上海市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試卷

上海市中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、填空題

1.已知集合4=卜|三:40卜集合3=｛—2,—1,0,1,2｝,則A=.

2.已知cos]]+ej=-5,貝[Jcos29=.

3.函數(shù)/（x）=x1n2x的導(dǎo)函數(shù)/'（力=.

4.已知直線4:x+y+l=0和4：2x+my+l=0,若〃4，貝1」機(jī)=.

+00

5.已知｛4｝為無窮等比數(shù)列，出=3,±6=-4,則｛%｝的公比為.

Z=1

6.6知向量2、%滿足同=5,W=4,a與b的夾角為120,若（fav-26）_L（a+6）,

貝|]左=.

7.已知事件A與事件B互斥，如果P（A）=0.3,P（3）=0.5,那么尸.

3兀

8.在，ABC中，其內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若2=一,b=6,

4

a2+c2=2y/2ac，則ABC的面積為.

9.若連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是加，"，則點(diǎn)P（九〃）在直線尤+y=8上的概率

是.

22

10.已知分別是雙曲線C卞-方=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F?且垂直x軸的

直線與C交于A3兩點(diǎn)，且tan/A耳耳=當(dāng)，若圓原-2y+^=4與C的一條漸近線

交于兩點(diǎn)，則|MN卜.

11.已知圓C:（尤-4『+/=5,點(diǎn)P在拋物線T：y=4x上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)尸引圓C的切線，

切點(diǎn)分別為A,B,貝的取值范圍為.

12.棱長為10cm的密閉正四面體容器內(nèi)裝有體積為18j5cm3的水，翻轉(zhuǎn)容器，使得水

面至少與2條棱平行，且水面是三角形，不考慮容器厚度及其它因素影響，則水面面積

的最小值為cm2.

二、單選題

13.已知復(fù)數(shù)z滿足zi+l=復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為N,則5在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位

于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

14.設(shè)加，〃是兩條不同的直線，d6是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中，一

定能推出的是()

A.a//￡,且"uaB.mlln,且相_L￡

C.m±n,且機(jī)upD.m±n,且

15.己知函數(shù)y=/(x)與它的導(dǎo)函數(shù)y=r(x)的定義域均為R,現(xiàn)有下述兩個(gè)命題：

①“，=/(%)為嚴(yán)格增函數(shù)”是“y=/'(%)為嚴(yán)格增函數(shù)”的必要非充分條件.

②"、=/(%)為奇函數(shù)”是“y=/'(》)為偶函數(shù)”的充分非必要條件；

則說法正確的選項(xiàng)是()

A.命題①和②均為真命題B.命題①為真命題，命題②為假命題

C.命題①為假命題，命題②為真命題D.命題①和②均為假命題

16.設(shè)數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，若對(duì)任意的正整數(shù)〃，總存在正整數(shù)加，使得S"=,，

下列正確的命題是()

①｛%｝可能為等差數(shù)列；

②｛%｝可能為等比數(shù)列；

③生(92)均能寫成｛%｝的兩項(xiàng)之差；

④對(duì)任意〃eN,”21,總存在他eN,21,使得an=Sm.

A.①③B.①④C.②③D.②④

三、解答題

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知上4,底面ABCD,底面ABCD是正方形，PA=AB.

試卷第2頁，共4頁

p

（1）求證：直線BO工平面PAC；

（2）求直線PC與平面PBD所成的角的大小.

18.己知公差為正數(shù)的等差數(shù)列｛%｝滿足q=1,2/9-1，%+1成等比數(shù)列.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵若…分別是等比數(shù)列也｝的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)，求使數(shù)列二的前〃項(xiàng)和北〈罷的

b?300

最大正整數(shù)

19.圖①是高橋中學(xué)的校門，它由上部屋頂，和下部兩根立柱組成，如圖②，屋頂由四

坡屋面構(gòu)成，其中前后兩坡屋面的石和CDEF是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面及LD

和b3c是全等的三角形.點(diǎn)F在平面ABCD和BC上的射影分別為H、M,已知=2m,

BC=2m,梯形相莊的面積是.FBC面積的4倍，設(shè)

（1）求屋頂面積S關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為％（左為正的常數(shù)），下部兩根立

柱的總造價(jià)與其單根的高度成正比，比例系數(shù)為崩，假設(shè)校門的總高度為3m,試問,

當(dāng)。為何值時(shí)，校門的總造價(jià)（上部屋頂和下部兩根立柱）最低？

1-2

20.已知橢圓C:產(chǎn)+/=1?>1）的左、右焦點(diǎn)分別為耳F2,直線/:>=尿+根（機(jī)工0）與

橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），與y軸交于點(diǎn)E

⑴當(dāng)f=2時(shí)，點(diǎn)A為橢圓C上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn)，求△4K鳥的周長；

⑵當(dāng)f=3且直線/過點(diǎn)。（一1,0）時(shí)，l^EM=ADM,EN=^iDN,求證：幾+〃為定值,

并求出該值;

(3)若橢圓C離心率為立，當(dāng)％為何值時(shí)，|OM『+|ON|2恒為定值，并求此時(shí)三角形

2

面積的最大值.

21.已知/(x)=x+alnx-1,其中acR.

⑴若曲線y=〃x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線與直線x+2y+3=0垂直，求。的值；

⑵設(shè)g(x)=〃x)+：,函數(shù)y=g(x)在x=M時(shí)取到最小值g(xo),求。關(guān)于％的表達(dá)

式，并求g(x0)的最大值；

(3)當(dāng)<2=-1時(shí)，設(shè)T(x)=〃x)+2石-X,數(shù)列滿足q且

%+1=T(%)，證明：4+1+4+3>2a什2(?eN,n>l).

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.{051}

【分析】

解分式不等式化簡集合A,再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.

【詳解】

,[\2x-3<o|=1x-1<X<-1

因?yàn)?/p>

又2={-2,-1,0,1,2},所以A3={0,1}.

故答案為：{0,1}.

2.--

2

【分析】

利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求得正確答案.

【詳解】：已知cos[至+e]=-sine=-^,sine=3,

<2)22

31

貝ljcos28=1-2sin28=1-2x—二——,

42

故答案為：-萬

3.In2x+1

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)即可得解.

【詳解】

因?yàn)?(%)=%?In2%,

2

所以—(%)=In2x+x--=ln2x+l.

故答案為：ln2x+l.

4.2

【分析】根據(jù)兩直線平行，則兩直線斜率相等，得到-上=7,解出即可.

m

【詳解】直線4：x+y+i=o的斜率為-1,"4，

答案第1頁，共17頁

7

I.直線12：2%+沖+1=。的斜率—=一1,即m=2,

m

經(jīng)檢驗(yàn)，m=2滿足題意.

故答案為：2.

5.—/—0.5

2

【分析】

由題意知，再利用無窮等比數(shù)列和的公式求解即可.

+8Z7

【詳解】因?yàn)闊o窮等比數(shù)列{4},貝||夕|<1,「=一4,

M1-9

「。23

又％=—=一,

Qq

313

所以^一-=-4,解得"-彳或”9（舍）.

（1-W22

故答案為：-;.

4

6.—/0.8

5

【分析】

運(yùn)用平面向量數(shù)量積公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)殁?5,忖=4,.與人的夾角為120,

所以〃WWcosl20=5x4x]—；[=—10.

因?yàn)椋ㄗ蟆ㄒ?b）_L（a+Z?）,

所以（左a—2〃）?（a+〃）=左2『+（左一2）〃力二25左一2x16—10（左一2）=15左一12=0,

4

解得左=亍

、4

故答案為：—.

7.0.2/-

5

【分析】

根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的概率公式計(jì)算.

【詳解】由題意尸(AB)=l-P(AiB)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.3+0.5)=0.2.

故答案為：02

8.3

答案第2頁，共17頁

【分析】根據(jù)2=亍，b=6,a2+c2=2y/2ac，利用余弦定理求得改=6忘，再利用三角

形面積公式求解.

37r

【詳解】解：在ABC中，B=—,b=6,a2+c2=2y/2ac，

由余弦定理得：b1=a2+c2-2accosB,

=2-/2ac—laccos—=3y/2ac,

4

解得ac=6\/2>

所以SABC=gacsinB=Jx6應(yīng)x=3,

故答案為：3

9.A

36

【分析】

利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解.

【詳解】

連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是加，”，

基本事件(m,n)總數(shù)為6x6=36,

其中點(diǎn)P(孫〃)在直線x+y=8上包含的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共

5個(gè)，

則點(diǎn)Pg,")在直線尤+y=8上的概率是「=工

36

故答案為：-

36

10.逑、

55

【分析】

由題意可求出雙曲線漸近線，利用直線與圓相交的弦長公式即可求.

答案第3頁，共17頁

巴=旦上=咨

2C2ac5

解得￡=正，所以2=2,

aa

所以雙曲線的漸近線方程為：y=±2x,

由雙曲線的對(duì)稱性，不妨取y=2x,

又（x-2）2+V=4的圓心為（2,0）,半徑為廠=2,

4

所以圓心（2,0）到直線的距離為1=次,

所以弦長=2介一/=2^4-y=?

故答案為：孚

11.警,2小

3>

【分析】

設(shè)尸（七,%）,將表示為只含%的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得|AB|的取值范圍.

【詳解】依題意，圓C:（尤-4）。丁=5的圓心為C（4,0）,半徑廠=6,

拋物線T：/=4x的焦點(diǎn)為歹（1,0）,畫出圓和拋物線的圖象如下圖所示,

設(shè)尸（飛，%），則北=4%,

附小一盯+北,切線長|尸山=|尸「=J|PC:一產(chǎn)=J5一q+y；一5,

答案第4頁，共17頁

ADAC..|PA|xr

由RtZXADCRtZVMC得不-二&T，則叫=

PA|PC|'

21PAixr

PC垂直平分弦AB,則網(wǎng)=2叫=」

-

..2\/5-J(xQ4)-+Vg-5i-I5

即48=——‘°'"—=2布?1------二——=2A/5.

J(x0-4『+y；VU-4)+北

又加NO,貝M%—2)2+12^12，即。＜(尤_2)2+124石,

則:41一1一;)2+12”'則牛

即半。行［＜26

所以g目的取值范圍是萼~,2下.

故答案為：半,2百

【點(diǎn)睛】求解直線和圓相切有關(guān)問題，可以考慮圓的幾何性質(zhì)來進(jìn)行求解，如本題中，PA,PB

是切線，則連心線尸C垂直平分AB,△P4CAPBC是直角三角形等等.要求弦長的取值范圍，

可先求得弦長的表達(dá)式，然后根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，考慮二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的知識(shí)

求得求得最值.

12.96

【分析】

首先分水面平行于一組對(duì)棱和水面平行于正四面體的一個(gè)面兩種情況，舍去前一種情況，結(jié)

答案第5頁，共17頁

合正四面體幾何特征求出其體積，根據(jù)相似關(guān)系得到棱長比，進(jìn)而求出面積即可.

【詳解】若水面至少與2條棱平行，且這兩條棱不共面，即兩條棱為對(duì)棱時(shí)，

如圖所示，若水面平行與AS,3C,不妨取特殊情況討論，

記AB,AC,SB,SC中點(diǎn)分別為N,M,P,Q,

蛆PQIIBCIIMN,PQ=；BC=MN,則四邊形跖VP0為平行四邊形，

即水面形狀為平行四邊形，不符合題意；

則水面至少平行的2條棱相交共面，不妨設(shè)水面為QEF,

下求正四面體體積，

如圖所示，即A2中點(diǎn)為G,連接CG,設(shè)SO平面ABC,則。是CG三等分點(diǎn),

因?yàn)檎拿骟w棱長為io,所以O(shè)C=2CG=2X5G=3亙，

333

S*=3X10X56=256,

則so=yjsc2-oc2=I100--=坦也,

V33

麗、"_1cs」10#2500

所以匕.ABC=1SO=]x25j3x——=---，

如下圖所示，正四面體容器倒放時(shí)，棱錐S-O跖部分為水體部分,

答案第6頁，共17頁

AC

B

設(shè)SD=SE=SF=a,

則^^=鼻，則/=180=2500*1000=216,貝!Ja=6,

VS-ABC1°3

|xS板=225a9G

所以水面面積SDEF

如下圖所示，正四面體容器正放時(shí)，棱臺(tái)ABC-DEF部分為水體部分,

設(shè)SD=SE=SF=b,

則匕節(jié)-"則〃=784>216,水面面積更大，不符合.

^S-ABC1U

綜上，水面面積的最小值為9j§cm2.

故答案為：9石

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用.解決立體幾何問題的常見方法有：

(1)定義法，通過相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理直接求解；

(2)空間向量法，運(yùn)用空間向量進(jìn)行基底轉(zhuǎn)化或者運(yùn)用坐標(biāo)法結(jié)合公式求解;

(3)轉(zhuǎn)化法，通過轉(zhuǎn)化與化歸，將所求長度或角度轉(zhuǎn)化求解.

13.C

【分析】

答案第7頁，共17頁

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共輾復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的幾何意義判定選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)閆i+1=￡,所以?+法i)T=TT，

_2_lj13

所以一55_13所以"

i55

所以2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第三象限.

故選:C.

14.B

【分析】根據(jù)線面與面面的位置關(guān)系逐一判斷即可

【詳解】對(duì)于A：all/3,且"ua,則〃〃力，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：一條直線垂直于平面，則與這條直線平行的直線也垂直于這個(gè)平面，易知B正確；

對(duì)于C：mLn,且則或〃///或〃與夕相交均有可能，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：mLn,且山//尸，則則〃u#或〃〃夕或“與夕相交均有可能，故D錯(cuò)誤；

故選：B

15.C

【分析】

可舉例說明①中“y="X)為嚴(yán)格增函數(shù)”和“y=/'(x)為嚴(yán)格增函數(shù)”之間的邏輯關(guān)系，即可

判斷其真假；結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)以及y=/(x)為奇函數(shù)可判斷“y=/(x)為奇函數(shù)”和

“、=尸(可為偶函數(shù)”之間的邏輯關(guān)系，即可判斷②的真假，即得答案.

【詳解】對(duì)于①，不妨取=/為R上嚴(yán)格增函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)/'(x)=3f在R上不是單

調(diào)函數(shù)，

即“y="X)為嚴(yán)格增函數(shù)”推不出“y=f'(x)為嚴(yán)格增函數(shù)，”

取/("=f，其導(dǎo)函數(shù)/'(x)=2x為R上嚴(yán)格增函數(shù)，但/(x)=f不是單調(diào)函數(shù)，

故"y=尸(X)為嚴(yán)格增函數(shù)”推不出"y=/⑺為嚴(yán)格增函數(shù)”，

因此“y=f(x)為嚴(yán)格增函數(shù)”是“y=f\x)為嚴(yán)格增函數(shù)”的既不充分也不必要條件，

故①為假命題；

對(duì)于②，y=/(x)為奇函數(shù)，貝1J/(-%)=-/⑺，

答案第8頁，共17頁

故--（f）f（%）,BPr（-x）=r（x）,即y=/'（。為偶函數(shù);

當(dāng)y=f'（x）為偶函數(shù)時(shí),不妨取了（耳=酒+1,其導(dǎo)函數(shù)尸（x）=3f為偶函數(shù)，

但“力=丁+1不是奇函數(shù)，

故“y=/（x）為奇函數(shù)”是“y=/'（X）為偶函數(shù)”的充分非必要條件，②為真命題，

故選：c

16.A

【分析】對(duì)于①，取4=77,可知①正確；對(duì)于②，當(dāng)｛4｝的公比4=1,心2時(shí)，

Sn=nax=namam.當(dāng)4*1時(shí),Sn=am,而l+q+.+4"二=4二無有理數(shù)根,可知②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，根據(jù)%=S“-S“T（〃22）,可知③正確；對(duì)于④取數(shù)列4=〃，顯然不存在機(jī)，使

得%=%=2,故④不正確.

【詳解】對(duì)于①，取%=",則3=四/，顯然存在加=%］，使S.=（,所以①正

確，

對(duì)于②，若數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為9,顯然4=1不滿足要求，

s

考慮qw1的情況，依題意有，n+i=a呵,S2n+2=a也，

即l+g+q2++q"=qm'?,l+q+q2++q2n+1=（1+q+q2++q"）Q+qB=q%②,

兩式相除，得到1+q用=q吩叫，

若0>1,則取〃為奇數(shù)，那么。陽>0,所以

所以l=q"飛一4日習(xí)一q“+i

當(dāng)“足夠大時(shí)，顯然不成立；

若@<1,則|產(chǎn)［；,+<?）,因?yàn)閨同<1（后,

所以當(dāng)"足夠大時(shí)，可以使1+q向Q,故也不成立.從而知②錯(cuò)誤，

Im）

對(duì)于選項(xiàng)③，取〃=2,則%+%=冊(cè)，所以

當(dāng)2時(shí)，%=S“—S〃T=〃仍一〃嗎，故③正確，

答案第9頁，共17頁

對(duì)于選項(xiàng)④，取數(shù)列%=〃，顯然不存在機(jī)，使得黑=%=2,故④錯(cuò)誤,

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于第②選項(xiàng)，根據(jù)條件得到S用從而

得到1+4向=4也飛，再對(duì)q進(jìn)行討論，從而解決問題.

17.(1)證明見解析

小、

(2)arcsi.n—1

【分析】(1)由線面垂直的判定定理即可證明；

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為xy、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出直線PC

的方向向量與平面PBD的法向量，由線面角的向量公式代入即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)镻A_L平面A5CD,且BDu平面A5CD,

所以

在正方形ABCD中，ACJ.BD.

而FAAC=A,PA,ACu平面PAC,

故3。1平面PAC.

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為乂乂z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=1,則8(1,0,0),0(0,1,0),尸(0,0,1),C。,1,0),

從而尸3=(1,0,-1),PD=(0,1,-1),PC=

設(shè)平面PBD的法向量為n=(x,y,z),

PB.〃=()[x-z=0{x=z

PDn=0[y-z=01y=z

令z=l,則〃=(1,1』).

設(shè)直線PC與平面依。所成的角為e,

\PC-n\i

則sin。=|cosPC,n\=J-------T=—,

\PC[\n\3

答案第10頁，共17頁

故PC與夾面PBD的所成角大小為arcsinj.

18.(l)a?=2/1-1；

(2)5.

【分析】

（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)列方程求公差，即可寫出｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）由題設(shè)確定抄“｝的通項(xiàng)公式，應(yīng)用等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式求出數(shù)列的前〃項(xiàng)和,

結(jié)合7；<急29求9〃的范圍.

【詳解】（1）由題設(shè)（%-1）2=2ai（a4+l）na；-2a3+l=2a4+2,若公差為d>0,

所以(1+2d)?—2(1+2d)+1=2(1+3d)+2,即2d?—3d—2=(2d+1)(1-2)=0,

所以d=2,故=q+(〃-l)d=2〃-l.

（2）由（1）知：偽=%=3也=%=9,故數(shù)列也｝的首項(xiàng)、公比為3,

221112a”1299

所以祀二下’貝…+三)=,><；=1一下<300'

3

所以白=3"<300且“eN*,而35=243<300<36=729,

所以“W5,故最大正整數(shù)”為5.

*.⑴S=E(0<"：)

(2)9=arcsin(

答案第11頁，共17頁

【分析】

(1)用。表示出尸M,得出三角形fBC的面積關(guān)于(9的式子，從而可得屋頂面積S關(guān)于。的

函數(shù)；

(2)求出屋頂高度FH,得出造價(jià)y關(guān)于。的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再計(jì)算最

小值及對(duì)應(yīng)的e的值.

【詳解】(1)

由題意平面ABC。，F(xiàn)M±BC,

又因?yàn)樾豼平面ABC。，得FH_LHM.

2

在中，HM=2,ZFMH=0,所以——.

COS，

117?

因止匕FBC^^-BC-FM=-X2X―-

22cos8cos0

220

從而屋頂面積S=2S+2S=2S+2x4S=10S=10x-=.

FBCmABFEFBCFBCFgccosJcos夕

所以s關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式為s=m(o<e<9.

cos34

(2)

在中，F(xiàn)H=2tand,所以柱子高度為〃=3-2tan6.

20

所以校門總造價(jià)為y=kS+h,2k=-----Z:+(3—2tan0)-2k

cos"

20k-sin3..,5—sin。、一

-------------+6%=4女?(------)+6人,

cos3cos3cos0

、-1型八、5—sinS八八71

記/(。)=----—,Q<0<-,

cos6*4

所以廣(。)=交絲J

COS0

ITT1

令/'(6)=。，得sin6=—,又0<6<一,所以e=arcsin-.

545

列表:

.1

e(0,arcsin：)arcsin-(arcsin-,—)

554

m—0+

f(e)最小值

所以當(dāng)9=arcsin(時(shí)，f(<9)有最小值.

答案第12頁，共17頁

20.⑴4+2g

9

(2)證明見解析，-

4

(3)左=±[,最大值為1

【分析】

(1)根據(jù)橢圓定義求解三角形周長；

(2)聯(lián)立，:、=履+砥根。0)與C:土+y2=1,得到兩根之和兩根之積，由

9

￡711=2。加,硒=〃。"得至1」幾+〃=一^7+上7，結(jié)合兩根之和，兩根之積求出答案；

(3)先由離心率得到橢圓方程，聯(lián)立直線方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出

\OM[+\ON[=2+—'J9------結(jié)合|OM『+|ON『為定值得到左=±彳，并求

(4r+1)2

出止匕時(shí)\MN\,和點(diǎn)。到直線/的距離d,利用基本不等式得到V1.

【詳解】(1)仁2時(shí)，橢圓方程為C:工+y2=l,故q=2且c=6，

4

由橢圓定義可得，△△耳耳的周長為2a+2c=4+26；

22

(2)r=3時(shí)，橢圓方程為C:二+y2=i,故聯(lián)立/：丫=依+項(xiàng)"0)與c：二+y2=l可得，

9-9'

2

(9々2+1)/+18/尤+%-9=0

答案第13頁，共17頁

設(shè)"（XQ1）仆（%2，%），則%+%2=9.+]=.2+1

因?yàn)镋M二九DM,EN=jLtDN,

所以玉=丸（玉+1）,工2=4（W+1）

T8.+2

4+〃=玉+%=2___項(xiàng)+%+2_______9.2+1_______=2+-=-

2

再+1x2+1x{x2+Xj+x2+19k-9-18/44

%2+l+%2+l+

（3）由題意得

y=kx+m

橢圓方程聯(lián)立

x2+4y2=4

2

消元得（4左2+1）%2+Shvx+4m—4=0,

當(dāng)A=64入川二上（4」+1）（￡_1）>0,即4__療+1>o時(shí),

-8km4m2-4

則石+%=

Ei'再4k2+1

貝”O(jiān)M「+3|2=%；+1—F￥+1—亍

22

24女2瓶2-6m+24k+66叫4左2—1）+6（4左2+1）

-4（片+*）=2+=2+

當(dāng)|OM「+|ON「為定值時(shí)，即與蘇無關(guān)，故4/_1=0,得人士;，

此時(shí)\MN\=J左2+1'（%+七1_4$%=4代+ix":+；/_=75x也一病,

答案第14頁，共17頁

,Iml2|m|

又點(diǎn)0到直線I的距離d=-jU==,

yll+k2V5

2m

所以SAMON=；x4x|AftV|=|m|-yjl—m<——=1,

當(dāng)且僅當(dāng)阿=，2-療,即加=±1時(shí)，等號(hào)成立,

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)A>0成立，所以△MON面積的最大值為1.

【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法:

(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決;

(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù),

再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍.

21.(1)2

(2)a=-----^)(x0>0),i

(3)證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)曲線切線的關(guān)系，結(jié)合直線垂直斜率的關(guān)系，可得答案；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用換元法，建立新函數(shù)，可得答案；

(3)利用綜合法，整理不等式，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求最值.

【詳解】(1)

由〃x)=x+alnx-l,貝"(x)=l+?,由直線比+2y+3=0,則其斜率為

由切線與上述直線垂直，貝U1+^=2,解得a=2.

(2)

解法一：

x+ax

由g(x)=/(無)+'=x+aln無-1+',貝i]g'(x)=l+4--L=-^,

xxxxx

當(dāng)x=0時(shí)，顯然x?+ax-l=T<0,則無2+ax-l=0有兩異號(hào)實(shí)根，設(shè)不為其正根,

則在(0,飛)上g'(x)<0,在5,+<?)上g'(x)>0,

即在(0,不)上g(x)為嚴(yán)格減函數(shù)，在(如+<?)上g(無)為嚴(yán)格增函數(shù)，

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故〃=入0(入0>。)，g(%)的最小值g(%o)=%()+—+1---/]]nx