高等數(shù)學(xué)下冊(cè)第3版劉金林習(xí)題答案

PAGEPAGE33習(xí)題解答習(xí)題8.11.設(shè)向量，，用表示．解：2.把的邊四等分，分點(diǎn)依次是，再把各分點(diǎn)與點(diǎn)連接．如果，，試用表示向量、、．解：因?yàn)?，所以，，，于是，同理?3.用向量方法證明：三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行與第三邊，且長(zhǎng)度為第三邊的一半．證明：設(shè)，，則，，于是，，所以三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行與第三邊，且長(zhǎng)度為第三邊的一半．4.指出下列各點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的哪個(gè)卦限；；；．解：Ⅱ；Ⅴ；Ⅷ；Ⅳ.5.指出下列各點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的位置；；；．解：xOy面；yOz面；y軸；x軸.6.求點(diǎn)關(guān)于（1）各坐標(biāo)面；（2）各坐標(biāo)軸；（3）坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）各坐標(biāo)面:xOy面，；yOz面，；zOx面，.（2）各坐標(biāo)軸：x軸，；y軸，；z軸，.（3）坐標(biāo)原點(diǎn)：.7.已知立方體的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，三條棱在正的半坐標(biāo)軸上，若棱長(zhǎng)為，求它的其它各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．解：如圖立方體在xOy面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，；與xOy面平行的平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，；8.求平行于向量的單位向量．解：向量的單位向量為，故平行于向量的單位向量為其中.9.已知兩點(diǎn)、，試用坐標(biāo)表達(dá)式表示向量及．解：，10.求點(diǎn)到各坐標(biāo)軸的距離．解：點(diǎn)到x軸的距離為；點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為；點(diǎn)到z軸的距離為.11.在面上，求與三點(diǎn)、、等距離的點(diǎn)．解：設(shè)該點(diǎn)為，根據(jù)題意，，解上述方程組，有，故所求點(diǎn)為：．12.試證明以三點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形．證明：利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算，可得由于，，故是等腰直角三角形．13.設(shè)、，計(jì)算向量的模、方向余弦及方向角．解：向量，，所以；．14.設(shè)三個(gè)力分別是、、，它們都作用于點(diǎn)，合力為，求：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）的大小；（3）的方向余弦．解：合力為:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，因此的坐標(biāo)為.(2),(3)，15.設(shè)向量的方向余弦分別滿足（1）；（2）；（3），那么這些向量與坐標(biāo)軸或坐標(biāo)面有什么關(guān)系？解：（1）因?yàn)?所以，于是向量垂直于y軸，也就是向量平行于zOx面．（2）因?yàn)?所以.于是向量平行于z軸正向，垂直于xOy面．（3）因,所以.于是向量既垂直于y軸，又垂直于z軸，亦即垂直于yOz面，從而向量平行于x軸．16.設(shè)向量與軸的夾角為，且其模是6，求在軸上的投影．解：17.一向量的起點(diǎn)在點(diǎn)，它在軸，軸和軸上的投影依次為-2，4和6，求該向量的終點(diǎn)的坐標(biāo)．解：設(shè)終點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意有，解得，故點(diǎn)為：.18.設(shè)，和，求向量在軸上的投影及在軸上的分向量．解：因?yàn)樗栽谳S上的投影為，在軸上的分向量為.習(xí)題8.2１．設(shè)，，求（1）和；（2）和；（3）、夾角的余弦．解：（1），.（2），.（3），2.設(shè)單位向量、、滿足，求．解：因?yàn)椤?、為單位向量，所以，由有，所?3.設(shè)向量，，求（1）在上的投影；（2）在上的投影．解：（1）,（2）.4.把質(zhì)量為100kg重的物體從沿直線移動(dòng)到，求重力所作的功（長(zhǎng)度單位為m，重力方向?yàn)檩S負(fù)方向）．解：物體移動(dòng)的位移為，重力，于是重力所作的功.5.設(shè)向量，，若與軸垂直，求和的關(guān)系．解：因?yàn)?軸單位向量為.若與軸垂直，則有，因此.6.已知、和，求與、同時(shí)垂直的單位向量．解：，,,于是與、同時(shí)垂直的單位向量.7.已知向量，，求的面積．解：根據(jù)向量積的定義，可知三角形的面積．又，于是.8.設(shè)向量、和，向量與均垂直，且在向量上的投影為14，求向量．解：，由題意可知，(其中為待定常數(shù))，又，由此得所以.9.*向量，，是否共面？解：因?yàn)?，所以三向量共面?0.利用向量證明不等式其中、、、、、為任意實(shí)數(shù)，并說明在何種條件下等號(hào)成立．證明：設(shè)、.由于，因此即.習(xí)題8.31.求過點(diǎn)且與平面平行于的平面方程．解：所求平面的法向量與平面一致為．根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，得，即.2.求過點(diǎn)且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)的線段垂直的平面方程．解：因?yàn)椋谑强扇?，根?jù)平面的點(diǎn)法式方程，得，即.3.求過、、三個(gè)點(diǎn)的平面方程．解：不妨假設(shè)分別為、、，因此所求平面的法向量可取=×，而，，所以根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，所求平面的方程為，即.4.指出下列各平面的特殊位置，并畫出圖形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）解：（1）表示面；（2）平行于面的平面；（3）平行于軸的平面；（4）通過軸的平面；（5）平行于軸的平面；（6）通過軸的平面；（7）通過原點(diǎn)的平面．圖形（略）.5.求平面與三個(gè)坐標(biāo)面夾角的余弦．解：平面的法向量，而、、面的法向量分別為、、．因此與三個(gè)坐標(biāo)面夾角的余弦分別為、、6.一平面平行于向量和且經(jīng)過點(diǎn)，求這平面方程．解：所求平面的法向量可取=×，所以根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，所求平面的方程為，即.7.求三個(gè)平面，，的交點(diǎn)．解：三個(gè)平面的交點(diǎn)也就是下面方程組的解.解得，故交點(diǎn)為.8.求下列特殊位置的平面方程：（1）平行于面且經(jīng)過點(diǎn)；解：（1）平行于面的平面可設(shè)為，由于平面通過點(diǎn)，故，即，把上式代人所設(shè)方程，得.（2）通過軸和點(diǎn)；解：（2）因?yàn)樗笃矫嫱ㄟ^軸，必然平行于軸，故；又因?yàn)槠矫嫱ㄟ^原點(diǎn)，所以．于是可設(shè)平面方程為，由于平面通過點(diǎn)，故，即，把上式代人所設(shè)方程，得.（3）平行于軸且經(jīng)過兩點(diǎn)和；解：（3）因?yàn)樗笃矫嫫叫杏谳S，于是可設(shè)平面方程為，由于平面經(jīng)過兩點(diǎn)和，故，即，把上式代人所設(shè)方程，得.9.求兩平面與之間的距離．解：在平面上取一點(diǎn)，利用點(diǎn)到平面的距離公式，得.習(xí)題8.41.求過點(diǎn)且平行于直線的直線方程．解：所求直線的方向向量可取為，故由對(duì)稱式方程得到所求直線為.2.求過點(diǎn)和的直線方程．解：因?yàn)橄蛄科叫杏谒笾本€，所以可取直線的方向向量為，故由對(duì)稱式方程得到所求直線為.3.求直線的對(duì)稱式方程和參數(shù)方程．解：先求出直線上的一點(diǎn)．不妨取，代入直線方程得解得、，即是所給直線上的一點(diǎn)．下面再求直線的方向向量．由于兩平面的交線與這兩平面的法向量、都垂直，所以可取直線的方向向量為．因此，所給直線的對(duì)稱式方程為．令，得所給直線的參數(shù)方程為4.求過點(diǎn)且與兩平面和平行的直線方程．解：因?yàn)樗笾本€與兩平面平行，所以所求直線與兩平面的法向量、都垂直，故直線的方向向量為因此，所給直線的對(duì)稱式方程為.5.求直線：與：的夾角．解：直線的方向向量為，直線的方向向量為由兩直線的夾角公式，得，.6.證明直線與直線平行．證明：直線的方向向量為；直線的方向向量為直線、的方向向量對(duì)應(yīng)成比例，故兩直線平行．7.求直線與平面的夾角．解：直線的方向向量為平面的法向量為．由直線與平面的夾角公式，得，故.8.求過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程．解：直線的方向向量為可以看成平面的法向量，而因此所求平面的方程為，即.9.求過點(diǎn)且通過直線的平面方程．解：顯然點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，也為平面內(nèi)的點(diǎn)，因此向量與向量均垂直于所求平面的法向量，而，因此所求平面的方程為，即.10.確定下列每一組直線與平面的關(guān)系：（1）和；解：（1）直線方向向量為，平面法向量，且，又直線上的點(diǎn)不在平面內(nèi)，所以直線與平面平行．（2）和；解：（2）直線方向向量為，平面法向量，且所以直線與平面垂直．（3）和；解：（3）直線方向向量為，平面法向量，且，又直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)，所以直線在平面內(nèi)．11.求過點(diǎn)且與兩直線 和平行的平面方程．解：第一條直線的方向向量為，第二條直線的方向向量為.而平面法向量既垂直與又垂直與，故因此所求平面的方程為，即.12.設(shè)是直線 外一點(diǎn)，是直線上任意一點(diǎn)，且直線的方向向量為，證明：點(diǎn)到直線的距離是．證明：設(shè)點(diǎn)與直線垂直相交點(diǎn)為，則就為所求距離．注意到由向量、所構(gòu)成的三角形，其面積有，故.13.求點(diǎn)到直線的距離．解１設(shè)點(diǎn)與直線的垂直相交點(diǎn)為，則，解得.又直線的方向向量為，向量垂直于，即，解得．于是，故點(diǎn)到直線的距離為.解2用上題的結(jié)論．14.求直線，在平面上的投影直線的方程．解：過直線的平面束方程為，即，其中為待定常數(shù)．又此平面與平面垂直的條件是，得到.代入得投影平面：所以投影直線的方程為.習(xí)題8.51.一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是到點(diǎn)距離的兩倍，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意有，，即，化簡(jiǎn)得.2.建立以點(diǎn)為球心，且過點(diǎn)的球面方程．解：球心到球面上點(diǎn)的距離為所以所求球面方程.3.方程表示什么曲面？解：通過配方，原方程可化為，與球面方程比較可知，此方程表示球心在點(diǎn)、半徑為的球面．4.將坐標(biāo)面上的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．解：在方程中保持不變而將改寫為，故所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為.5.將坐標(biāo)面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．解：在方程中保持不變而將改寫為，故所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為6.將坐標(biāo)面上的雙曲線分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．解：繞軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為,繞軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為.7.說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是如何形成的？（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）坐標(biāo)面上的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周；或者坐標(biāo)面上的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周.（2）坐標(biāo)面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周；或者坐標(biāo)面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周.（3）坐標(biāo)面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周；或者坐標(biāo)面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周.（4）坐標(biāo)面上的直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周；或者坐標(biāo)面上的直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周.8.下列方程在平面解析幾何中與空間解析幾何中分別表示什么圖形？（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）平面：平行于軸的一條直線；空間：平行于坐標(biāo)面的一個(gè)平面．（2）平面：斜率為2，通過點(diǎn)的一條直線；空間：平行于軸的一個(gè)平面．（3）平面：實(shí)軸在軸上，虛軸在軸上的雙曲線；空間：母線平行于軸的一雙曲柱面．（4）平面：圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓周；空間：母線平行于軸的一圓柱面．9.畫出下列方程所表示的曲面（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：略.習(xí)題8.61.畫出下列曲線的圖形：（1）；（2）；（3）.解：略.2.下列方程組在平面解析幾何中與空間解析幾何中各表示什么圖形：（1）；（2）．解：（1）平面：兩條相交直線的交點(diǎn)；空間：平行于軸的兩相交平面的交線．（2）平面：實(shí)軸在軸上，虛軸在軸上的雙曲線的右支與一平行于軸直線的兩相交點(diǎn)；空間：母線平行于軸的雙曲柱面與平行于面平面的兩相交直線．3.將下列曲線的一般方程化為參數(shù)方程：（1）；解：（1）將代入，得，取，則，從而得到該曲線的參數(shù)方程為.（2）解：（2）將代入，得，取，則，從而得到該曲線的參數(shù)方程為.4.分別求母線平行于軸及軸且通過曲線的柱面方程．解：消去方程組中的變量，得，這就是母線平行于軸且通過曲線的柱面方程．同樣消去方程組中的變量，得，這就是母線平行于軸且通過曲線的柱面方程．5.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面的交線在面上的投影曲線的方程．解：旋轉(zhuǎn)拋物面和平面的交線為：.由上述方程組消去變量，得到．因此交線在面上的投影曲線為.6.已知曲線（），求它在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程．解：由，得到，即．因此曲線在上的投影曲線直角坐標(biāo)方程為.由，得到，即．因此曲線在面上的投影曲線直角坐標(biāo)方程為.由，得到曲線在面上投影柱面方程包含于平面內(nèi)，并且，因此曲線在面上投影曲線直角坐標(biāo)方程為（）.7.求上半球與圓柱體的公共部分在面和面上的投影．解：由圖可見，所求立體為圓柱體的一部分，其在面上的投影為在面上的投影為8.求拋物面()在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影．解：聯(lián)立，得到，故拋物面在面上的投影為．聯(lián)立，得到，故拋物面在面上的投影為．聯(lián)立，得到，故拋物面在面上的投影為．習(xí)題8.71.指出下列各方程所表示的曲面：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：（1）橢球面；（2）橢圓錐面；（3）單葉雙曲面；（4）雙葉雙曲面；（4）橢圓拋物面；2.畫出下列方程所表示的二次曲面圖形（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：略總習(xí)題81.選擇題（1）設(shè)向量滿足，則（）．A.0B.C.D.解：由，得，代人有.故選（C）.（2）設(shè)直線：及平面：，則直線（）．A.平行于B.在上C.垂直于D.與斜交．解：直線的方向向量，平面的法向量，因此，從而直線垂直于，故選（C）.（3）設(shè)有直線：與：，則與的夾角為（）．A.B.C.D.解：直線的方向向量，直線的方向向量，所以，得，故選（B）.（4）直線在面上的投影直線是（）．A.B.C.D.解：A和C在空間解析幾何中為平面，B為面上的投影直線，故選（D）.（5）設(shè)向量與三個(gè)坐標(biāo)平面的夾角分別為，則（）．A.2B.1C.0D.3解：設(shè)向量，則，，，因此，故選（A）.2.填空題（1）已知兩直線：，：，則過且平行于的平面方程為．解：容易知直線與不平行，所求平面的法向量既垂直于，又垂直于，取，于是所求平面方程為，即.（2）已知向量，，，則滿足條件時(shí)，的最小值為．解：設(shè)向量，則,因此有.又．當(dāng)時(shí)，最小并且最小值為1.（3）設(shè)，，，滿足，則．解：因?yàn)椋越M成一個(gè)三角形．又，，，因此這個(gè)三角形是直角三角形，并且為直角邊．另一方面，從而.（4）直線與點(diǎn)的距離最近的點(diǎn)是.解：過點(diǎn)且垂直于直線的平面方程為即.令，代人平面方程得，因此直線和平面的交點(diǎn)為，此交點(diǎn)即為所求點(diǎn)．（5）母線平行于軸且通過曲線的柱面方程.解：消去方程組中的變量，得，這就是母線平行于軸且通過曲線的柱面方程．3.設(shè)向量⊥，⊥，求兩向量和的夾角．解：由題意有，整理上述表達(dá)式，得，.進(jìn)一步，注意到，可得，于是，兩向量和的夾角.4.已知一平行四邊形對(duì)角線為向量及，而，，，求此平行四邊形的面積．解：設(shè)此平行四邊形的兩邊向量分別為和，則有，得，根據(jù)向量積的定義，可知平行四邊形的面積，而.所以平行四邊形的面積為5.5.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．解：由兩點(diǎn)間的距離公式，得整理上述表達(dá)式，得.6.設(shè)一平面垂直于平面，并通過從點(diǎn)到直線的垂線，求此平面方程．解：直線的方向向量為，作過點(diǎn)且以為法向量的平面，即，聯(lián)立方程組得垂足，又因?yàn)樗蟠怪庇谄矫妫士稍O(shè)平面方程.平面過點(diǎn)和垂足，故有，得，代人平面方程有.7.求過點(diǎn)，且平行于平面，又與直線相交的直線方程．解：直線的參數(shù)式方程為，，，設(shè)兩直線的交點(diǎn)為，則交點(diǎn)與點(diǎn)的連線垂直于平面的法向量，于是，解上述方程，得．從而所求直線方向向量為，根據(jù)直線方程的對(duì)稱式可知，所求直線方程為.8.求錐面與柱面所圍立體在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影．解：錐面與柱面的交線在面上投影為，即．故立體在面上的投影為.類似得，因此立體在面上的投影為；立體在面上的投影為.9.一架飛機(jī)速度為，向東北目標(biāo)飛去，現(xiàn)遇到速度為的西風(fēng)吹來，問飛行員應(yīng)該朝什么方向飛行才能到達(dá)目的地？這時(shí)的實(shí)際速度是多少？是否任何情況下都能飛到目的地？解：（1）當(dāng)，這時(shí)有化簡(jiǎn)得，即．朝東北偏北方向飛行即可到達(dá)目的地。這時(shí)的實(shí)際速度為．（2）當(dāng)，這時(shí)容易知道，實(shí)際速度為．（3）當(dāng)，分兩種情況：（?。?，同（1）。（ⅱ），從而化簡(jiǎn)得：．實(shí)際速度為．（4）當(dāng)，這時(shí)容易知道，實(shí)際速度為（5）當(dāng)，這時(shí)從圖形看不構(gòu)成向量三角形，因此無法飛到目的地．10.設(shè)直線過，兩點(diǎn)，（1）求直線的參數(shù)方程；（2）將繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面，求的方程。解：（1）直線的方向向量為，所給直線的對(duì)稱式方程為．令，所給直線的參數(shù)方程為（2）任取直線上一點(diǎn)，其繞軸旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過角度后到點(diǎn)，的坐標(biāo)為消去參數(shù)，得曲面的方程為.11.設(shè)、分別是過點(diǎn)、，方向向量分別為、的兩條直線，如果直線、不平行，證明與之間的最短距離為并求直線與直線之間的最短距離．證明：設(shè)，則，最短距離是向量在向量上的投影的絕對(duì)值，即.對(duì)直線與直線而言，，，，所以.習(xí)題解答習(xí)題9.11．畫出下列平面點(diǎn)集D的圖形，指出它們的邊界，說明它們是開區(qū)域還是閉區(qū)域，有界還是無界．（1）D：；解D的圖形略．D的邊界為．D為閉區(qū)域且為無界區(qū)域．（2）D：；解D的圖形略．D的邊界為．D為閉區(qū)域且為有界區(qū)域．（3）D：；解D的圖形略．D的邊界為．D既不是閉區(qū)域也不是開區(qū)域，但D為有界區(qū)域．（4）D：．解D的圖形略．D的邊界為．D為開區(qū)域，且為有界區(qū)域．2．用不等式組表示下列曲線圍成的閉區(qū)域D：（1）D由圍成；解D：．（2）D由圍成．解D：．3．求下列各函數(shù)的定義域：（1）；解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）；解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）（）；解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）．解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)?．設(shè)，求、及．解由得，．．5．設(shè)，求．解設(shè)，則，，所以，從而．6．求下列函數(shù)極限：（1）；解由連續(xù)性，原式＝＝．（2）；解由連續(xù)性，原式＝＝．（3）；解令xy=t,則原式＝＝＝（4）；解令x2+y2=t,則原式＝＝（5）；解原式＝＝＝＝．（6）．解原式==(令x2+y2=t)=．7．證明下列極限不存在：（1）；證明因?yàn)楫?dāng)沿直線趨于時(shí)，，它是隨的值的不同而改變的，所以極限不存在．（2）．證明因?yàn)楫?dāng)沿直線趨于時(shí)，，當(dāng)沿直線趨于時(shí)，，由于，所以極限不存在．8．指出下列函數(shù)在何處間斷：（1）；解函數(shù)在處間斷．（2）．解函數(shù)在上每一個(gè)點(diǎn)處間斷．習(xí)題9.21．求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：（1）；解，；（2）；解，；（3）；解，.（4）；解（5）；解，；（6）；解，；（7）；解，，；（8）．解，，．2．計(jì)算下列各題：（1）設(shè)，求和；解＝，＝，將點(diǎn)（1，2）代入上面結(jié)果，得，．（2）設(shè)，求；解取對(duì)數(shù)得,上式兩邊對(duì)y求導(dǎo)得，所以，將點(diǎn)（1，1）代入上面結(jié)果，得．（3）設(shè)，求；解∵，∴＝．（4）設(shè)，求及．解，，∴．．3．設(shè)，證明：．證明：，，．4．設(shè)，其中可導(dǎo)，證明：．證明即．5．曲線在點(diǎn)（，1，）處的切線對(duì)軸的傾角是多少？解設(shè)該切線與軸的傾角為，∴由偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，從而．6．證明：函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處連續(xù)，但及不存在．證明∵∴在點(diǎn)（0，0）處連續(xù)．又=不存在，=不存在．7．求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，，．（1）；解，∴，，；（2）；解，，，，．（3）；解，，∴，，；（4）．解，，∴，，．8．設(shè)，求，，．解，，，從而，，．9．設(shè)，試證：．證明：，，，由對(duì)稱性得，，∴．原式得證．習(xí)題9.31．求下列函數(shù)的全微分：（1）；解，∴（2）；解，∴（3）（）；解，∴．（4）；解，∴；（5）；解，，∴；（6）．解，，，∴．2．計(jì)算下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的全微分（1），；解，，∴（2），．解，，=+.3．求函數(shù)當(dāng)?shù)娜隽亢腿⒎郑?，，全增量?．設(shè)可導(dǎo)，求下列函數(shù)的全微分：（1）；解令，則，，∴．（2）．解令，則，∴．5．計(jì)算下列近似值：（1）；解取，令，，，，于是，，．原式＝．（2）．解取，令，，，，于是，，．原式＝．6．設(shè)有邊長(zhǎng)為m與m的矩形，當(dāng)邊增加5cm而邊減少10cm，求此矩形對(duì)角線增量的近似值．解設(shè)矩形對(duì)角線長(zhǎng)為z，則有．把，，代入，得．即此矩形對(duì)角線增量的近似值約為-5cm．7．有一用水泥砌成的無蓋長(zhǎng)方體水池，它的外形長(zhǎng)5m、寬4m、高3m，又它的四壁及底的厚度均為20cm，求所用水泥的近似值．解設(shè)長(zhǎng)方體水池長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z米，水池的體積．把，，代入，得．即所用水泥的近似值為14.8m3．8．利用函數(shù)證明：商的相對(duì)誤差等于被除數(shù)及除數(shù)的相對(duì)誤差之和．證明將，，的相對(duì)誤差為．即商的相對(duì)誤差等于被除數(shù)及除數(shù)的相對(duì)誤差之和．習(xí)題9.41．設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù)．解．2．設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù)．解．3．設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù)．解．4．設(shè)，而，求和．解；．5．設(shè)，而，求和．解；．6．設(shè)，求和．解令則，；．7．設(shè)，其中及可導(dǎo)，求．解令，則，，，∴．8．求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)：（1）；解，．（2）；解，，．（3）；解，．（4）．解，，．9．設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，證明：．證明令，則，，所以．10．設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，求，，．解令，則，所以，，．11．求下列函數(shù)的，，（其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：（1）；解由得，所以，，（2）．解由得，，所以，，．12．設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在極坐標(biāo)變換，下，證明二維拉普拉斯式：．證明由得,所以，將上述的表達(dá)式代入，得=．證畢．13．設(shè)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求．解由得，所以習(xí)題9.51．設(shè)由方程確定，求．解令，即，，所以，2．設(shè)由方程確定，求及．解令，則，所以，將x=0代入原方程得y=1.從而，∴．3．求下列方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和：（1）；解令，則，，，所以，.（2）．解令，即,，，，所以，.4．設(shè)所確定的函數(shù)為，求．解令，則，，，所以，，所以．5．設(shè)函數(shù)由方程確定，求全微分．解令，則，，，所以，，因此．6．設(shè)是由方程所確定的函數(shù)，其中具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：．解記，令，則，，，所以．7．設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明由方程所確定的函數(shù)滿足．證明令，則，，，所以．8．設(shè)函數(shù)由方程確定，求、．解令，則，，，所以，,注意到z是x、y的函數(shù)，將再對(duì)x求偏導(dǎo)，得.注意到z是x、y的函數(shù)，將再對(duì)y求偏導(dǎo)，得9．設(shè)函數(shù)由方程確定，求．解解令，則，，，所以，,將x=0,y=0代入得z=2，點(diǎn)（0，0，2）處，注意到z是x、y的函數(shù)，將再對(duì)y求偏導(dǎo)，得,將x=0,y=0，z=2及代入得．10．設(shè)下列方程組確定了函數(shù)，，求和：（1）；解方程組的兩端對(duì)求偏導(dǎo)，得當(dāng)時(shí)，解得，；（2）．解在方程組中，等式兩邊取微分得，當(dāng)時(shí)，解得，，所以，．11．設(shè)二元隱函數(shù)，由方程組確定，求，，和．解方程組兩端分別對(duì)求偏導(dǎo)，得，當(dāng)時(shí)，解得，，；方程組的兩端分別對(duì)求偏導(dǎo)，得，當(dāng)時(shí)，解得，．12．設(shè)，而，由方程組確定，求及．解方程組中各等式兩端分別求全微分，得，當(dāng)時(shí)，從上式中解出和，得，從而，，，．∴＝，＝．習(xí)題9.61．求下列空間曲線在指定點(diǎn)處的切線方程和法平面方程（1）曲線，點(diǎn)；解因?yàn)辄c(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)，而，，，故點(diǎn)處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；法平面方程為，即．（2）曲線，對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)；解參數(shù)對(duì)應(yīng)曲線上的切點(diǎn)為，而，，，故點(diǎn)處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；法平面方程為，即．（3）曲線，點(diǎn)；解因?yàn)榍嬖邳c(diǎn)處的法向量為，曲面在點(diǎn)處的法向量為，所以，曲線在點(diǎn)處的切向量為．故所求切線方程為；法平面方程為，即；（4）曲線，點(diǎn)．解因?yàn)榍嬖邳c(diǎn)處的法向量為，曲面在點(diǎn)處的法向量為，所以，曲線在點(diǎn)處的切向量為．故所求切線方程為；法平面方程為，即．2．求曲線上的點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線平行于平面．解設(shè)所求的切點(diǎn)為P，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則，，，故點(diǎn)P處切線的方向向量為，平面的法向量為，由切線平行于平面得T；即，故所求的切點(diǎn)為．3．求下列曲面在指定點(diǎn)處的切平面方程和法線方程：（1），點(diǎn)；解（1）令，則，故曲面在點(diǎn)處的切平面的法向量為，切平面方程為，即；法線方程為．（2），點(diǎn)．解令，得，故曲面在點(diǎn)處的切平面的法向量為，切平面方程為，即；法線方程為．4．求曲面在點(diǎn)處的指向朝上的法向量的方向余弦．解令，得，故曲面在點(diǎn)處的指向朝上的法向量為方向余弦：，，．5．在曲面上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切平面平行于平面．解令，設(shè)切點(diǎn)為，則切點(diǎn)處切平面的法向量為，由題意得，解上述方程組得，，，因此所求點(diǎn)為．6．求曲面上同時(shí)垂直于平面與的切平面方程．解令，設(shè)切點(diǎn)為，則切點(diǎn)處切平面的法向量為，又同時(shí)垂直于兩已知平面的法向量為n1=(1,1,0)×（1，0，0）=（1，-1，0）由題意得，解上述方程組得，因此所求切平面為，即，亦即．7．證明：曲面在任一點(diǎn)處的切平面都平行于直線，其中F具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)．解令，任一點(diǎn)為P0，則，點(diǎn)P0處切平面的法向量為，∵∴該曲面任一點(diǎn)處的切平面都平行于已知直線．8．證明：曲面上任一點(diǎn)處切平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的立體的體積為一定值．證由題意知，令，則點(diǎn)處切平面的法向量為，所求切平面為，即，此平面在三條坐標(biāo)軸上的截距分別為體積習(xí)題9.71．求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度．解；．．2．求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度，并問該函數(shù)在哪一點(diǎn)處函數(shù)的梯度為．解點(diǎn)處．令＝0得，所求點(diǎn)為．3．設(shè)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，為常數(shù)，證明：（1）；證明∵∴，證畢．（2）．證明∵∴，證畢．4．求函數(shù)在點(diǎn)處沿與軸正向成角的方向的方向?qū)?shù)．解的方向余弦為，．且，，所以．5．求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù)．解的方向余弦為，．且，，所以．6．求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)．解兩邊對(duì)x求導(dǎo)得，點(diǎn)（3，4）處內(nèi)法線方向的方向余弦為，．且，，所以．7．設(shè)函數(shù)，（1）求函數(shù)在點(diǎn)處沿函數(shù)在該點(diǎn)的梯度方向的方向?qū)?shù)；（2）問函數(shù)在點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)為最?。糠较?qū)?shù)的最小值為多少？解（1）點(diǎn)(1,0)處＝,所求方向?qū)?shù)＝|gradz｜=.(2)沿方向的方向?qū)?shù)為最小,方向?qū)?shù)的最小值為．8．求在點(diǎn)A（1，1，2）處，沿從點(diǎn)A到點(diǎn)B（2，，1）的方向的方向?qū)?shù)．解，其方向余弦為，，．又點(diǎn)A（1，1，2）處，，，所以．9．求函數(shù)在點(diǎn)A（1，1，2）處，沿曲線在點(diǎn)A處的切線正方向（對(duì)應(yīng)于增大的方向）的方向?qū)?shù)．解點(diǎn)A（對(duì)應(yīng)t=1）處，其方向余弦為，，．又點(diǎn)A（1，1，2）處，，，所以．10．設(shè)為球面上點(diǎn)A處指向朝上的法向量，求在點(diǎn)A處沿的方向?qū)?shù)．解,令，則球面在點(diǎn)A處的法向量可取為，其方向余弦為，，．由于的指向向上，是銳角，，故應(yīng)取，，．又點(diǎn)A處因?yàn)?，所以?1．設(shè)，（1）求函數(shù)在點(diǎn)處沿梯度方向的方向?qū)?shù)；（2）問函數(shù)在點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)為最大？方向?qū)?shù)的最大值為多少？解（1）點(diǎn)處，所求方向?qū)?shù)為（2）沿方向的方向?qū)?shù)為最大，方向?qū)?shù)的最大值為．習(xí)題9.81．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，試判斷是否為函數(shù)的極值，為什么？解不是．由極限保號(hào)性，在（0，0）附近有>0,從而，由此不能推出或．2．求函數(shù)的駐點(diǎn)．解解方程組得駐點(diǎn)為（1，1），（0，0）．3．設(shè)函數(shù)由方程所確定，求的駐點(diǎn)．解令，則，．解方程組得駐點(diǎn)為（1，1）．4．求下列函數(shù)的極值：（1）；解解方程組得駐點(diǎn)為．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)椋?，所以函?shù)在該點(diǎn)有極小值．（2）；解解方程組得駐點(diǎn)為．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，，所以函?shù)在該點(diǎn)有極大值；．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)椋皇菢O值．（3）；解解方程組得駐點(diǎn)為，（）．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，，函?shù)極大值．在點(diǎn)處，，，，，不是極值．（4）（）；解解方程組得駐點(diǎn)為．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)椋瑯O小值．（5）（）．解解方程組得駐點(diǎn)為．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，，所以函?shù)在該點(diǎn)極大值．5．求函數(shù)在閉區(qū)域D：，，上的最大值與最小值．解先解方程組得函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn)為，函數(shù)值．在閉區(qū)域D的邊界及）上，函數(shù)．在閉區(qū)域D的邊界（）上，函數(shù)令，得，．．最大值為M=，最小值．6．有一寬為24厘米的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來做成斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣的折法才能使斷面的面積最大？解設(shè)折起來的邊長(zhǎng)為xcm,傾角為，則斷面的面積為，即（）令解得，根據(jù)題意可知，兩邊折起8厘米，邊的傾斜角為時(shí)面積最大．7．在平面上求一點(diǎn)，使它到及三直線的距離平方之和為最?。庠O(shè)所求點(diǎn)為,距離平方之和為，則，即，令得，由實(shí)際意義知，所求點(diǎn)為．8．用拉格朗日乘數(shù)法求下列條件極值的可能極值點(diǎn)：（1）目標(biāo)函數(shù)，約束條件；解作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：∴可能極值點(diǎn)為．（2）目標(biāo)函數(shù)，約束條件，．解作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：∴可能極值點(diǎn)為．9．求內(nèi)接于半徑為的球且體積最大的圓柱體的高．解設(shè)圓柱體的高為h,半徑為r,則，圓柱體的體積．令，令，解之得：∴根據(jù)題意可知，所求圓柱體的高為．10．某廠要造一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體水箱，已知它的底部造價(jià)為每平方米18元，側(cè)面造價(jià)均為每平方米6元，設(shè)計(jì)的總造價(jià)為216元，問如何選擇它的尺寸，才能使水箱容積最大？解設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為米，體積為米3，則．問題歸結(jié)為求在條件下的極值．作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：．由題意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一駐點(diǎn)取得，即當(dāng)長(zhǎng)、寬、高分別取2m、2m、3m時(shí)，長(zhǎng)方體的體積最大．11．在曲線，上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到面的距離最短．解作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：∴所求點(diǎn)為*12．在某次實(shí)驗(yàn)中測(cè)得五組數(shù)據(jù)如下表所示01240.511.523試用最小二乘法建立與之間的經(jīng)驗(yàn)公式．解經(jīng)驗(yàn)公式為，本題，，，，，，，所以和之間的經(jīng)驗(yàn)公式為*13．根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得變量和的組數(shù)據(jù)為（），假定與之間的經(jīng)驗(yàn)公式為，試用最小二乘法求所滿足的方程組．解對(duì)于，令，則得線性型經(jīng)驗(yàn)公式為；記．由二元函數(shù)極值的必要條件得，整理得方程組．*習(xí)題9.91．求在點(diǎn)處的一階和二階泰勒公式．解因?yàn)?，，，，，，，，，，，，，，，令，，，函?shù)的一階泰勒公式為，其中函數(shù)的二階泰勒公式為其中2．求在點(diǎn)的二階泰勒公式．解因?yàn)?，，，，，，，，，，，，，，，令，，，函?shù)的二階泰勒公式為其中．3．利用二階泰勒公式，近似計(jì)算的值．解設(shè)，則，，，，，，，，令，，，，則有．即．總習(xí)題91.選擇題（1）=（）．A．B．C．D．解原式=,∴選D.（2）設(shè)函數(shù)，則①在（0，0）處連續(xù)．②在（0，0）處的偏導(dǎo)數(shù)存在．③在（0，0）處可微．上述三條結(jié)論中正確的是（）．A．①和②B．②和③C．①和③D．①、②和③解因?yàn)椋?，從而，在?，0）處連續(xù)．又=，=，不存在，∴在（0，0）處不可微．∴選A.（3）設(shè)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且和在點(diǎn)都取得極值，則一定是的（）．A．極大值點(diǎn)B．極小值點(diǎn)C．駐點(diǎn)D．連續(xù)點(diǎn)解由極限必要條件得，∴選C．（4）函數(shù)有，且，則（）．A．B．C．D．解，，又，∴,故有，所以，∴選B.（5）下列結(jié)論中正確的是（）．A．若和存在，則B．若和存在，則C．若和存在，則在處不一定連續(xù)D．若沿軸正向的方向?qū)?shù)存在，則存在解A錯(cuò)，因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)存在不能推到函數(shù)可微！，B錯(cuò)，因?yàn)橛珊痛嬖?，不能得到．D錯(cuò)，因?yàn)橛裳剌S正向的方向?qū)?shù)存在，不能得到存在．∴選C．2.填空題（1）設(shè)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則．解由時(shí)得，所以，∴．（2）曲線上點(diǎn)處的切線方程為．解曲線即為，而，，，故點(diǎn)處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；（3）設(shè)是函數(shù)的全微分，則．解由題意由得．（4）設(shè)曲面在點(diǎn)處的法線垂直于平面，則．解令，則點(diǎn)處的法向量為，由題意得，解得，，，因此所求點(diǎn)為．（5）設(shè)函數(shù)，，都是由方程所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則．解由利用隱函數(shù)求導(dǎo)法得，，．∴（）（）（＝－1.3.設(shè),求．解,∴=．4.設(shè)，且可微，求．證令，則有，，因此．5.已知，其中由方程確定，求．解令，則，∴6.設(shè)由方程確定，求，．解令，則，，，所以．7.設(shè)方程組確定了函數(shù)，，求和．解方程組的兩端對(duì)求偏導(dǎo)，得當(dāng)時(shí)，解得，．8.設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求．解，∴9.設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，，且，求常數(shù)，使．解，,∴(∵),∴,,將,,的結(jié)果代入到得,即,,，（舍去）．從而．10.求曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離和最短距離.解設(shè)所求點(diǎn)為P，則到原點(diǎn)的距離為，令，由，得（4）當(dāng)時(shí)。代入到（3）得，即，于是；當(dāng)時(shí)，由（4）得從而（5）（5）代入到（1）得即，注意到，必有，但這與式（3）矛盾，又點(diǎn)在上，，所以最長(zhǎng)距離為，最短距離為.11.設(shè)，①求在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)；②問點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？其值是多少？解（1）的方向余弦為，，．點(diǎn)處，，，所以（2）沿方向的方向?qū)?shù)最大，方向?qū)?shù)最大值為．12.在橢球面上求一點(diǎn)，使函數(shù)在該點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)最大.解設(shè)所求點(diǎn)為P，則，在該點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)為，令，由，解之得或（舍去，因?yàn)榇藭r(shí)方向?qū)?shù)最?。?，所求為．13.設(shè)由方程確定，求的極值．解令，則，．解方程組得駐點(diǎn)為（1，－2）．將代入到原方程中，得或．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，，所以函數(shù)有極小值．在點(diǎn)處，，，，，所以函數(shù)有極大值．14.已知平面上兩定點(diǎn)和，試在橢圓（）求一點(diǎn)，使的面積最小，并求出的最小面積．解設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，方程：×=|×|，，令，解之得：，這是一個(gè)實(shí)際問題，最短距離一定存在，從而．15.設(shè)直線L：在平面上，而平面與曲面相切于點(diǎn)，求的值．解：令，法向量．點(diǎn)處．過L的平面可設(shè)為，即（*）依題意有，解得，將及點(diǎn)代入式（*）得．16.證明極限不存在．證明：當(dāng)點(diǎn)沿趨于時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)沿趨于時(shí)，，所以不存在．17.設(shè)，其中可微，為常數(shù)，證明：．證明∵，∴；；；從而．18.設(shè)，其中可導(dǎo)且二階可導(dǎo)，證明：．解記，則有，，∴．19.設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明由方程所確定的函數(shù)滿足．證明，令，則，，，，，∴．20.證明：曲面上任意點(diǎn)處的切平面與直線平行．證明記，則，，，該曲面上任意點(diǎn)處的法向量為∵，∴該曲面上任意點(diǎn)處的切平面都平行于直線．21.證明曲面在任一點(diǎn)處的切平面都通過原點(diǎn)．證明記，則，，，該曲面上任意點(diǎn)處的法向量為，切平面為，因?yàn)闈M足上述方程，所以該曲面上任意點(diǎn)處的切平面都通過原點(diǎn)．習(xí)題解答習(xí)題10.11．設(shè)一平面薄板占有面上的閉區(qū)域D，其上分布有面密度為的電荷，且在D上連續(xù)，試用二重積分表達(dá)該薄板上的全部電荷Q．解由二重積分的定義可知，電荷．2.略．3.根據(jù)二重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大?。海?），其中；解區(qū)域的面積=，區(qū)域的面積=，因?yàn)椋裕?；?），其中D是圓周圍成的閉區(qū)域；解對(duì)區(qū)域D上的任意點(diǎn)，都有：，，所以：；（3），其中D是由直線圍成的閉區(qū)域．解對(duì)區(qū)域D上的任意點(diǎn)，都有：，，所以：．4.利用二重積分的性質(zhì)，估計(jì)下列積分的值：（1）其中；解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質(zhì)6，得；（2）其中；解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質(zhì)6，得；（3）其中D是兩坐標(biāo)軸與直線圍成的閉區(qū)域．解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質(zhì)6，得．習(xí)題10.21.計(jì)算下列二重積分：（1）其中；解；（2），其中D是由兩坐標(biāo)軸及直線所圍成的閉區(qū)域；解；（3），其中D是頂點(diǎn)分別為的三角形閉區(qū)域；解；(4)，其中．解．2.畫出積分區(qū)域，并計(jì)算下列二重積分：（1）其中D是由兩條拋物線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中D是由所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（3），其中；解圖略；（4），其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域．解圖略．3.化二重積分為二次積分（分別給出兩種不同的積分次序），其中積分區(qū)域D分別為：（1）由兩坐標(biāo)軸及直線所圍成的閉區(qū)域；解圖略或；（2）由及所圍成的閉區(qū)域；解圖略或（3）由及所圍成的閉區(qū)域．解圖略或4.略．5.交換下列二次積分的次序：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）；解圖略；（5）．解圖略．6.通過交換積分次序計(jì)算下列二重積分：（1）；解；（2）．解．7.設(shè)連續(xù)，證明：．證：交換積分次序，得．8.利用“對(duì)稱性”計(jì)算下列二重積分：（1），其中；LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\第10章（重積分）習(xí)題解答.doc"OLE_LINK1\a\r解積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，且函數(shù)關(guān)于x是奇函數(shù)，故有；（2），其中；LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\第10章（重積分）習(xí)題解答.doc"OLE_LINK1\a\r解積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，且函數(shù)關(guān)于y是偶函數(shù)，關(guān)于y是奇函數(shù)，故有；（3），其中．LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\第10章（重積分）習(xí)題解答.doc"OLE_LINK1\a\r解積分區(qū)域D關(guān)于x軸和y軸都對(duì)稱，且函數(shù)關(guān)于x和y是都偶函數(shù)，故有．9.畫出積分區(qū)域，把積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分，其中積分區(qū)域D是：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）；解圖略；（5）．解圖略．10.化下列二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）．解圖略．11.把下列積分化為極坐標(biāo)形式，并計(jì)算積分值：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略．（4）．解圖略．12.利用極坐標(biāo)計(jì)算下列二重積分：（1），其中D由圓周所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中D由圓，直線和軸所圍成的閉區(qū)域；解圖略（3），其中D由圓周及直線所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；解圖略；（4），其中解圖略．13.選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列各題：（1），其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中D是由圓周及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；解圖略．（3）其中D是由直線及曲線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（4），其中；解圖略．（5）其中．解圖略原式．*14.作適當(dāng)?shù)淖儞Q，計(jì)算下列各題：（1）其中D由雙曲線和，直線和及所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；解令，即，xOy平面上的閉區(qū)域D變換為平面上的閉區(qū)域．由于雅可比式，故由公式（10－7）得．（2）其中D是以和為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域；解令，即，閉區(qū)域D變換為閉區(qū)域．由于雅可比式，故由公式（10－7）得．*15.作適當(dāng)?shù)淖儞Q，證明等式：，其中閉區(qū)域．解令，即，閉區(qū)域D變換為閉區(qū)域．由于雅可比式，故由公式（10－7）得．習(xí)題10.31.化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別是：（1）；解圖略；（2）由錐面及平面所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（3）由雙曲拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域；解圖略．（4）由曲面及所圍成的閉區(qū)域．解圖略．2.略．3.計(jì)算下列三重積分：（1），其中為平面所圍成的四面體；解．（2），其中是由平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體；解；（3）其中為球面及三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域；解．（4）其中為曲面及平面所圍成的閉區(qū)域；解．（5）其中是由圓錐面與平面所圍成的閉區(qū)域；解：，．（6）其中是由拋物面與平面所圍成的閉區(qū)域．解：，．4.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：（1）其中是由曲面及所圍成的閉區(qū)域；解；（2）其中；解原三重積分；；另解由對(duì)稱性得，所以原三重積分；（3）其中是由柱面及平面所圍成的閉區(qū)域．解原三重積分．*5.利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：（1）其中是由球面所圍成的閉區(qū)域；解原三重積分．（2）其中．解原三重積分．6.選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列各題：（1）其中是由圓柱面與平面所圍成的閉區(qū)域；解由對(duì)稱性得，；另解；（2）其中是由圓錐面與平面所圍成的閉區(qū)域；解；*（3）其中；解原三重積分．（4）其中；解：，．*（5）其中是由球面所圍成的閉區(qū)域；解原三重積分．（6）其中．解：，．習(xí)題10.41.計(jì)算由四個(gè)平面所圍成的柱體被平面及截得的立體的體積．解記，則．2.計(jì)算圓柱面被平面及圓錐面所截得的立體的體積．解記，則．3.求由下列曲面所圍成的立體的體積：（1）及；解；（2）及；解；（3）及；解．（4）及；解記，則．*（5）及（含有z軸的部分）．解．4.求拋物面在xOy平面上方部分的面積．解記，由得：．5.求半球面上部分的面積．解記，由得：．6.求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積．解記，由得：．7.求圓錐面被圓柱面所截得部分的曲面面積．解記，由得：．8.求柱面含在柱面內(nèi)的那部分面積．解考慮第一卦限部分．記，由得：．9.設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線和x軸所圍成，它的面密度，求該薄片的質(zhì)量．解所求薄片的質(zhì)量．10.設(shè)有一物體，占有空間閉區(qū)域，在點(diǎn)處的密度，求該物體的質(zhì)量．解物體的質(zhì)量．11.求下列均勻薄板的質(zhì)心，其中薄板所占的閉區(qū)域D如下：（1）D由圍成；解閉區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱，所以質(zhì)心必位于x軸上，于是．閉區(qū)域D的面積：；而，故薄板的質(zhì)心為．（2）D由圍成；解閉區(qū)域D的面積：；而，，，故薄板的質(zhì)心為．（3）D是介于兩個(gè)圓之間的閉區(qū)域．解閉區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱，所以質(zhì)心必位于x軸上，于是．閉區(qū)域D的面積（兩個(gè)圓面積之差）：；而，故薄板的質(zhì)心為．12.設(shè)平面薄板所占的閉區(qū)域D是由所圍成，在處的密度，求此薄板的質(zhì)心．解，，，故薄板的質(zhì)心為．13.利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍立體的質(zhì)心（設(shè)密度）：（1），；解顯然，質(zhì)心在z軸上，故．由于，所以，從而質(zhì)心為．（2）；解顯然，質(zhì)心在x軸上，故．由于，，所以，從而質(zhì)心為．*（3），，．解顯然，質(zhì)心在z軸上，故．由于，，所以，從而質(zhì)心為．*14.設(shè)球體占有閉區(qū)域，它在內(nèi)部各點(diǎn)處的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方．求此球體的質(zhì)心．解密度，，由對(duì)稱性得：，，而所以，，從而質(zhì)心為．15.設(shè)均勻薄片（面密度為常數(shù)1）所占的閉區(qū)域D如下，求指定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（1）D由圍成，求和；解，．（2），求；解．（3）邊長(zhǎng)為a和b的矩形薄片對(duì)兩條邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．解建立圖示坐標(biāo)系，，．16.求由拋物線及直線所圍成的均勻薄片（面密度為常數(shù)1）對(duì)于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．解對(duì)于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為．17.一空間均勻物體（密度為常數(shù)）占有的閉區(qū)域是由曲面和平面，所圍成，（1）求物體的體積；（2）求物體的質(zhì)心；（3）求物體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．解（1）；（2）顯然，質(zhì)心在z軸上，故，因?yàn)?，故，所以質(zhì)心為．（3）．18.平面內(nèi)的曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)曲面，這個(gè)曲面與平面所圍立體上點(diǎn)處的密度，求該立體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．解平面內(nèi)的曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面的方程為，所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．19.求半徑為a，高為h的均勻圓柱體（密度）對(duì)于過中心而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．解建立空間直角坐標(biāo)系，使圓柱體所占閉區(qū)域?yàn)椋筠D(zhuǎn)動(dòng)慣量即圓柱體對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，故（是圓柱體的質(zhì)量）．20.設(shè)均勻柱體密度為，占有的閉區(qū)域，求它對(duì)位于點(diǎn)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力．解由柱體的對(duì)稱性及質(zhì)量分布的均勻性，顯然有，所求引力在z軸上的分量為，所求引力為總習(xí)題101.選擇題（1）下列結(jié)論中正確的是（）．A.若閉區(qū)域D由圓周圍成，則B.C.若，則D.若，則解由輪換對(duì)稱性立得：；即選項(xiàng)B正確．（2）設(shè)，則（）．A.B.C.D.解由三重積分的極坐標(biāo)計(jì)算法得，即選項(xiàng)D正確．（3）設(shè)平面區(qū)域，，則（）．A.B.C.D.解如圖，D分成四個(gè)部分，由于區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱，；區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱，；故，即選項(xiàng)A正確．（4）設(shè)空間閉區(qū)域，，則有（）．A.B.C.D.解由于積分區(qū)域關(guān)于yOz平面、xOz平面都對(duì)稱，而是關(guān)于x、y的偶函數(shù)，故兩次利用對(duì)稱性可知，選項(xiàng)C正確．（5）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解由于積分區(qū)域是由圍成的，故；即選項(xiàng)C正確．（6）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，其中D是由所圍成閉區(qū)域，則（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解記（常數(shù)），則，積分得即，因?yàn)椋?，所以，，從而，即選項(xiàng)C正確．2.填空題（1）設(shè)，則根據(jù)重積分的幾何意義可得：．解表示以為底，以半球面為頂?shù)那斨w體積，故．（2）設(shè)，則根據(jù)重積分的幾何意義可得：．解根據(jù)三重積分的幾何意義，表示空間區(qū)域圍成立體的體積，而此立體是底半徑為，高也為的圓錐，故體積等于，即．（3）設(shè)函數(shù)連續(xù)，，若記，則．解交換積分次序，得，所以，．（4）將化為極坐標(biāo)下的二次積分，得．解記，則．（5）三次積分．解．（6）設(shè)，則．解由于積分區(qū)域關(guān)于xOy平面對(duì)稱，而是關(guān)于z的奇函數(shù)，故利用對(duì)稱性可知，，所以．3.計(jì)算下列二重積分：（1），其中；解．（2），其中D是由圓周所圍成閉區(qū)域；解．（3），其中D是由直線所圍成閉區(qū)域；解．（4），其中D是由所圍成閉區(qū)域，為連續(xù)函數(shù)；解如圖，D分成四個(gè)部分由于區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱，；區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱，．（5），其中D，．解．4.交換下列二次積分的次序：（1）；解；（2）；解．（3）．解．5.計(jì)算下列三重積分：（1），其中是由與所圍成的區(qū)域；解．（2），其中是由曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成旋轉(zhuǎn)面與平面所圍成的閉區(qū)域．解繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成旋轉(zhuǎn)面的方程為，．*6.計(jì)算．解，．7.求平面被三坐標(biāo)面所割出的有限部分的面積．解由得，．8.設(shè)，是連續(xù)函數(shù)，試證：．證：．9.設(shè)是連續(xù)函數(shù)且，利用二重積分證明：．證：記，則上述兩式相加，所以．10.在底半徑為R，高為H的圓柱體上面，拼加一個(gè)相同半徑的半球體，使整個(gè)立體的質(zhì)心位于球心處，求R與H的關(guān)系（設(shè)立體的密度）．解以圓柱體底面中心為原點(diǎn)作空間直角坐標(biāo)系，使球心坐標(biāo)為．由于，令，得，化簡(jiǎn)得．11.設(shè)面密度為常量的均勻半圓形薄片占有閉區(qū)域，求它對(duì)位于z軸上點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力．解由對(duì)稱性及質(zhì)量分布的均勻性，顯然有，所求引力在y軸上的分量為；所求引力在z軸上的分量為，所求引力為．習(xí)題解答習(xí)題11.11.計(jì)算下列對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分：（1），其中L為圓周；解=；（2），其中L為直線段；解；（3），其中L為由直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界；解；（4），其中L為及y軸所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界；解；（5），其中L是以為頂點(diǎn)的三角形的周界．解；（6），其中為空間曲線上相應(yīng)于t從0變到2的一段弧；解．（7），其中為點(diǎn)A（1，－1，2）到點(diǎn)B（2，1，3）的直線段．解直線段AB的參數(shù)方程為，．2.設(shè)圓周L：上任一點(diǎn)處的線密度等于該點(diǎn)縱坐標(biāo)的平方，求圓周L的質(zhì)量．解線密度，圓周L的質(zhì)量為．3.設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為，它的線密度．求（1）它的質(zhì)量；（2）它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（3）它的質(zhì)心．解（1）質(zhì)量；（2）關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（3）因?yàn)?，，，所以質(zhì)心，，．習(xí)題11.21.設(shè)L為面內(nèi)x軸上從點(diǎn)到的一段直線，證明：．證由于L的方程為，其中，故．2.計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：（1），其中L為拋物線上從點(diǎn)到的一段??；解；（2），其中L為拋物線及所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界（按逆時(shí)針方向繞行）；解；（3），其中L為自點(diǎn)至點(diǎn)，再到點(diǎn)的折線段；解；（4），其中L為圓周（按逆時(shí)針方向繞行）；解；（5），其中L為從點(diǎn)到點(diǎn)的上半橢圓；解由于L的方程為，，其中，故．(6),其中L為擺線上從到的一段弧；解．（7），其中是上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段??；解．（8），其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的一段直線．解直線段AB的參數(shù)方程為，．3.計(jì)算，其中L是：（1）曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧；（2）從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段；（3）曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段?。猓?）；（2）；（3）．4.一力場(chǎng)由沿橫軸正方向的恒力F所構(gòu)成．試求當(dāng)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿圓周按逆時(shí)針方向移過位于第一象限的那一段弧時(shí)場(chǎng)力所作的功．解，．5.一力場(chǎng)其力的大小等于質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，方向指向原點(diǎn)，試求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿螺旋線從移動(dòng)到時(shí)，該力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功．解，．6.把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中L為：（1）在面內(nèi)沿直線從點(diǎn)到點(diǎn)；解在曲線L上，有，所以；（2）在面內(nèi)沿拋物線從點(diǎn)到點(diǎn)．解在曲線L上，有，所以．7.把對(duì)坐標(biāo)曲線積分化成對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中是沿螺旋線從點(diǎn)到的一段?。庠谇€上，有，所以．習(xí)題11.31.利用格林公式計(jì)算下列曲線積分：（1），其中L是沿圓周，逆時(shí)針方向；解；（2），其中L是以點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域的正向邊界；解；（3），其中L是由方程所確定的閉區(qū)域的正向邊界；解；（4），其中L是由點(diǎn)到點(diǎn)再到點(diǎn)的折線段；解補(bǔ)曲線，則;而，所以．（5），其中L是在曲線上由點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧；解補(bǔ)曲線，則，而，所以．（6），其中L是從點(diǎn)沿到點(diǎn)的一段?。庋a(bǔ)曲線，，則，而，，所以．2.計(jì)算曲線積分，其中L為（1）圓周的正向；解由格林公式，立得；（2）橢圓的正向．解補(bǔ)曲線（逆時(shí)針方向），記，則，故．3.利用曲線積分，求下列曲線所圍成的平面圖形的面積：（1）圓；解面積；（2）橢圓．解將改寫為參數(shù)式得：面積．4.證明下列曲線積分在整個(gè)面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分值：（1）；證記，則P，Q在整個(gè)xOy面上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，故曲線積分與路徑無關(guān)．現(xiàn)選取有向折線計(jì)算．；（2）．證記，則P，Q在整個(gè)xOy面上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，故曲線積分與路徑無關(guān)．現(xiàn)選取有向折線計(jì)算．．5.計(jì)算下列曲線積分：（1），其中L是在曲線上由點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧；解記，則P，Q在整個(gè)xOy面上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，故曲線積分與路徑無關(guān)．現(xiàn)選取直線段計(jì)算．．（2），其中L為在拋物線上由點(diǎn)到點(diǎn)的一段?。庥?，則P，Q在整個(gè)xOy面上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，故曲線積分與路徑無關(guān)．現(xiàn)選取有向折線段，計(jì)算．．6.驗(yàn)證下列在整個(gè)面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，并求這樣的一個(gè)：（1）；解記，則，故在面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分．取點(diǎn)，由公式（11－13）、（11－14），得；（2）；解記，則，故是某一函數(shù)的全微分．；（3）．解記，則，故是某一函數(shù)的全微分．．7.確定常數(shù)k，使在右半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度，并求．解由題設(shè)可知，，記，則，令，得k；．習(xí)題11.41.計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分：（1），其中Σ為平面位于第一卦限的部分；解因?yàn)榈姆匠炭苫癁椋趚Oy面上的投影區(qū)域是：，故．（2），其中Σ為雙曲拋物面被柱面截得的第一卦限部分；解因?yàn)榈姆匠虨?，在xOy面上的投影區(qū)域是：，故．（3），其中Σ為拋物面被柱面截下的有限部分；解因?yàn)榈姆匠虨?，在xOy面上的投影區(qū)域是：，故．（4），其中Σ為旋轉(zhuǎn)拋物面位于面上方的部分；解的方程為，在xOy面上的投影區(qū)域是：，故．（5），其中Σ為錐面及平面所圍成區(qū)域的整個(gè)邊界曲面；解整個(gè)邊界在、上的部分依次記為，則，在上，，記，；在上，，，所以，．（6），其中Σ為球面上的部分；解的方程可化為，在xOy面上的投影區(qū)域是：，故．（7），其中Σ為平面及三坐標(biāo)面所圍成的四面體的全部邊界曲面．解整個(gè)邊界在xOy面、yOz面、zOx面及上的部分依次記為和，于是．在上，z＝0，，其中是在xOy面上的投影區(qū)域，即由直線x＝0，y＝0及x＋y＝1所圍成的三角形區(qū)域，故；在上，x＝0，；類似地，；在上，z＝1－x－y，，所以，．2.設(shè)拋物面壺上任意點(diǎn)處的密度為，求該壺的質(zhì)量．解記，所求質(zhì)量．3.求面密度為常數(shù)1的均勻半球壺對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．解記，所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．習(xí)題11.51.計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：（1），其中是上半球面的下側(cè)；解記，則；（2），其中是平面位于第一卦限部分的上側(cè)；解記，則；類似地，；；所以．（3），其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限部分的前側(cè)；解由于平面，故；記，則；類似地，；所以