．已知函數(shù).(1)求的值及f(x)的對稱軸；(2)將的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，求的單調遞增區(qū)間.19．駐馬店市政府委托市電視臺進行“創(chuàng)建森林城市”知識問答活動,市電視臺隨機對該市15～65歲的人群抽取了n人,繪制出如圖1所示的頻率分布直方圖,回答問題的統(tǒng)計結果如表2所示.（1）分別求出a,b,x,y的值；（2）從第二、三、四、五組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取7人,則從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應各抽取多少人?（3）在(2)的條件下,電視臺決定在所抽取的7人中隨機選2人頒發(fā)幸運獎,求所抽取的人中第二組至少有1人獲得幸運獎的概率.20．已知A、B分別在射線CM、CN（不含端點C）上運動，∠MCN=23π（Ⅰ）若a、b、（Ⅱ）若c=3，∠ABC=θ，試用θ表示ΔABC21．四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面底面ABCD，已知，為正三角形．（1）證明．（2）若，，求二面角的大小的余弦值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

建立空間直角坐標系，結合，求出的坐標，利用向量夾角公式可求.【詳解】以為坐標原點,所在直線分別為軸,建立空間直角坐標系,如圖,設,則,,,因為,所以,即有.因為,所以,即異面直線和所成角為.故選：D.【點睛】本題主要考查異面直線所成角的求解，異面直線所成角主要利用幾何法和向量法，幾何法側重于把異面直線所成角平移到同一個三角形內，結合三角形知識求解；向量法側重于構建坐標系，利用向量夾角公式求解.2、B【解析】

將函數(shù)化為一個常數(shù)函數(shù)與一個奇函數(shù)的和，再利用奇函數(shù)的對稱性可得答案.【詳解】因為，令，則，所以為奇函數(shù)，所以，所以，故選：B【點睛】本題考查了兩角差的余弦公式，考查了奇函數(shù)的對稱性的應用，屬于中檔題.3、D【解析】

設，對比得到答案.【詳解】設，則故答案為D【點睛】本題考查了向量的計算，意在考查學生的計算能力.4、D【解析】

根據正弦定理將已知等式化簡得，再根據差角正切公式以及基本不等式可得結論.【詳解】由正弦定理以及，可得，在中，代入上式中整理得，，即，即，且，所以，當且僅當，即時取等號.故選：D.【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題.5、B【解析】

分別求解出小正方形和大正方形的面積，可知面積比為，從而構造方程可求得結果.【詳解】由圖形可知，小正方形邊長為小正方形面積為：，又大正方形面積為：，即：解得：本題正確選項：【點睛】本題考查幾何概型中的面積型的應用，關鍵是能夠利用概率構造出關于所求量的方程.6、A【解析】中，，所以.由正弦定理得：.所以.所以，即因為為的內角，所以所以為等腰三角形.故選A.7、D【解析】對于A：取BD中點O，因為，AO所以面AOC，所以，故A對；對于B：當沿對角線折疊成直二面角時，有面平面平面，故B對；對于C：當折疊所成的二面角時，頂點A到底面BCD的距離為，此時，故C對；對于D：若，因為，面ABC，所以，而，即直角邊長與斜邊長相等，顯然不對；故D錯；故選D點睛：本題考查了立體幾何中折疊問題，要分析清楚折疊前后的變化量與不變量以及線線與線面的位置關系，屬于中檔題.8、D【解析】

可得.【詳解】向量，則．故選：．【點睛】本題主要考查了向量模的運算和向量的數(shù)量積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．9、A【解析】

直接利用等差數(shù)列公式和等比中項公式得到答案.【詳解】是與的等比中項，故即解得：故選：A【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比中項，屬于?？碱}型.10、B【解析】

，B的橫坐標為，計算得到答案.【詳解】有題意知：B的橫坐標為：故答案選B【點睛】本題考查了三角函數(shù)的計算，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、7【解析】

利用，得的值【詳解】因為，，所以為7.故答案為：7【點睛】本題考查等比數(shù)列的項的性質及單調性，找到與1的分界是關鍵，是基礎題12、【解析】

由圖可知，由勾股定理可得,利用等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】根據圖形，因為都是直角三角形，,是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，，，故答案為.【點睛】本題主要考查歸納推理的應用，等差數(shù)列的定義與通項公式，以及數(shù)形結合思想的應用，意在考查綜合應用所學知識解答問題的能力，屬于與中檔題.13、15【解析】

根據f(-1【詳解】∵函數(shù)f(x)在R上恒有f(-1∴f-∴函數(shù)周期為4.∵常數(shù)θ∈(0,π∴cos∴函數(shù)y=f(x)-cosθ-1在區(qū)間[-5,14]上零點,即函數(shù)y=f(x)?(x∈[-5,14])與直線由f(x)=2sinπx由圖可知，在一個周期內，函數(shù)y=f(x)-cos故函數(shù)y=f(x)-cosθ-1在區(qū)間故填15.【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點的個數(shù)判斷，涉及數(shù)形結合思想在解題中的運用，屬于難題.14、【解析】

通過方位角定義，求出，，利用正弦定理即可得到答案.【詳解】根據題意，可知,,，因此可得，由正弦定理得：，求得，即答案為.【點睛】本題主要考查正弦定理的實際應用，難度不大.15、【解析】

首先根據圓的幾何性質，可分析出當點是弦的中點時，劣弧最短，利用圓心和弦的中點連線與直線垂直，可求得直線方程.【詳解】當劣弧最短時，即劣弧所對的弦最短，當點是弦的中點時，此時弦最短，也即劣弧最短，圓：，圓心，,,直線方程是，即，故填：.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，以及圓的幾何性質，屬于基礎題型.16、【解析】

根據正四面體的結構特征，取中點，連，，利用線面垂直的判定證得平面，進而得到，即可得到答案.【詳解】如圖所示，取中點，連，，正四面體是四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等，所以，，且，所以平面，又由平面，所以，所以棱與所成角為.【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，以及直線與平面垂直的判定及應用，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出的通項公式．

（Ⅱ）由，，能求出數(shù)列的前n項和．【詳解】（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，則解得，∴．（Ⅱ）．18、（1），；（2）?！窘馕觥?/p>

（1）求得函數(shù)，代入即可求解的值，令，即可求得函數(shù)的對稱軸的方程；（2）由（1），結合三角函數(shù)的圖象變換，求得，再根據三角函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)，則，令，解得，即函數(shù)的對稱軸的方程為（2）由（1）可知函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，可得的圖象，令，解得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.【點睛】本題主要考查了三函數(shù)的圖象與性質，以及三角函數(shù)的圖象變換的應用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質，以及三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.19、（1）0.9，0.36，270，90；（2）2人,3人,1人,1人；（3）1121【解析】

（1）先計算出總人數(shù)為1000人，再根據公式依次計算a,b,x,y的值.（2）根據分層抽樣規(guī)律得到從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應分別抽取:2人,3人,1人,1人（3）排出所有可能和滿足條件的情況，得到概率.【詳解】（1）依題和圖表：由0.010×10×n=500.5得：由0.020×10×n=180a得：由0.030×10×n=x0.9得：由0.025×10×n=90b得：由0.015×10×n=y0.6得：故所求a=0.9，b=0.36，x=270，y=90.（2）由以上知:第二、三、四、五組回答正確的人數(shù)分別為:180人,270人,90人,90人用分層抽樣抽取7人,則:從第二組回答正確的人中應該抽取:7×180從第三組回答正確的人中應該抽?。?×270從第四組回答正確的人中應該抽取:7×90從第五組回答正確的人中應該抽取:7×90故從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應分別抽取:2人,3人,1人,1人；（3）設從第二組回答正確的人抽取的2人為:2a,2b，從第三組回答正確的人抽取的3人為:3a,3b,3c從第四組回答正確的人抽取的1人為:4a從第五組回答正確的人抽取的1人為:5a隨機抽取2人,所有可能的結果有:(2a,2b)，(2a,3a)，(2a,3b)，(2a,3c)，(2a,4a)，(2a,5a)，(2b,3a)，(2b,3b)，(2b,3c)，(2b,4a)，(2b,5a)，(3a,3b)，(3a,3c)，(3a,4a)，(3a,5a)，(3b,3c)，(3b,4a)，(3b,5a)，(3c,4a)，(3c,5a)，(4a,5a)，共21個基本事件，其中第二組至少有1人被抽中的有：(2a,2b)，(2a,3a)，(2a,3b)，(2a,3c)，(2a,4a)，(2a,5a)，(2b,3a)，(2b,3b)，(2b,3c)，(2b,4a)，(2b,5a)共這11個基本事件.故抽取的人中第二組至少有1人獲得幸運獎的概率為：1121【點睛】本題考查了頻率直方圖，分層抽樣，概率的計算，意在考查學生的應用能力和計算能力.20、（1）c=7或c=2.（1）=2sinθ+2【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可得a=c-4、b=c-1．又因∠MCN=π，,可得恒等變形得c1-9c+14=0，再結合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=1sⅠnθ,BC=，△ABC的周長f（θ）=|AC|+|BC