《高等數(shù)學(xué)下冊 第3版》-劉金林 第10章（重積分）習題解答

PAGEPAGE15習題解答習題10.11．設(shè)一平面薄板占有面上的閉區(qū)域D，其上分布有面密度為的電荷，且在D上連續(xù)，試用二重積分表達該薄板上的全部電荷Q．解由二重積分的定義可知，電荷．2.略．3.根據(jù)二重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大小：（1），其中；解區(qū)域的面積=，區(qū)域的面積=，因為，所以：；（2），其中D是圓周圍成的閉區(qū)域；解對區(qū)域D上的任意點，都有：，，所以：；（3），其中D是由直線圍成的閉區(qū)域．解對區(qū)域D上的任意點，都有：，，所以：．4.利用二重積分的性質(zhì)，估計下列積分的值：（1）其中；解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質(zhì)6，得；（2）其中；解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質(zhì)6，得；（3）其中D是兩坐標軸與直線圍成的閉區(qū)域．解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質(zhì)6，得．習題10.21.計算下列二重積分：（1）其中；解；（2），其中D是由兩坐標軸及直線所圍成的閉區(qū)域；解；（3），其中D是頂點分別為的三角形閉區(qū)域；解；(4)，其中．解．2.畫出積分區(qū)域，并計算下列二重積分：（1）其中D是由兩條拋物線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中D是由所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（3），其中；解圖略；（4），其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域．解圖略．3.化二重積分為二次積分（分別給出兩種不同的積分次序），其中積分區(qū)域D分別為：（1）由兩坐標軸及直線所圍成的閉區(qū)域；解圖略或；（2）由及所圍成的閉區(qū)域；解圖略或（3）由及所圍成的閉區(qū)域．解圖略或4.略．5.交換下列二次積分的次序：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）；解圖略；（5）．解圖略．6.通過交換積分次序計算下列二重積分：（1）；解；（2）．解．7.設(shè)連續(xù)，證明：．證：交換積分次序，得．8.利用“對稱性”計算下列二重積分：（1），其中；LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\第10章（重積分）習題解答.doc"OLE_LINK1\a\r解積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，且函數(shù)關(guān)于x是奇函數(shù)，故有；（2），其中；LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\第10章（重積分）習題解答.doc"OLE_LINK1\a\r解積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，且函數(shù)關(guān)于y是偶函數(shù)，關(guān)于y是奇函數(shù)，故有；（3），其中．LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\第10章（重積分）習題解答.doc"OLE_LINK1\a\r解積分區(qū)域D關(guān)于x軸和y軸都對稱，且函數(shù)關(guān)于x和y是都偶函數(shù)，故有．9.畫出積分區(qū)域，把積分表示為極坐標形式的二次積分，其中積分區(qū)域D是：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）；解圖略；（5）．解圖略．10.化下列二次積分為極坐標形式的二次積分：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）．解圖略．11.把下列積分化為極坐標形式，并計算積分值：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略．（4）．解圖略．12.利用極坐標計算下列二重積分：（1），其中D由圓周所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中D由圓，直線和軸所圍成的閉區(qū)域；解圖略（3），其中D由圓周及直線所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；解圖略；（4），其中解圖略．13.選用適當?shù)淖鴺擞嬎阆铝懈黝}：（1），其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中D是由圓周及坐標軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；解圖略．（3）其中D是由直線及曲線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（4），其中；解圖略．（5）其中．解圖略原式．*14.作適當?shù)淖儞Q，計算下列各題：（1）其中D由雙曲線和，直線和及所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；解令，即，xOy平面上的閉區(qū)域D變換為平面上的閉區(qū)域．由于雅可比式，故由公式（10－7）得．（2）其中D是以和為頂點的三角形閉區(qū)域；解令，即，閉區(qū)域D變換為閉區(qū)域．由于雅可比式，故由公式（10－7）得．*15.作適當?shù)淖儞Q，證明等式：，其中閉區(qū)域．解令，即，閉區(qū)域D變換為閉區(qū)域．由于雅可比式，故由公式（10－7）得．習題10.31.化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別是：（1）；解圖略；（2）由錐面及平面所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（3）由雙曲拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域；解圖略．（4）由曲面及所圍成的閉區(qū)域．解圖略．2.略．3.計算下列三重積分：（1），其中為平面所圍成的四面體；解．（2），其中是由平面與三個坐標面所圍成的四面體；解；（3）其中為球面及三個坐標平面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域；解．（4）其中為曲面及平面所圍成的閉區(qū)域；解．（5）其中是由圓錐面與平面所圍成的閉區(qū)域；解：，．（6）其中是由拋物面與平面所圍成的閉區(qū)域．解：，．4.利用柱面坐標計算下列三重積分：（1）其中是由曲面及所圍成的閉區(qū)域；解；（2）其中；解原三重積分；；另解由對稱性得，所以原三重積分；（3）其中是由柱面及平面所圍成的閉區(qū)域．解原三重積分．*5.利用球面坐標計算下列三重積分：（1）其中是由球面所圍成的閉區(qū)域；解原三重積分．（2）其中．解原三重積分．6.選用適當?shù)淖鴺擞嬎阆铝懈黝}：（1）其中是由圓柱面與平面所圍成的閉區(qū)域；解由對稱性得，；另解；（2）其中是由圓錐面與平面所圍成的閉區(qū)域；解；*（3）其中；解原三重積分．（4）其中；解：，．*（5）其中是由球面所圍成的閉區(qū)域；解原三重積分．（6）其中．解：，．習題10.41.計算由四個平面所圍成的柱體被平面及截得的立體的體積．解記，則．2.計算圓柱面被平面及圓錐面所截得的立體的體積．解記，則．3.求由下列曲面所圍成的立體的體積：（1）及；解；（2）及；解；（3）及；解．（4）及；解記，則．*（5）及（含有z軸的部分）．解．4.求拋物面在xOy平面上方部分的面積．解記，由得：．5.求半球面上部分的面積．解記，由得：．6.求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積．解記，由得：．7.求圓錐面被圓柱面所截得部分的曲面面積．解記，由得：．8.求柱面含在柱面內(nèi)的那部分面積．解考慮第一卦限部分．記，由得：．9.設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線和x軸所圍成，它的面密度，求該薄片的質(zhì)量．解所求薄片的質(zhì)量．10.設(shè)有一物體，占有空間閉區(qū)域，在點處的密度，求該物體的質(zhì)量．解物體的質(zhì)量．11.求下列均勻薄板的質(zhì)心，其中薄板所占的閉區(qū)域D如下：（1）D由圍成；解閉區(qū)域關(guān)于x軸對稱，所以質(zhì)心必位于x軸上，于是．閉區(qū)域D的面積：；而，故薄板的質(zhì)心為．（2）D由圍成；解閉區(qū)域D的面積：；而，，，故薄板的質(zhì)心為．（3）D是介于兩個圓之間的閉區(qū)域．解閉區(qū)域關(guān)于x軸對稱，所以質(zhì)心必位于x軸上，于是．閉區(qū)域D的面積（兩個圓面積之差）：；而，故薄板的質(zhì)心為．12.設(shè)平面薄板所占的閉區(qū)域D是由所圍成，在處的密度，求此薄板的質(zhì)心．解，，，故薄板的質(zhì)心為．13.利用三重積分計算下列由曲面所圍立體的質(zhì)心（設(shè)密度）：（1），；解顯然，質(zhì)心在z軸上，故．由于，所以，從而質(zhì)心為．（2）；解顯然，質(zhì)心在x軸上，故．由于，，所以，從而質(zhì)心為．*（3），，．解顯然，質(zhì)心在z軸上，故．由于，，所以，從而質(zhì)心為．*14.設(shè)球體占有閉區(qū)域，它在內(nèi)部各點處的密度的大小等于該點到坐標原點的距離的平方．求此球體的質(zhì)心．解密度，，由對稱性得：，，而所以，，從而質(zhì)心為．15.設(shè)均勻薄片（面密度為常數(shù)1）所占的閉區(qū)域D如下，求指定的轉(zhuǎn)動慣量：（1）D由圍成，求和；解，．（2），求；解．（3）邊長為a和b的矩形薄片對兩條邊的轉(zhuǎn)動慣量．解建立圖示坐標系，，．16.求由拋物線及直線所圍成的均勻薄片（面密度為常數(shù)1）對于直線的轉(zhuǎn)動慣量．解對于直線的轉(zhuǎn)動慣量為．17.一空間均勻物體（密度為常數(shù)）占有的閉區(qū)域是由曲面和平面，所圍成，（1）求物體的體積；（2）求物體的質(zhì)心；（3）求物體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動慣量．解（1）；（2）顯然，質(zhì)心在z軸上，故，因為，故，所以質(zhì)心為．（3）．18.平面內(nèi)的曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)曲面，這個曲面與平面所圍立體上點處的密度，求該立體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動慣量．解平面內(nèi)的曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面的方程為，所求轉(zhuǎn)動慣量．19.求半徑為a，高為h的均勻圓柱體（密度）對于過中心而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動慣量．解建立空間直角坐標系，使圓柱體所占閉區(qū)域為，所求轉(zhuǎn)動慣量即圓柱體對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量，故（是圓柱體的質(zhì)量）．20.設(shè)均勻柱體密度為，占有的閉區(qū)域，求它對位于點處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力．解由柱體的對稱性及質(zhì)量分布的均勻性，顯然有，所求引力在z軸上的分量為，所求引力為總習題101.選擇題（1）下列結(jié)論中正確的是（）．A.若閉區(qū)域D由圓周圍成，則B.C.若，則D.若，則解由輪換對稱性立得：；即選項B正確．（2）設(shè)，則（）．A.B.C.D.解由三重積分的極坐標計算法得，即選項D正確．（3）設(shè)平面區(qū)域，，則（）．A.B.C.D.解如圖，D分成四個部分，由于區(qū)域關(guān)于y軸對稱，；區(qū)域關(guān)于x軸對稱，；故，即選項A正確．（4）設(shè)空間閉區(qū)域，，則有（）．A.B.C.D.解由于積分區(qū)域關(guān)于yOz平面、xOz平面都對稱，而是關(guān)于x、y的偶函數(shù)，故兩次利用對稱性可知，選項C正確．（5）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解由于積分區(qū)域是由圍成的，故；即選項C正確．（6）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，其中D是由所圍成閉區(qū)域，則（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解記（常數(shù)），則，積分得即，因為，，所以，，從而，即選項C正確．2.填空題（1）設(shè)，則根據(jù)重積分的幾何意義可得：．解表示以為底，以半球面為頂?shù)那斨w體積，故．（2）設(shè)，則根據(jù)重積分的幾何意義可得：．解根據(jù)三重積分的幾何意義，表示空間區(qū)域圍成立體的體積，而此立體是底半徑為，高也為的圓錐，故體積等于，即．（3）設(shè)函數(shù)連續(xù)，，若記，則．解交換積分次序，得，所以，．（4）將化為極坐標下的二次積分，得．解記，則．（5）三次積分．解．（6）設(shè)，則．解由于積分區(qū)域關(guān)于xOy平面對稱，而是關(guān)于z的奇函數(shù)，故利用對稱性可知，，所以．3.計算下列二重積分：（1），其中；解．（2），其中D是由圓周所圍成閉區(qū)域；解．（3），其中D是由直線所圍成閉區(qū)域；解．（4），其中D是由所圍成閉區(qū)域，為連續(xù)函數(shù)；解