湖南省邵陽市2024屆高三上學期1月第一次聯(lián)考（一模）數(shù)學試題

湖南省邵陽市2024屆高三上學期1月第一次聯(lián)考（一模）數(shù)學試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合A={x∣x=3n+1，n∈N}，A．1 B．2 C．3 D．42．若i(1+z)=1（i為虛數(shù)單位），則z+zA．-2 B．-1 C．1 D．23．命題“?x∈R，A．?x∈R，x2C．?x∈R，x24．若拋物線y2=2px(p>0)上一點M(3A．34 B．43 C．235．城步苗族自治縣“六月六山歌節(jié)”是湖南省四大節(jié)慶品牌之一，至今已舉辦25屆.假設在即將舉辦的第26屆“六月六山歌節(jié)”中，組委會要在原定排好的10個“本土歌舞”節(jié)目中增加2個“歌王對唱”節(jié)目.若保持原來10個節(jié)目的相對順序不變，則不同的排法種數(shù)為（）A．110 B．144 C．132 D．1566．已知向量a=(t，2)，b=(2，?1).若A．52 B．?52 C．37．在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲?乙?丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.A．1529 B．78 C．588．已知a=10lg4，A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>b>a二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．已知平面直角坐標系中，M(?2，0)，N(2，0)，動點P(x，y)滿足|PM|=2|PN|，點A．曲線C的方程為(x?6)2C．曲線C的方程為(x+6)210．下列命題中，說法正確的有（）A．設隨機變量X～B(10，1B．成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強，樣本相關系數(shù)r越接近于1C．決定系數(shù)R2D．基于小概率值α的檢驗規(guī)則是：當χ2?xα時，我們就推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當χ2<11．已知函數(shù)f(x)與其導函數(shù)g(x)的定義域均為R，且f(x)?x與g(1?2x)均為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的有（）A．f(x)關于x=1對稱 B．f(x)x關于點(0C．g(x+2)+g(x)=2 D．f(0)=112．如圖所示，四邊形ABCD是長方形，AB=3，BC=4，半圓面APD⊥平面ABCD.點P為半圓弧AD上一動點（點P不與點A．三棱錐P?ABD的四個面都是直角三角形B．三棱錐P?ABD體積的最大值為4C．異面直線PA與BC的距離的取值范圍為[4D．當直線PB與平面ABCD所成角最大時，平面PAB截四棱錐P?ABCD外接球的截面面積為15π三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知數(shù)列{an}的首項為1，an14．已知(1+x)8=15．已知3sinφ?3cosφ=2sinα，16．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點F1，F(xiàn)2，它們的離心率分別為e1，e2，點P為它們的一個交點，且四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17．甲?乙?丙三名同學準備參加本校知識競賽，規(guī)定比賽成績達到90分以上（含90分）獲優(yōu)秀等級.為預測他們的知識競賽情況，收集了甲?乙?丙三人在學校的以往知識競賽成績，整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：分）：甲：86，乙：88，丙：96，假設用頻率估計概率，且甲?乙?丙的知識競賽成績相互獨立.（1）估計甲在本次知識競賽中未獲優(yōu)秀等級的概率；（2）設X表示甲?乙?丙三人在本次知識競賽中獲得優(yōu)秀等級的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學期望EX.18．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，（1）求證：tanB=3tanA；（2）延長BC至點D，使得|DA|=|DB|.當∠DAC最大時，求tanD的值.19．如圖所示，圓臺的上?下底面圓半徑分別為4cm和6cm，（1）求證：A1（2）截面ABB1A1與下底面所成的夾角大小為60°，且截面截得圓臺上底面圓的劣弧20．已知遞增的等差數(shù)列{an}(n∈（1）求數(shù)列{a（2）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn=S21．已知橢圓C：x2（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖所示，點A是橢圓C的右頂點，過點(6，0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點E，F(xiàn)，且都在x軸的上方，點P的坐標為22．已知函數(shù)f(x)=3lnx+ax（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）當a=12時，方程f(x)=0有三個不相等的實數(shù)根，分別記為①求b的取值范圍；②證明|x

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】A,B10．【答案】C,D11．【答案】B,C12．【答案】A,B,D13．【答案】8114．【答案】12915．【答案】016．【答案】5+517．【答案】（1）解：甲在以往參加的10次知識競賽中有4次成績獲得優(yōu)秀等級.記事件A為“甲在本次知識競賽中獲得優(yōu)秀等級”，則P(A)=4所以甲在本次知識競賽中未獲優(yōu)秀等級的概率為1?P(A)=（2）解：X的所有可能取值為0，記事件B為“乙在本次知識競賽中獲得優(yōu)勝等級”，事件C為“丙在本次知識競賽中獲得優(yōu)勝等級”，則P(B)=36=則P=(1?=P==P==P(X=3)=P(A)P(B)P(C)=∴EX=0×318．【答案】（1）證明：∵m∴(c+b)(c?b)+(2a?b)(2∵b∴c即c=4acosB.再由正弦定理得：sinC=4sinAcosB（顯然B為銳角），結(jié)合sinC=sin(A+B)，得：sinAcosB+cosAsinB=4sinAcosB.即cosAsinB=3sinAcosB（顯然A為銳角）.所以tanB=3tanA（2）解：如圖：設∠BAC=α(0<α<π2)因為AD=BD，所以B=∠BAD=α+∠CAD，∴∠CAD=B?α.故tan∠CAD=tan(B?α)==當且僅當1tanα=3tanα，即此時tanB=3，B=π19．【答案】（1）證明：∵圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，所以圓臺的母線也就是生成這個圓臺的圓錐相應母線的一部分.∴母線AA1與母線∴A，∵圓面O1∥圓面O，且平面ABB1A1∩∴A（2）解：解法一：∵劣弧A1B1的長度為8π3，∴∠A1O則A(6，則AA1=(?2向量為n1?2x+tz=0，?9x+33y=0.底面的一個法向量n2因為截面與下底面所成的夾角大小為60所以cos60即|OO∴BB∵在等腰梯形ABB1A∴等腰梯形ABB1A∴S解法二：如圖，分別取AB，A1B1的中點為C，C1，連結(jié)O1過點C1作C1D⊥OC由O1C1∴|CC∴S20．【答案】（1）解：設an由題意得3a4=21，a∴（2）解：由（1）可得Sn則bn=可得：12T①-②可得：12設Kn=12K③-④可得：12∴21．【答案】（1）解：依題意得2b=2解得a=2，∴橢圓C的標準方程為x2（2）證明：∵直線l過點(6，0)，與橢圓C：x2∴直線l的斜率存在且不為0，設直線l方程為y=k(x?6)，聯(lián)立方程y=k(x?6)，x2設E(x1，又P(=k?=k?∴k∵k∴∠APE=∠OPF.22．【答案】（1）解：函數(shù)f(x)的定義域為(0，又a>0，令f'(x)=0，得當Δ?0，即a?23時，2ax2?4x+3?0當Δ>0，即0<a<23時，方程2ax當x∈(0，x1)和(x2，綜上：當a?23時，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，當0<a<23時，f(x)在（2）解：當a=12時，①方程f(x)=0有三個不相等的實數(shù)根，即方程?b=3lnx+12x2?4x在(0令g'(x)=0，求得：x=1或x=3，則g(x)在(0，1)和(3，+∞)上單調(diào)遞增，在(1，3ln3?152<?b<?②證明：設方程f(x)=0三個不相等的實數(shù)根分別為：x1，x2，x3，且x1<x2<x3，由①可得0<x1<1<且當x→0時，f(x)→?∞，當x→+∞時，f(x)→+∞.由f(x構(gòu)造函數(shù)?(x)=f(x)?f(2?x)(?