江西省上饒市橫峰中學(xué)、鉛山一中、余干一中2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

江西省上饒市橫峰中學(xué)、鉛山一中、余干一中2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，則等于()A． B． C． D．2．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為()A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元3．某學(xué)校美術(shù)室收藏有6幅國畫，分別為人物、山水、花鳥各2幅，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2幅進(jìn)行展覽，則恰好抽到2幅不同種類的概率為（）A． B． C． D．4．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（）A．異面直線與所成的角為45° B．平面C．平面平面 D．異面直線與所成的角為45°5．化簡=（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（）A．1 B． C． D．7．在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，則＝A． B． C． D．8．在△ABC中，已知tan＝sinC，則△ABC的形狀為()A．正三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形9．如圖，在正方體中，已知，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角等于（）A．90° B．60°C．45° D．30°10．一個(gè)球自高為米的地方自由下落，每次著地后回彈高度為原來的，到球停在地面上為止，球經(jīng)過的路程總和為（）米A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．求的值為________．12．函數(shù)的值域?yàn)開_____.13．已知函數(shù)，有以下結(jié)論：①若，則；②在區(qū)間上是增函數(shù)；③的圖象與圖象關(guān)于軸對稱；④設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論為__________．14．已知等比數(shù)列中，，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和＝________．15．某中學(xué)初中部共有名老師，高中部共有名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為__________．16．已知，，且，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，已知四棱錐，底面為菱形，，,平面，分別是的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若為上的動點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．18．如圖，在直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：．19．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移()個(gè)單位長度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱．求的最小值20．如圖，在長方體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面的夾角．21．如圖，已知四棱錐的側(cè)棱底面，且底面是直角梯形，，，，，，點(diǎn)在棱上，且.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

由條件可得a3＝a1+2a2，即a1q2＝a1+2a1q，解得q＝1．代入所求運(yùn)算求得結(jié)果．【詳解】∵等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，a3，2a2成等差數(shù)列，故公比q不等于1．∴a3＝a1+2a2，即a1q2＝a1+2a1q，解得q＝1．∴3+2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了整體化的運(yùn)算技巧，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】∵，∵數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，

回歸方程中的為9.4∴線性回歸方程是y=9.4x+9.1，

∴廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為9.4×6+9.1=65.5，

故選B．3、B【解析】

算出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率的計(jì)算公式可求概率.【詳解】設(shè)為“恰好抽到2幅不同種類”某學(xué)校美術(shù)室收藏有6幅國畫，分別為人物、山水、花鳥各2幅，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2幅進(jìn)行展覽，基本事件總數(shù)，恰好抽到2幅不同種類包含的基本事件個(gè)數(shù)，則恰好抽到2幅不同種類的概率為．故選B．【點(diǎn)睛】計(jì)算出所有的基本事件的總數(shù)及隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算即可.計(jì)數(shù)時(shí)應(yīng)該利用排列組合的方法.4、A【解析】

根據(jù)正方體性質(zhì)，依次證明線面平行和面面平行，根據(jù)直線的平行關(guān)系求異面直線的夾角.【詳解】根據(jù)正方體性質(zhì)，，所以異面直線與所成的角等于，，，所以不等于45°，所以A選項(xiàng)說法不正確；，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，所以平面，所以B選項(xiàng)說法正確；同理可證：平面，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面平面，所以C選項(xiàng)說法正確；，異面直線與所成的角等于，所以D選項(xiàng)說法正確.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查線面平行和面面平行的判定，根據(jù)平行關(guān)系求異面直線的夾角，考查空間線線平行和線面平行關(guān)系的掌握5、D【解析】

根據(jù)向量的加法與減法的運(yùn)算法則，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得=++==，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的加法與減法的運(yùn)算法則，其中解答中熟記向量的加法與減法的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】由圖象性質(zhì)可知，，解得，故選D。7、C【解析】分析：利用平面向量的減法法則及共線向量的性質(zhì)求解即可.詳解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查共線向量的性質(zhì)，平面向量的減法法則，屬于簡單題.8、C【解析】

解：因?yàn)檫xC9、B【解析】

連接，可證是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，求出此角即可．【詳解】連接，因?yàn)椋謩e為棱，的中點(diǎn)，所以，又正方體中，所以是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，是等邊三角形，＝60°．所以異面直線與所成的角為60°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，解題時(shí)需根據(jù)定義作出異面直線所成的角，同時(shí)給出證明，然后在三角形中計(jì)算．10、D【解析】

設(shè)球第次到第次著地這一過程中球經(jīng)過的路程為米，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由此可得出球經(jīng)過的路程總和為米.【詳解】設(shè)球第次到第次著地這一過程中球經(jīng)過的路程為米，則，由題意可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，球經(jīng)過的路程總和米.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，涉及到無窮等比數(shù)列求和問題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、44.5【解析】

通過誘導(dǎo)公式，得出，依此類推，得出原式的值．【詳解】，，同理，，故答案為44.5.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，得出是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

由反三角函數(shù)的性質(zhì)得到，即可求得函數(shù)的值域.【詳解】由，則，，又，，即，函數(shù)的值域?yàn)?故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查反三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13、②③④【解析】

首先化簡函數(shù)解析式，逐一分析選項(xiàng)，得到答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的周期為，，或，所以①不正確；②時(shí)，，所以是增函數(shù)，②正確；③函數(shù)還可以化簡為，所以與關(guān)于軸對稱，正確；④，當(dāng)時(shí)，，，④正確故選②③④【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題型.14、【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于等比數(shù)列中，，，則可知公比為，那么可知等比數(shù)列中，，，故可知，那么可知數(shù)列的前項(xiàng)和＝1=，故可知答案為．考點(diǎn)：等比數(shù)列點(diǎn)評：主要是考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的求和的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

由初中部、高中部男女比例的餅圖，初中部女老師占70%，高中部女老師占40%，分別算出女老師人數(shù)，再相加.【詳解】初中部女老師占70%，高中部女老師占40%，該校女教師的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】考查統(tǒng)計(jì)中讀圖能力，從圖中提取基本信息的基本能力.16、【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可求得；代入兩角和差正切公式即可求得結(jié)果.【詳解】本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和差正切公式的應(yīng)用，涉及到向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析；（2）【解析】

（1）證明，利用平面即可證得，問題得證．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接.當(dāng)與垂直時(shí)，與平面所成最大角，利用該最大角的正切值為即可求得，證明就是二面角的一個(gè)平面角，解即可．【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以為等邊三角形，又為中點(diǎn)所以，又所以因?yàn)槠矫妫矫嫠?，又所以平面?）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接當(dāng)與垂直時(shí)，與平面所成最大角.由（1）得，此時(shí).所以就是與平面所成的角.在中，由題意可得：,又所以.設(shè)，在中由等面積法得：解得：，所以因?yàn)槠矫妫矫嫠云矫嫫矫?，又平面平面，，平面所以平面，又平面所以，又，所以平面，所以所以就是二面角的一個(gè)平面角因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且所以，又所以在中，求得：,,由可得：,即：，解得：所以所以所以二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的證明，考查了轉(zhuǎn)化能力，還考查了線面角知識，考查了二面角的平面角作法，考查空間思維能力及解三角形，考查了方程思想及計(jì)算能力，屬于難題．18、(1)見詳解；（2）見詳解.【解析】

（1）連接AC1，設(shè)AC1∩A1C＝O，連接OD，可求O為AC1的中點(diǎn)，D是棱AB的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)可證OD∥BC1，根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可證平行四邊形ACC1A1是菱形，由其性質(zhì)可得AC1⊥A1C，利用線面垂直的性質(zhì)可證AB⊥AA1，根據(jù)AB⊥AC，利用線面垂直的判定定理可證AB⊥平面ACC1A1，利用線面垂直的性質(zhì)可證AB⊥A1C，又AC1⊥A1C，根據(jù)線面垂直的判定定理可證A1C⊥平面ABC1，利用線面垂直的性質(zhì)即可證明BC1⊥A1C．【詳解】（1）連接AC1，設(shè)AC1∩A1C＝O，連接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1是平行四邊形，所以：O為AC1的中點(diǎn)，又因?yàn)椋篋是棱AB的中點(diǎn)，所以：OD∥BC1，又因?yàn)椋築C1?平面A1CD，OD?平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：側(cè)面ACC1A1是平行四邊形，因?yàn)椋篈C＝AA1，所以：平行四邊形ACC1A1是菱形，所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因?yàn)椋篈B?平面ABC，所以：AB⊥AA1，又因?yàn)椋篈B⊥AC，AC∩AA1＝A，AC?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因?yàn)椋篈1C?平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因?yàn)椋篈C1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB?平面ABC1，AC1?平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因?yàn)椋築C1?平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．19、(1)，，．（2）.【解析】

(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式，二倍角公式，輔助角公式把化為的形式，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解；(2)先根據(jù)變換關(guān)系得到函數(shù)解析式，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則時(shí)，.【詳解】(1)當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移()個(gè)單位長度，所得函數(shù)為，若圖象關(guān)于軸對稱，則，即，解得，又，則當(dāng)時(shí)，有最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像的變換.關(guān)鍵在于化為的形式，三角函數(shù)的平移變換是易錯點(diǎn).20、(1)見證明；(2)見證明；(3)【解析】

（1）連接，交于，則為中點(diǎn)，連接OP，可證明，從而可證明直線平面；（2）先證明AC⊥BD，，可得到平面，然后結(jié)合平面，可知平面平面；（3）連接，由（2）知，平面平面，可知即為與平面的夾角，求解即可.【詳解】（1）證明：連接，交于，則為中點(diǎn)，連接OP，∵P為的中點(diǎn)，∴，∵OP?平面，?平面，∴平面；（2）證明：長方體中，，底面是正方形，則AC⊥BD，又⊥面，則．∵?平面，?平面，，∴平面．∵平面，∴平面平面；（3）解：連接，由（2）知，平面平面，∴即為與平面的夾角，在長方體中，∵，∴．在中，．∴直線與平面的夾角為．【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行、面面垂直的證明，考查了線面角的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算求解能力，屬于中檔題.