高中數(shù)學(xué)暑假初高銜接講義 對(duì)數(shù)

遍歷山河，人間值得。第第頁(yè)練習(xí)主題對(duì)數(shù)已知1個(gè)細(xì)胞經(jīng)過(guò)x次分裂后，相應(yīng)的細(xì)胞個(gè)數(shù)為y=.由此，若知道了分裂的次數(shù)x，就能求出分裂后相應(yīng)的細(xì)胞數(shù)y.反過(guò)來(lái)，若知道了分裂后相應(yīng)的細(xì)胞數(shù)y，怎樣求出分裂的次數(shù)x呢?知識(shí)點(diǎn)一：對(duì)數(shù)的概念如果=N（a＞0，a≠1），那么就稱b是以a為底N的對(duì)數(shù)，記作=b，其中，a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù).由對(duì)數(shù)的定義可知，=N與b=兩個(gè)等式所表示的是a、b、N這3個(gè)量之間的同一個(gè)關(guān)系，例如：32=9=2，==2例1、將下列指數(shù)式改寫(xiě)成對(duì)數(shù)式：（1）24=16；（2）3-3=；（3）5a=20；（4）=0.45例2、將下列對(duì)數(shù)式改寫(xiě)成指數(shù)式：（1）=3；（2）=-2；（3）=-1.699例3、求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）通常將以10為底的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù)，如，等.為了方便起見(jiàn)，對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記為，如，等.在科學(xué)技術(shù)中，常常使用以e為底的對(duì)數(shù)，這種對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù).e=2.71828…是一個(gè)無(wú)理數(shù).正數(shù)N的自然對(duì)數(shù)一般簡(jiǎn)記為，如,分別記為，等.對(duì)應(yīng)練習(xí)：1、將下列指數(shù)式改寫(xiě)成對(duì)數(shù)式：（1）35=243；（2）2-8=；（3）2x=10；（4）=122、將下列對(duì)數(shù)式改寫(xiě)成指數(shù)式：（1）=-4；（2）=4；（3）=0.4771；（4）=b3、求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）為什么規(guī)定a＞0，a≠1呢?1、若a＜0,則當(dāng)N為某些值時(shí)，b的值不存在.如b=不存在.2、若a=0，則（1）當(dāng)N≠0時(shí)，b的值不存在.如(可理解為0的多少次冪是3)不存在.（2）當(dāng)N=0時(shí)，b可以是除零以外的任意實(shí)數(shù)，是不唯一的，即有無(wú)數(shù)個(gè)值.3、若a=1，則（1）當(dāng)N≠1時(shí)，b的值不存在.如不存在；（2）當(dāng)N=1時(shí)，b可以為任意實(shí)數(shù)，是不唯一的，即有無(wú)數(shù)個(gè)值.因此規(guī)定a＞0，a≠1.例4、在對(duì)數(shù)式b=中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.鞏固練習(xí)：1、=a（b＞0，b≠1，N＞0）對(duì)應(yīng)的指數(shù)式是（）A.ab=NB.ba=NC.=bD.=a2、若=1，則（）A.x=1B.a=1C.x=aD.x=103、若=25，則x的值等于（）A.10B.13C.100D.±1004、（多選）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的是（）A.=1與=0B.=2與=3C.=與=D.=1與=75、若=m，=n，則=.6、已知=2，=a，則x=.7、計(jì)算：=.8、使式子有意義的x的取值范圍是.知識(shí)點(diǎn)二：對(duì)數(shù)的運(yùn)算我們知道，指數(shù)冪運(yùn)算有下列性質(zhì)：，=，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，有：=b=N（a＞0，a≠1，N＞0）那么，對(duì)數(shù)運(yùn)算也有相應(yīng)的性質(zhì)嗎？設(shè)：M=，N=，于是MN=由對(duì)數(shù)的定義得：=s，=t，=s+t，因此：=+一般地，我們可以得到如下的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：=+，=-=n其中a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，n∈R.例1、求下列各式的值：（1）；（2）；（3）+；（4）-（5）+；（6）+·；例2、已知≈0.3010，≈0.4771，求下列各式的值（保留四位小數(shù)）（1）；（2）；（3）對(duì)應(yīng)練習(xí)：1、求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；2、已知≈0.3010，≈0.4771，求下列各式的值（保留四位小數(shù)）（1）；（2）；（3）；（4）.3、設(shè)=a，=b，試著用a、b表示下列各對(duì)數(shù)：（1）；（2）知識(shí)點(diǎn)三：換底公式，其中a＞0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1.特別提醒（1）換底公式成立的條件是公式中的每一個(gè)對(duì)數(shù)式都有意義.（2）換底公式的意義在于改變對(duì)數(shù)式的底數(shù)，把不同底數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的問(wèn)題進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算或證明.（3）換底公式在實(shí)際應(yīng)用中究竟換成以什么為底數(shù)，要由具體的已知條件來(lái)確定，一般換成以10為底的常用對(duì)數(shù).幾個(gè)常用的推論：（1）·=1，次公式表示真數(shù)與底數(shù)互換，所得的對(duì)數(shù)值與原對(duì)數(shù)值互為倒數(shù)；（2）··=1；（3）=，次公式表示底數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的m次方，真數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的n次方，所得的對(duì)數(shù)值等于原來(lái)對(duì)數(shù)值的倍.例1、求下列各式的值：（1）×；（2）··對(duì)應(yīng)練習(xí)：1、×=.2、計(jì)算：=.3、若··=2，則x=.鞏固練習(xí)：1、（多選）以下運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A.×=B.=C.+=D.-=2、已知a＞0且a≠1，則=（）A.0B.C.1D.23、化簡(jiǎn)-的結(jié)果為（）A.B.C.D.4、（多選）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A.+=2B.··=C.+=10