初三二次函數(shù)概念與圖像性質+1

中小學1對1課外輔導專家PAGEPAGE1精銳教育網(wǎng)站：精銳教育·教務管理部精銳教育學科教師輔導講義講義編號學員編號：年級：初三課時數(shù)：3學員姓名：輔導科目：數(shù)學學科教師：課題二次函數(shù)的概念圖像和性質教學目標掌握二次函數(shù)的概念、圖像與性質，并能根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質解決相關問題。教學內容一、中考導航圖1.二次函數(shù)的意義;2.二次函數(shù)的圖象;3.二次函數(shù)的性質頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)4.二次函數(shù)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)（1）頂點式：其中對稱軸是直線頂點坐標為（-，）（2）交點式（兩根式）：其中：為拋物線與軸交點的橫坐標（一元二次方程的兩根）5.二次函數(shù)與一元二次方程的關系。6.拋物線y=ax2+bx+c的圖象與a、b、c之間的關系。二、中考課標要求┌───┬───────────┬────────────┐│││知識與技能目標││考點│考綱要求├──┬──┬──┬───┤│││了解│理解│掌握│靈活應用├───┼───────────┼──┼──┼──┼───┤││理解二次函數(shù)的意義││∨││││├───────────┼──┼──┼──┼───┤││會用描點法畫出二次函數(shù)│││││││的圖象│││∨│││二├───────────┼──┼──┼──┼───┤││會確定拋物線開口方向、│││∨│││次│頂點坐標和對稱軸││││││├───────────┼──┼──┼──┼───┤│函│通過對實際問題的分析確│││││││定二次函數(shù)表達式││∨│∨│││數(shù)├───────────┼──┼──┼──┼───┤││理解二次函數(shù)與一元二次│││││││方程的關系││∨││││├───────────┼──┼──┼──┼───┤││會根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c│││││││(a≠0)的圖象來確定a、│││∨││││b、c的符號│││││└───┴───────────┴──┴──┴──┴───┘三、中考知識梳理1.二次函數(shù)的概念及圖象定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).圖像：在畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象時通常先通過配方配成y=a(x+)2+的形式,先確定頂點(-,),然后對稱找點列表并畫圖,或直接代用頂點公式來求得頂點坐標.2.理解二次函數(shù)的性質二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中對稱軸是直線頂點坐標為（-，）拋物線的開口方向由a的符號來確定,當a>0時,在對稱軸左側y隨x的增大而減小;在對稱軸的右側,y隨x的增大而增大;簡記左減右增,這時當x=-時,y最小值=;反之當a<0時,簡記左增右減,當x=-時y最大值=.3.待定系數(shù)法是確定二次函數(shù)解析式的常用方法一般地,在所給的三個條件是任意三點(或任意三對x,y的值)可設解析式為y=ax2+bx+c,然后組成三元一次方程組來求解;在所給條件中已知頂點坐標或對稱軸或最大值時,可設解析式為y=a(x-h)2+k;在所給條件中已知拋物線與x軸兩交點坐標或已知拋物線與x軸一交點坐標和對稱軸,則可設解析式為y=a(x-x1)(x-x2)來求解.4.二次函數(shù)與一元二次方程的關系拋物線y=ax2+bx+c當y=0時拋物線便轉化為一元二次方程ax2+bx+c=0,即拋物線與x軸有兩個交點時,方程ax2+bx+c=0有兩個不相等實根;當拋物線y=ax2+bx+c與x軸有一個交點,方程ax2+bx+c=0有兩個相等實根;當拋物線y=ax2+bx+c與x軸無交點,方程ax2+bx+c=0無實根.5.拋物線y=ax2+bx+c中a、b、c符號的確定a的符號由拋物線開口方向決定,當a>0時,拋物線開口向上;當a<0時,拋物線開口向下;c的符號由拋物線與y軸交點的縱坐標決定.當c>0時,拋物線交y軸于正半軸;當c<0時,拋物線交y軸于負半軸;b的符號由對稱軸來決定.當對稱軸在y軸左側時,b的符號與a的符號相同;當對稱軸在y軸右側時,b的符號與a的符號相反;簡記左同右異.6.會構建二次函數(shù)模型解決一類與函數(shù)有關的應用性問題,應用數(shù)形結合思想來解決有關的綜合性問題.7.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.8.拋物線中記憶口訣——“頂點在左a,b同；在右a,b異號數(shù)；c的取值看y軸；口上口下a正負”.9.拋物線與坐標軸的交點（1）與軸的交點為(0,).令（2）與軸的交點：二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數(shù)根.求根公式強化記憶“=”.強調“韋達定理”（根與系數(shù)關系）+==（上海中考已不做要求，基礎好點的學員可以拓展學習）并且二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點A,B間距離AB==拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點拋物線與軸相交；②有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；③沒有交點拋物線與軸相離.10.拋物線的頂點位置：頂點坐標為若頂點在軸上是：=0若頂點在軸上是：11、二次函數(shù)圖像的平移一般做圖像的平移時，使用頂點式，左加右減，上加下減向左平移個單位則，向右平移個單位則；向上平移個單位則，向下平移個單位則。二次函數(shù)典型例題解析1.關于二次函數(shù)的概念例1如果函數(shù)是二次函數(shù)，那么m的值為。例2拋物線的開口方向是；對稱軸是；頂點為。-1-1OX=1YX2.關于二次函數(shù)的性質及圖象例3函數(shù)的圖象如圖所示，則a、b、c，，，的符號為，例4已知a－b＋c=09a＋3b＋c=0,則二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖像的頂點可能在（）第一或第二象限（B）第三或第四象限（C）第一或第四象限（D）第二或第三象限3o3o-13yx例5已知：函數(shù)的圖象如圖：那么函數(shù)解析式為（）（A）（B）（C）（D）4.一次函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像綜合考查例6已知一次函數(shù)y=ax+c二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),它們在同一坐標系中的大致圖象是().例7如圖：△ABC是邊長為4的等邊三角形，AB在X軸上，點C在第一象限，AC與Y軸交于點D，點A的坐標為（-1，0）（1）求B、C、D三點的坐標；（2）拋物線經(jīng)過B、C、D三點，求它的解析式；5.以二次函數(shù)為基架的綜合題例8二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點（1，0）（0，3），對稱軸x=-1。求函數(shù)解析式；若圖象與x軸交于A、B（A在B左）與y軸交于C,頂點D，求四邊形ABCD的面積。例9在直角坐標平面中，O為坐標原點，二次函數(shù)的圖象與x軸的負半軸相交于點C（如圖），點C的坐標為（0，－3），且BO＝CO求這個二次函數(shù)的解析式；設這個二次函數(shù)的圖象的頂點為M，求AM的長.（2007上海市）（本題滿分12分，每小題滿分各6分）在直角坐標平面內，二次函數(shù)圖象的頂點為，且過點．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標原點？并直接寫出平移后所得圖象與軸的另一個交點的坐標．基礎練習一、選擇題:1.(2003·大連)拋物線y=(x-2)2+3的對稱軸是().A.直線x=-3B.直線x=3C.直線x=-2D.直線x=22.(2004·重慶)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,則點M(b,)在().A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限3.(2004·天津)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,則一定有().A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0C.b2-4ac<0D.b2-4ac≤04.(2003·杭州)把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位,再向下平移2個單位,所得圖象的解析式是y=x2-3x+5,則有().A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=215.(2004·河北)在同一直角坐標系中,一次函數(shù)y=ax+c和二次函數(shù)y=ax2+c的圖象大致為().6.(2004·昆明)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的頂點P的橫坐標是4,圖象交x軸于點A(m,0)和點B,且m>4,那么AB的長是().A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m二、填空題1.(2004·河北)若將二次函數(shù)y=x2-2x+3配方為y=(x-h)2+k的形式,則y=_______.2.(2003·新疆)請你寫出函數(shù)y=(x+1)2與y=x2+1具有的一個共同性質_______.3.(2003·天津)已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2,且經(jīng)過點(1,4)和點(5,0),則該拋物線的解析式為_________.4.(2004·武漢)已知二次函數(shù)的圖象開口向下,且與y軸的正半軸相交,請你寫出一個滿足條件的二次函數(shù)的解析式:_________.5.(2003·黑龍江)已知拋物線y=ax2+x+c與x軸交點的橫坐標為-1,則a+c=_____.6.(2002·北京東城)有一個二次函數(shù)的圖象,三位學生分別說出了它的一些特點:甲:對稱軸是直線x=4;乙:與x軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù);丙:與y軸交點的縱坐標也是整數(shù),且以這三個交點為頂點的三角形面積為3.請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)解析式:三、解答題1.(2003·安徽)已知函數(shù)y=x2+bx-1的圖象經(jīng)過點(3,2).(1)求這個函數(shù)的解析式;(2)畫出它的圖象,并指出圖象的頂點坐標;(3)當x>0時,求使y≥2的x取值范圍.2.(2004·濟南)已知拋物線y=-x2+(6-)x+m-3與x軸有A、B兩個交點,且A、B兩點關于y軸對稱.(1)求m的值;(2)寫出拋物線解析式及頂點坐標;(3)根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關系將此題的條件換一種說法寫出來.3.(2004·南昌)在平面直角坐標系中,給定以下五點A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2,),E(0,-6),從這五點中選取三點,使經(jīng)過這三點的拋物線滿足以平行于y軸的直線為對稱軸.我們約定:把經(jīng)過三點A、E、B的拋物線表示為拋物線AEB(如圖所示).(1)問符號條件的拋物線還有哪幾條?不求解析式,請用約定的方法一一表示出來;(2)在(1)中是否存在這樣的一條拋物線,它與余下的兩點所確定的直線不相交?如果存在,試求出解析式及直線的解析式;如果不存在,請說明理由.課后提高練習：一、學科內綜合題1.(2003·新疆)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點,與y軸交于A點.(1)根據(jù)圖象確定a、b、c的符號,并說明理由;(2)如果點A的坐標為(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,求這個二次函數(shù)的解析式.二、實際應用題2.(2004·河南)某市近年來經(jīng)濟發(fā)展速度很快,根據(jù)統(tǒng)計:該市國內生產總值1990年為8.6億元人民幣,1995年為10.4億元人民幣,2000年為12.9億元人民幣.經(jīng)論證,上述數(shù)據(jù)適合一個二次函數(shù)關系,請你根據(jù)這個函數(shù)關系,預測2005年該市國內生產總值將達到多少?3.(2003·遼寧)某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品,年初上市后,公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程.下面的二次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤s(萬元)與銷售時間t(月)之間的關系(即前t個月的利潤總和s與t之間的關系).根據(jù)圖象(圖)提供的信息,解答下列問題:(1)由已知圖象上的三點坐標,求累積利潤s(萬元)與時間t(月)之間的函數(shù)關系式;(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元;(3)求第8個月公司所獲利潤是多少萬元?4.(2003·吉林)如圖,有一座拋物線形拱橋,在正常水位時水面AB的寬為20m,如果水位上升3m時,水面CD的寬是10m.(1)建立如圖所示的直角坐標系,求此拋物線的解析式;(2)現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發(fā)需經(jīng)過此橋開往乙地,已知甲地距此橋280km(橋長忽略不計).貨車正以每小時40km的速度開往乙地,當行駛1小時時,忽然接到緊急通知:前方連降暴雨,造成水位以每小時0.25m的速度持續(xù)上漲(貨車接到通知時水位在CD處,當水位達到