2024屆江蘇省南京市、鹽城市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省南京市、鹽城市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知全集U與集合A，B的關(guān)系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗觀察韋恩圖知，陰影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合為.故選：A.2.復(fù)數(shù)z滿足，（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得：，所以，.故選：C．3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得：，即：，所以，，又，所以，，所以，.故選：A.4.德國(guó)天文學(xué)家約翰尼斯·開普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷·布拉赫等人的觀測(cè)資料和星表，通過本人的觀測(cè)和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運(yùn)動(dòng)第三定律——繞以太陽為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系：，其中M為太陽質(zhì)量，G為引力常量．已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)約為水星的（）A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍〖答案〗B〖解析〗設(shè)火星的公轉(zhuǎn)周期為，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，火星的公轉(zhuǎn)周期為，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，則，，且得：，所以，，即：.故選：B．5.關(guān)于函數(shù)（，，），有下列四個(gè)說法：①的最大值為3②的圖象可由的圖象平移得到③的圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱若有且僅有一個(gè)說法是錯(cuò)誤的，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗說法②可得，說法③可得，則，則，②和③相互矛盾；當(dāng)①②④成立時(shí)，由題意，，，．因?yàn)?，故，，即，；說法①③④成立時(shí)，由題意，，，，則，故不合題意.故選：D.6.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓與軸切于點(diǎn)，直線交圓于兩點(diǎn)，其中在第二象限，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，圓心，到直線距離為，所以，直線的斜率為，則其傾斜角為，則與的的夾角為，所以.故選：D．7.在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在該正方體的表面上，且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋蔖點(diǎn)軌跡為以為直徑的球，如圖，易知中點(diǎn)即為正方體中心，球心在每個(gè)面上的射影為面的中心，設(shè)在底面上的射影為，又正方體的棱長(zhǎng)為，所以，易知，，又動(dòng)點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的軌跡是六個(gè)半徑為a的圓，軌跡長(zhǎng)度為，故選：B．8.用表示x，y中的最小數(shù)．已知函數(shù),則的最大值為()A. B. C. D.ln2〖答案〗C〖解析〗∵，∴，根據(jù)導(dǎo)數(shù)易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;由題意令，即，解得；作出圖象：則的最大值為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)處函數(shù)值，為．故選：C．二、選擇題9.已知，且，，則()A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗∵，∴，同理，∵在時(shí)遞增，故，故A正確；∵，∴B錯(cuò)誤；∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，故，∴C正確；∴，即，∴D正確．故選：ACD．10.有n（，）個(gè)編號(hào)分別為1，2，3，…，n的盒子，1號(hào)盒子中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球，其余盒子中均有1個(gè)白球和1個(gè)黑球．現(xiàn)從1號(hào)盒子任取一球放入2號(hào)盒子；再?gòu)?號(hào)盒子任取一球放入3號(hào)盒子；…；以此類推，記“從號(hào)盒子取出的球是白球”為事件（，2，3，…，n），則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗對(duì)A，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故，所以B正確；對(duì)C，，所以C正確；對(duì)D，由題意：，所以，，，所以，所以，則，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．11.已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，過F的直線交E于點(diǎn)，，E在B處的切線為，過A作與平行的直線，交E于另一點(diǎn)，記與y軸的交點(diǎn)為D，則（）A. B.C. D.面積的最小值為16〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，由題意得，準(zhǔn)線方程為，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，故，A正確；B選項(xiàng)，，直線的斜率為，故直線的方程為，即，聯(lián)立，得，故，所以B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由直線的方程，令得，又，所以，故，故，又由焦半徑公式得，所以C正確；D選項(xiàng)，不妨設(shè)，過B向作平行于y軸的直線交于M，根據(jù)B選項(xiàng)知，，故，根據(jù)直線的方程，當(dāng)時(shí)，，故，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的面積最小值為16，D正確.故選：ACD.三、填空題12.展開式的常數(shù)項(xiàng)為______.〖答案〗15〖解析〗展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故〖答案〗為：15.13.設(shè)雙曲線C：(，)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過F作一條漸近線的垂線，垂足為E．若線段EF的中點(diǎn)在C上，則C的離心率為______．〖答案〗〖解析〗直線EF與漸近線方程聯(lián)立得解得，，∴EF中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又M點(diǎn)在雙曲線上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，得，化簡(jiǎn)得，∴，．故〖答案〗為：．14.已知，且，，則______．〖答案〗〖解析〗由題可知，所以，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，故，所以，兩邊平方后得，故，．故〖答案〗為：四、解答題15.在中，．（1）求B的大?。唬?）延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M，使得．若，求的大?。猓海?）在中，，所以．因?yàn)椋?，即化?jiǎn)得．因?yàn)?，所以，．因?yàn)椋裕?）法1：設(shè)，，則．由（1）知，又，所以在中，．在中，由正弦定理得，即①．在中，由正弦定理得，即②．①÷②，得，即，所以．因?yàn)椋?，所以或，故或．?：設(shè)，則，．因?yàn)?，所以，因此，所以，．在中，由正弦定理得，即，化?jiǎn)得．因?yàn)?，所以或，，故或?6.如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上．（1）若，證明：平面；（2）若二面角的正弦值為，求BQ的長(zhǎng)．（1）證明：取的中點(diǎn)M，連接MP，MB．在四棱臺(tái)中，四邊形是梯形，，，又點(diǎn)M，P分別是棱，的中點(diǎn)，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．從而且，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以．又因平面，平面，所以平面；（2）解：在平面中，作于O．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，過O作AB的平行線交BC于點(diǎn)N，則．以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，，，所以，又，所以．易得，，，，，所以，，．?：設(shè)，所以．設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，另取平面DCQ的一個(gè)法向量為．設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．又，所以，解得（舍負(fù)），因此，．所以當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1．法2：設(shè)，所以．設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，另取平面DCQ的一個(gè)法向量為．設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．又，所以，解得或6（舍），因此．所以當(dāng)二面角正弦值為時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1．法3：在平面中，作，垂足為H．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足為G，連接PG．因?yàn)?，，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因?yàn)?，，所以是二面角的平面角．在四棱臺(tái)中，四邊形是梯形，，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，所以，．設(shè)，則，，在中，，從而．因?yàn)槎娼堑钠矫娼桥c二面角的平面角互補(bǔ)，且二面角的正弦值為，所以，從而．所以在中，，解得或（舍）．所以當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1．17.已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．（1）求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；（2）從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時(shí)n的值．附:若,取,．解：（1）記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D．因?yàn)?，所以，，．所以，所以該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09．（2）從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n件，設(shè)不合格品件數(shù)為X，則，所以．由，解得．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以最大．因此當(dāng)時(shí)，最大．18.已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，直線l：與x軸交于點(diǎn)M，且，（1）求C的方程；（2）B為l上的動(dòng)點(diǎn)，過B作C的兩條切線，分別交y軸于點(diǎn)P，Q，①證明：直線BP，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列；②⊙N經(jīng)過B，P，Q三點(diǎn)，是否存在點(diǎn)B，使得，？若存在，求；若不存在，請(qǐng)說明理由.（1）解：由右焦點(diǎn)為，得，因?yàn)?，所以，若，則，得，無解，若，則，得，所以，因此C的方程.（2）①證明：設(shè)，易知過B且與C相切的直線斜率存在，設(shè)為，聯(lián)立，消去y得，由，得，設(shè)兩條切線BP，BQ的斜率分別為，，則，.設(shè)BF的斜率為，則，因?yàn)椋訠P，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列，②解：法1：在中，令，得，所以，同理，得，所以PQ的中垂線為，易得BP中點(diǎn)為，所以BP的中垂線為，聯(lián)立，解得，所以，，要使，即，整理得，而，所以，解得，，因此，故存在符合題意的點(diǎn)B，使得，此時(shí).法2：在中，令，得，因此，同理可得，所以PQ的中垂線為，因?yàn)锽P中點(diǎn)為，所以BP中垂線為，聯(lián)立，解得，要使，則，所以，即，而，所以，解得，，因此，故存在符合題意的點(diǎn)B，使得，此時(shí).法3：要使，即或，從而，又，所以，因?yàn)?，所以，解得，，所以，故存在符合題意的點(diǎn)B，使得，此時(shí).法4：要使，即或，從而，在中，令，得，故，同理可得，因此，，所以，故，即，整理得，所以，整理得，解得或（舍去），因此，，故存在符合題意點(diǎn)B，使得，此時(shí).法5：要使，即或，在中，令，得，故，同理可得，由等面積法得，即，整理得，所以，整理得，解得或（舍去），因此，，故存在符合題意的點(diǎn)B，使得，此時(shí).19已知，函數(shù)，．（1）若，證明：；（2）若，求a的取值范圍；（3）設(shè)集合，對(duì)于正整數(shù)m，集合，記中元素的個(gè)數(shù)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（1）證明：因?yàn)椋?，，．設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，因此．（2）解：函數(shù)，，方法一：，當(dāng)時(shí)，注意到，故，因此，由（1）得，因此，所以在上單調(diào)遞增，從而，滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，，因?yàn)?，所以存在，使得，則當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，從而，所以在上單調(diào)遞減，因此，不合題意；綜上，．方法二：，當(dāng)時(shí)，注意到，故，因此，由（1）得，因此，所以在上單調(diào)遞增，從而，滿足題意；當(dāng)時(shí)，先證明當(dāng)時(shí)，.令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，有，所以在上單調(diào)遞減，有，因此當(dāng)時(shí)，.又由（1）得，此時(shí)，則且，當(dāng)時(shí)，。所以在上單調(diào)遞減，因此，不合題意；綜上，．所以a的取值范圍為；（3）解：由（1）可知時(shí)，，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，，則，即，，則，得，又，時(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)，都有，，則時(shí)，集合在每個(gè)區(qū)間都有且只有一個(gè)元素，對(duì)于正整數(shù)m，集合，記中元素的個(gè)數(shù)為，由，所以.江蘇省南京市、鹽城市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知全集U與集合A，B的關(guān)系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗觀察韋恩圖知，陰影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合為.故選：A.2.復(fù)數(shù)z滿足，（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得：，所以，.故選：C．3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得：，即：，所以，，又，所以，，所以，.故選：A.4.德國(guó)天文學(xué)家約翰尼斯·開普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷·布拉赫等人的觀測(cè)資料和星表，通過本人的觀測(cè)和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運(yùn)動(dòng)第三定律——繞以太陽為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系：，其中M為太陽質(zhì)量，G為引力常量．已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)約為水星的（）A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍〖答案〗B〖解析〗設(shè)火星的公轉(zhuǎn)周期為，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，火星的公轉(zhuǎn)周期為，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，則，，且得：，所以，，即：.故選：B．5.關(guān)于函數(shù)（，，），有下列四個(gè)說法：①的最大值為3②的圖象可由的圖象平移得到③的圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱若有且僅有一個(gè)說法是錯(cuò)誤的，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗說法②可得，說法③可得，則，則，②和③相互矛盾；當(dāng)①②④成立時(shí)，由題意，，，．因?yàn)?，故，，即，；說法①③④成立時(shí)，由題意，，，，則，故不合題意.故選：D.6.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓與軸切于點(diǎn)，直線交圓于兩點(diǎn)，其中在第二象限，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，圓心，到直線距離為，所以，直線的斜率為，則其傾斜角為，則與的的夾角為，所以.故選：D．7.在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在該正方體的表面上，且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋蔖點(diǎn)軌跡為以為直徑的球，如圖，易知中點(diǎn)即為正方體中心，球心在每個(gè)面上的射影為面的中心，設(shè)在底面上的射影為，又正方體的棱長(zhǎng)為，所以，易知，，又動(dòng)點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的軌跡是六個(gè)半徑為a的圓，軌跡長(zhǎng)度為，故選：B．8.用表示x，y中的最小數(shù)．已知函數(shù),則的最大值為()A. B. C. D.ln2〖答案〗C〖解析〗∵，∴，根據(jù)導(dǎo)數(shù)易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;由題意令，即，解得；作出圖象：則的最大值為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)處函數(shù)值，為．故選：C．二、選擇題9.已知，且，，則()A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗∵，∴，同理，∵在時(shí)遞增，故，故A正確；∵，∴B錯(cuò)誤；∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，故，∴C正確；∴，即，∴D正確．故選：ACD．10.有n（，）個(gè)編號(hào)分別為1，2，3，…，n的盒子，1號(hào)盒子中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球，其余盒子中均有1個(gè)白球和1個(gè)黑球．現(xiàn)從1號(hào)盒子任取一球放入2號(hào)盒子；再?gòu)?號(hào)盒子任取一球放入3號(hào)盒子；…；以此類推，記“從號(hào)盒子取出的球是白球”為事件（，2，3，…，n），則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗對(duì)A，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故，所以B正確；對(duì)C，，所以C正確；對(duì)D，由題意：，所以，，，所以，所以，則，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．11.已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，過F的直線交E于點(diǎn)，，E在B處的切線為，過A作與平行的直線，交E于另一點(diǎn)，記與y軸的交點(diǎn)為D，則（）A. B.C. D.面積的最小值為16〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，由題意得，準(zhǔn)線方程為，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，故，A正確；B選項(xiàng)，，直線的斜率為，故直線的方程為，即，聯(lián)立，得，故，所以B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由直線的方程，令得，又，所以，故，故，又由焦半徑公式得，所以C正確；D選項(xiàng)，不妨設(shè)，過B向作平行于y軸的直線交于M，根據(jù)B選項(xiàng)知，，故，根據(jù)直線的方程，當(dāng)時(shí)，，故，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的面積最小值為16，D正確.故選：ACD.三、填空題12.展開式的常數(shù)項(xiàng)為______.〖答案〗15〖解析〗展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故〖答案〗為：15.13.設(shè)雙曲線C：(，)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過F作一條漸近線的垂線，垂足為E．若線段EF的中點(diǎn)在C上，則C的離心率為______．〖答案〗〖解析〗直線EF與漸近線方程聯(lián)立得解得，，∴EF中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又M點(diǎn)在雙曲線上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，得，化簡(jiǎn)得，∴，．故〖答案〗為：．14.已知，且，，則______．〖答案〗〖解析〗由題可知，所以，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，故，所以，兩邊平方后得，故，．故〖答案〗為：四、解答題15.在中，．（1）求B的大??；（2）延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M，使得．若，求的大?。猓海?）在中，，所以．因?yàn)?，所以，即化?jiǎn)得．因?yàn)椋?，．因?yàn)?，所以．?）法1：設(shè)，，則．由（1）知，又，所以在中，．在中，由正弦定理得，即①．在中，由正弦定理得，即②．①÷②，得，即，所以．因?yàn)?，，所以或，故或．?：設(shè)，則，．因?yàn)?，所以，因此，所以，．在中，由正弦定理得，即，化?jiǎn)得．因?yàn)?，所以或，，故或?6.如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上．（1）若，證明：平面；（2）若二面角的正弦值為，求BQ的長(zhǎng)．（1）證明：取的中點(diǎn)M，連接MP，MB．在四棱臺(tái)中，四邊形是梯形，，，又點(diǎn)M，P分別是棱，的中點(diǎn)，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．從而且，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以．又因平面，平面，所以平面；（2）解：在平面中，作于O．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，過O作AB的平行線交BC于點(diǎn)N，則．以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，，，所以，又，所以．易得，，，，，所以，，．?：設(shè)，所以．設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，另取平面DCQ的一個(gè)法向量為．設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．又，所以，解得（舍負(fù)），因此，．所以當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1．法2：設(shè)，所以．設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，另取平面DCQ的一個(gè)法向量為．設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．又，所以，解得或6（舍），因此．所以當(dāng)二面角正弦值為時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1．法3：在平面中，作，垂足為H．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足為G，連接PG．因?yàn)椋?，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因?yàn)?，，所以是二面角的平面角．在四棱臺(tái)中，四邊形是梯形，，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，所以，．設(shè)，則，，在中，，從而．因?yàn)槎娼堑钠矫娼桥c二面角的平面角互補(bǔ)，且二面角的正弦值為，所以，從而．所以在中，，解得或（舍）．所以當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1．17.已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．（1）求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；（2）從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時(shí)n的值．附:若,取,．解：（1）記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D．因?yàn)椋?，，．所以，所以該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09．（2）從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n件，設(shè)不合格品件數(shù)為X，則，所以．由，解得．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以最大．因此當(dāng)時(shí)，最大．18.已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，直線l：與x軸交于點(diǎn)M，且，（1）求C的方程；（2）B為l上的動(dòng)點(diǎn)，過B作C的兩條切線，分別交y軸于點(diǎn)P，Q，①證明：直線BP，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列；②⊙N經(jīng)過B，P，Q三點(diǎn)，是否存在點(diǎn)B，使得，？若存在，求；若不存在，請(qǐng)說明理由.（1）解：由右焦點(diǎn)為，得，因?yàn)椋?，若，則，得，無解，若，則，得，所以，因此C的方程.（2）①證明：設(shè)，易知過B且與C相切的直線斜率存在