2024年浙江四校高二年級下冊3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2024年浙江四校高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2023學(xué)年第二學(xué)期3月四校聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知直線x+2y-4=0與直線2%+切+根+3=0互相垂直，貝U相為()

1,

A.B.1C.—1D.2

2

2.已知｛4｝是等比數(shù)列，則“%＞%＞?！笔恰埃??！保秊檫f增數(shù)列”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.已知直線3x+4y-4=0與圓C相切于點7(0,1),圓心C在直線x—y=0上，則圓C的方程為()

A.-3)2+0-3)2=13B.(—)2+(,+3)2=25

C.(x+3)2+(y-3)2=13D.(x+3)2+(y+3)2=25

4.已知等比數(shù)列｛4｝的前九項和為S“,%+%=12且％,a2+6,生成等差數(shù)列，則限為()

$5

A.244B.243C.242D.241

22

5.已知橢圓C：j+2r=1(。＞。＞0)的左右焦點分別是耳，耳，過耳的直線與C相交于43兩點，若

ab

\AF\=2\BF\,\AB\=\BF2\,則C的離心率為()

1亞亞

A.—B.C.-----D.

2325

6.已知正三棱臺ABC-A4G的上、下底面的邊長分別為2和4,且棱臺的側(cè)面與底面所成的二面角為

60°,則此三棱臺的表面積為()

A.7A/3B.IOA/3C.11A/3D.1273

n—V

7.已知曲線丁=「存在過坐標(biāo)原點的切線，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[-4,0]B.(-00,-4]U[0,4-00)

c.(-4,0)D.(-oo,-4)U(0,+oo)

「斤lnV2,1

8.已知。=---，b=—；-C=，則a,b,c的大小關(guān)系為（）

4e23

A.a<c<bB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列求導(dǎo)正確的是（）

A.(Ini。)，,B.［尤2一口=2》+二

10I”f

C.(xe“)=(x+l)e*D.(cos3x)f=-sin3x

10.已知圓C:(x—5y+(y—5>=9,A(2,0),8(0,2),貝。()

A.在圓C上存在點尸，使得|BP|=3

B.在圓C上存在點尸，使得點P到直線AB的距離為5

C.在圓C上存在點尸.使得/4PB=90。

D.在圓C上存在點尸，使得|AP|=|BP|=4

11.如圖所示，在棱長為2的正方體ABC。-中，點E是棱CG的中點，則下列結(jié)論中正確的是

A.點A到平面的距離為布

B.異面直線AG與BE所成角的余弦值為走

C.三棱錐A-的外接球的表面積為

D.若點M在底面ABC。內(nèi)運動，點M到直線AC1的距離為6,則點M的軌跡為一個橢圓的一部分

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

zz2

12.雙曲線匕-土=1的離心率為之，則其漸近線方程是_________.

4m2

13.在數(shù)列｛4｝中，%=1,%=7,若數(shù)列l(wèi)og2(q+l)為等差數(shù)列，則

0111

s.=---+-----------=-----?

1

14.若對任意的％、x2e(m,+oo),且玉＜9,衛(wèi)衛(wèi)二他工＜2,則根的最小值是.

%2―石

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15(13分)已知函數(shù)/(x)=4%3-3/一18X+27,xeR.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)求/(%)在區(qū)間［0,3］上的最大值與最小值.

16(15分)已知公差不為0的等差數(shù)列｛?！埃偷缺葦?shù)列也｝中，q=4=l,%+4=一1，%+4=一3.

(1)求數(shù)列｛4｝,低｝的通項公式；

172

(2)若北為數(shù)列一^的前幾項和，求使北+,WO成立的”的值.

aa

nn+lJ%

17(15分)如圖，在多面體ABCDEE中，平面ADEJ_平面ABC。，△AOE是邊長為2的等邊三角形，

四邊形ABCD是菱形，且ZBAr)=60°,EF//AB,AB=2EF.

(1)求證：8。，平面46；

(2)在線段AE上是否存在點M,使平面M4D與平面夾角的余弦值為手.若存在，請說明點M

的位置；若不存在，請說明理由.

18(17分)已知函數(shù)/(x)=&+aln(x+l)有兩個極值點.

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)的兩個極值點分別為七,%，且不＜X2，證明：/(x2)＜l-ln2.

19(17分)已知拋物線C:y2=2px(p>0),尸(—1,2),過焦點E的直線交拋物線于A(x“yj,B(x2,y2)

兩點，且》］?刀2=1.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若線段PAPB交y軸于”(0,加)，N(0,")兩點，判斷機+〃是否是定值，若是，求出該值，否則說

明理由.

(3)若直線x=〃zy+〃交拋物線于C,。兩點，M為弦CD的中點，|CD|=40，是否存在整數(shù)加，使

得△PCD的重心恰在拋物線上.若存在，求出滿足條件的所有7〃的值，否則說明理由.

2023學(xué)年第二學(xué)期3月四校聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)學(xué)科答案

1.c

【分析】根據(jù)兩直線垂直的一般式的結(jié)論即可得出答案.

【詳解】兩直線垂直，則有A4+B也=0，即2+2加=0,解得m=-1.

故選：C

2.B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.

【詳解】當(dāng)。2>q>。，則公比4q>i,

所以4>。，

則&1=4>1,所以0例>%,所以｛%｝為遞增數(shù)列，

an

若"”=-1，，此時數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，而0>%>q，

所以“出〉q>0”是“｛%｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：B.

3.D

4..

【分析】根據(jù)題意設(shè)出圓心C的坐標(biāo)，利用求出點C坐標(biāo)，進而求出半徑r=|CT|,得解.

【詳解】由題意，設(shè)C（a,“）（。工0）,圓C的半徑為r,

a—14

k=---二—,解得a=—3,

CTa3

22

所以圓心C（-3,-3）,半徑r=\CT\=7（-3-0）+（-3-1）=5,

所以圓C的方程為（尤+3y+（y+3『=25.

故選：D.

4.A

【分析】首先根據(jù)條件求公比，再代入等比數(shù)列的前“項和公式，即可求解.

【詳解】由題意可知，q+%=12且4+%=2（4+6）,

設(shè)等比數(shù)列的公比為4,

答案第1貝，共12貝

則為+〃1才=+4+QQ,得鄉(xiāng)=3,

故選：A

5.B

3

【分析】先根據(jù)橢圓的定義得到|A周=|A%|=〃,|A同=5。，再由等腰三角形的性質(zhì)得到

COSZBAF2=?=：,最后由二倍角的余弦公式得到離心率.

由題意可得忸閭+怛司=2°,因為=

3

所以|A凰=|A用=a,|A同=]”,

設(shè)陽閶=2c,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得cos/BAg=齊=；，

—a

2

因為ZBAF2=2NOA耳，所以cosZBAF2=1—2sir?ZOAF1,

又sin/04耳=」所以Li-2仕]ne=走，

a3ya)3

故選：B.

6.C

【分析】求得棱臺的斜高，進而計算出三棱臺的表面積.

【詳解】設(shè)，。分別是8cse的中點，連接A2A。，

設(shè)O,Q分別是正三角形ABC和正三角形A4G的中心，

則OeARO]eAA，且與鼻=gdR=9,BD=；AD=^~,

答案第2頁，共12頁

由于平面ABC,BCu平面ASC,所以O(shè)QLBC,

由于AD_L3C,ADcOO]=O,AD,OO{u平面ADRA，

所以3cl平面ADD,A,由于。DU平面ADD^,

所以BC，DR,所以NDQA是棱臺的側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，

所以N〃ZM=60。，過。作O|E，AD,垂足為E,則0石=0￡?-@2=岑,

所以。2=寫，

所以三棱臺的表面積為工x2?xsin60。+4?xsin60°+~+^xx3=11y/3.

2223

故選：C

【分析】設(shè)出切點橫坐標(biāo)號,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于％的方程,

根據(jù)此方程應(yīng)有實數(shù)根，求得“的取值范圍.

【詳解】：>=幻，

e

.,—1—a+x

??y=----------,

ex

設(shè)切點為(玉,%),則%=與含，切線斜率l=T；：+x。,

,切線方程為y-胃=匚?紅一不)，

:切線過原點，

=1+Xx

e^°(-o)>整理得：Xg-axo-a=0,

?.?存在過坐標(biāo)原點的切線，

/.A=a2+4a>0,解得或々之0,

實數(shù)。的取值范圍是(-8,-4]3。,+8).

故選：B.

答案第3頁，共12頁

8.D

InYInx

【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)/（x）=學(xué)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出〃彳）=詈的單調(diào)性，進而得到a,b,C

的大小關(guān)系.

【詳解】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)/（尤）=絆，

X

x-2xlnxl-21nx

x4

令r（%）＜。,則也,令r（%）＞。，得。＜X＜Ve，

因此〃月=￥在（0,公）單調(diào)遞增，在,+S）單調(diào)遞減，

而“=苧=震=/（4〉匕=!=黑=/（可，。=印=/（石）

因為4＞e＞百＞也，所以。＜人＜。

故選：D

9.BC

【分析】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運算法則計算即可.

【詳解】（lnlO）'=O,卜-1]=2%+4，

（xe[=ex+xe%=（x+l）ex,（cos3x）=-3sin3x.

故選：BC.

10.AB

【分析】求出庖-3＜|即〈用+3判斷A；根據(jù)P到直線A8的距離〃式40-3,4企+3]判斷8；轉(zhuǎn)化

為兩圓的位置關(guān)系判斷C；求出垂直平分線與圓的交點判斷D.

【詳解】由C:（x-5y+（y-5r=9可得,圓心C（5,5）,半徑r=3,

對于A.,因為忸C|=J（0_5）2+（2-5/=宿，

所以后-3＜|明＜庖+3,V34-3＜3＜V34+3,所以在圓C上存在點尸，使得忸尸|=3,正確;

|5+5-2|

對于B,AB的方程為＞]=1,即x+y-2=0,C到A2的距離為=4四,

尸到直線42的距離de[472-3,472+3],而5e[4及一3,4夜+3],

所以在圓C上存在點P,使得點P到直線AB的距離為5,正確;

答案第4頁，共12頁

對于C,以A(2,0),3(0,2)為直徑端點的圓E[x-l)2+(y-l)2=2,

圓心半徑4=0,|￡C|=J(1_5)2+(1-5)2=4&>3+夜,兩圓外離，兩圓沒有交點，

所以在圓C上不存在點P.使得ZAPB=90。，錯誤；

對于D,A8垂直平分線方程為V=x,直線y=x與圓C:(x-5『+(y-5)2=9相交，

/3近=3?(372,3近\…什、，L30,30](3近=3內(nèi)工

有兩個父點15——,5—丁J,15+三―,5+行―J,但是右p為5——,5——,5+與—,5+—^—時,

\AP\=\BP\^4,所以在圓C上不存在點P,使得g尸|=忸「=4,錯誤.

故選：AB.

11.ACD

【分析】對于A,利用點到平面的距離公式處理即可，對于B,利用線線角的向量求法處理即可，對于C,

利用球的方程解出半徑再求面積即可，對于D,利用圓柱與平面的截面即可判斷.

對于A：以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系,

則￡>(0,0,0),8(2,2,0),E(0,2,l),4(2,0,2),

故￡?8=(2,2,0),3E=(0,2,1),以=(2,0,2),

設(shè)面BDE1的法向量”=(x,y,z),點A到平面以汨的距離為d，

則2x+2y=0,2y+z=0,令尤=一1,解得y=l,z=-2,

故〃=(—1,1,—2),

1-2-41r-

由點到平面的距離公式得d==故A正確，

V1+1+4

對于B：易知A(2,0,0),G(0,2,2),故雞=(-2,2,2),=(-2,0,1),

4+2J15

設(shè)異面直線與BE所成角為0,則cos0=蠟展=￥，故B錯誤,

答案第5頁，共12頁

對于c：設(shè)三棱錐4-BDE的外接球的方程為(x-a)2+(y—Z>)2+(c-z)2=R2,

將4，民。E代入球的方程,

(a-2)2+(fe-0)2+(c-2)2=7?2

(?-2)2+(Z7-2)2+(C-0)2=R2

("Op+伍-2『+(c-l)2=R2

(a-0)2+(&-0)2+(c-0)2=/?2

(a-2)2+(c-2)2=(a-0)2+(c-0)2

利用加減消元法可得

(a-2)2+(c-0)2=(a-0)2+(c-l)2

22

1-0j+(z?-o)2+j|-oI"

7。，代入方程中可得，6

解得a=N，c=

2

o672]+(z?-o)2

+i-2I=R2

6=|,故表面積為（￥）2x4x7i=ll兀，故C正確,

解得R

2

對于D：因為M到直線AC的距離為百，故M的軌跡是以AC為對稱軸的圓柱,

而M又在底面上，底面與對稱軸不垂直，

故M在底面與圓柱的截面上，此截面必為橢圓的一部分，

故D正確.

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：空間中的幾何體的外接球，可以通過綜合法確定球心的位置，也可以利用球的方程

確定球心坐標(biāo)和球的半徑，而空間中動點的軌跡，則需利用幾何體的特征確定動點的幾何特征，結(jié)合線面

關(guān)系確定軌跡.

]'?y一±---x

5

【分析】由題意可得出e=￡=正五=3,求出機的值即可求出其漸近線方程.

a22

22

【詳解】由匕-土=1可得：a=2,b=Gi,

4m

所以c=y]a2+b2=《4+m，

所以e=￡=」恒=」，解得：m=5,

a22

所以雙曲線片-H=l,則其漸近線方程為：y=±^-x.

455

故答案為：y=±^^-x.

答案第6頁，共12頁

【分析】設(shè)々=log2（q,+l）,根據(jù)弓=1,%=7求出仇和打，得到色｝的通項公式，進而得到｛4｝的通項

公式，最后利用等比數(shù)列求和公式求和即可.

【詳解】設(shè)2=log2（%+l）,則也｝為等差數(shù)列，設(shè)也｝的公差為d,

q=l,%=7,/.bx=log2（6Zj+1）=1,b3=log2（6i3+1）=3,

Ijllj2d=b3-bx=2,d—\,bn=n,

n

貝」〃1=1鳴（1〃+1）,/.an=2-l,

1

故答案為:

14.-

e

【分析】分析出函數(shù)外力=生一在（m,+8）上為減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)“X）的單調(diào)遞減區(qū)間，即可

求得實數(shù)機的最小值.

/、xInInx,人

【詳解】對任感的不、x6（m,+co）,且再<々，-----=---=----<2,易知

2々一玉

,、/、Inx,+2Inx2+2

則玉In9—9In%<2%2-2%,所以'\（Inx2+2）<x2（Injq+2）,即------>-------

%]x2

Y_i_o

令〃x）=——,則函數(shù)“X）在（加,+8）上為減函數(shù)，

X

因為/'（尤）=一坦言，由/'（"<0,可得

所以函數(shù)“X）的單調(diào)遞減區(qū)間為

所以，（機,+oo）q『,+co],所以，加2工，因此，實數(shù)根的最小值為L

\eJee

故答案為：

e

答案第7頁，共12頁

15.（1）答案見解析；

..27

（2）最大值為54,最小值為彳.

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究Ax）的單調(diào)性，并求出極值即可；

（2）根據(jù)（1）結(jié)果，比較區(qū)間內(nèi)端點值、極值大小，即可得最值.

3

【詳解】（1）由題設(shè)/■'（X）=12X2-6X-18=12（X+1）（X-R,................（2分）

3

令廣（x）=0,得*=-1或x=：,................（3分）

當(dāng)r（x）＞0時，即12（x+l）（x-）＞°，解得或x＜T,單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,-1）和（|,+s；

當(dāng)廣（x）＜0時，即12（x+l）（x—）＜。，解得T＜x＜|,單調(diào)遞減區(qū)間為l一1,￡|?................（5分）

函數(shù)〃尤）的極大值為/（T）=38,極小值為/弓）=彳........（7分）

（2）：〃%）在［0,3］上減，［3,3］上增

22

"0）=27,"3）=54,W................Qi分）

""）max=54,................（13分）

4

16.(1)%=一2〃+3,2=2〃一1

⑵{1,2}

【分析】（1）設(shè)出兩數(shù)列，借助基本量計算即可得；

（2）借助裂項相消法計算出4后，解出不等式即可得.

【詳解】（1）設(shè)b“=bd-i,又q=4=l,

貝U可生+4=a］+2d+b〔q=1+2d+q=—1,

。5+巧=%+4d+b、q2—1+4d+/=—3,

2du——2d=—2、d=—1

即有”一解得q=2或

q=0

又dwO、qwO,故d=—2,q2,

即=1—2(〃—1)=—2〃+3（3分）

b,=q'T=2"T（3分）

答案第8頁，共12頁

1_1=1(1______............

（3分）

anan+l(-2/7+3)(-2/7+1)2(2〃-32n-iJ

,lp1I111111~n

...（2分）

21-11132n—32n-1)2(2n-lJ2n-l

en-nn—nn

TH——=-----1---=------F—

"&2/7-1222?-14'

若T"MO成立，即茫1+5°，

由“21,即T〃+"（2〃一l）W0,整理得〃（2〃一5）W0,解得OWwwg

（2分）

又〃eN*,故〃=1或〃=2（2分）

即使（+廠W。成立的”的取值范圍為{1,2}.

17.（1）證明見解析

⑵存在點點M為線段AE的中點

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出81）=0，從而得出8O_LA尸，利用四邊形ABCD

是菱形，得出即，AC,再利用線面垂直的判定定理即可得出證明；

（2）設(shè)AM=；iAE,0W4W1,利用（1）結(jié)果，求出平面MBC的一個法向量”=（0,九1）和平面MAD的一

個法向量為m=（0,1,0）,再根據(jù)條件，利用面面角的向量法即可求出結(jié)果.

【詳解】（1）取AD的中點。，連接

因為ADE為等邊三角形，所以O(shè)ELAD,

又平面4DEJ■平面ABCD,平面ADE|平面ABC￡）=AD,OEu平面ADE,

所以O(shè)￡_L平面ABCD,

又四邊形ABCD是菱形，且N54D=60。，所以03,4）,

故以。為原點，Q4為x軸，。8為V軸，OE為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因為AB=AD=ED=EA=BD=2,EF=1,易知OE=OB=石，

則40,0,0),B(0,V3,0),C(-2,73,0),0(-1,0,0),E(0,0網(wǎng),

答案第9頁，共12頁

所以43=卜1,6,0),￡F=|AB=f-1,^,ol

I?

得至廳冬色，故”=一券當(dāng)百’8力=卜1,_6,0),

得到AF-3Z)=0，所以8￡>_LA尸，

又3￡>_LAC,ACu平面ACRAFc=ACF,ACcAF=A,

；.8￡）/平面ACF.

【得出EOL平面ABCD..............2分，菱形得ACLBD.................1分，幾何法證FG〃EO-FGJ_BD或向

量法證AF.30=0................2分，得出結(jié)論BDL平面ACF................2分】

（2）假設(shè)存在點M,使平面K4。與平面MBC夾角的余弦值為點,

設(shè)AAf=/AE,0W/IW1,貝!］（x材-1,=4（T,0,道），

所以x”=1-2,加=°，2乂=粗九.即M（1-40,石彳），

所以8M=（1-4-指,用），BC=（-2,0,0）,

設(shè)平面MBC的法向量為n=（尤,y,z）,

則既1=。即］（1-小-回+9=0,所以p="

BCn［-2x=01尤=。

令z=l,得x=0,y=2,所以〃=,

又平面MAD的一個法向量為m=（0,1,0）,

所以|cos7"，W=解得2=；或彳=_＜（舍去）,

⑦,+1

所以，存在點M,使平面MAD與平面夾角的余弦值為咚,

點M為線段AE的中點.

【建系正確，寫過點坐標(biāo)設(shè)0W4W1................1分,

平面M4O的一個法向量為根=（。,1,。）........2分，求出平面一個法向量〃=（。,41）................2分

結(jié)論2（點M為線段AE的中點）........3分】

法2、幾何角度，利用互余想法，找平面MBC與平面4BC。夾角的正弦值為咚從而得出中點也是可以的。

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18.(I)a<-1

（2）證明見解析

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得尤+2外6+1=0有2個不同的根，令/=石20,貝。/+20+1=0

有2個不同的正根%,於2,利用根的判別式及韋達(dá)定理得到不等式，解得即可；

（2）依題意可得X2+l+2aJE=0,即可得到。=一年5，即可得到/（%）=后一1^111氏+1）,設(shè)

g⑺=/_（f+D（/>］）,利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得至IJg⑺<1-ln2,從而得證；

【詳解】（1）解：因為/（%）=石+aln（x+l）定義域為［0,+動，

匚，1ax+2tzVx+l

所以小)=而+17rBTIT（3分）

因為函數(shù)/（龍）的兩個極值點，，X+2Q五+1=0有2個不同的根，............（5分）

令，=y［x>0,則t2+2at+1=0有2個不同的正根。心，

所以A=4〃2—4>0且4+12=-2〃〉。，解得Q<—1；........(8分)

解2：因為/⑴=6+。ln（x+1）定義域為［。,+。），

匚，1ax+2ay[x+l

所以小)=而+17r371r（3分）

因為函數(shù)/（x）的兩個極值點，,x+2a?+l=0有2個不同的正根，............（5分）

-2』+三=必0）,利用對勾函數(shù)圖像性質(zhì)，解得…1........（8分）

（2）解：由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時/⑺有兩個極值再,工2且為<%2，因為％2+1+24/元=0,所以

a=

~~T=,所以/(%2)=A/^+〃皿/+1)=,（11分）

%2*2

又占%2=1，0<x[<x2,x2>l,貝0A/^>1,...