專題05 數(shù)列含數(shù)列新定義-【考前3刷】（1刷真題2刷模考3刷預(yù)測(cè)）備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考前3刷定天下（解析版）

第第頁(yè)專題05數(shù)列（含數(shù)列新定義）一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對(duì)也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C2．（2023·全國(guó)·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算．3．（2022·全國(guó)·高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D二、解答題4．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.【詳解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，，即，解得或（舍去）當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上，.5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.6．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴7．（2022·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得，即可解出．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．8．（2021·全國(guó)·高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項(xiàng)公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：顯然為偶數(shù)，則，所以，即，且，所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，于是．[方法二]：奇偶分類討論由題意知，所以．由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，數(shù)列從第一項(xiàng)起，若為奇數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為1，若為偶數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為2．所以，則．[方法三]：累加法由題意知數(shù)列滿足．所以，，則．所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）[方法一]：奇偶分類討論．[方法二]：分組求和由題意知數(shù)列滿足，所以．所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列的前20項(xiàng)和為：．【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；方法三：寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后累加求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項(xiàng)公式分奇偶的情況求解前項(xiàng)和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見(jiàn)的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和分組的方法進(jìn)行求和是一種不錯(cuò)的選擇.9．（2021·全國(guó)·高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.一、單選題1．（2024·山東·二模）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．156 B．252 C．192 D．200【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列公差，再利用性質(zhì)求出.【詳解】等差數(shù)列中，，得，則，設(shè)數(shù)列公差為，而，因此，解得，則，所以.故選：B2．（2024·湖北·二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)x可能為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】由與的關(guān)系且為等差數(shù)列，求出，由，得，構(gòu)造函數(shù)，由在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，時(shí)，，時(shí)，，所以，，，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，從而，，所以，即，則當(dāng)時(shí)，恒成立，，解得或，只有選項(xiàng)A符合題意，故選：A3．（2024·江蘇·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由已知和式求出通項(xiàng)的通項(xiàng)，從而得出，再由已知條件，從而求出，類似的往前推，求出即可.【詳解】時(shí)，時(shí)，，故選：D.4．（2024·浙江寧波·二模）已知數(shù)列滿足，對(duì)任意都有，且對(duì)任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得數(shù)列在上是遞減數(shù)列，數(shù)列在上是遞增數(shù)列，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意都有，所以數(shù)列在上是遞減數(shù)列，因?yàn)閷?duì)任意都有，所以數(shù)列在上是遞增數(shù)列，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.5．（2024·浙江·二模）已知函數(shù)滿足對(duì)任意的且都有，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)將，再用裂項(xiàng)相消法求的值.【詳解】∵函數(shù)滿足對(duì)任意的且都有∴令，則，∴∴.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列的求和問(wèn)題，關(guān)鍵是理解數(shù)列的規(guī)律，即研究透通項(xiàng)，本題的關(guān)鍵是將通項(xiàng)分析為：二、多選題6．（2024·河北石家莊·二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列有最小項(xiàng)，且有最大項(xiàng) B．使的項(xiàng)共有項(xiàng)C．滿足的的值共有個(gè) D．使取得最小值的為4【答案】ABD【分析】首先利用作差法判斷單調(diào)性，列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再結(jié)合各選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，令，即，解得，又，所以?dāng)時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，令，解得，所以，，所以數(shù)列有最小項(xiàng)，且有最大項(xiàng)，故A正確；由，則又，所以或或或或，所以使的項(xiàng)共有項(xiàng)，故B正確；要使，又，所以、、中有個(gè)負(fù)數(shù)或個(gè)負(fù)數(shù)，所以或或，故滿足的的值共有個(gè)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，所以當(dāng)為時(shí)取得最小值，故D正確.故選：ABD7．（2024·遼寧·一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則（

）A．存在使數(shù)列為常數(shù)列B．存在使數(shù)列為遞增數(shù)列C．存在使數(shù)列為遞減數(shù)列D．存在使得恒成立【答案】ABD【分析】首先分析可得且，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，再分、、三種情況討論的單調(diào)性，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，又，則，設(shè)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)使數(shù)列為常數(shù)列，故A正確；當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞增，又，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞減，又，所以，又在上單調(diào)遞增且，所以，所以存在使得恒成立，即D正確；由上述分析可知，不存在使數(shù)列為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將遞推公式變形為，從而構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)性.8．（2024·山東煙臺(tái)·一模）給定數(shù)列，定義差分運(yùn)算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對(duì)任意，總存在，使得D．對(duì)任意，總存在，使得【答案】BC【分析】由已知求出及范圍判斷AB；利用累加法結(jié)合錯(cuò)位相減法求和求出及范圍判斷C；求出及的范圍判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，顯然有最小值4，無(wú)最大值，因此不存在，使得恒成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，則，顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，B正確；對(duì)于C，由，得，當(dāng)時(shí)，即，于是，兩式相減得，因此，顯然滿足上式，則，由，得數(shù)列是遞增數(shù)列，有最小值1，無(wú)最大值，從而對(duì)任意，總存在，使得，C正確；對(duì)于D，，由選項(xiàng)C得，顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，，因此對(duì)任意，不存在，使得成立，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.9．（2024·遼寧沈陽(yáng)·二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則數(shù)列單調(diào)遞減B．若對(duì)任意，都有，則C．若，則對(duì)任意，都有D．若的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)之和為正數(shù)，則【答案】ACD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，求出，再作差判斷兩式分母的大小關(guān)系判斷即可；對(duì)于選項(xiàng)B，求解，再分為奇數(shù)與偶數(shù)的情況討論即可；對(duì)于選項(xiàng)C，分為奇數(shù)與偶數(shù)的情況討論，進(jìn)而求和分析是否為0即可；對(duì)于選項(xiàng)D，先將條件轉(zhuǎn)化為：到距離最小的正奇數(shù)到的距離大于到距離最小的正偶數(shù)到的距離，再分情況討論即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由條件知，，而，結(jié)合，知，所以，所以，即數(shù)列單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，首先有.若，則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，從而必成立；而當(dāng)n為奇數(shù)且時(shí)，由，知，，從而，即，這意味著.所以只要，就一定有恒成立，所以由恒成立不可能得到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，顯然當(dāng)同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時(shí)，必有同號(hào)，故；而當(dāng)?shù)钠媾夹圆煌瑫r(shí)，為奇數(shù)，此時(shí)不妨設(shè)分別是奇數(shù)和偶數(shù)，則因?yàn)椋蕿榕紨?shù)，而為奇數(shù)，所以，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，首先顯然的是，最大項(xiàng)必定是某個(gè)第偶數(shù)項(xiàng)，最小項(xiàng)必定是某個(gè)第奇數(shù)項(xiàng).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，要讓最大，即要讓最??；而當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要讓最小，即要讓最小.設(shè)和分別是到距離最小的正偶數(shù)和正奇數(shù)，則條件相當(dāng)于.而，故條件等價(jià)于，即.這表明，條件等價(jià)于，到距離最小的正奇數(shù)到的距離，大于到距離最小的正偶數(shù)到的距離.若，則到距離最小的正奇數(shù)和正偶數(shù)分別是1和2，而由可知，不符合條件；若，是正奇數(shù)，則到距離最小的正奇數(shù)到的距離為0，不可能大于到距離最小的正偶數(shù)到的距離，不符合條件；若，且不是正奇數(shù)，設(shè)到的距離最近的正偶數(shù)為，則.此時(shí)到距離最小的正偶數(shù)到的距離為，從而到距離最小的正奇數(shù)到的距離大于，進(jìn)一步知任意正奇數(shù)到的距離都大于.從而，，這意味著，，所以.綜上，，，故D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的數(shù)列通項(xiàng)中含有，這往往意味著我們需要對(duì)的奇偶性作分類討論，分兩種情況對(duì)數(shù)列進(jìn)行討論才可全面地解決問(wèn)題.10．（2024·吉林延邊·一模）與大家熟悉的黃金分割相類似的還有一個(gè)白銀分割，比如A4紙中就包含著白銀分割率．若一個(gè)數(shù)列從0和1開(kāi)始，以后每一個(gè)數(shù)都是前面的數(shù)的兩倍加上再前面的數(shù)：0，1，2，5，12，29，70，169，408，985，2378，…，則隨著n趨于無(wú)窮大，其前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越來(lái)越接近白銀分割率．記該數(shù)列為，其前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．（） B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)定義即可判定正確，根據(jù)，即可求出，利用，求出，從而得到，令，則，利用不動(dòng)點(diǎn)法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而判定D.【詳解】由于一個(gè)數(shù)列從0和1開(kāi)始，以后每一個(gè)數(shù)都是前面的數(shù)的兩倍加上再前面的數(shù)，則，故A正確；，對(duì)于B，由于，可得，所以，由于，所以，故B正確；對(duì)于C，由于，可得，所以，由于，則，所以，則，故C正確；對(duì)于D，由于，則，即，令，則，，求不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，令，解得：，，所以，化簡(jiǎn)得：①，化簡(jiǎn)得：②，則，且，則數(shù)列是第二項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，由于，所以，故D不正確；故選：ABC三、填空題11．（2024·遼寧撫順·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則，．【答案】299【分析】利用給定的通項(xiàng)公式及已知項(xiàng)求出；再利用前項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，由，得；，因此數(shù)列是等差數(shù)列，所以．故答案為：2；9912．（2024·廣東廣州·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)取最小值時(shí)，.【答案】3【分析】根據(jù)求得，再結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，滿足，故；則，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，取得最小值，也即時(shí)，取得最小值.故答案為：.13．（2024·湖北·二模）方程有三個(gè)互不相等的實(shí)根，這三個(gè)實(shí)根適當(dāng)排列后可構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，也可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則，該方程的解集為【答案】．【分析】設(shè)方程這三個(gè)實(shí)根為，根據(jù)多項(xiàng)式恒等可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合等比數(shù)列以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】設(shè)方程這三個(gè)實(shí)根為，則，得，，，當(dāng)它們成等比數(shù)列時(shí)，不妨設(shè)，，，所以有，，．又這三個(gè)數(shù)可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，有以下三種情形：（1），或，又互不相等，所以；（2），與互不相等矛盾；（3）或，又互不相等．所以，綜上可知或，所以分別為，，6或6，，，即該方程的解集為．所以，故答案為：；14．（2024·浙江嘉興·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，先求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，進(jìn)而求得，再利用項(xiàng)與和的關(guān)系求得通項(xiàng).【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，則，解得，又，所以，，代入，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，滿足上式，所以，.故答案為：.15．（2024·廣東梅州·二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式（），則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)的奇偶性可得的最小值，只需要考慮為偶數(shù)時(shí)即可，根據(jù)作商法得，結(jié)合可得時(shí)，，即可判斷時(shí)取最小值.【詳解】由于當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，要求的最小值，只需要考慮出現(xiàn)奇數(shù)個(gè)奇數(shù)項(xiàng)時(shí)即可，又，且當(dāng)時(shí)，，因此時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，，綜上，最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理涉及的數(shù)列問(wèn)題，一般要考慮分為奇數(shù)和偶數(shù)來(lái)分類討論，含參的恒成立，先分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求式子的最大值或最小值問(wèn)題來(lái)處理．四、解答題16．（2024·遼寧·一模）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，且成等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，．(1)求證：當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列；(2)求的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】(1)利用得到和的關(guān)系即可證明；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論得，求出和公比，得到通項(xiàng)公式，從而根據(jù)等差和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求解．【詳解】（1）∵，∴，，兩式相減，得，即．當(dāng)時(shí)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列．（2）由，解得或，又成等比數(shù)列，∴由(1)得，進(jìn)而，而，∴，從而，∴，∴．17．（2024·河北邯鄲·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出，可證明數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，得到，利用得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，，化簡(jiǎn)可得，利用分組求和以及裂項(xiàng)相消即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，即，解得：，所以，則數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；所以，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足條件，所以的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知，，所以，故，即18．（2024·吉林白山·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限為；②；③，則稱數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.(1)若等比數(shù)列為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式；(2)若等差數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請(qǐng)給出證明過(guò)程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)或(2)(3)不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)和討論，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和結(jié)合數(shù)列新定義求解即可；（2）結(jié)合數(shù)列定義，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式求解即可；（3）根據(jù)數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”求得，再利用數(shù)列的前項(xiàng)和得，然后推得與不能同時(shí)成立，即可判斷.【詳解】（1）若，則，解得，則，與題設(shè)矛盾，舍去；若，則，得，而，解得或，故或.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋瑒t，則，由，得，而，故，兩式相減得，即，又，得，所以.（3）記中所有非負(fù)項(xiàng)之和為，負(fù)項(xiàng)之和為，因?yàn)閿?shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，則得，故，所以.若存在，使得，即，則，且.假設(shè)數(shù)列也為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則因?yàn)?，所?所以；又，則.所以；即與不能同時(shí)成立.故數(shù)列不為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的新定義問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)定義得到數(shù)列滿足的遞推關(guān)系，再利用常見(jiàn)的數(shù)列通項(xiàng)公式求法（如公式法、累加法、待定系數(shù)法等）求得數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，最后再通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的基礎(chǔ)上討論數(shù)列的性質(zhì).19．（2024·遼寧大連·一模）對(duì)于數(shù)列，定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列，其中，且．這種“T變換”記作，繼續(xù)對(duì)數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束．(1)寫(xiě)出數(shù)列A：3，6，5經(jīng)過(guò)5次“T變換”后得到的數(shù)列：(2)若不全相等，判斷數(shù)列不斷的“T變換”是否會(huì)結(jié)束，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)數(shù)列A：2020，2，2024經(jīng)過(guò)k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值．【答案】(1)0，1，1(2)不會(huì)，理由見(jiàn)解析(3)507【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的新定義寫(xiě)出經(jīng)過(guò)5次“T變換”后得到的數(shù)列即可；（2）先假設(shè)數(shù)列經(jīng)過(guò)不斷的“T變換”結(jié)束，不妨設(shè)最后的數(shù)列，由數(shù)列往前推，則非零數(shù)量可能通過(guò)“T變換”結(jié)束，或者數(shù)列為常數(shù)列，進(jìn)而得到可能出現(xiàn)的情況，推出矛盾，故假設(shè)不成立，即可證明；（3）先往后推幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，假設(shè)1次“T變換”后得到的通項(xiàng)，多寫(xiě)幾項(xiàng)推出規(guī)律，往后繼續(xù)進(jìn)行，推到使數(shù)字接近1時(shí)，再繼續(xù)推，往后會(huì)發(fā)現(xiàn)k次“T變換”得到的數(shù)列是循環(huán)的，得到最小值，進(jìn)而推出次數(shù)即可.【詳解】（1）由題知，5次變換得到的數(shù)列依次為3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以數(shù)列：3，6，5經(jīng)過(guò)5次“T變換”后得到的數(shù)列為0，1，1.（2）數(shù)列經(jīng)過(guò)不斷的“變換”不會(huì)結(jié)束，設(shè)數(shù)列，且，由題可知：，，即非零常數(shù)列才能經(jīng)過(guò)“變換”結(jié)束；設(shè)（為非零常數(shù)列），則為變換得到數(shù)列的前兩項(xiàng)，數(shù)列只有四種可能：，而以上四種情況，數(shù)列的第三項(xiàng)只能是0或，即不存在數(shù)列，使得其經(jīng)過(guò)“變換”變成非零常數(shù)列，故數(shù)列經(jīng)過(guò)不斷的“變換”不會(huì)結(jié)束；（3）數(shù)列經(jīng)過(guò)一次“變換”后得到數(shù)列，其結(jié)構(gòu)為（遠(yuǎn)大于4）數(shù)列經(jīng)過(guò)6次“變換”后得到的數(shù)列依次為：；所以，經(jīng)過(guò)6次“變換”后得到的數(shù)列也是形如“”的數(shù)列，變化的是，除了4之外的兩項(xiàng)均減小24，則數(shù)列經(jīng)過(guò)次“變換”后得到的數(shù)列為：2，6，4，接下來(lái)經(jīng)過(guò)“變換”后得到的數(shù)列依次為：4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；至此，數(shù)列各項(xiàng)和的最小值為4，以后數(shù)列循環(huán)出現(xiàn)，數(shù)列各項(xiàng)之和不會(huì)變得更小，所以最快經(jīng)過(guò)次“變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，即的最小值為507．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的新定義問(wèn)題.關(guān)于數(shù)列的新定義一般思路為：根據(jù)定義寫(xiě)出幾項(xiàng)；找出規(guī)律；寫(xiě)成通項(xiàng)；證明結(jié)論.20．（2024·廣東梅州·二模）已知是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令（），并將數(shù)列稱為的“生成數(shù)列”．(1)若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；(3)若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，是等差數(shù)列．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而得出{pn}的通項(xiàng)，由分組求和法及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合生成數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（3）根據(jù)等差數(shù)列的定義分類討論進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）因?yàn)殛P(guān)于單調(diào)遞增，所以，，于是，的前項(xiàng)和．（2）由題意可知，，所以，因此，即是單調(diào)遞增數(shù)列，且，由“生成數(shù)列”的定義可得．（3）若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列．當(dāng)是一個(gè)常數(shù)列，則其公差必等于0，，則，因此是常數(shù)列，也即為等差數(shù)列；當(dāng)是一個(gè)非常數(shù)的等差數(shù)列，則其公差必大于0，，所以要么，要么，又因?yàn)槭怯烧麛?shù)組成的數(shù)列，所以不可能一直遞減，記，則當(dāng)時(shí)，有，于是當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，…，因此存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，…是等差數(shù)列．綜上，命題得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見(jiàn)的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項(xiàng)相消法類似于，錯(cuò)位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列滿足，則有（

）A．最小值 B．最大值18 C．最小值27 D．最大值【答案】C【分析】由數(shù)列是等比數(shù)列，可得，即，方法一：,則利用基本不等式計(jì)算即可，方法二：利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】方法一：因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．方法二

因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：C．2．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是公比不為1的無(wú)窮等比數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】借助充要條件的定義，分別驗(yàn)證充分性與必要性，結(jié)合等比數(shù)列、遞增數(shù)列的定義，借助反證法證明即可得.【詳解】若為遞增數(shù)列，當(dāng)，且時(shí)，有，此時(shí)為遞增數(shù)列，當(dāng)對(duì)任意,，故“為遞增數(shù)列”不是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分條件；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故，，假設(shè)存在，使得，則有，則，又且，故，則當(dāng)時(shí)，，與條件矛盾，故不存在，使，即在上恒成立，即，又，，故，即對(duì)任意的，，即為遞增數(shù)列，故“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的必要條件；綜上所述，“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的必要不充分條件.故選：B.3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且滿足，對(duì)任意正整數(shù)，都有則的值為（

）A．21 B．22 C．23 D．24【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式計(jì)算推理得解.【詳解】依題意，，則，又，則，，等差數(shù)列的公差，因此數(shù)列單調(diào)遞減，，且，即任意正整數(shù)，恒成立，所以對(duì)任意正整數(shù)，都有成立的.故選：C二、多選題4．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且對(duì)，都有，則（

）A．是等比數(shù)列 B．C． D．【答案】BD【分析】由可判斷A選項(xiàng)；推導(dǎo)出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判斷B選項(xiàng)；由與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以不是等比?shù)列，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，，，以及，可得，，，以此類推可知，，則，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足，故，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確，故選：BD.5．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．【答案】BCD【分析】計(jì)算數(shù)列首項(xiàng)及第二項(xiàng)可判定A，利用等差數(shù)列的定義及的關(guān)系可判定C，從而求出的通項(xiàng)公式結(jié)合基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性可判定B、D.【詳解】對(duì)A，由題意可知，所以，則，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，由，故C正確；對(duì)C，所以，則，故B正確；對(duì)D，易知，令，則，則單調(diào)遞增，所以，即，故D正確.故選：BCD6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．若數(shù)列為常數(shù)列，則C．若數(shù)列為遞增數(shù)列，則 D．當(dāng)時(shí)，【答案】AD【分析】令可得，據(jù)此判斷A，令，由遞推關(guān)系求出即可判斷B，根據(jù)B及條件數(shù)列為遞增數(shù)列，分類討論求出或時(shí)判斷C，通過(guò)對(duì)取對(duì)數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列求解即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，令，則，，故，即，A正確；對(duì)于B，若數(shù)列為常數(shù)列，令，則，解得或或，B不正確；對(duì)于C，令，則，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列，則，解得或.當(dāng)時(shí)，，且，，此時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列，即數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，且，，此時(shí)數(shù)列不為遞增數(shù)列，即數(shù)列不為遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列，即數(shù)列為遞增數(shù)列.綜上，當(dāng)或，即或時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，C不正確；對(duì)于D，令，則，，兩邊同時(shí)取以2為底的對(duì)數(shù)，得，，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，，即，D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題所給數(shù)列的遞推關(guān)系并不常見(jiàn)，對(duì)學(xué)生的理性思維要求比較高，求解時(shí)將已知條件變?yōu)槭欠浅ｊP(guān)鍵的一步，再根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)所附加的條件逐一進(jìn)行判斷，既有求解數(shù)列的項(xiàng)的取值范圍的問(wèn)題，又考查了數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列通項(xiàng)的求解，要求學(xué)生具備扎實(shí)的邏輯推理能力.本題難度比較大，起到壓軸的作用.三、填空題7．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）等比數(shù)列的公比為，其通項(xiàng)為，如果，則；數(shù)列的前5項(xiàng)和為．【答案】或或【分析】利用給定條件，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)列出方程，求解方程得；分類求出的通項(xiàng)，再求出前5項(xiàng)和.【詳解】等比數(shù)列的公比為，由，得，整理得，所以或；當(dāng)時(shí)，，數(shù)列的前5項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列的前5項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前5項(xiàng)和為或.