2024屆江蘇省南京市、鹽城市高三第一次模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2江蘇省南京市、鹽城市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學試題一、選擇題1.已知全集U與集合A，B的關系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗觀察韋恩圖知，陰影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合為.故選：A.2.復數(shù)z滿足，（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得：，所以，.故選：C．3.等比數(shù)列的前項和為，已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，由，得：，即：，所以，，又，所以，，所以，.故選：A.4.德國天文學家約翰尼斯·開普勒根據(jù)丹麥天文學家第谷·布拉赫等人的觀測資料和星表，通過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律——繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長a與公轉(zhuǎn)周期T有如下關系：，其中M為太陽質(zhì)量，G為引力常量．已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的（）A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍〖答案〗B〖解析〗設火星的公轉(zhuǎn)周期為，長半軸長為，火星的公轉(zhuǎn)周期為，長半軸長為，則，，且得：，所以，，即：.故選：B．5.關于函數(shù)（，，），有下列四個說法：①的最大值為3②的圖象可由的圖象平移得到③的圖象上相鄰兩個對稱中心間的距離為④的圖象關于直線對稱若有且僅有一個說法是錯誤的，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗說法②可得，說法③可得，則，則，②和③相互矛盾；當①②④成立時，由題意，，，．因為，故，，即，；說法①③④成立時，由題意，，，，則，故不合題意.故選：D.6.設為坐標原點，圓與軸切于點，直線交圓于兩點，其中在第二象限，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，圓心，到直線距離為，所以，直線的斜率為，則其傾斜角為，則與的的夾角為，所以.故選：D．7.在棱長為的正方體中，點分別為棱，的中點．已知動點在該正方體的表面上，且，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，故P點軌跡為以為直徑的球，如圖，易知中點即為正方體中心，球心在每個面上的射影為面的中心，設在底面上的射影為，又正方體的棱長為，所以，易知，，又動點在正方體的表面上運動，所以點的軌跡是六個半徑為a的圓，軌跡長度為，故選：B．8.用表示x，y中的最小數(shù)．已知函數(shù),則的最大值為()A. B. C. D.ln2〖答案〗C〖解析〗∵，∴，根據(jù)導數(shù)易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;由題意令，即，解得；作出圖象：則的最大值為兩函數(shù)圖象交點處函數(shù)值，為．故選：C．二、選擇題9.已知，且，，則()A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗∵，∴，同理，∵在時遞增，故，故A正確；∵，∴B錯誤；∵，，∴，當且僅當時等號成立，而，故，∴C正確；∴，即，∴D正確．故選：ACD．10.有n（，）個編號分別為1，2，3，…，n的盒子，1號盒子中有2個白球和1個黑球，其余盒子中均有1個白球和1個黑球．現(xiàn)從1號盒子任取一球放入2號盒子；再從2號盒子任取一球放入3號盒子；…；以此類推，記“從號盒子取出的球是白球”為事件（，2，3，…，n），則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗對A，，所以A錯誤；對B，，故，所以B正確；對C，，所以C正確；對D，由題意：，所以，，，所以，所以，則，所以D錯誤．故選：BC．11.已知拋物線E：的焦點為F，過F的直線交E于點，，E在B處的切線為，過A作與平行的直線，交E于另一點，記與y軸的交點為D，則（）A. B.C. D.面積的最小值為16〖答案〗ACD〖解析〗A選項，由題意得，準線方程為，直線的斜率存在，故設直線的方程為，聯(lián)立，得，，故，A正確；B選項，，直線的斜率為，故直線的方程為，即，聯(lián)立，得，故，所以B錯誤；C選項，由直線的方程，令得，又，所以，故，故，又由焦半徑公式得，所以C正確；D選項，不妨設，過B向作平行于y軸的直線交于M，根據(jù)B選項知，，故，根據(jù)直線的方程，當時，，故，故，故，當且僅當，即時，等號成立，故的面積最小值為16，D正確.故選：ACD.三、填空題12.展開式的常數(shù)項為______.〖答案〗15〖解析〗展開式的通項公式為，令，解得，所以常數(shù)項為，故〖答案〗為：15.13.設雙曲線C：(，)的一個焦點為F，過F作一條漸近線的垂線，垂足為E．若線段EF的中點在C上，則C的離心率為______．〖答案〗〖解析〗直線EF與漸近線方程聯(lián)立得解得，，∴EF中點M的坐標為，又M點在雙曲線上，代入其標準方程，得，化簡得，∴，．故〖答案〗為：．14.已知，且，，則______．〖答案〗〖解析〗由題可知，所以，所以，因為，所以，又，所以，故，所以，兩邊平方后得，故，．故〖答案〗為：四、解答題15.在中，．（1）求B的大?。唬?）延長BC至點M，使得．若，求的大?。猓海?）在中，，所以．因為，所以，即化簡得．因為，所以，．因為，所以．（2）法1：設，，則．由（1）知，又，所以在中，．在中，由正弦定理得，即①．在中，由正弦定理得，即②．①÷②，得，即，所以．因為，，所以或，故或．法2：設，則，．因為，所以，因此，所以，．在中，由正弦定理得，即，化簡得．因為，所以或，，故或．16.如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，點P是棱的中點，點Q在棱BC上．（1）若，證明：平面；（2）若二面角的正弦值為，求BQ的長．（1）證明：取的中點M，連接MP，MB．在四棱臺中，四邊形是梯形，，，又點M，P分別是棱，的中點，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．從而且，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以．又因平面，平面，所以平面；（2）解：在平面中，作于O．因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，過O作AB的平行線交BC于點N，則．以為正交基底，建立空間直角坐標系．因為四邊形是等腰梯形，，，所以，又，所以．易得，，，，，所以，，．法1：設，所以．設平面PDQ的法向量為，由，得，取，另取平面DCQ的一個法向量為．設二面角的平面角為θ，由題意得．又，所以，解得（舍負），因此，．所以當二面角的正弦值為時，BQ的長為1．法2：設，所以．設平面PDQ的法向量為，由，得，取，另取平面DCQ的一個法向量為．設二面角的平面角為θ，由題意得．又，所以，解得或6（舍），因此．所以當二面角正弦值為時，BQ的長為1．法3：在平面中，作，垂足為H．因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足為G，連接PG．因為，，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因為，，所以是二面角的平面角．在四棱臺中，四邊形是梯形，，，，點P是棱的中點，所以，．設，則，，在中，，從而．因為二面角的平面角與二面角的平面角互補，且二面角的正弦值為，所以，從而．所以在中，，解得或（舍）．所以當二面角的正弦值為時，BQ的長為1．17.已知某種機器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．（1）求該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；（2）從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時n的值．附:若,取,．解：（1）記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D．因為，所以，，．所以，所以該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09．（2）從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取n件，設不合格品件數(shù)為X，則，所以．由，解得．所以當時，；當時，；所以最大．因此當時，最大．18.已知橢圓C：的右焦點為，右頂點為A，直線l：與x軸交于點M，且，（1）求C的方程；（2）B為l上的動點，過B作C的兩條切線，分別交y軸于點P，Q，①證明：直線BP，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列；②⊙N經(jīng)過B，P，Q三點，是否存在點B，使得，？若存在，求；若不存在，請說明理由.（1）解：由右焦點為，得，因為，所以，若，則，得，無解，若，則，得，所以，因此C的方程.（2）①證明：設，易知過B且與C相切的直線斜率存在，設為，聯(lián)立，消去y得，由，得，設兩條切線BP，BQ的斜率分別為，，則，.設BF的斜率為，則，因為，所以BP，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列，②解：法1：在中，令，得，所以，同理，得，所以PQ的中垂線為，易得BP中點為，所以BP的中垂線為，聯(lián)立，解得，所以，，要使，即，整理得，而，所以，解得，，因此，故存在符合題意的點B，使得，此時.法2：在中，令，得，因此，同理可得，所以PQ的中垂線為，因為BP中點為，所以BP中垂線為，聯(lián)立，解得，要使，則，所以，即，而，所以，解得，，因此，故存在符合題意的點B，使得，此時.法3：要使，即或，從而，又，所以，因為，所以，解得，，所以，故存在符合題意的點B，使得，此時.法4：要使，即或，從而，在中，令，得，故，同理可得，因此，，所以，故，即，整理得，所以，整理得，解得或（舍去），因此，，故存在符合題意點B，使得，此時.法5：要使，即或，在中，令，得，故，同理可得，由等面積法得，即，整理得，所以，整理得，解得或（舍去），因此，，故存在符合題意的點B，使得，此時.19已知，函數(shù)，．（1）若，證明：；（2）若，求a的取值范圍；（3）設集合，對于正整數(shù)m，集合，記中元素的個數(shù)為，求數(shù)列的通項公式．（1）證明：因為，所以，，．設，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，因此．（2）解：函數(shù)，，方法一：，當時，注意到，故，因此，由（1）得，因此，所以在上單調(diào)遞增，從而，滿足題意；當時，令，，因為，所以存在，使得，則當時，，，所以在上單調(diào)遞減，從而，所以在上單調(diào)遞減，因此，不合題意；綜上，．方法二：，當時，注意到，故，因此，由（1）得，因此，所以在上單調(diào)遞增，從而，滿足題意；當時，先證明當時，.令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，有，所以在上單調(diào)遞減，有，因此當時，.又由（1）得，此時，則且，當時，。所以在上單調(diào)遞減，因此，不合題意；綜上，．所以a的取值范圍為；（3）解：由（1）可知時，，，時，，時，，時，，，則，即，，則，得，又，時，，時，，所以時，都有，，則時，集合在每個區(qū)間都有且只有一個元素，對于正整數(shù)m，集合，記中元素的個數(shù)為，由，所以.江蘇省南京市、鹽城市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學試題一、選擇題1.已知全集U與集合A，B的關系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗觀察韋恩圖知，陰影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合為.故選：A.2.復數(shù)z滿足，（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得：，所以，.故選：C．3.等比數(shù)列的前項和為，已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，由，得：，即：，所以，，又，所以，，所以，.故選：A.4.德國天文學家約翰尼斯·開普勒根據(jù)丹麥天文學家第谷·布拉赫等人的觀測資料和星表，通過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律——繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長a與公轉(zhuǎn)周期T有如下關系：，其中M為太陽質(zhì)量，G為引力常量．已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的（）A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍〖答案〗B〖解析〗設火星的公轉(zhuǎn)周期為，長半軸長為，火星的公轉(zhuǎn)周期為，長半軸長為，則，，且得：，所以，，即：.故選：B．5.關于函數(shù)（，，），有下列四個說法：①的最大值為3②的圖象可由的圖象平移得到③的圖象上相鄰兩個對稱中心間的距離為④的圖象關于直線對稱若有且僅有一個說法是錯誤的，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗說法②可得，說法③可得，則，則，②和③相互矛盾；當①②④成立時，由題意，，，．因為，故，，即，；說法①③④成立時，由題意，，，，則，故不合題意.故選：D.6.設為坐標原點，圓與軸切于點，直線交圓于兩點，其中在第二象限，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，圓心，到直線距離為，所以，直線的斜率為，則其傾斜角為，則與的的夾角為，所以.故選：D．7.在棱長為的正方體中，點分別為棱，的中點．已知動點在該正方體的表面上，且，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，故P點軌跡為以為直徑的球，如圖，易知中點即為正方體中心，球心在每個面上的射影為面的中心，設在底面上的射影為，又正方體的棱長為，所以，易知，，又動點在正方體的表面上運動，所以點的軌跡是六個半徑為a的圓，軌跡長度為，故選：B．8.用表示x，y中的最小數(shù)．已知函數(shù),則的最大值為()A. B. C. D.ln2〖答案〗C〖解析〗∵，∴，根據(jù)導數(shù)易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;由題意令，即，解得；作出圖象：則的最大值為兩函數(shù)圖象交點處函數(shù)值，為．故選：C．二、選擇題9.已知，且，，則()A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗∵，∴，同理，∵在時遞增，故，故A正確；∵，∴B錯誤；∵，，∴，當且僅當時等號成立，而，故，∴C正確；∴，即，∴D正確．故選：ACD．10.有n（，）個編號分別為1，2，3，…，n的盒子，1號盒子中有2個白球和1個黑球，其余盒子中均有1個白球和1個黑球．現(xiàn)從1號盒子任取一球放入2號盒子；再從2號盒子任取一球放入3號盒子；…；以此類推，記“從號盒子取出的球是白球”為事件（，2，3，…，n），則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗對A，，所以A錯誤；對B，，故，所以B正確；對C，，所以C正確；對D，由題意：，所以，，，所以，所以，則，所以D錯誤．故選：BC．11.已知拋物線E：的焦點為F，過F的直線交E于點，，E在B處的切線為，過A作與平行的直線，交E于另一點，記與y軸的交點為D，則（）A. B.C. D.面積的最小值為16〖答案〗ACD〖解析〗A選項，由題意得，準線方程為，直線的斜率存在，故設直線的方程為，聯(lián)立，得，，故，A正確；B選項，，直線的斜率為，故直線的方程為，即，聯(lián)立，得，故，所以B錯誤；C選項，由直線的方程，令得，又，所以，故，故，又由焦半徑公式得，所以C正確；D選項，不妨設，過B向作平行于y軸的直線交于M，根據(jù)B選項知，，故，根據(jù)直線的方程，當時，，故，故，故，當且僅當，即時，等號成立，故的面積最小值為16，D正確.故選：ACD.三、填空題12.展開式的常數(shù)項為______.〖答案〗15〖解析〗展開式的通項公式為，令，解得，所以常數(shù)項為，故〖答案〗為：15.13.設雙曲線C：(，)的一個焦點為F，過F作一條漸近線的垂線，垂足為E．若線段EF的中點在C上，則C的離心率為______．〖答案〗〖解析〗直線EF與漸近線方程聯(lián)立得解得，，∴EF中點M的坐標為，又M點在雙曲線上，代入其標準方程，得，化簡得，∴，．故〖答案〗為：．14.已知，且，，則______．〖答案〗〖解析〗由題可知，所以，所以，因為，所以，又，所以，故，所以，兩邊平方后得，故，．故〖答案〗為：四、解答題15.在中，．（1）求B的大?。唬?）延長BC至點M，使得．若，求的大?。猓海?）在中，，所以．因為，所以，即化簡得．因為，所以，．因為，所以．（2）法1：設，，則．由（1）知，又，所以在中，．在中，由正弦定理得，即①．在中，由正弦定理得，即②．①÷②，得，即，所以．因為，，所以或，故或．法2：設，則，．因為，所以，因此，所以，．在中，由正弦定理得，即，化簡得．因為，所以或，，故或．16.如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，點P是棱的中點，點Q在棱BC上．（1）若，證明：平面；（2）若二面角的正弦值為，求BQ的長．（1）證明：取的中點M，連接MP，MB．在四棱臺中，四邊形是梯形，，，又點M，P分別是棱，的中點，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．從而且，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以．又因平面，平面，所以平面；（2）解：在平面中，作于O．因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，過O作AB的平行線交BC于點N，則．以為正交基底，建立空間直角坐標系．因為四邊形是等腰梯形，，，所以，又，所以．易得，，，，，所以，，．法1：設，所以．設平面PDQ的法向量為，由，得，取，另取平面DCQ的一個法向量為．設二面角的平面角為θ，由題意得．又，所以，解得（舍負），因此，．所以當二面角的正弦值為時，BQ的長為1．法2：設，所以．設平面PDQ的法向量為，由，得，取，另取平面DCQ的一個法向量為．設二面角的平面角為θ，由題意得．又，所以，解得或6（舍），因此．所以當二面角正弦值為時，BQ的長為1．法3：在平面中，作，垂足為H．因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足為G，連接PG．因為，，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因為，，所以是二面角的平面角．在四棱臺中，四邊形是梯形，，，，點P是棱的中點，所以，．設，則，，在中，，從而．因為二面角的平面角與二面角的平面角互補，且二面角的正弦值為，所以，從而．所以在中，，解得或（舍）．所以當二面角的正弦值為時，BQ的長為1．17.已知某種機器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．（1）求該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；（2）從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時n的值．附:若,取,．解：（1）記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D．因為，所以，，．所以，所以該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09．（2）從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取n件，設不合格品件數(shù)為X，則，所以．由，解得．所以當時，；當時，；所以最大．因此當時，最大．18.已知橢圓C：的右焦點為，右頂點為A，直線l：與x軸交于點M，且，（1）求C的方程；（2）B為l上的動點，過B作C的兩條切線，分別交y軸于點P，Q，①證明：直線BP，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列；②⊙N經(jīng)過B，P，Q三點，是否存在點B，使得，？若存在，求；若不存在，請說明理由.（1）解：由右焦點為，得，因為，所以，若，則，得，無解，若，則，得，所以，因此C的方程.（2）①證明：設，易知過B且與C相切的直線斜率存在