2023-2024學(xué)年江蘇百校大聯(lián)考高考模擬卷數(shù)學(xué)試題含解析

2023-2024學(xué)年江蘇百校大聯(lián)考高考卷數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.定義在R上的偶函數(shù)/（%）滿足，（x+l）=-}j（〃x）w0）,且在區(qū)間（2017,2018）上單調(diào)遞減，已知。，，是

銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則/（sin/?）,/（cos夕）的大小關(guān)系是（）

A./(sin/?)</(coscr)B./(sin/?)>/(cose)

C./(sin/5)=/(costz)D.以上情況均有可能

2.已知棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為（）

△也

?—272-<VFf

△

A.2血B.2月C.4D.2網(wǎng)

3."a豐是cosawcos0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢(mèng)”的長(zhǎng)寬比為血：1.在東方文化中通常稱這個(gè)比例為“白銀比例”，該比例在設(shè)計(jì)和

建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺(tái)

到塔底的高度之比，第二展望臺(tái)到塔底的高度與第一展望臺(tái)到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺(tái)間高度

差為100米，則下列選項(xiàng)中與該塔的實(shí)際高度最接近的是（）

A.400米B.480米

C.520米D.600米

5.某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠2017年至2019年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：2017年該工廠

口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占40%、27%、33%）,根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）

A.2019年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少

B.這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯

C.三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩

D.口罩的產(chǎn)量逐年增加

已知函數(shù)，(x)=3x+2cosx,若。=/(3&)，人=/(2),

6.c=/(log27),則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

7.已知復(fù)數(shù)々=(l+2i)(1+ai)(aGZ?),若zCR,則實(shí)數(shù)。=)

D.-2

)

D.242

9.如圖，平面四邊形ACB。中，AB±BC,AB=6,BC=2,AABD為等邊三角形，現(xiàn)將△ABD沿AB翻

折，使點(diǎn)。移動(dòng)至點(diǎn)尸，且則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()

p

A.8"B.6TTC.4萬(wàn)D--------TC

3

10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為()

A.16B.48C.96D.128

11.已知向量a,8滿足仍1=2,且a與匕的夾角為120。，則b-34=()

A.而B(niǎo).后C.2A/10D.743

12.已知向量a*滿足|a|=l,|〃|=/，且a與人的夾角為J,則-力=()

6

1313

A.-B.一一C.一一D.-

2222

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在ABC中，2Afi=3AC,AO是41c的角平分線，設(shè)AD=〃zAC,則實(shí)數(shù)〃？的取值范圍是.

14.如圖，為測(cè)量出高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得4點(diǎn)的仰角NM4N=60°，C

點(diǎn)的仰角NCAB=45°以及NMAC=75°;從C點(diǎn)測(cè)得N/C4=60°.已知山高5。=100〃?，則山高

MN=m.

15.在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，BD=xBA,CE=yCA,x>0,y>0,x+2y=l,則的取值范圍為.

16.設(shè)S,,為數(shù)列｛a,J的前九項(xiàng)和，若a=>0,q=l,且25“=%（%+力，nwN*，貝U=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱錐P—A3C￡>中，四邊形A3CZ>為平行四邊形，BD±DC,APCD為正三角形，平面PC。，

平面ABC。，E為PC的中點(diǎn).

（1）證明：AP〃平面E3。；

（2）證明：BELPC.

18.（12分）已知函數(shù)/（尤）=瞳03%

（1）若x<0,求證：/（%）<|；

（2）若尤>0,恒有左+3）x+21nx+l,求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

X—t

19.（12分）已知直線/的參數(shù)方程：\C為參數(shù)）和圓。的極坐標(biāo)方程：夕=2sin，

y=l+2t

（1）將直線/的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)M（l,3）,直線/與圓C相交于A、B兩點(diǎn),求的值.

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=lnx-nu-m2X2（^R）.

（1）討論函數(shù)/（尤）的極值；

⑵記關(guān)于x的方程/（1）+療f=o的兩根分別為p,g（p<q）,求證：lnp+lnq>2.

21.（12分）甲、乙兩班各派三名同學(xué)參加知識(shí)競(jìng)賽，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分，假設(shè)甲班三名

222I

同學(xué)答對(duì)的概率都是彳，乙班三名同學(xué)答對(duì)的概率分別是彳，且這六名同學(xué)答題正確與否相互之間沒(méi)有影響.

3332

（1）記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件A,求事件A發(fā)生的概率；

（2）用X表示甲班總得分，求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

22.（10分）某大學(xué)生在開(kāi)學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè)，在一個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)，每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元，

未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料，得到開(kāi)學(xué)季市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.該同學(xué)為這個(gè)開(kāi)

學(xué)季進(jìn)了160盒該產(chǎn)品，以x（單位：盒，lOOWxW200）表示這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)的市場(chǎng)需求量，V（單位：元）表示這

個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤(rùn).

（1）根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量x的平均數(shù)和眾數(shù)；

（2）將V表示為x的函數(shù)；

（3）以需求量的頻率作為各需求量的概率，求開(kāi)學(xué)季利潤(rùn)不少于4800元的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

由已知可求得函數(shù)的周期，根據(jù)周期及偶函數(shù)的對(duì)稱性可求/（x）在（0,1）上的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較.

【詳解】

由f(x+1)=可得于(x+2)=/[(%+1)+1]=-/八=/(X),即函數(shù)的周期T=2,

/⑺/(x+1)

因?yàn)樵趨^(qū)間(2017,2018)上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，

根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，Ax)在(0』)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閏,夕是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，

所以外萬(wàn)6(0,;乃)且1+夕>3"即1>3"一夕，

所以costz<cos(5?—/?)即0<cos。<sin/?<1,

/(costz)</(sin/7).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

2、B

【解析】

由三視圖可知，該三棱錐如圖，其中底面ABC是等腰直角三角形，PC，平面ABC,結(jié)合三視圖求出每個(gè)面的面積即

可.

【詳解】

由三視圖可知，該三棱錐如圖所示：

其中底面ABC是等腰直角三角形，PC,平面ABC,

由三視圖知，PC=2,AB=2叵

因?yàn)镻C，8C,PC，AC,AC=5C,AC，C6,

所以AC=BC=2,PA=尸8=AB=2夜，

所以SAPAC=3Ape5=S0CB=]X2X2=2，

因?yàn)锳E4B為等邊三角形，

所以SAPAB=￥A§2=￥X（2忘）=2百,

所以該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為26.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖還原幾何體并求其面積；考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)

鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

3、B

【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.

【詳解】

?=/7=>cosa=cos/3所以cosa豐cos/30a手B（逆否命題）必要性成立

當(dāng)a=-Bncosa=cos0,不充分

故是必要不充分條件，答案選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了充分必要條件，屬于簡(jiǎn)單題.

4、B

【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系，結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)的距離，進(jìn)而由比例即可求得該塔的實(shí)

際高度.

【詳解】

設(shè)第一展望臺(tái)到塔底的高度為x米，塔的實(shí)際高度為y米，幾何關(guān)系如下圖所示：

y700

X

由題意可得也寧=0,解得x=100(應(yīng)+1)；

且滿足一三=行，

%+100

故解得塔高y=(x+100)V2=200(V2+11480米，即塔高約為480米.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)中國(guó)文化的理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的

正誤.綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

由于該工廠2017年至2019年的產(chǎn)量未知，所以，從2017年至2019年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無(wú)法

比較，故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由堆積圖可知，從2017年至2019年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最

多的是口罩，C選項(xiàng)正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得/(x)在R上為增函數(shù)，又由

2=log24<log27<3<3^,分析可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=3x+2cosx,其導(dǎo)數(shù)函數(shù)/v)=3-2sinx,

則有廣(尤)=3-2sinx>0在R上恒成立，

則在R上為增函數(shù)；

又由2=log24<log27<3<3^,

則b<c<a；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

化簡(jiǎn)z=(1+2Z)(1+ai)=(1—2a)+(a+2)i,再根據(jù)zWR求解.

【詳解】

因?yàn)閦=(l+2i)(1+ai)=(1—2a)+(a+2)i,

又因?yàn)閆WR,

所以a+2=0,

解得a=-2.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個(gè)四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計(jì)算各棱的長(zhǎng)度.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示：

B

ED

由三視圖知：|AD|=2,\CE\=V3,\SD\=2,

所以|SC|=\DC\=2,

所以慟=+⑷?=2y[2,\SB\=Jscf+附=2亞,

所以該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為20

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

9、A

【解析】

將三棱錐P-A8C補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心。應(yīng)在棱柱上下底面三角

形的外心連線上，在RfOBE中,計(jì)算半徑03即可.

【詳解】

由PB1BC,可知平面？AB.

將三棱錐P-ABC補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同.

由此易知外接球球心。應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上,

記△ABP的外心為E,由"BD為等邊三角形，

可得班=1.又0E=H=1,故在RtOBE中,OB=應(yīng),

此即為外接球半徑，從而外接球表面積為8〃.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.

10、B

【解析】

列出每一次循環(huán)，直到計(jì)數(shù)變量i滿足，〉3退出循環(huán).

【詳解】

第一次循環(huán)：S=21(l+l)=4,z=2；第二次循環(huán)：5=4+22(1+2)=16,7=3；

第三次循環(huán)：5=16+23(1+3)=48,，=4,退出循環(huán)，輸出的S為48.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容易題.

11、D

【解析】

先計(jì)算。力，然后將卜-進(jìn)行平方,，可得結(jié)果.

【詳解】

由題意可得：

a-b=|a||z?|cosl20=1x2x]—g)=—l

.?.(a-36)-a-6a-b+9b=1+6+36=43

貝(]-3Z?|=J43.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是向量的數(shù)量積的運(yùn)算和模的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題。

12、A

【解析】

根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開(kāi)后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.

【詳解】

(a+V)?(2ci—b)—2a—b+a，b=2—3+1x-\/3x~~~=5,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、巧

【解析】

設(shè)AB=3f,AC=2t,ZBAD=ACAD=tz,由SABAD+SACAD=SABAC,用面積公式表示面積可得到m=geosa,

利用即得解.

【詳解】

設(shè)AB=3f,AC=2t,ZBAD=ZCAD=a,

由^^BAD十^ACAD=SABAC得：

—?3t-2mt?sin。+工?2%?2mt-sinor=—?-sin2a,

222

化簡(jiǎn)得根=(cos。，

由于(Ze]。,?],

故加

故答案為：[o,g]

【點(diǎn)睛】

本題考查了解三角形綜合，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

14、1

【解析】

試題分析：在ABC中，^BAC=45°,ZABC=90°,BC=100,AC==10072,在AMC中，

sin45°

-ZMAC=75°,ZMCA=60°,/.ZAMC=45°,由正弦定理可得———=———，即四="迪，解

sinZACMsinZAMCsin60°sin45°

得AM=IO。6,在Rt.AMN中，MN=AM-sinZMAN=10073xsin600

=150(m).

故答案為1.

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用.

3

15、(-2,--]

【解析】

建立直角坐標(biāo)系，依題意可求得。￡>-8力=2肛+2x+2y—4,而x>0,y>0,x+y=l,故可得y=l-x,且

xe(0,l),由此構(gòu)造函數(shù)/(x)=—2/+2x—2,0<x<l,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍.

【詳解】

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A(—l,0),2(1,0),c(0,V3),設(shè)。(占，0),E(X2,%)，

根據(jù)3D=x3A，即(七一1，0)=%(一2,0),則X]=l—2x,

CE—yCA,即(x2,%—=y(—1,—A/3)>貝!J%=~y>%=—+,\/3，

所以CD-BE=(石g)?(%T,%)，

=xl(x2-l)-s/3y2=(l-2x)(-y-l)-3(-y+l)=2xy+2x+2y-4,

-x>0,y>0,x+y^l,

.-.y=l-x,且xe(0,l),

^CD-BE=2X(1-X)+2X+2(1-X)-4=-2X2+2X-2,

設(shè)/(x)=—2必+2%—2,0<%<1,易知二次函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸為x=3，

故函數(shù)”x)在[0,1]上的最大值為/(；)=—g,最小值為/(0)=/(1)=-2,

3

椒CDBE的取值范圍為(-2,--].

3

故答案為：(—2,——].

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,

求解時(shí)注意通過(guò)設(shè)元、消元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問(wèn)題.

16、55

【解析】

由題可得=%(%+f)=2%,解得f=l,所以2S,="“(%+1),2sI=凡+](%+1+1),

上述兩式相減可得2s-2Sn=2an+l=an+l(an+1+V)-an(a?+1),BR(an+l+an)(a?+1--1)=0,

因?yàn)?。“?,所以凡+|-a,-1=。，BP??+1~an=l,

所以數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

10x9

所以Ho=10xl+^^xl=55.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)連結(jié)AC交RD于點(diǎn)O,連結(jié)OE,利用三角形中位線可得A尸〃OE,從而可證AP〃平面E5O；

(2)先證明BO_L平面PC。，再證明PCJ_平面BOE,從而可證3E_LPC.

【詳解】

證明：(1)連結(jié)AC交5。于點(diǎn)0,連結(jié)。E

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形

.?.0為AC中點(diǎn)，

又E為PC中點(diǎn)，

故AP〃0E,

又AP<Z平面E3D,OEu平面E5O

所以AP〃平面EBD；

(2)?.'△PC。為正三角形，E為PC中點(diǎn)

所以PC_LOE

因?yàn)槠矫鍼C￡)_L平面ABCD,

平面PCD平面ABCD=CD,

又BDu平面ABC。，BD±CD

.*.3O_L平面PCD

又PCu平面PCD,故PCLBD

又BDDE=D,3。u平面BOE,OEu平面BOE

故PC_L平面BDE

又BEu平面BDE,

所以BE±PC.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，線面平行一般轉(zhuǎn)化為線線平行來(lái)證明，直線與直線垂直通常利用線面垂直來(lái)進(jìn)行

證明，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

18、(1)見(jiàn)解析；(2)(-oo,0]

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)求x<°時(shí)'<)的極大值為(』=底，即證/⑴行⑵等價(jià)于七一--

x?/%—一21nx—1

x>0,令g(x)=——\x>0,再求函數(shù)g(x)的最小值得解.

X

【詳解】

(1),函數(shù)f(x)=x2e3x,/.fr(x)=2xe3x+3x2e3x=x(3x+2)e3x.

22

由r(x)>o,得xv--或x>o；由r(x)<o,得一一<%<0,

33

22

/?f(x)在(-8,--)內(nèi)遞增，在(-—,0)內(nèi)遞減，在(0,+oo)內(nèi)遞增,

33

???f(X)的極大值為了

4x.x2/%_3%—2\nx—1

z(2)x.x2?e3x>(zk+3)x+21nx+l,..k<-----------------，x>0,

X

2X

A/、X,€^—3x—2IriX—1rmi,/、/(I+3%)/，+21〃%—1

令g(x)=-----------------，x>0,則gr(x)=一-------------------，

XX

令h(x)=x2(l+3x)e3x+21nx-1,則h(x)在(0,+co)上單調(diào)遞增,

且x―0+時(shí)，h(x)--oo,h(1)=4e3-1>0,

工存在xo￡(0,1),使得h(xo)=0,

???當(dāng)(0,xo)時(shí)，gr(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x￡(xo,+co)時(shí)，gr(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

-3XQ-2InXQ-1

.*.g(X)在(0,+oo)上的最小值是g(xo)

%

1-2In/

Vh(xo)=x；(l+3%o)e*°+2Inxo-1=0,所以、e3&=

l+3x0

令入；/殉=1,21nx0+3x0=0,

l-21nxn1clc八

令^----=1,21nx0+3x0=0

所以端-J}}。：1,21nx0=-3x0,

XQ—3%Q—21nXg—11—3x)+3x)—1

.,.g(xo)=-------------------=-------------=0

xoxo

實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-8,0].

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用證明不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值和解答不等式的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌

握水平和分析推理能力.

19、(1)I：y=2x+l,C：/+(y-l)2=l；(2)2亞

【解析】

(1)消去參數(shù)/求得直線/的普通方程，將夕=2sin，兩邊同乘以夕，化簡(jiǎn)求得圓C的直角坐標(biāo)方程.

(2)求得直線/的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入圓的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)后寫出韋達(dá)定理，根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義，求得

|舷4|+|聞8|的值.

【詳解】

(1)消去參數(shù)/,得直線/的普通方程為y=2x+l,

將夕=2sind兩邊同乘以「得"=2psin6,x2+(y-l)2=1,

.?.圓C的直角坐標(biāo)方程為V+(y-=1；

E+g

X—t

(2)經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)”(1,3)在直線/上一,c可轉(zhuǎn)化為＜5①,

[y=i+2t

y=3+巫t

-5

將①式代入圓C的直角坐標(biāo)方程為尤2+(y-=1得，+半f

二1,

化簡(jiǎn)得產(chǎn)+26+4=0,

設(shè)％,12是方程/+2^/5Z+4=0的兩根，則:+,2=—2^/^,=4,

?.*—4>0,.?.%與%2同號(hào)，

由/的幾何意義得|八例+。叫=網(wǎng)+回=,+胃=2石.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查利用直線參數(shù)的幾何意義求解距離問(wèn)題,

屬于中檔題.

20、(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)m討論，得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；

(2)，4是方程/(%)+加2%2=0的兩根，代入方程，化簡(jiǎn)換元，構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.

【詳解】

/?、./、1c21-mx-2m~x~

(1)依題意，f(x)=--m-2mx=--------------------

xxx

若加=0,則/'(x)=L>0,則函數(shù)/(九)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

此時(shí)函數(shù)/(尤)既無(wú)極大值，也無(wú)極小值；

若機(jī)>0,貝Ul+mx>0,令/'(x)=。，解得x=^—,

2m

故當(dāng)xe(0,二一)時(shí)，尸(幻>0,/(九)單調(diào)遞增；

2m

當(dāng)xe(2-,+s)時(shí)，ruxo,/(九)單調(diào)遞減，

2m

此時(shí)函數(shù)/(x)有極大值A(chǔ)?—)=InM?，一—(，_)2=lnJ__3無(wú)極小值；

2m2m2m2m2m4

若相<0,則l-2mx>0,令/'(x)=。，解得%=--,

m

故當(dāng)元￡(0,-,)時(shí)，r(x)>o,單調(diào)遞增；

m

當(dāng)xe(—',+(?)時(shí)，/(%)<0,/(尤)單調(diào)遞減，

m

此時(shí)函數(shù)f(x)有極大值/[--Uln(--),無(wú)極小值；

mJmmmm

(2)依題意，lnx—〃ir=O,貝!|lnp=7%p,lnq=mg,

故Inq-lnp=,Inp+lnq=m(p+q)；

要證：ln〃+Inq>2,即證7律(p+q)>2,

In?-Inp、-,q2(q-p)

即證：———~(zp+q)>2,即證In，〉i',

q—pPP+Q

設(shè)旦只需證：hn>跑二D?>1),

Pt+1

設(shè)g?)=lnf—?jiǎng)tg'Q)=^^〉O，

t+it(t+iy

故g。)在。,+⑹上單調(diào)遞增，故g(/)>g(l)=O,

即Inf〉20°,故In夕+Inq>2.

%+1

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.

證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證明一元不等式，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)>g(x)的基本

方法：

⑴若fM與g(x)的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明/。篇>g。).；

⑵若八無(wú))與g(無(wú))的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)〃(x)="x)—g(x),然后根據(jù)函數(shù)以幻的單調(diào)性或最值，證明

/z(x)>0

21、(1)或(2)分布列見(jiàn)解析，期望為20

243

【解析】

(1)利用相互獨(dú)立事件概率公式求解即可;

(2)由題意知，隨機(jī)變量X可能的取值為0,10,20,30,分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并代入數(shù)學(xué)期望公式求解即

可.

【詳解】

(1)由相互