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2023-2024學(xué)年上海市徐匯、松江、金山區(qū)高一下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè),且,則的最小值為()A. B. C. D.2.如圖所示的陰影部分是由軸及曲線圍成,在矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A. B. C. D.3.如圖,為正方體,下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.異面直線與所成的角為45° B.平面C.平面平面 D.異面直線與所成的角為45°4.如圖是一名籃球運(yùn)動(dòng)員在最近6場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖,則下列關(guān)于該運(yùn)動(dòng)員所得分?jǐn)?shù)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.中位數(shù)為14 B.眾數(shù)為13 C.平均數(shù)為15 D.方差為195.已知圓,過(guò)點(diǎn)作圓的最長(zhǎng)弦和最短弦,則直線,的斜率之和為A. B. C.1 D.6.函數(shù)的最小值為(
)A.6 B.7 C.8 D.97.直線分別與軸,軸交于,兩點(diǎn),點(diǎn)在圓上,則面積的取值范圍是A. B. C. D.8.直線x﹣y+2=0與圓x2+(y﹣1)2=4的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定9.設(shè)的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,.若,,,且,則()A. B. C. D.10.已知函數(shù),若,則()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知向量,,若,則______;若,則______.12.已知均為正數(shù),則的最大值為_(kāi)_____________.13.已知向量,,且與垂直,則的值為_(kāi)_____.14.已知為的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,向量,.若,且,則B=15.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,,,則此數(shù)列前20項(xiàng)和等于______.16.在銳角中,角的對(duì)邊分別為.若,則角的大小為為_(kāi)___.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.王某2017年12月31日向銀行貸款元,銀行貸款年利率為,若此貸款分十年還清(2027年12月31日還清),每年年底等額還款(每次還款金額相同),設(shè)第年末還款后此人在銀行的欠款額為元.(1)設(shè)每年的還款額為元,請(qǐng)用表示出;(2)求每年的還款額(精確到元).18.已知函數(shù).(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.19.已知四棱錐的底面為直角梯形,,,底面,且,是的中點(diǎn).(1)求證:直線平面;(2)若,求二面角的正弦值.20.已知函數(shù),它的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域.21.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,已知向量,,且.(1)求角的值;(2)若為銳角三角形,且,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】
本題首先可將轉(zhuǎn)化為,然后將其化簡(jiǎn)為,最后利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)成立,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值,基本不等式公式為,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是簡(jiǎn)單題.2、A【解析】,所以,故選A。3、A【解析】
根據(jù)正方體性質(zhì),依次證明線面平行和面面平行,根據(jù)直線的平行關(guān)系求異面直線的夾角.【詳解】根據(jù)正方體性質(zhì),,所以異面直線與所成的角等于,,,所以不等于45°,所以A選項(xiàng)說(shuō)法不正確;,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,所以平面,所以B選項(xiàng)說(shuō)法正確;同理可證:平面,是平面內(nèi)兩條相交直線,所以平面平面,所以C選項(xiàng)說(shuō)法正確;,異面直線與所成的角等于,所以D選項(xiàng)說(shuō)法正確.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查線面平行和面面平行的判定,根據(jù)平行關(guān)系求異面直線的夾角,考查空間線線平行和線面平行關(guān)系的掌握4、D【解析】從題設(shè)中所提供的莖葉圖可知六個(gè)數(shù)分別是,所以其中位數(shù)是,眾數(shù)是,平均數(shù),方差是,應(yīng)選答案D.5、D【解析】
根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得最長(zhǎng)弦是直徑,最短弦和直徑垂直,故可計(jì)算斜率,并求和.【詳解】由題意得,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和圓的圓心弦長(zhǎng)最長(zhǎng),則直線的斜率為,由題意可得直線與直線互相垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短,則直線的斜率為,故直線,的斜率之和為.【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線垂直的斜率關(guān)系,以及圓內(nèi)部的幾何性質(zhì),屬于簡(jiǎn)單題型.6、C【解析】
直接利用均值不等式得到答案.【詳解】,時(shí)等號(hào)成立.故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式,屬于簡(jiǎn)單題.7、A【解析】分析:先求出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離,得到點(diǎn)P到直線距離范圍,由面積公式計(jì)算即可詳解:直線分別與軸,軸交于,兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上圓心為(2,0),則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點(diǎn)睛:本題主要考查直線與圓,考查了點(diǎn)到直線的距離公式,三角形的面積公式,屬于中檔題.8、A【解析】
求得圓心到直線的距離,然后和圓的半徑比較大小,從而判定兩者位置關(guān)系,得到答案.【詳解】由題意,可得圓心到直線的距離為,所以直線與圓相交.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系判定,其中解答中熟記直線與圓的位置關(guān)系的判定方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】由余弦定理得:,所以,即,解得:或,因?yàn)?,所以,故選B.考點(diǎn):余弦定理.10、D【解析】
令,根據(jù)奇偶性定義可判斷出為奇函數(shù),從而可求得,進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】令為奇函數(shù)又即本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)值的問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式得到奇函數(shù),利用奇函數(shù)的定義可求得對(duì)應(yīng)位置的函數(shù)值.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、6【解析】
由向量平行與垂直的性質(zhì),列出式子計(jì)算即可.【詳解】若,可得,解得;若,則,解得.故答案為:6;.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量平行、垂直的性質(zhì),考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】
根據(jù)分子和分母的特點(diǎn)把變形為,運(yùn)用重要不等式,可以求出的最大值.【詳解】(當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)),(當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)),因此的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了重要不等式,把變形為是解題的關(guān)鍵.13、【解析】
根據(jù)與垂直即可得出,進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出x的值.【詳解】;;.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件,以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)得,再利用正弦定理得,化簡(jiǎn)得出角的大小。再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得B.【詳解】根據(jù)題意,由正弦定理可得則所以答案為?!军c(diǎn)睛】本題主要考查向量與三角形正余弦定理的綜合應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題。15、180【解析】
根據(jù)條件解得公差與首項(xiàng),再代入等差數(shù)列求和公式得結(jié)果【詳解】因?yàn)?,,所以,【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及求和公式,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題16、【解析】由,兩邊同除以得,由余弦定理可得是銳角,,故答案為.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)12950元【解析】
(1)計(jì)算100000元到第二年年末的本利和,減去第一次還的元到第二年年末的本利和,再減去第二年年末還的元,可得;(2)根據(jù)100000元到第10年年末的本利和與每年還款元到第10年年末的本利和相等,得到關(guān)于的方程組,進(jìn)而求得的值.【詳解】(1)由題意得:.(2)因?yàn)樗裕獾茫?【點(diǎn)睛】本題以生活中的貸款問(wèn)題為背景,考查利用等比數(shù)列知識(shí)解決問(wèn)題,考查數(shù)學(xué)建模能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)要先讀懂題意,并理解復(fù)利算法,是成功解決問(wèn)題的關(guān)鍵.18、(1);單調(diào)遞增區(qū)間為:;(2)最大值;最小值.【解析】
(1)先將函數(shù)化簡(jiǎn)整理,得到,由得到最小正周期;根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸,即可列式,求出對(duì)稱(chēng)軸;(2)先由,得到,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì),即可得出結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)椋宰钚≌芷跒椋?;由得,即單調(diào)遞增區(qū)間是:;(2)因?yàn)?,所以,因此,?dāng)即時(shí),取最小值;當(dāng)即時(shí),取最大值;【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型三角函數(shù)的周期、對(duì)稱(chēng)軸,以及給定區(qū)間的最值問(wèn)題,熟記正弦函數(shù)的性質(zhì),以及輔助角公式即可,屬于??碱}型.19、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)取中點(diǎn),連結(jié),,推導(dǎo)出,,從而平面平面,由此能證明直線平面;(2)以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:取中點(diǎn),連結(jié),,,是的中點(diǎn),,,,,平面平面,平面,直線平面.(2)解:,,底面,,是的中點(diǎn),,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,1,,,0,,,2,,,1,,,1,,,1,,,1,,,0,,設(shè)平面的法向量,,,則,取,得.設(shè)平面的法向量,,,則,取,得.設(shè)二面角的平面角為,則.二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】試題分析:(1)依題意,則,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式可得,故,函數(shù)解析式為.(2)由題意可得,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域?yàn)?試題解析:(1)依題意,,故.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式可得,則,,故,故函數(shù)解析式為.(2)當(dāng)時(shí),,則,,所以函數(shù)的值域?yàn)?點(diǎn)睛:求函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)在區(qū)間[a,b]上值域的一般步驟:第一步:三角函數(shù)式的化簡(jiǎn),一般化成形如y=Asin(ωx+φ)+k的形式或y=Acos(ωx+φ)+k的形式.第二步:由x的取值范圍確定ωx+φ的取值范圍,再確定sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的取值范圍.第三步:求出所求函數(shù)的值域(或最值).21、(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)和正弦定理余弦定理求得.(2)先利用正弦定理求出R=1,再把化成,再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解.【詳解】(1)因?yàn)?/p>
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