2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習 正弦定理 余弦定理 教師版

2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習正弦定理、余弦定理

【考試要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形2理解三角形的面積公式并能應(yīng)用.3.能利用

正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.

?落實主干知識

【知識梳理】

1.正弦定理、余弦定理

在AABC中，若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,尺為AABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

〃2=廬+。2-2拉;85A;

a_____b_____c___

內(nèi)容廬=。2+*_2c〃cosB；

sinAsinBsinC

。2=〃2+=2一2〃灰:osC

(l)a=2RsinA,

Z?—27?sinB,

尻+c2一層

c=2RsinC；cos4—2bc；

a

(2)sin4=詆—廬

變形cosB-2ac；

.b.c居+。2一，

sinB=:2R,sinC~~27?*

cosC-lab

(3)。*b?c

=sinA:sin3：sinC

2.三角形解的判斷

A為銳角A為鈍角或直角

cccc

圖形

ZLA"、一的工、--%X

ABAB

關(guān)系式a=bsinA加inA<a<ba^ba>b

解的個數(shù)一解兩解一解一解

3.三角形中常用的面積公式

(l)S=；a/ia(/7a表示邊a上的高);

第1頁共21頁

(2)S=54bsinC=]〃csin3=]Z?csinA；

(3)S=*a+6+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).

【常用結(jié)論】

在△ABC中，常有以下結(jié)論:

(1)ZA+ZB+ZC=TT.

(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(3)ci>Z><=>A>B<=>sinA>sinB,cosA<cosB.

...A-\~BCA~\~B

(4)sin(A十8)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=—tanC；sin-,-=cosy；cos-5-

.C

sin~2.

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=/?cosA+acosA

(6)三角形中的面積S=y]p(p-a)(p—b)(p—c^p=；(。+6+c)).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比.(X)

(2)在△A8C中，若sinA>sin8,則A>8.(V)

(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素.(X)

(4)當辰+02—標〉。時，△ABC為銳角三角形.(X)

【教材改編題】

1.在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=I,則/BAC等于()

7C7T27c57r

A6B-3CTD~6

答案C

解析在AABC中，

設(shè)AB=c=5,AC—b—3,BC=a=7,

，人心、&2+c2-a29+25-491

由余弦正理得cosZBAC=赤=---丞j------=-2，

因為NBAC為△ABC的內(nèi)角，

2兀

所以NBAC=m".

2.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為4,a=2,2=30。,

則c等于()

第2頁共21頁

A.8B.4

「至D逑

J3u'3

答案A

解析由SAABc=]acsinB=；X2C><T=4，得C=8.

3.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知8=30。，b=^2,c=2,則C=.

答案45?；?35。

GR+u上丁*占m/n.ccsinB2sin30°也

解析由正弦定理得sinC=-^—=—^萬一=2>

因為c>6,8=30。，

所以C=45°或C=135°.

■探究核心題型

題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

P0QA

例1(12分)(2022?新高考全國I)記445。的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為已知中而

sin2B

1+cos2B'

9jr

⑴若C=拳求8；［切入點：二倍角公式化簡］

儲+/

(2)求的最小值.［關(guān)鍵點：找到角8與角C,A的關(guān)系］

思路分析

(1)二倍角公式化簡一去分

母、兩角和與差公式化簡一

求出sinB.

(2)由角3,C正余弦關(guān)系f

角8與角C,4的關(guān)系一呼

化成正弦一用角3表示角A,

C化簡一角B的關(guān)系式一基

本不等式.

第3頁共21頁

答題模板規(guī)范答題不丟分

cosAsin2B_2sinBcosB華嚴[1分]

解（1）因為①處二倍角公式化簡

1+sinA1+cos2B2cos23cosB

2

即：sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC=^,[3分工<②處兩角和與差公式化簡

而0<8v詈，所以5=看.[4分]

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0,

所以專<C<TT,

而jsinB=-cosC=sin(C-^)>M6分強一③處找角B,C的正弦關(guān)系

所以;C=W+B,即有4=千-2臚[7分立一④處用角B表示角C,A

所以:與=3a?[8分]L-

⑤處正弦定理化邊為角正弦

c2sin2c

_cos226+l-cos25⑥|

⑥處將角C,A代入化角

cos2B

_(2COS2B-1)2+1-COS28

cos2B

2

=4cos2B+—7y-5&472-5.?[10^]*-⑦處基本不等式求最值

當且僅當cos2B=卷時取等號，

〃2+

所以---的最小值為4點-5.[12分]

c2

思維升華解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果

式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩

個定理都有可能用到.

跟蹤訓(xùn)練1（2022?全國乙卷）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin（A

-B)=sinBsin(C-A).

(1)證明：2/="+/；

(2)若a=5,cosA=V，求△ABC的周長.

(1)證明方法一

由sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A),

可得sinCsinAcosB—sinCeosAsinB

=sinBsinCeosA—sinBcosCsinA,

結(jié)合正弦定理就^磊=會，

可得accosB—bccosA=bccosA—abcosC,

第4頁共21頁

即accosB+abcosC=2/?ccosA(*).

由余弦定理可得

c^+c^—b2

accosB=2，

c^+b^—c2

abcosC—2，

2bccosA=b2+c2—a2,

將上述三式代入(*)式整理，

得2/=廿+，.

方法二因為4+8+。=兀，

所以sinCsin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)

=sin2Acos2B—cos2Asin2B

=sin2A(1—sin2B)—(1—sin2A)sin2B

=sin2A—sin2B,

同理有sinBsin(C—A)=sin(C+A)sin(C—A)=sin2C—sin2A.

又sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

所以sin2A—sin2B=sin2C—sin2A,

即2sin2A=sin2B+sin2C,

故由正弦定理可得2/=廿+°2.

(2)解由(1)及42=62+，—2/?ccosA得，tz2=2/?ccosA,所以2/?c=31.

因為廿+°2=2〃2=50,

所以S+c)2=Z?2+c2+2bc=81,

得b+c=9,

所以△A3C的周長l=a+b+c=l4.

題型二正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用

命題點1三角形的形狀判斷

例2(1)在△A5C中，角A,B,。所對的邊分別是〃，b,c,若c—QCOS3=(2〃一b)cosA,

則AABC的形狀為()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

答案D

解析因為c—acosB=(2〃一Z?)cosA,

C=TI~(A+B)9

第5頁共21頁

所以由正弦定理得sinC—sinAcosB

=2sinAcosA—sinBcosA,

所以sinAcosB+cosAsinB—sinAcosB

=2sinAcosA—sinBcosA,

所以cosA(sinB-sinA)=0,

所以cosA=0或sinB=sinA,

所以A=^或B=A或5=兀-A(舍去)，

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.

(2)在△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，/^sin與，則△ABC的形狀為()

A.直角三角形

B.等邊三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

解析由cos8=1—2sin當

/日.B1—cosB七〃1—cosB

得sm弓?=^^-，所以

即cosB=*

方法一由余弦定理得2-=3

即4+。2—/二2層，

所以a2+b2=c2.

所以△ABC為直角三角形，但無法判斷兩直角邊是否相等.

方法二由正弦定理得cos8=黑，

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC=0,又sin3WO,

所以cosC=0,又角。為△ABC的內(nèi)角，

所以C=E所以AABC為直角三角形，但無法判斷兩直角邊是否相等.

延伸探究將本例(2)中的條件“舒=sin4”改為“端=￡(b+c+a)(6+c—a)=36c”，

乙C乙JL/C

試判斷△ABC的形狀.

第6頁共21頁

解因為需=*所以由正弦定理得At所以b=c-

又S+c+〃)3+c—d)=3bc,

所以b1+c1—a1=bc,

>+02—〃2be1

所以由余弦定理得cosA=1=怒=/

TT

因為AG(0,兀)，所以A=§,

所以△ABC是等邊三角形.

思維升華判斷三角形形狀的兩種思路

(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時要注意應(yīng)用A

+B+C—H這個結(jié)論.

命題點2三角形的面積

例3(2022?浙江)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.

已知4a=y[5c9cos。=亍

(1)求sinA的值；

(2)若6=11,求△ABC的面積.

解⑴由正弦定理看=亮，

〃?sinC

得sinA=

c'

34

因為cosC=g,所以sinC=m，

va或g、；..小sinC小

又工=工，所以sin-=g.

(2)由(1)知sinA=V，

因為4=^^<匿所以0<4<去

所以cosA=

5，

所以sinB=sin(A+Q=sinAcosC+sinCeosA—X7+7X

因為扁=心，即奇

255

所以。=44,

第7頁共21頁

所以SAABC=；6csinA=gx11X44X坐'=22.

思維升華三角形面積公式的應(yīng)用原則

(1)對于面積公式S=%bsinC=；acsinB=gbcsinA,一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.

(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化.

命題點3與平面幾何有關(guān)的問題

例4(2023?廈門模擬)如圖，已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,fe(l+cos

C)=隹csinNABC且AABC的外接圓面積為亍.

⑴求邊c的長；

(2)若〃=5,延長C8至使得cosNAMC=，-,求3”.

解(1)設(shè)△A8C的外接圓半徑為R,由題意無a=爭，解得尺=￥.

由題意及正弦定理可得sinZABC(l+cosC)

=45sinCsinZABC,

因為sin為ABCW0,所以1+cosC=M§sinC,

即2sin(。一習=1,

L-.i71(兀5兀\,i71TC..71

因為0vC〈兀，所以一不故。-4=不a即t。=?

故c=2EsinC=2X-^^X=7.

、77i,125+Z?2—49

(2)因為〃=5,c=7,C=?,故LcosC=5=o乂《乂〃，仔s人9一5/7-24=0,

解得b=8(6=—3舍去).

^2_|_y2_g2i

在△ABC中，由余弦定理可得cos乙48C=……=不

所以sinNABC=#3

由cosZAAfC=與得sin/AMC=半.

故sinZBAM=sin(ZABC-ZAMC)

第8頁共21頁

=sinZABCcosZAMC—cosZABCsinZAMC=,

在△ABM中，由正弦定理可得.*仆,則富=5.

sinZBAMsinZAA/B27749

7

思維升華在平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計等問

題時，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決.在解決某些具

體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三甬形的邊或角用所設(shè)變量表示出

來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可.若研究最值，常使用函數(shù)思想.

跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)(2023?合肥模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

下列四個命題中正確的是()

A.若acosA=6cos8,則△ABC一定是等腰三角形

B.若6cosc+ccos8=6,則△ABC是等腰三角形

C.若一%=—、=」不，則△ABC一定是等邊三角形

cosAcosBcosC

D.若8=60。，b2=ac,則△ABC是直角三角形

答案BC

解析對于A,若acosA=bcos2,則由正弦定理得sinAcosA=sin8cos2,

；.sin2A=sin2B,則2A=22或2A+22=180。，即A=2或A+B=90。，則△ABC為等腰三

角形或直角三角形，故A錯誤；

對于B,若6cosc+ccos8=6,則由正弦定理得sinBcosC+sinCeosB=sin(8+C)=sinA=

sin8,即A=B,則△ABC是等腰三角形，故B正確；

廿abc,,>-r^ysinAsinBsinC,,C一

對于C'右京則n由正弦正理ThH待B忘7=五下則ntanA=tan8=tanC,

即A=B=C,即△ABC是等邊三角形，故C正確；

對于D,由于2=60。，b2—ac,由余弦定理可得匕2=m=〃2+/一收，可得(a—c)2=0,解得

a=c,可得A=C=B,故△ABC是等邊三角形，故D錯誤.

⑵在①序+6。。=。2+。2；②cosB=bcosA；③sinB+cos8=6這三個條件中任選一個填在

下面的橫線中，并解決該問題.

已知△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,,A=?/?=小,求△ABC的

面積.

解若選①，則由及+也〃。=4+。2,

得由ac=a2+c2—b2.

〃2+。2一。2啦a。啦

由余弦定理得cosB=

2ac2ac2'

第9頁共21頁

因為BG（O,Ti）,

所以B=^.

由正弦定理得看=備，

即告=W，解得。=小.

sinsin

HrT>LAT-?兀JT5兀

因為C=7t—A—B=7T—4=y^,

所以sinC=sinj^=sin（^+^）

.兀71,7C.71A/6+^/2

=sin4cosa十cosTsin—4,

所以S^ABC=^absin。=；*仍X也X亞奈&=上苧^

若選②，因為cos3=AcosA,A=?b=y[2,

所以cosB=bcosA=yflcos乎.

因為3￡（0,兀），

所以B=1.

由正弦定理得斯=5，

即七=W?解得。=小.

sinsin

-s/__八_兀兀_5兀

因為。=兀_7A1_3=兀一q一^二逐，

所以sinC=siny^=sin（^+^

.兀71,兀.兀加+、/5

=sin^cos4十cosTsin4，

所以S^ABC=^absinC=*小X也X亞彳也=3寸^

若選③，則由sinB+cosB=y[2,

得也sin（B+彌）=也,

所以sin（B+：）=l.

第10頁共21頁

因為86(0,n),

所以8+鋁俘,用，

所以8+孑=看所以8=全

由正弦定理得看=信，

即七=當，解得。=小.

sinwsin

E幺-An兀兀5兀

因為0=兀_4_5=兀_］一1=五,

5K_.包工姑

所以sinC=sin12-sinl6+4j

.7171.71.71加+也

=sin4cosa十cosgSin~^=-------

所以SMBC=5加inC=3x小X也X也:立

(3)(2022?重慶八中模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,在①c(sinA—

sinQ=((2—Z?)(sinA+sin8)；②2/?cosA+a=2c；③^^acsin3=〃2+。2—/三個條件中任選

一個，補充在下面問題中，并解答.

①若,求角5的大?。?/p>

②求sinA+sinC的取值范圍；

③如圖所示，當sinA+sinC取得最大值時，若在△ABC所在平面內(nèi)取一點。(。與B在AC

兩側(cè))，使得線段。。=2,DA=\,求△88面積的最大值.

解①若選①，

因為c(sinA-sinC)=(a—Z?)(sinA+sin5),

由正弦定理得c{a—c)=(a—b)(a+b),

整理得a2+c2—b2=ac,

心、)6Z2+c2—Z?2__qc__l

所以cosB_2ac~2ac~2'

TV

又0<B<7l,所以B=y

第11頁共21頁

若選②,

因為20cosA+〃=2c,

層+02一層

由余弦定理得2b—荻一+〃=2匿

111

化簡得，a~\~c—b=ac9

層+/一戶ac1

所以cosB=

2ac2ac2'

jr

又0<B<7i,所以B=1.

若選③，

因為斗^acsinB=a2+c2—b2,

2s

由余弦定理得一^-“csinB=2accosB,

化簡得tan8=5,

TT

又0<B<7l,所以B=y

27r

②由①得，A+C=y,

27r

則0<A<y,

....?....<2nA3.,,,r-.f

sinA十smC=smA十sin(m-AJ=2smA十？cosA=y3sin(A十不

「兀,?兀5兀

又不<A+rp

所以3<sin(A+專)Wl,

則sinA+sinC的取值范圍是小].

jr7T

③當sinA+sinC取得最大值時，A+%=],

解得A=1,

TT

又8=?所以△ABC為等邊三角形，

令NACD=0,ZADC^a,AB=AC=8C=a,

則由正弦定理可得襦=看，

所以sina=asin0.

又由余弦定理得，*=22+"-2X2X1Xcosa,

第12頁共21頁

所以tz2cos20=tz2—a2sin29=cos2a—4cosa+4,

所以acos9=2—cosa.

SABCD=|XaX2sin(j+0

=2~acos9+]asin0

當且僅當a=NAOC=w時等號成立,

所以△BCD面積的最大值為小+1.

課時精練

理基礎(chǔ)保分練

1.在△ABC中，C=60°,a+26=8,sinA=6sinB,則c等于()

A.^35B.V31C.6D.5

答案B

解析因為sinA=6sinB,

則由正弦定理得。=66,

又a+2/?=8,所以a=6,b—1,

因為C=60°,

所以由余弦定理,2=4+〃-2abeosC,

即C2=62+12-2X6X1X1,

解得c=回

2.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(a+b)(sinA—sin8)=(b+c)sinC,

a=7,則AABC外接圓的直徑為()

A.14DR*7/\c_?<.嶇3U口.迎3

答案D

解析已知(a+b)(sinA—sin3)=(0+c)sinC,

由正弦定理可得(Q+Z?)(〃一Z?)=(/?+c)c,化簡得b2+c1—a2=—bc,

廬+/一次-be1

所以cosA=

2bc2bc2,

第13頁共21頁

又因為AG（O,兀），所以A=亍，

2兀、叵

所以sinA=sin^=竽，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,

由正弦定理可得2"就^=太=挈

2

所以△ABC外接圓的直徑為必乎.

3.（2022?北京模擬）在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊，若小asin2=6cosA,

且6=2小，c=2,則。的值為（）

A.2巾B.2

C.2^3-2D.1

答案B

、后

解析由已知及正弦定理得，小sinAsin8=sinBcosA且sin3W0,可得tanA=?又0<A〈m

所以4=看，又Z?=2小，c=2,

所以由余弦定理^2=Z?2+c2—2/?ccosA=16-12=4,解得a—2.

4.（2023?棗莊模擬）在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,A=60。，b=\,S^ABC

=小’則sinA+sinB+sinC等于（）

A雪B.等C.華D,2小

答案A

解析由二角形的面積公式可得S"Bc=]bcsinA=\^c=q§,解得c=4,

由余弦定理可得a=yj扶+c2-2bccosA=y[H,

設(shè)△ABC的外接圓半徑為r,由正弦定理得'=熹=%=2廠，

SJ.112T.olllJDSill

斫a+b+c______2r（sinA+sin3+sinC）aVT5

sinA+sin3+sinCsinA+sinB+sinC?丫sinA-^53,

2

5.（2023?馬鞍山模擬）已知△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,設(shè)（sinB+sinC）2

=sin2A+（2—也）sinBsinC,，5sinA—2sin5=0,貝"sin。等于（）

A.|B坐

^6-^2^6+^2

J44

第14頁共21頁

答案c

解析在△ABC中，由(sin8+sinC)2=sin2A+(2—也)sinBsinC及正弦定理得(6+c)2=/+

(2~^2)bc,

I?2_〃2歷

即廬+，一〃2=一也兒，由余弦定理得cosA=-而一=~29而0°<A<180。，解得A=

135°,

由也sin4—2sinB=0得sinB=^sinA=2,顯然0°<B<90°,則8=30°,C=15°,

r_歷

所以sinC=sin(60°—45°)=sin60°cos45°—cos60°sin45°=^~.

6.(2023?衡陽模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知2cos5(QCOSC

+ccosA)=/?,1gsinC=^lg3—1g2,則△ABC的形狀為()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

答案C

角翠析2cosB(acosC+ccosA)=b,

???根據(jù)正弦定理得，

2cosB(sinAcosC+cosAsinQ=sinB,

2cosBsin(A+Q=sinB,

/.2cosBsin(7i—B)=sinB,

即2cosBsinB=sinB,

VBe(0,7i),AsinB^O,

???cVoUsoBU=~2,???UB=3.~

VigsinC=]lg3Tg2,

?1?1近??「—苴

..lgsinC—1g2，??sinC—?

VC^(0,71),或與，

IT

：.A=B=C=y即△ABC為等邊三角形.

7.(2022?全國甲卷)已知△ABC中，點。在邊8C上，ZADB=120°,AD=2,C￡)=2B0.當器

取得最小值時，BD=.

第15頁共21頁

答案V3-1

解析設(shè)BD=k（k＞。）,貝ICD=2k.

根據(jù)題意作出大致圖形，如圖.

在△42。中，由余弦定理得44=&。2+2￡）2—2AZXBZ）COSNADB=22+M—2X2A（-，=F

+2k+4.

在△AC。中，由余弦定理得4?=&。2+“）2—2ADCDCOS/AZ）C=22+（2Z）2—2X2X2/$=

4m一44+4,

AC*234舒一40+4

則市=R+2k+4

4（爐+2"+4）-12左一12

=7+24+4

_12-+1）_12（^+1）

=4一7+2左+4=4%+1）2+3

12

=4------------r-

k+i+T+i

33

?/3+1+1三2x/§（當且僅當k-\~1=,,,

KI1K-I11

即4=小-1時等號成立），

???箓2—景=4—2小=（小—1）2,

.?.當務(wù)取得最小值小一1時，BD=k=y[3~l.

8.（2023?宜春模擬）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知加inC+csinB=4asin

BsinC,"+<:2—4=8,則△ABC的面積為.

答案平

解析Z?sinC+csinB=4asinBsinC,sinBsin00,

結(jié)合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,

；?sinA=3,丁"+，一〃2=&,

結(jié)合余弦定理/=〃+，-2/?ccosA,

可得2Z?ccosA=8,

第16頁共21頁

為銳角，且cosA=坐，從而求得bc=半，

.,.△ABC的面積為S=；6csinA=T義當乎義3=邛2

9.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosC=(2a—c)cosA

⑴求8;

(2)若6=3,sinC=2sinA,求△ABC的面積.

解(1)由正弦定理，得sinBcosC=2sinAcosB—cosBsinC,

即sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB,

sin(B+C)=2sinAcosB,

sinA=2sinAcosB,

又??'sinAWO,cosB=Q

jr

???B為三角形內(nèi)角，???8=Q.

(2)*.*sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,

由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB=a2+4a2—2a2=9,即3/=9,

??ci—,^3,c~~2,^3,

:?△ABC的面積為S=gacsinB=3X4X2小義

10.(2023?湖州模擬)在△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊,已知/bsine+A

asmB.

(1)求角A的大??；

(2)若兒〃，c成等比數(shù)列，判斷△ABC的形狀.

解⑴加［11(^+4)=制111B,由誘導(dǎo)公式得d5bcosA=asinB,

由正弦定理得小sinBcosA=sinAsinB,

Vsin???小cosA=sinA,即tanA=^/3,

71

VAe(o,兀)，???A=g.

⑵?"，a,c成等比數(shù)列，.?./=兒，

/，一/

由余弦定理得cos4=全

b2+c2~bc1

=-2bc-=29

即Z?2+c2—Z?c=/?c,

/.(Z?—c)2=0,:.b=c,

第17頁共21頁

jr

又由（1）知A=y

.,.△ABC為等邊三角形.

立綜合提升練

11.（多選）對于△ABC,有如下判斷，其中正確的是（）

A.若cosA=cosB,則AABC為等腰三角形

B.若A>B,則sinA>sinB

C.若a=8,c=10,B=60°,則符合條件的△ABC有兩個

D.若sin2A+sin2氏side,則△ABC是鈍角三角形

答案ABD

解析對于A,若cosA=cosB,則A=B,所以△ABC為等腰三角形，故A正確；

Z7b

對于B,若A>8,則a>b,由正弦定理得2RsinA>2Rsin8,即sinA>sin8

sin/IsinD

成立，故B正確；

對于C,由余弦定理可得6=1，82+1。2—2X8X102，=<麗,只有一解，故C錯誤；

〃2+62—廿

對于D,若sin2A+sin28<sin2。，則根據(jù)正弦定理得〃2+廬<。2,cosC=---------<0,所以。

為鈍角，所以aABC是鈍角三角形，故D正確.

12.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,sinAsinBsinC=1,/XABC的面

o

積為2,則下列選項錯誤的是（）

A.abc=16y[2

B.若q=爽，則A=g

C.AA5c外接圓的半徑R=2吸

D?舄l+^>32sinC

答案B

14

解析由題可得呼。sinC=2,則sinC=標,

代入sinAsinBsin

C=oQ,

4sinAsinB1

得ab直，

即4=8,即R=2小，C正確；

"c=8R3sinAsinBsinC=128&X^=16/，A正確；

第18頁共21頁

若a=y[2,則sin此時AWQ,B錯誤；

因為sinA>0,sinB>0,

所以(sinA+sinB)2^4sinAsinB,

(sinA+sin3)2>4

'(sinAsinB)2/sinAsinB9

1,4

由sinAsinBsinC=g,得^~^i^=32sinC,

“…(sinA+sinBp(11丁卜

所以(sinAsin8)2232sinC,即4+Q^-2sinC，D正確?

13.(2023?嘉興模擬)TXABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知csinA=M5acosC,

c=2小，ab—8,則a+b的值是.

答案6

解析csinA—yf3acosC,根據(jù)正弦定理得sinCsinA=M§sinAcosC,

?「sinAWO,故tanC=小，VC^(0,71),C=^9

〃2+廿一02(°+6)2-2"—<?]

再由余弦定理得cosc二

號°lab2'

代入c=2小,ab=8,得a+6=6.

7

14.在△ABC中，已知AB=4,AC=7,BC邊的中線4。=亍那么BC=.

答案9

?+4。2一人"

解析在△A2￡)中,結(jié)合余弦定理得cosZADB—

2BDAD

5+4)2—AC2

在中，結(jié)合余弦定理得cosZADC=