浙江省杭州市名校協(xié)作體2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

浙江省杭州市名校協(xié)作體2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)變量滿足約束條件：，則的最小值（）A． B． C． D．2．已知圓，直線，點(diǎn)在直線上．若存在圓上的點(diǎn)，使得（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的取值范圍是A． B． C． D．3．已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，令，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則時(shí)，的值是（）A．10 B．120 C．130 D．1404．甲、乙、丙三人隨機(jī)排成一排，乙站在中間的概率是（）A． B． C． D．5．已知＝4，＝3，，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．在數(shù)列中,,則數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值是（）A．136 B．140 C．144 D．1487．函數(shù)在的圖像大致為A． B．C． D．8．設(shè)，則（）A． B． C． D．9．如圖，在矩形中，，,點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，則的最大值是()A． B． C． D．10．函數(shù)則＝（）A． B． C．2 D．0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知六棱錐的底面是正六邊形，平面，.則下列命題中正確的有_____．(填序號(hào))①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直線PD與平面ABC所成的角為45°.12．已知求______________.13．已知等比數(shù)列的公比為，關(guān)于的不等式有下列說(shuō)法：①當(dāng)吋，不等式的解集②當(dāng)吋，不等式的解集為③當(dāng)>0吋，存在公比，使得不等式解集為④存在公比，使得不等式解集為R.上述說(shuō)法正確的序號(hào)是_______.14．實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最大值為_(kāi)_______.15．在四面體ABCD中，平面ABC，，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_(kāi)______．16．已知，，若，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且，求的取值范圍．18．已知一個(gè)幾何體是由一個(gè)直角三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的．若該三角形的周長(zhǎng)為12米，三邊長(zhǎng)由小到大依次為a，b，c，且b恰好為a，c的算術(shù)平均數(shù)．（1）求a，b，c；（2）若在該幾何體的表面涂上一層油漆，且每平方米油漆的造價(jià)為5元，求所涂的油漆的價(jià)格．19．有同一型號(hào)的汽車100輛，為了解這種汽車每耗油所行路程的情況，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽出10輛，在同一條件下進(jìn)行耗油所行路程的試驗(yàn)，得到如下樣本數(shù)據(jù)(單位：km)：13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，并分組如下：(1)完成上面的頻率分布表；(2)根據(jù)上表，在坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖.20．如圖，是邊長(zhǎng)為2的正三角形.若，平面，平面平面，，且.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角、的終邊分別與單位圓交于、兩點(diǎn).（1）如果，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值；（2）已知點(diǎn)，函數(shù)，若，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

如圖作出可行域，知可行域的頂點(diǎn)是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，當(dāng)經(jīng)過(guò)A時(shí)，的最小值為-8，故選D.2、B【解析】

根據(jù)條件若存在圓C上的點(diǎn)Q,使得為坐標(biāo)原點(diǎn)),等價(jià)即可,求出不等式的解集即可得到的范圍【詳解】圓O外有一點(diǎn)P,圓上有一動(dòng)點(diǎn)Q,在PQ與圓相切時(shí)取得最大值.

如果OP變長(zhǎng),那么可以獲得的最大值將變小.可以得知,當(dāng),且PQ與圓相切時(shí),,

而當(dāng)時(shí),Q在圓上任意移動(dòng),存在恒成立.

因此滿足,就能保證一定存在點(diǎn)Q,使得,否則,這樣的點(diǎn)Q是不存在的，

點(diǎn)在直線上,,即

,

,

計(jì)算得出,,

的取值范圍是，

故選B.考點(diǎn)：正弦定理、直線與圓的位置關(guān)系.3、B【解析】

根據(jù)冪函數(shù)所過(guò)點(diǎn)求得冪函數(shù)解析式，由此求得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法求得的表達(dá)式，解方程求得的值.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，將代入得，所以.所以，所以，故，由解得，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查冪函數(shù)解析式的求法，考查裂項(xiàng)求和法，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

先求出甲、乙、丙三人隨機(jī)排成一排的基本事件的個(gè)數(shù)，再求出乙站在中間的基本事件的個(gè)數(shù)，再求概率即可.【詳解】解：三個(gè)人排成一排的所有情況有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6種，乙在中間有2種，所以乙在中間的概率為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型，屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】

由已知中，，，我們可以求出的值，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的夾角公式，求出，，進(jìn)而得到向量與的夾角；【詳解】，，，，，所以向量與的夾角為.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

可得數(shù)列為等差數(shù)列且前8項(xiàng)為正數(shù)，第9項(xiàng)為0，從第10項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，可得前8或9項(xiàng)和最大，由求和公式計(jì)算可得．【詳解】解：∵在數(shù)列中,，

，即數(shù)列為公差為?4的等差數(shù)列，

，

令可得，

∴遞減的等差數(shù)列中前8項(xiàng)為正數(shù)，第9項(xiàng)為0，從第10項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，

∴數(shù)列的前8或9項(xiàng)和最大，

由求和公式可得

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的判定，屬基礎(chǔ)題．7、C【解析】

由解析式研究函數(shù)的性質(zhì)奇偶性、特殊函數(shù)值的正負(fù)，可選擇正確的圖象．【詳解】易知函數(shù)（）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可排除BD，時(shí)，，可排除A．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，解題方法是由解析式分析函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)的極值、最值、特殊值、函數(shù)的值的正負(fù)等等．8、D【解析】

由得，再計(jì)算即可.【詳解】，，所以故選D【點(diǎn)睛】本題考查了以數(shù)列的通項(xiàng)公式為載體求比值的問(wèn)題，以及歸納推理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

把線段最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，建立函數(shù)表達(dá)式，從而求得最值.【詳解】設(shè)，，，，，，，，，，的最大值是.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，建立合適的函數(shù)關(guān)系式是解決此題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的分析能力及數(shù)學(xué)建模能力.10、B【解析】

先求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】依題意，，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)求值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②④【解析】

利用題中條件，逐一分析答案，通過(guò)排除和篩選，得到正確答案．【詳解】∵AD與PB在平面的射影AB不垂直，∴①不成立；∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，在正六邊形ABCDEF中，AB⊥AE，PAAE=A，∴AB⊥平面PAE，且AB面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故②成立；∵BC∥AD∥平面PAD，平面PAD平面PAE=PA，∴直線BC∥平面PAE也不成立，即③不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故④成立．故答案為②④．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，解題時(shí)要注意直線與平面成的角、直線與平面垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．12、23【解析】

直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解.【詳解】由題得.故答案為23【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.13、③【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解不等式后可得結(jié)論．【詳解】由題意，不等式變?yōu)?，即，若，則，當(dāng)或時(shí)解為，當(dāng)或時(shí)，解為，時(shí)，解為；若，則，當(dāng)或時(shí)解為，當(dāng)或時(shí)，解為，時(shí)，不等式無(wú)解．對(duì)照A、B、C、D，只有C正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查解一元二次不等式，難點(diǎn)是解一元二次不等式，注意分類討論，本題中需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分正負(fù)，然后以要對(duì)兩根分大小，另外還有一個(gè)是相應(yīng)的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)解分類（本題已經(jīng)有兩解，不需要這個(gè)分類）．14、【解析】

根據(jù)約束條件，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式，找到其在軸截距的最大值，得到答案.【詳解】由約束條件，畫出可行域，如圖所示，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，聯(lián)立，解得，即，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求最大值，屬于簡(jiǎn)單題.15、【解析】

易得四面體為長(zhǎng)方體的一角,再根據(jù)長(zhǎng)方體體對(duì)角線等于外接球直徑,再利用對(duì)角線公式求解即可.【詳解】因?yàn)樗拿骟w中,平面,且,.故四面體是以為一個(gè)頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體一角.設(shè)則因?yàn)樗拿骟w的外接球的表面積為,設(shè)其半徑為,故.解得.故四面體的體積.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了長(zhǎng)方體一角的四面體的外接球有關(guān)問(wèn)題,需要注意長(zhǎng)方體體對(duì)角線等于外接球直徑.屬于中檔題.16、【解析】

首先令，分別把解出來(lái)，再利用整體換元的思想即可解決．【詳解】令所以令，所以所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了整體換元的思想以及對(duì)數(shù)之間的運(yùn)算和公式法解一元二次方程．整體換元的思想是高中的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考?？嫉膬?nèi)容需重點(diǎn)掌握．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；（2）分段討論討論函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù)，函數(shù)在時(shí)，至多有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在時(shí)，可能僅有一個(gè)零點(diǎn)，可能有兩個(gè)零點(diǎn)，分別求出的取值范圍，可得解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為增函數(shù)，且；當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又由函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為；故當(dāng)時(shí)，最小值為．（2）因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以（ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，令得，因?yàn)闀r(shí)，，所以時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為且，此時(shí)需函數(shù)在時(shí)也恰有一個(gè)零點(diǎn)，令，即，得，令，設(shè)，，因?yàn)?，所以，，，?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減；而當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，所以要使在時(shí)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則需，要使函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且，設(shè)在時(shí)的零點(diǎn)為，則需，而當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，并且滿足；（ⅱ）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足，也符合題意，而由（ⅰ）可得，要使當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，則，要使函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則，但不能滿足，所以沒(méi)有的范圍滿足當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足，綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍為．故得解.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)與方程，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的綜合應(yīng)用，屬于難度題，關(guān)鍵在于分析分段函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，以及其圖像趨勢(shì)，可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方便求解，注意在討論二次函數(shù)的根的情況時(shí)的定義域?qū)ζ涞挠绊懀?8、（1）3，4，1；（2）元．【解析】

（1）由題意，根據(jù)周長(zhǎng)、三邊關(guān)系、勾股定理，a，b，c，建立方程組，解得即可.（2）根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)得到的幾何體為由底面半徑為米，母線長(zhǎng)分別為米3和4米的兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，計(jì)算幾何體的表面積再乘單價(jià)即可求解.【詳解】（1）由題意得，，所以，又，且，二者聯(lián)立解得，，所以a，b，c的值分別為3，4，1．（2）繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為由底面半徑為米，母線長(zhǎng)分別為米3和4米的兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，故其表面積為平方米．因?yàn)槊科椒矫子推岬脑靸r(jià)為1元，所以所涂的油漆的價(jià)格為元．所涂的油漆的價(jià)格為：元．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系及旋轉(zhuǎn)體表面積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）通過(guò)所給數(shù)據(jù)算出頻數(shù)和頻率值，并填入表格中；（2）計(jì)算每組數(shù)中的頻率除以組距的值，再畫出直方圖.【詳解】(1)頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[12.45,12.95)20.2[12.95,13.45)30.3[13.45,13.95)40.4[13.95,14.45)10.1合計(jì)101.0(2)頻率分布直方圖如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表和頻率分布直方圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力.20、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，由平面平面，得平面，再證即可證明（2）證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理從而進(jìn)行證明．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋遥?所以，.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又平面，所以又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）連接，由（1）知，又，，所以四邊形是平行四邊形，所以.又是正三角形，為的中點(diǎn)，∴，因?yàn)槠矫?/p>