2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義-等腰三角形

等腰三角形

第1題

如圖5-1所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是線段CB的延長線上的一個(gè)動點(diǎn).連接PA,PD,點(diǎn)M、點(diǎn)N分別為BC,AP的中點(diǎn)，連

接MN交PD于點(diǎn)Q.判斷△QPM的形狀并加以證明.

解題策略根據(jù)圖形，不難判斷△QPM的形狀是等腰三角形.而欲證此結(jié)論，則考慮證乙QMP=4QPM,可以構(gòu)造全等三角形

或利用三角函數(shù)來證明這一結(jié)論，而構(gòu)造圖形的過程應(yīng)充分考慮“點(diǎn)M、點(diǎn)N分別為BC,AP的中點(diǎn)”這一條件.

解法一AQPM是等腰三角形.

證明:如圖5-2所示，延長BC至點(diǎn)E,使CE二BP,連接AE.

VPB=CE,

.?.PB+BC=CE+BC,即CP=BE.

：四邊形ABCD是正方形，

???AB=DC,NABC=NDCB=90。.

在4DCP和4ABE中，

(DC=AB,

\^DCP=乙ABE,

(CP=BE,

AADCP^AABE.

AZ1=ZE.

?；M為BC的中點(diǎn)，

，MB=MC.

???MB+BP=MC+CE,即MP二ME.

???M為PE的中點(diǎn).

???N為AP的中點(diǎn)，

ANM//AE.

AZ2=ZE.

AZ1=Z2.

???QP=QM.

AAQPM是等腰三角形.

解法二4QPM是等腰三角形.

證明:如圖5-3所示，延長MN交DA的延長線于點(diǎn)E.過點(diǎn)M作MF1AD于點(diǎn)F,貝!].^AFM=90°.

???四邊形ABCD是正方形，

???乙ABC=乙BCD=ACDA=ADAB=90°,

???四邊形ABMF,四邊形FMCD均是矩形.

:.AB=FM=DC,AF=BM,FD=MC.

???點(diǎn)M、點(diǎn)N分別為BC,AP的中點(diǎn)，

AMB=MC,AN=PN.

AAF=MC.

.??四邊形ABCD是正方形，

???AD〃BC.

:點(diǎn)N為AP中點(diǎn)，

/.AN=PN.

:.乙E=乙NMP,乙EAN=乙MPN.

.?.△AEN?△PMN.

/.AE=PM.

?1AE+AF=PM+MC,即EF=PC.

???tanz.E=—,tanz.DPC=—.

EFPC

???乙E=乙DPC=乙NMP.

???QP=QM.

???△QPM是等腰三角形.

解法三4aPM是等腰三角形.

證明:如圖5-4所示，過點(diǎn)N作NH1PM于點(diǎn)H,則.乙NHM=90°.

???點(diǎn)M、點(diǎn)N分別為BC,AP的中點(diǎn)，

:.MB=^BC,PN=^PA.

???四邊形ABCD是正方形，

???乙ABC=乙BCD=90。,43=CD.

???乙NHM=/.ABC=90°,

ANH//AB.

NH_PN_PH_1

AB-PA~PB~2

■■-NH=^AB=ICD,BH=^B.

Ill

：,HM=BH+MB=-PB+-BC=-PC.

222

在RtANHM中,tan“MP=器=砥

在RtAPCD中,tanzQPM=*

:.ZQMP=ZQPM.

???QP=QM.

???△QPM是等腰三角形.

解法四△QPM是等腰三角形.

證明:如圖5-5所示，取AD的中點(diǎn)E,連接NE,NB,則AE=|/D.

.??四邊形ABCD是正方形，

???乙ABC=/-BAD=^°,AD^BC,AD=BC.

：.ZABP=90°,ZADP=ZDPC.

???點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，

i

：,BM=-BC.

2

VAD=BC,

???AE=BM.

?點(diǎn)N,點(diǎn)E分別為AP,AD中點(diǎn)，

???NE〃PD.

?.,在R3ABP中，點(diǎn)N為AP的中點(diǎn)，

i

NB=-2AP=NP=NA.

.\ZNAB=ZNBA.

/.ZNAE=ZNBM.

SANAE和ANBM中,

(NA=NB,

\ANAE=乙NBM,

(AE=BM,

：.ANAE^ANBM.

/.ZAEN=ZBMN.

XVNE//PD.

ZAEN=ZADP=ZDPC.

，ZBMN=ZDPC.

.\QP=QM.

.-.△QPM是等腰三角形.

解后反思我們經(jīng)常根據(jù)“等角對等邊”來證明三角形是等腰三角形，進(jìn)而證明兩角相等，可以通過這兩角所在的兩個(gè)三角形全

等來證明；或者計(jì)算這兩角的同名三角函數(shù)值，根據(jù)“在銳角范圍內(nèi)，兩個(gè)角同名三角函數(shù)值相等，則這兩角相等”這一結(jié)論來證明.

當(dāng)然，還可以依據(jù)其他結(jié)論為兩角相等的幾何定理來證明.

舉一反三

1.我們知道一個(gè)圖形的性質(zhì)和判定之間有著密切的聯(lián)系.比如，由等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”容易得到它的判定“等角對等邊”.小明在

學(xué)完“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合”性質(zhì)后，得到如下三個(gè)猜想：

(1)若一個(gè)三角形一邊的中線和這邊上的高相互重合，則這個(gè)三角形是等腰三角形；

⑵若一個(gè)三角形一邊的高和這邊所對的角的平分線相互重合，則這個(gè)三角形是等腰三角形；

⑶若一個(gè)三角形一邊的中線和這邊所對的角的平分線相互重合，則這個(gè)三角形是等腰三角形.

我們運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì),容易證明猜想⑴的正確性.現(xiàn)請你幫助小明判斷他的猜想⑵、(3)是否成立？若成立，請結(jié)合圖形，

寫出已知、求證和證明過程；若不成立，請舉反例說明.

2.我們都知道，在等腰三角形中有等邊對等角(或等角對等邊)，那么在不等腰三角形中邊與角的大小關(guān)系又是怎樣的呢？讓我們來探究一

下.

如圖5-6所示，在AABC中,已知.AB>4。猜想乙B與/C的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

證明：猜想/C>NB,對于這個(gè)猜想我們可以這樣來證明：

在AB上截取AD=AC,連接CD.J

AB>AC,.,.點(diǎn)D必在NBCA的內(nèi)部，/

.SCA>"D

AD=AC,ZACD=ZADC.

又T/ADC是ABCD的一個(gè)夕卜角,.：圖5-6

ZBCA>ZACD>ZB.gpZC>ZB.

上面的探究過程是研究圖形中不等量關(guān)系證明的一種方法，將不等的線段轉(zhuǎn)化為相等的線段，由此解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.

請你仿照類比上述方法，解決下面問題：

⑴如圖5-7所示，在AABC中，已知AOBC,猜想NB與NA的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖5-8所示，在AABC中，已知NC>NB,猜想AB與AC的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)根據(jù)前面得到的結(jié)果，請你總結(jié)出三角形中邊、角不等關(guān)系的一般性結(jié)論.

3.在AABC中,AB=BC,BD_LAC于點(diǎn)D.

⑴如圖5-9所示，當(dāng)NABC=90。時(shí),若CE平分NACB,交AB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F.

①求證:ABEF是等腰三角形；

②求證:BD=|(BC+BF).

⑵點(diǎn)E在AB邊上，連接CE若BD4(BC+BE),在圖5-10中補(bǔ)全圖形，判斷NACE與NABC之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并

寫出求解NACE與NABC關(guān)系的思路.

解題策略問題⑴①比較簡單，將ABEF的各角度數(shù)求出即可；②要證明BD=/BC+BF),可先轉(zhuǎn)化為2BD=BC+BF,只需找到一點(diǎn)

M.使BM=BC,則EM=EB+BC,利用中位線2BD=CM,再證CM=EM,NBMC=45唧得證問題⑵可仿照對問題⑴的求解思路進(jìn)行.

解如圖5-9所示，在AABC中,AB=BC,BD_LAC于點(diǎn)D.

，ZABD=ZCBD,AD=CD.

(1)證明:①；ZABC=90°,AB=BC,

ZACB=ZCAB=45°.

：CE平分NACB,

???Z.ECB=AACE=-AACB=22.5

2

NBEF=/CFD=NBFE=67.5。.

???BE=BF.

???△BEF是等腰三角形.

②證法一如圖5-11所示延長AB至點(diǎn)M,使得BM=BA,連接CM.

VBM=BA,AD=CD,

M

：?BDCM.BD=-CM.

2

AZBCM=ZCBD.

由①，知NABC=90。.

:.NABD=NCBD=45。.

???BD〃CM,

???NABD=NM=45。.

:.ZBCM=ZCBD=ZABD=ZM=45°.

ABC=BM.

VBD/7CM,

/.MC_LAC,ZMCA=90°.

由①知NACE=22.5。，

???ZMCE=90°-22.5°=67.5°.

ZBEF=ZMCE.

???ME=MC.

ii

-,?BD=-CM=-ME

22

=|(BM+BE),

BD=|(BC+BF).

證法二如圖5-11所示.過點(diǎn)C作CM〃BD.交AB的延長線于點(diǎn)M.

.,.MCIAC,?.ZACM=90°.

由①，得乙4cB=45°,

ZM=45°,.\ZACB=ZM.

.\AC=MC.

...△ACM是等腰直角三角形.

VD是AC中點(diǎn)且BD〃MC,

ABD是AACM的中位線.

BD=-2CM.

以下同證法一.

證法三如圖5-12所示過點(diǎn)F作FH_LBC,交BC于點(diǎn)H.

:EC平分NACB,:.FD=FH.

設(shè)FD=FH=x.

VFH±BC,

ZFHB=90°.

由①狷NCBD=45。，

:.ZHBF=ZHFB=45°,HB=HF.

???△HBF是等腰直角三角形.

BF=BE=V2x,CD=BD=BF+FD=y/2x+x.

在4FDC和AHFC中,

(乙DCF=乙BCF,

\^FDC=乙FHC,

(FC=FC,

???△FDC且△HFC.

.\DC=HC=V2x+x,BF+BC=BF+BH+HC=2(&x+x)=2BD.

:.BD=|(BC+5F).

證法四如圖5-13所示過點(diǎn)E作EM_LAC,交AC于點(diǎn)M,即NEMA=NEMO90。.

???ZA=45°,ZAEM=45°.AZA=ZAEM.

JAM=ME.

?.?CE是NACB的平分線

:.NBCE=NACE,EM=BE=AM.

在RtAEMC和RtAEBC中，

|EM=EB,

ARtAEMC^RtAEBC.

:.MC=BC,AOAM+MC=BE+BOBF+BC.

???BD=^AC,

ABD=^BC+BF).

證法五如圖5-14所示，延長BD至點(diǎn)M,使DM=BD,連接CM.

由題易得4ABC是等腰直角三角形,BD_LAC,

易得4MCB是等腰直角三角形,BC=MC,AB〃MC.

又「ZBEF=ZBFE=ZMFC=67.5°,

ZMCF=ZFCD+ZMCD=22.5°+45°=67.5°,

:.ZMFC=ZMCF.

???MF=MC.

圖5-14

???△MFC是等腰三角形.

:.BM=2BD=BF+MF=BF+BC.

即BD+

(2)〃CE=沁3。.

如圖5-15，與問題⑴②的證法一同理可證BDPC,BD=\PC,BP=BC.

由BO=[(3C+可知APECffiABEF分另!J是等月要三角形.

ZBEF+ZBFE+ZEBF=180°,ZFCD+ZDFC=90°,

XVZBFE=ZDFC,

???乙EBF=2乙FCD=2Z,ACE=-/-ABC.

2

???/-ACE=-/-ABC.圖5-15

4

解后反思在問題⑴②中，證法一和證法二都是利用中點(diǎn)構(gòu)造中位線，它們的不同點(diǎn)在于證法一倍長AB,證法二則是構(gòu)造平

行線；證法三引入?yún)?shù)，這也是解決圖形數(shù)量關(guān)系的常用方法；證法四利用角平分線的性質(zhì)，體現(xiàn)軸對稱思路；證法五倍長中線，體

現(xiàn)旋轉(zhuǎn)思路.

舉一反三

1.已知AACB和ADCE均為等腰三角形點(diǎn)A,D,E在同一條直線上,連接BE.

⑴如圖5-16所示，若/.CAB=2LCBA=乙CDE=乙CED=50。,則

①求證:AD=BE;

②求"E8的度數(shù)

（2）如圖5-17所示，若乙4cB=乙DCE=120°,CM為△DCE中DE邊上的高,BN為AABE中AE邊上的高，試證明:AE=2V3CM+

爭N.

2.在△ABC中,CA=CB,CD為AB邊的中線，點(diǎn)P是線段AC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），過點(diǎn)P作PE交CD于點(diǎn)E,使乙CPE=|4。4昆過點(diǎn)

C作（CG1PE交PE的延長線于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G.

⑴若N4CB=90。,則

①如圖5-18所示，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并指出與△CDG全等的一個(gè)三角形；

②如圖5-19所示，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合時(shí)，求黑的值；

⑵如果NCAB=a，如圖5-20所示.請直接寫出啜的值.（用含a的式子表示）

第3題

在AABC中,NABC=45o,AB^BC,BE_LAC于點(diǎn)E,AD±BC于點(diǎn)D.

⑴如圖5-21所示，作NADB的平分線DF,交BE于點(diǎn)F,連接AF.求證:NFAB=NFBA;

⑵如圖5-22所示，連接DE,點(diǎn)G與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對稱，連接DG,EG.

①依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段AE,BE,DG之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

解題策略⑴由分析可得AADB為等腰三角形，且DF為NADB的角平分線，因此可證AADF和ABDF對稱全等，從而得出

角度相等；

⑵通過簡單測量，可以發(fā)現(xiàn)：BE=AE+DG.利用“截長補(bǔ)短法”解題.

考慮“截長”，可以直接“截長”，在BE上截取BH=AE,連接DH,證明.DG=EH（如證法一）;或在BE上截取EH=AE,連接AH,通過

△AED與AAHB的旋轉(zhuǎn)相似關(guān)系證明（如證法二）也可以間接“截長”，過點(diǎn)D作DH±DE交BE于點(diǎn)H,證明.AE=BH,EH=DG（如證法

三）.還可以考慮“補(bǔ)短”（如證法四）.

解⑴證明:如圖5-23所示,TAD_LBC,NABC=45。，

，ZBAD=45°.

ZABC=ZBAD.

/.AD=BD.

：DF平分NADB,

.?.Z1=Z2.

在AADF和ABDF中，

(AD=BD,

■.jzl=z2,

[DF=DF,

/.△ADF^ABDE

.,.AF=BF.

.,.ZFAB=ZFBA.

⑵①補(bǔ)全圖形，如圖5-24所示；

②數(shù)量關(guān)系是GD+AE=BE.

證法如圖5-25所示，在BE上截取BH=4E,連接DH.

VBE1AC于點(diǎn)E,AD1BC于點(diǎn)D,

???Z.EAD+ZC=90°,AHBD+NC=90°.

.,.ZEAD=ZHBD.

???乙ABC=45°,

/,DAB=/.ABC=45°.

???AD=BD.

在△區(qū)40和△HBD中,

(AE=BH,

\^EAD=乙HBD,

(AD=BD,

:?△EAD且△HBD.

，ED二HD.

???ZDEB=ZEHD.

點(diǎn)G與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對稱，

:.DG_LAC,NGEC=NDEC,EG二ED.

.?.GD〃BE.

VBE±AC于點(diǎn)E,AD±BC于點(diǎn)D,

/.ZAEB=ZADB=90°.

??.A,E,D,B四點(diǎn)共圓.

.,.ZDEB=ZDAB=45°,

，ZGEC=ZDEC=45°,ZDEB=ZEHD=45°.

NGED=NEDH=90。.

???GE〃DH.

.??四邊形GEHD是平行四邊形.

ADG=EH.

:.BE=EH+BH=DG+AE.

證法二如圖5-26所示，在EB上截取EH二AE,連接AH.

易知NEAH=NDAB=45。，

??.NEAD=NHAB.

EA_AD_1

'AH~AB-y/2"

AAAED^AAHB.

:.AAED=乙AHB,BH=mED.

根據(jù)“等角的補(bǔ)角相等”可得MED=4AHE=45°.

點(diǎn)G與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對稱，

???Z-DEG=90°,GE=DE.

???△GED為等腰直角三角形.

DG=V2ED=BH.

:.BE=BH+HE=DG+AE.

證法三如圖5-27所示過點(diǎn)D作.DH1DE交BE于點(diǎn)H.

A

???/.ADE+Z-ADH=90°.

VAD±BC,

???乙BDH+乙ADH=90°.

AZADE=ZBDH.

vAD1BC,BE1AC,Z-AKE=乙BKD,圖5-27

：.ZDAE=ZDBH.

SAADE和ABDH中，

Z-DAE=乙DBH,

AD=BD,

AADE=乙BDH,

.,.△ADE^ABDH.

???DE=DH,AE=BH.

VDH±DE,

:.ZDEH=ZDHE=45°.

VBE±AC,

:.NDEO45。.

點(diǎn)G與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對稱,

???AC垂直平分GD.

/.GD//BE,ZGEC=ZDEC=45°.

???ZGED=ZEDH=90°.

???GE〃DH.

???四邊形GEHD是平行四邊形.

?'GD=EH.

:.BE=EH+HB=DG+AE.

證法四如圖5-28所示過點(diǎn)D作DH_LDE,交AC的延長線于點(diǎn)H,連接GH.

類比證法三，可證義

^ADHZ\BDE,DH=DE,AH=BE.H圖5-28

點(diǎn)G與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對稱,

AAC垂直平分DG,

/.EG=ED.

又〈DE=DH,

???GH=HD=DE=EG.

?/ZEDH=90°,

???四邊形EGHD是正方形,DG=EH.

BE二AH=AE+EH=AE+DG.

解后反思在幾何綜合題的分析上，要注意模式識別，通過已經(jīng)解過的與之相似的題目，獲取有效的解題經(jīng)驗(yàn).如本題中在證

明三條線段數(shù)量關(guān)系時(shí)，“截長補(bǔ)短”是常見的解題思路.而“截長補(bǔ)短”的處理方法不同，解題難度也會相差比較大，因此在思路受阻時(shí)

要嘗試使用新的處理問題的方法.

舉一反三

1.在2kABC中,AB=AC,乙4=60。,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),作射線DE與邊AB交于點(diǎn)E,射線DE繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。,與直線AC

交于點(diǎn)F.

⑴依題意將圖5-29補(bǔ)全；

⑵小華通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)E運(yùn)動的過程中，始終有DE=DF.請幫助小華證明DE=DF;

⑶在點(diǎn)E運(yùn)動的過程中，直接寫出BE,CF,AB之間的數(shù)量關(guān)系.

2.在等邊三角形ABC外側(cè)作直線AP,點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為D.連接BD,CD,其中CD交直線AP于點(diǎn)E.

(1)依題意補(bǔ)全圖5-29;

(2)若APAB=30。,求〃CE的度數(shù)；

⑶如圖5-30所示，若(60。<^PAB<120°,,判斷由線段AB,CE,ED可以構(gòu)成一個(gè)含有多少度角的三角形，并證明.

圖5-31

第4題

如圖5-32所示，"BD=^ACD=60°,Z.ADB=90°-|/BDC,求證：△ABC是等腰三角形.

解題策略本題證法較多,關(guān)鍵在于利用已知條件乙4DB=90。-亞3。。,為此，既可用構(gòu)造全等三角形，又可以用構(gòu)造正三

角形，同時(shí)還可以用相似形和圓的有關(guān)性質(zhì)來證明.

證法一如圖5-33所示，以AC為邊在△48c外作正三角形ACE,則點(diǎn)D在CE上，且.AC=AE.^E=60°.

?"DB=90

???^ADE=180°-乙ADB-乙BDC

=180。-90?+亞BDC-BDC

圖5-32

1

=90°--^2BDC

=ZADB.

在AADB和AADE中,

(Z.ABD=ZE=60°,

AADB=/.ADE,

(AD=AD,

.'.△ADB^AADE.

???AB=AE.

??.AB=AC,即4ABC是等月要三角形.

證法二如圖5-34所示，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作弧交BD于點(diǎn)E,則AE=AD,NAED=NADB.

1

???乙ADB=900-*DC,

???2匕ADB=180°-乙BDC,

即NADB+NADB+NBDO180。.

/.ZADB+ZADC=180°.

VZAED+ZAEB=180°,

ZADC=ZAEB.

圖5-34

在4AEB和AADC中，

ZABE=Z-ACD=60°,

Z.AEB=Z.ADC,

AE=AD,

：.AAEB^AADC.

??.AB=AC,KPAABC是等月要三角形.

證法三如圖5-35所示，設(shè)AC,BD相交于點(diǎn)E.

?/ZABD=ZACD=60°,ZAEB=ZCED,

AAAEB^ADEC.

ex--AEDE

Z.BAC=Z.BDC,—=—.

BECE

又「ZAED=ZBEC,

.,.△AED^ABEC.

AZADB=ZACB.

1

???Z.ADB=90°--Z.BDC,

???2/.ADB=180°-Z-BDC,

即2乙ACB=180°-乙BDC.

又:AABC+/-ACB=180°-/-BAC=180°-乙BDC,

ZABC=ZACB,SPAABC是等腰三角形.

證法四如圖5-36所示,???NABD=NACD,

???A,B,C,D四點(diǎn)共圓.

:.ZADB=ZACB,ZBDC=ZBAC.

圖5-36

1

???^ADB=90°2ABDC,

???/.ACB=90°--A2BAC.

.,.2ZACB+ZBAC=180°.

XVZABC+ZACB+ZBAC=180°,

.?.ZABC=ZACB.

.\AB=AC.

AABC是等腰三角形.

解后反思本題中幾種證法的關(guān)鍵都是利用已知條件N4DB=90°-證法一構(gòu)造了一個(gè)正三角形，證法四是利用圓

的性質(zhì)，它們都是化為平角.證法二構(gòu)造了全等三角形，化為三角形內(nèi)角和問題，證法三是利用相似三角形直接計(jì)算.從證法二、三、

四還可以看出，將題中條件“NABD=NACD=60?！备臑?4BD=乙ACD"，,命題結(jié)論依然成立.

舉一反三

1.如圖5-37所示,在AABC中,.乙BAC=90°,AB=AC,N4BC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CE±BD交BD的延長線于點(diǎn)E,求證:

CE=\BD.

圖5-37

2.在正方形ABCD外側(cè)作直線AP,點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為E.連接BE.DE,其中DE交直線AP于點(diǎn)F.

(1)依題意補(bǔ)全圖5-38;

(2)若NP4B=20。,求乙4DF的度數(shù)；

(3)如圖5-39所示，若45°<4PAB<90°,,用等式表示線段AB,FE,FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖5-38圖5-39

第5題

在等腰三角形ABC中，

（1）如圖5-40所示，若△4BC為等邊三角形，D為線段BC的中點(diǎn)，線段AD關(guān)于直線AB的對稱線段為線段AE，連接DE,則.

NBDE的度數(shù)為一；

（2）若△4BC為等邊三角形，點(diǎn)D為線段BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），連接AD并將線段AD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（60。得

到線段DE,連接BE.

①根據(jù)題意在圖5-41中補(bǔ)全圖形；

②在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中，求證：（CD=BE-

⑶如圖5-42所示，若4B=AC=kBC.AD=kDE,且AADE=此時(shí)BE,BD,AC三者之間滿足一定的數(shù)量關(guān)系，這個(gè)數(shù)量關(guān)系

是.（直接給出結(jié)論,無需證明）

解題策略要證明CD=BE,只需要連接AE,并證明A4DC三AAEB;;或過點(diǎn)D作DF〃AB,交AC于點(diǎn)F,證明AADF三段

DEB;或延長CB至點(diǎn)G，使彳導(dǎo).BG=CD,證明AADC注Z\DEG.

解⑴30。.

⑵①補(bǔ)全圖形，如圖5-43所示.

②證法一如圖5-44,連接AE.

,.?AD=DE,ZADE=60°,

AADE為等邊三角形.

VAABC為等邊三角形，

，ZEAB=ZDAC,AB=AC,AE=AD.

AEAB^ADAC.

.,.CD=BE.

證法二如圖5-45所示過點(diǎn)D作DF〃AB,交AC于點(diǎn)F.

???△ABC為等邊三角形，

.?.AC=BC,ZBAC=60°.

又?.?DF〃AB,

，ZDFC=60°.

.,.△CDF為等邊三角形.

.,.AF=BD.

???ZADE=ZACB=ZABC=60°,

又因?yàn)镹DAF+NC+NADC=NEDB+NADE+NADO180。.

:.ZDAF=ZEDB.

又??，AD=DE,

AAADF^ADEB.

ADF=BE=CD.

證法三如圖5-46所示，延長CB至點(diǎn)G,使BG=CD.

???△ABC為等邊三角形，

???AC=BC,NBAC=60。.

VCD=BG,

???DG=AC.

NADE=NACB=NABC=60。,又：ZDAC+ZC+ZADC=ZEDG+ZADE+ZADC=180°.

:.ZDAC=ZEDG.

又??，AD=DE,

AAADC^ADEG.

:.CD=EG=BG,ZC=ZG=60°.

**?ABGE為等邊三角形.

ABE=BG=CD.

(3)k(BE+BD)=AC.

解后反思等邊三角形的三條邊相等，三個(gè)內(nèi)角相等，所以我們說等邊三角形是最完美的三角形.等邊三角形的這一性質(zhì)使得

通過構(gòu)造等邊三角形更利于在已知和未知之間架起一座橋梁，使分散的未知和已知條件更好地融合起來，再利用等邊三角形的性質(zhì)和

判定定理能有效地解決有關(guān)邊和角的數(shù)量關(guān)系問題.

舉一反三

1.如圖5-47SITU\,D是aABC夕卜一點(diǎn),AB=AC=BD+CD,NABD=60。.求NACD的度數(shù).

圖5-47

2.如圖5-48所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,延長邊AB到點(diǎn)D,延長邊CA到點(diǎn)E,連接DE，恰好有4。=BC=CE=。瓦求證：.

ABAC=100°.

E

A

圖5-48

第6題

如圖5-49所示，在4ABC中,AB=AC,P是底邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作.PD1AB于點(diǎn)D,PE±AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF±AC于點(diǎn)F.

求證:PD+PE=BF.

解題策略因?yàn)镻D1_AB,PE_LAC,BF_LAC,垂足D,E,F都在△ABC的腰上，要證PD+PE=BF,只要能找出這三條線段分別屬于

哪個(gè)三角形即可；或者連接AP，把AABC分成兩個(gè)三角形：4ABP和4ACP,并通過這兩個(gè)三角形的面積和與原來的等腰三角形的面

積相等來證明.止矽卜，根據(jù)要證明的等式，可以考慮“截長補(bǔ)短”法證明.彳

證法一如圖5-50所示過點(diǎn)P作PH1BF于點(diǎn)H,易證四邊形PEFH是矩形./\

???PE=HF,HP〃AC,

/.ZC=ZHPB.

VAB=AC,

/.ZABC=ZC,

AZABC=ZHPB.

VPD±AB于點(diǎn)D,

NBDP二NPHB=90。.

SABDP^DAPHB中，

ZBDP=乙PHB,

乙DBP=Z-HPB,

BP=PB,

.'.△BDP^APHB.

APD=BH.

???PD+PE=BH+HF=BF.

證法二如圖5-51所示，連接AP.

VPD1AB于點(diǎn)D,PE，AC于點(diǎn)E,BF±AC于點(diǎn)F,

???SABP=-PD,SACP=|i4C-PE,SABC=\AC-BF.

■:SAABC=SAABP+SAACP,

111

-2AC-BF=2-AB?PD2+-AC-PE.

又TAB=AC,

.\PD+PE=BE

解后反思等面積法就是利用面積關(guān)系確定面積關(guān)系式.如要證一個(gè)關(guān)于線段或角度相等的關(guān)系式，可以根據(jù)圖形，先建立一

個(gè)面積關(guān)系式，再由面積關(guān)系式中找出線段或角度的關(guān)系式，進(jìn)而解決問題.

舉一反三

1.