2024年九江市高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷及答案解析

2024年九江市高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷

(考試時間120分鐘滿分150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試題卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.若集合A={x卜24x44},1={無--6[.()},則AB=()

A.[-2,0]B.[0,4]C.[-2,6]D.[4,6]

2.已知2=生，貝丘=()

1-1

A33.n33.13.13.

A.—I—iB.-------1C.—I—iD.--------1

22222222

3.若函數(shù)/(x)=ln(改+1)在(1,2)上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(—ao,0)B.C.--D.[―1,0)

4.第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME-IntemationalCongreasofMathematicsEducation)在我國上海華

東師范大學(xué)舉行.如圖是本次大會的會標(biāo)，會標(biāo)中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、

4,這是中國古代八進(jìn)制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進(jìn)制是3x83+7x8?+4x9+4x8°=2020,正是會議計

劃召開的年份，那么八進(jìn)制77…Z換算成十進(jìn)制數(shù)，則換算后這個數(shù)的末位數(shù)字是()

5.在正方體ABC。-ABC2中，。為四邊形42c2的中心，則下列結(jié)論正確的是()

A.AO//BC{B.AO1BD

C.平面平面CQDD.若平面AO8平面CO￡>=/,貝!]〃/平面BC]。

6.已知,cos(a-77)，tan-tan,貝|。+月=()

71e兀一兀c2兀

A.—B.一C.—D.—

3463

22

7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線C：「-4=1（4＞人＞0）的右焦點為/（返,。），P為C上一

ab、

點，以。尸為直徑的圓與C的兩條漸近線相交于異于點。的M,N兩點.若1PMHPN|=g,則C的離心率

為（）

A.叵B.巫C.-D.&

232

8.已知一個圓臺內(nèi)接于球。（圓臺的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺的上、下底面半徑分別

為1和2,且其表面積為（5+3后）兀，則球。的體積為（）

,32兀206兀八5君兀

A.B.5c兀C.---D.——

333

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.射擊作為一項綜合運動項目，不僅需要選手們技術(shù)上的過硬，更需要他們在臨場發(fā)揮時保持冷靜和專

注.第19屆亞運會在我國杭州舉行，女子10米氣步槍團(tuán)體決賽中，中國隊以1896.6環(huán)的成績獲得金牌，

并創(chuàng)造新的亞洲紀(jì)錄.決賽中，中國選手黃雨婷、韓佳予和王芝琳在最后三輪比賽中依次射擊，成績（環(huán)）

如下：

黃雨婷韓佳予王芝琳

第4輪105.5106.2105.6

第5輪106.5105.7105.3

第6輪105106.1105.1

則下列說法正確的是

A.三輪射擊9項成績極差為1.5

B.三輪射擊成績最好的一輪是第五輪

C.從三輪射擊成績來看，黃雨婷射擊成績最穩(wěn)定

D.從三輪各人平均成績來看，韓佳予表現(xiàn)更突出

10.已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為尸，0為坐標(biāo)原點，動點尸在C上，若定點滿足

\MF\=2\OF\,則（）

A.C的準(zhǔn)線方程為x=-2B.APMF周長的最小值為5

JT

C.直線MF的傾斜角為?D.四邊形OPMF不可能是平行四邊形

11.已知函數(shù)的定義域為R,VxyeR,〃孫）+孫=#（y）+W（x）,則下列命題正確的是（）

A.“X）為奇函數(shù)B.f（x）為R上減函數(shù)

C.若XW0,則力一+—“X）為定值D.若〃2）=2,則￡/（2"）=2046

\xJxk=l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.為助力鄉(xiāng)村振興，九江市教科所計劃選派5名黨員教師前往5個鄉(xiāng)村開展“五育”支教進(jìn)鄉(xiāng)村黨建活

動，每個鄉(xiāng)村有且只有1人，則甲不派往鄉(xiāng)村A的選派方法有種.

13.歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線，

這條線稱之為三角形的歐拉線.已知A（0,2）,8（4,2）,C（a,-1）,且ABC為圓f+必+&+今=。內(nèi)接

三角形，則的歐拉線方程為.

14.在.ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,6,c.已知A,B,C成等差數(shù)列，a2+c2=4,貝UABC

面積的最大值是，（4sinAsinC+3）/=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知函數(shù)/（力=（2彳-4）出@-1）+6（。力€11）在工=2處的切線方程為標(biāo)->-2=0

（1）求a,。的值；

⑵判斷“X）的單調(diào)性.

16.2023年10月10H,習(xí)近平總書記來到九江市考察調(diào)研，特別關(guān)注生態(tài)優(yōu)先，綠色發(fā)展.某生產(chǎn)小型

污水處理設(shè)備企業(yè)甲，原有兩條生產(chǎn)線，其中1號生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.85,2號生產(chǎn)線生產(chǎn)的

產(chǎn)品優(yōu)品率為0.8.為了進(jìn)一步擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，同時響應(yīng)號召，助力長江生態(tài)恢復(fù)，該企業(yè)引進(jìn)了一條更

先進(jìn)、更環(huán)保的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線（3號）生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.95.所有生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品除了優(yōu)品，

其余均為良品.引進(jìn)3號生產(chǎn)線后，1,2號生產(chǎn)線各承擔(dān)20%的生產(chǎn)任務(wù)，3號生產(chǎn)線承擔(dān)60%的生產(chǎn)任

務(wù)，三條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品都均勻放在一起，且無區(qū)分標(biāo)志.

（1）現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)檢員，從所有產(chǎn)品中任取一件進(jìn)行檢測，求取出的產(chǎn)品是良品的概率；

（2）現(xiàn)某企業(yè)需購進(jìn)小型污水處理設(shè)備進(jìn)行污水處理，處理污水時，需幾臺同型號的設(shè)備同時工作.現(xiàn)有兩

種方案選擇：方案一，從甲企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺設(shè)備價格30000元，可先購進(jìn)2臺設(shè)備.若均為優(yōu)品，則

2臺就可以完成污水處理工作；若其中有良品，則需再購進(jìn)1臺相同型號設(shè)備才能完成污水處理工作.方

案二，從乙企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺23000元.需要三臺同型號設(shè)備同時工作，才能完成污水處理工作.從購買

費用期望角度判斷應(yīng)選擇哪個方案，并說明理由.

17.如圖，三棱錐尸-ABC中，3cl平面PAC,BC=y/3,AC=3,尸8=石，點E滿足AE=2EC,PE=1.

(1)證明：平面平面ABC；

(2)點。在A8上，且BE1.C。，求直線R4與平面尸。所成角的正弦值.

22

18.已知橢圓E：a+方=1(。>8>0)和圓C：x2+y2=l,C經(jīng)過E的焦點，點A,B為E的右頂點和

上頂點，C上的點。滿足=

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線/與C相切于第一象限的點P,與E相交于N兩點，線段的中點為。.當(dāng)歸0最大時，

求/的方程.

19.定義兩個〃維向量q=(x〃,％,2,…,毛,“)，勺=(%〃，馬2,…，馬”)的數(shù)量積

=xiXxjA+xi2xJ2+???+xjnxjn(z,JGN+),記"t為q的第％個分量(左47工且左eN+).如

三維向量q=(2,1,5),其中4的第2分量見；=1.若由〃維向量組成的集合A滿足以下三個條件：①集合

中含有"個”維向量作為元素；②集合中每個元素的所有分量取0或1;③集合中任意兩個元素生，4八

滿足(T為常數(shù))且4(=1.則稱A為T的完美〃維向量集.

⑴求2的完美3維向量集；

(2)判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；

⑶若存在A為T的完美〃維向量集，求證：A的所有元素的第左分量和及=T.

1.A

【分析】首先解一元二次不等式求出集合8,再根據(jù)交集的定義計算可得.

【詳解】由尤2—6x20,即(x—6)x20,解得xN6或尤W0,

所以B=|x|x2-6x>01=(-oo,0]u[6,+oo),

又4=何-24%44},

所以Ac8=[-2,0].

故選：A

2.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)z,再求其共輾復(fù)數(shù).

2+i(2+i)(l+i)13.

【詳解】因為Z=-----=------77----C=—?—1

1-i(l-i)(l+i)22

-13

所以z=；-i.

22

故選：D

3.C

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)求解.

【詳解】函數(shù)/(x)=ln(依+1)在(1,2)上單調(diào)遞減,

由函數(shù)y=lnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)=ax+l在(1,2)上單調(diào)遞減且恒大于0,

則有(fa<(20)=20+12。,解得一1齊

故選：C

4.B

【分析】換算后由等比數(shù)列求和得櫻-1,改寫成(10-2廣-1,利用二項式定理展開即可求解.

【詳解】由進(jìn)位制的換算方法可知，八進(jìn)制77…7換算成十進(jìn)制得：

10個7

1_Q10

7X89+7X88+---+7X8'+7X80=7X-------=810-1,

1-8

109X,1X9

8近一1=(10—2)i°-1=C°O1O+C；O1O2+---+C1O1O2+C愕-1

因為?；。1。|°+(4)109'2+--+《。10、29是10的倍數(shù),

所以，換算后這個數(shù)的末位數(shù)字即為C；；2i。-1的末尾數(shù)字,

由-1=1023可得，末尾數(shù)字為3.

故選：B

5.B

【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)結(jié)合圖形可知4。乃4異面，可判斷A；通過證明m1平面ACG4,可判斷B；

記48,CD的中點分別為E1,然后證明NEO/是平面A03和平面COD的夾角或其補角，由EOF為等

腰三角形可判斷C；由48///,43門8￡。=8可判斷口.

【詳解】A選項：由正方體性質(zhì)易知，AB//GA，所以A民，四點共面，

由圖知，AO平面A3CQ=A，直線BQ在平面ABCQ內(nèi)，且不過點A,

所以AO,B￡異面，A錯誤；

B選項：因為胡1?平面ABCD,BL>u平面ABCD,所以441_LBD,

又A3CD為正方形，所以3D1.AC,

因為44,AC=A,A4，ACu平面ACC0,所以班平面ACGA，

又AOU平面ACGA，所以B正確；C選項：記平面AOB平面C8=/,

因為AS〃CD,平面COD,CDu平面COD,所以AB//平面COD,

又TWU平面AQB,所以A3///,所以C。///,記A氏CD的中點分別為,

由正方體性質(zhì)可知，OA=OB,所以O(shè)E_LAB,所以O(shè)E_U,

同理，OFLI,所以/EO產(chǎn)是平面AQB和平面COD的夾角或其補角，

又對稱性可知，二口乃為等腰三角形，故NEC不為銳角，C錯誤；

D選項：因為AB〃/,ABc2C|D=B,所以/與平面BCQ相交，D錯誤.

故選：B

EB

6.A

【分析】利用兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到方程組，即可求出sinasin/、

cosacos[3,再求出cos(a+/7)即可.

【詳解】因為cos(a-77)=*,tana-tan/3=—,

64

cosacos，+sinasin/=，c2

cosacosp=—

所以，解得

sinasin(3_1?

si?nasmpc=—1

cosacos[34

所以cos(a+尸)=cosacos/?—sinasin0=g

又所以a+/e(O,7i),所以々+￡=

故選：A

7.B

【分析】結(jié)合題意可得PMPNLON,即可借助點到直線的距離公式表示出忸好?|/W|=g,即

可計算出〃的值，即可得離心率.

2

【詳解】設(shè)尸(不，幾卜_當(dāng)_=],BPb2x1-a2yl=a2b2,

b2

b

由題意可得？MLQ0、PNLON,漸近線方程為y=±—x,

a

故IPMNPM=的+a%H”一取Li戈L*=6

1111，2?-2

a+ba1+b2a2+b2

又網(wǎng)店o),故c=5貝"/二人5-a2=6,即/—5/+6=0,

解得a?=2或a?=3,貝Uz?2=3或/=2,由a>5>0,

故4=3,護(hù)=2,即a=JL貝|?=￡=里=姮

av33

故選：B.

8.C

【分析】利用圓臺表面積得母線長和圓臺的高，由勾股定理求出球的半徑，可計算體積.

【詳解】設(shè)圓臺母線長為/,上、下底面半徑分別為4和4,

則圓臺側(cè)面積為S=兀（4+馬）/=兀（1+2）/=3兀/,

上、下底面面積分別為花和4兀.

由圓臺表面積為（5+3夜卜，得1=芯,

所以圓臺反）/z=J尸-億-4）一=12-1=1,

設(shè)球。半徑為R,圓臺軸截面ABCD為等腰梯形，且M=4,C￡>=2,高為1.

作OM_LAB于點V,

設(shè)OM=x,由r+〃？=2<碎，則球心。在圓臺外部.

R2=4+尤2

則有,,、2，解得尤=LR=正，

R-=1+（1+尤）一

所以球。的體積為生畫.

3

故選：C.

9.ABD

【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計算極差判斷選項A；計算各輪總成績判斷選項B,由數(shù)據(jù)波動性判斷選項

C,計算平均值判斷選項D.

【詳解】三輪射擊9項成績極差為106.5-105=1.5,A正確；

第四輪的總成績?yōu)?17.3環(huán)，第五輪的總成績?yōu)?17.5環(huán)，第六輪的總成績?yōu)?16.2環(huán)，B正確；

王芝琳的射擊成績波動小，最穩(wěn)定，C錯誤；

黃雨婷的平均成績約為105.67,韓佳予的平均成績?yōu)?06,王芝琳的平均成績約為105.33,D正確.

故選：ABD.

10.BD

【分析】首先表示出拋物線的焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，由距離公式得到方程，即可求出〃，求出拋物線方

程，即可判斷A、C,根據(jù)拋物線的定義判斷B,求出P點坐標(biāo)，即可判斷D.

【詳解】拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為dgo],準(zhǔn)線方程為一光,

2

又點囪2,⑹滿足陽司=2|0h，所以^￡-2^+(0-73)=24，

-14

即3/r+8。-28=0,解得p=2或。=一§(舍去)，

所以拋物線C：V=4x,則準(zhǔn)線方程為x=-l,焦點為廠。,0),故A錯誤；

過點尸作準(zhǔn)線x=-l的垂線，垂足為由拋物線的定義可知|PH|=|「耳，

所以C.^\PM\+\MF\+\PF\=\PM\+\MF\+\PH\^\PM\+\PH\+2>\MH\+2^5,

當(dāng)且僅當(dāng)M、尸、H三點共線時取等號，

所以△〃期周長的最小值為5,故B正確；

因為左加=叵心=退，所以直線M尸的傾斜角為/，故C錯誤；

2-13

過點M作。方的平行線，交拋物線于點尸，

y=35

則|MH=2_z=a#|O司，

y=石

所以四邊形0pM廠不是平行四邊形，故D正確.

故選：BD

11.ACD

【分析】令x=V=l求出/⑴，令x=y=-l求出〃-1),再令y=-l即可得到函數(shù)的奇偶性，從而判斷

A、B,令y=g(x*o)即可判斷C,令y=2結(jié)合"2)=2,即可得到/'(2")=2",從而判斷D.

【詳解】因為Vx,yeR,/(孫)+孫=#(，)+M(x),

令x=y=l,可得+1=+則/(1)=1,

令無=y=-l,可得/⑴+1=_/(_1)一/(_1),則/(-1)=一1,

令x=y=o,可得〃0)=0,

令y=-l,可得/（-X=,所以/（-?=-/（力,所以〃x）為奇函數(shù)，故A正確;

因為/（T）=T、〃1）=1，所以〃x）不可能為R上減函數(shù)，故B錯誤；

令可得/⑴+廣4臼+與⑴，所以對｛m+5（x）=2,故C正確;

令y=2可得/（2x）+2x=?（2）+2/（x）,因為〃2）=2,

所以/（2x）=2〃x）,所以〃4）=2/（2）=22,/（8）=2/（4）=23,

所以/（2〃）=2〃，

10比。.2（「叫

所以4/(2')=21+22+=2046,故D正確.

k=l一1-2

故選：ACD

12.96

【分析】由特殊元素優(yōu)先安排，則先安排A地，后安排剩余4個鄉(xiāng)村，再結(jié)合分步乘法求解即可.

【詳解】第一步，由于甲不派往鄉(xiāng)村4則A地有C：種選派方法,

第二步，其他4個鄉(xiāng)村有A：種選派方法，所以共有C；A：=96種選派方法.

故答案為：96.

13.y=l##y-l=0

【分析】首先將點的坐標(biāo)代入圓的方程，即可求出E、F,從而得到圓心坐標(biāo)即ABC的外心坐標(biāo)，再

確定AfiC的重心坐標(biāo)，即可得解.

2

【詳解】依題意.f2+2MF=N0『'解得［f八￡=--42，

所以圓％之+J一4工一2丁=0,即（x-2）2+（y-l）2=5,故圓心坐標(biāo)為（2,1）,

即ABC的外心坐標(biāo)為（2,1）,又..ABC的重心坐標(biāo)為［T」），

又點（2,1）、均在直線、=1上，所以ASC的歐拉線方程為y=L

故答案為：J-1

14.B12

2

【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得2,結(jié)合重要不等式及三角形面積公式即可求得三角形面積的最大值；運

用正弦定理可得sin4=身，sinC=叵，由余弦定理可得〃=4-℃,代入求解即可.

2b2b

【詳解】由題意知，23=A+C,

-7T

又A+_B+C=7T,所以5=“

又〃2+/=4,a2+c2>lac,當(dāng)且僅當(dāng)。時取等號,

所以改工2,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,

r

所以5AA”=LesinB=—acsin—=ac<，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號.

△Me22342

故.ABC面積的最大值為1.

2

ac_b

因為

sinAsinCsinB

匚匚2,asinBy/3a.-csinB6c

物以sinA=--------=------，sinC=---------=------

b2bb2b

所以4sinAsinC=4x^^xV3c_3ac

2b國二守'

JT

由余弦定理得/=a2+c2-2accosB=4-2accos—=4-ac,

所以(4sinAsinC+3)b2=(券+3)Z>2=3ac+3b2=3ac+3(4-ac)=12.

故答案為：—；12.

2

15.(l)a=l,6=4

（2）/（同在（1,y）上單調(diào)遞增

【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可得；

（2）借助導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的最值后即可得原函數(shù)的單調(diào)性.

【詳解】（1）;⑺=21n（尤-1）+生產(chǎn)，由題意可得了'（2）=3,/⑵=3x2-2=4,

X-1

貝了（2）=21n（2_l）+（2x2_a）.'=0+4_a=3,可得。=1,

2—1

f（2）=（2x2-a）ln（2-l）+b=b=4f

即a=1,b=4；

9_i

（2）/（x）=（2x-l）ln（x-l）+4,/r（x）=21n（x-l）+---r----（x>l）,

x—1

7r—1

令g(尤

x-1

22(九一1)—(2九一1)2尤—3

則g'(x)-----------1------------------------o----------

(x-1)二’

當(dāng)xe,目時，g<x)<0,當(dāng)xe,，+oo)時,g［x)>0,

故g(x)在11,目上單調(diào)遞減，在［，+國［上單調(diào)遞增，

2x3-1

21n|-1+

即g(x)=1(x)”2=4-21n2>0,

F

2

故"X)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

16.(1)—

10

(2)選擇方案一，理由見解析.

【分析】(1)根據(jù)全概率計算公式求解即可.

(2)計算兩種不同方案的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)期望的意義比較期望值的大小即可判斷.

【詳解】(1)設(shè)3="任取一件產(chǎn)品為優(yōu)品”，

4="產(chǎn)品為第i號生產(chǎn)線生產(chǎn)”。=1,2,3),

由全概率公式得：

P(B)=P(A)P(B|4)+P(%)P(B14)+p(A3)p(B|4)

9

=20%x0.85+20%x0.8+60%x0.95=—

10

則從所有產(chǎn)品中任取一件是良品的概率為：

-91

P(B)=l-P(B)=l——=

1010

(2)選擇方案一，理由如下：

設(shè)從甲企業(yè)購進(jìn)設(shè)備的費用為X元，

則X可取：60000,90000,

9981

由(1)知：P(X=60000)=—x—=——

1010100

91191119

P(X=90000)=——x——+——x——十——x——=——

101010101010100

所以5(X)=60000X—+90000x—=65700.

100100

設(shè)從乙企業(yè)購進(jìn)設(shè)備的費用為y元，

貝E(K)=23000x3=69000,

因為E(X)<E(F),

故選擇方案一比較合適.

17.(1)證明見解析

⑵g

【分析】(1)首先由線面垂直的性質(zhì)得到BCLPE,BC1PC,即可說明尸ELAC,從而得到「￡，平

面A5C,即可得證；

(2)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.

【詳解】(1)因為BC1平面PAC,PE,PCu平面R4C,所以3CJ_PE,BC1PC,

又點E滿足AE=2EC,AC=3,所以CE=1,

在RtPBC中pc=dPB2—BC2=叵，

在.尸CE中，PE=CE=1,^PC2=PE-+CE2,所以PELAC,

又ACBC=C,AC,8Cu平面ABC,所以尸E_L平面ABC,

又尸Eu平面尸BE,

所以平面尸BE_L平面ABC.

(2)由(1)可知PE_L平面ABC,PEu平面PAC,所以平面R4C_L平面ABC,

在平面PAC內(nèi)過點C作Cz//PE,則Cz,平面ABC,又3cl平面PAC,ACu平面PAC,所以

BCLAC,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0),4(0,3,0),B(V3,0,0),￡(0,1,0),尸(0,1,1),

所以以=(0,2,-1),AB=(V3,-3,0),04=(0,3,0),

設(shè)AO=tAB=(?,-3t,0)(fe[0,1]),

所以CD=C4+AZ)=(",3-3f,0),￡￡=(-73,1,0),

因為3EJLCD,所以BE,CD=0，即~\/3x-\/3f+1x(3—3?)+0x0=0,解得7=5,

f733)

所以。為AB的中點，則。^-,-,0,

Go]

設(shè)平面PCD的法向量為祖=（x,y,z）,又CD=CP=(0,1,1),

me=%+>。,取行("TI)

則

mCP=y+z=0

設(shè)直線PA與平面PCD所成角為e,

m-PA|0x>^+2x(-l)+(-l)xl|3

貝I]sin6(=-^一L

A/5XA/5-5

.3

所以直線PA與平面PCD所成角的正弦值為M

【分析】（1）C經(jīng)過E的焦點及點。在C上，列方程組求出可求E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)直線方程，與橢圓和圓聯(lián)立方程組，求P,Q兩點坐標(biāo)，表示出|尸。|,利用基本不等式求取最小

值時參數(shù)的值，得/的方程.

【詳解】⑴依題意得A（a,O）,8（0,6）,由An=；AB,得

代入C的方程/+丁=1中，得它+^=i,①

99

又C經(jīng)過E的焦點，得c=l,BPa2-b2=l,②

2

由①②解得"五力=i所以E的方程為三+y'L

（2）解法一：依題意，設(shè)/的方程為＞=區(qū)+6（封0,少0）,加（%,乂）3（孫力），。伉，％），

則有心丁i%=土，號可

由/與。相切，得,女2]=1，即b2=k2+l,

,+y；=i/\（_\

又22,兩式相減得為5魯』+（%+%）（%—x）=o,

【"二1'

必+M=九71=1k=%=%+%=1

0Q

x2+xx2(%—X)2k'xQx2+x12k

則直線OQ的方程為>=-4無，

2k

y=kx+b

2kbb

聯(lián)立方程組1，解得毛=2，y2

y-----x2k+l°~2k+l

Rt△。尸。中，QP|=1,當(dāng)|尸。|最大時，|。0最大,

](4/？+D(4+I)l4k4+5k2+l

\4k4+4k2+l

J1+k~—=11+1-

V4/+止+1J正+,4,

由4左2+g+4N2,公.g+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)后=-日時取等號,

,即|。0的最大值為手，止匕時左=-孝,

得|。0區(qū)b=晅,

2

故/的方程為工+五丫-6=0.

解法二：

依題意，設(shè)/的方程為x=wy+〃（訊0,〃）。）,

M（石，X），N（z，%）,。（尤O,%），P（W，%），

x=my+n

聯(lián)立方程組二2_,化簡得（根2+2）產(chǎn)+2加"〉+"2一2=0,

丁'=

2mnmn

由A>0,^m2-n2+2>0,%+%=-

-m2+,2c，，。-m2+,2c，

：；[；，化簡得（機(jī)？+l）y2+2根〃y+〃2-i=o,

聯(lián)立方程組

mn

由△=0,得〃2一機(jī)2=1,曠一—

又(-m)+［；42四，當(dāng)且僅當(dāng)加=一0時取等號，則盧。區(qū)或=(

當(dāng)|PQ|最大時，m=-A/2,?=A/3,

故/的方程為x+VIy_g=0.

【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去尤(或y)建立一元

二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，要強(qiáng)化有關(guān)直線與

圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積

等問題.

19.(1)A={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1))

(2)不存在完美4維向量集，理由見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)利用T的完美〃維向量集定義求解即可.

(2)分別研究T=0,T=l,T=2,T=3,T=4時〃，結(jié)合新定義及集合中元素的互異性即可判斷.

(3)依題意可得Sl+S2+-+Sn=nT,運用反證法，假設(shè)存在左，使得T+1V及口，不妨設(shè)T+1<Sx<n,

分別從工=〃及T+lVS】〈〃兩方面證得矛盾即可得&VT,進(jìn)而可證得結(jié)果.

【詳解】(