押浙江卷第24題（圓的綜合問(wèn)題）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題（浙江專用）（全解全析）

第第頁(yè)押浙江卷第24題（圓的綜合問(wèn)題）押題方向：圓的綜合問(wèn)題2023年浙江真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年紹興卷、湖州卷、、衢州卷第21題臺(tái)州卷、杭州卷、金華卷第23題寧波卷、舟山、嘉興卷、麗水卷第24題圓的綜合題從近幾年浙江各地中考來(lái)看，圓的綜合問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸題；預(yù)計(jì)2024年浙江卷還將重視圓綜合問(wèn)題（圓的相關(guān)概念與定理、相似、勾股、三角函數(shù)、三角形、四邊形等）的考查。1．（2023?杭州）如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，連接AC，AD，BC，作CF⊥AD于點(diǎn)F，交線段OB于點(diǎn)G（不與點(diǎn)O，B重合），連接OF．（1）若BE＝1，求GE的長(zhǎng)．（2）求證：BC2＝BG?BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】（1）由垂徑定理可得∠AED＝90°，結(jié)合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根據(jù)圓周角定理可得∠DAE＝∠BCD，進(jìn)而可得∠BCD＝∠FCD，通過(guò)證明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；（2）證明△ACB∽△CEB，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可得BC2＝BA?BE，再根據(jù)AB＝2BO，BE＝BG，可證BC2＝BG?BO；（3）方法一：設(shè)∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可證a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通過(guò)SAS證明△COF≌△AOF，進(jìn)而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，則∠CAD＝2a＝45°．方法二：延長(zhǎng)FO交AC于點(diǎn)H，連接OC，證明△AFC是等腰直角三角形，即可解決問(wèn)題．【解析】（1）解：直徑AB垂直弦CD，∴∠AED＝90°，∴∠DAE+∠D＝90°，∵CF⊥AD，∴∠FCD+∠D＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，由圓周角定理得∠DAE＝∠BCD，∴∠BCD＝∠FCD，在△BCE和△GCE中，，∴△BCE≌△GCE（ASA），∴GE＝BE＝1；（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴＝，∴BC2＝BA?BE，由（1）知GE＝BE，∴BE＝BG，∵AB＝2BO，∴BC2＝BA?BE＝2BO?BG＝BG?BO；（3）解：∠CAD＝45°，證明如下：解法一：如圖，連接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∵直徑AB垂直弦CD，∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠CAE，設(shè)∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，則∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，∴β+α＝90°，∴α＝90°﹣β，∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，∴∠COF＝∠AOF，在△COF和△AOF中，，∴△COF≌△AOF（SAS），∴∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3α＝α，∴α＝22.5°，∴∠CAD＝2a＝45°．解法二：如圖，延長(zhǎng)FO交AC于點(diǎn)H，連接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，∴BC∥FH，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AHO＝90°，∵OA＝OC，∴AH＝CH，∴AF＝CF，∵CF⊥AD，∴△AFC是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，難度較大，解題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用上述知識(shí)點(diǎn)，特別是第3問(wèn)，需要大膽猜想，再逐步論證．2．（2023?湖州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在邊AC上，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的半圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D，交OA于點(diǎn)E，連結(jié)OB．（1）求證：BD＝BC．（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)切線性質(zhì)得到∠ODB＝∠OCB＝90°，再根據(jù)HL證明Rt△ODB≌Rt△OCB，從而得到結(jié)論；（2）分別在Rt△OBC中，利用三角函數(shù)求出BC的長(zhǎng)，和在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)求出即可求出AB的長(zhǎng)．【解析】（1）證明如圖，連結(jié)OD，∵半圓O與AB相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AB，∵∠ACB＝90°，∴∠ODB＝∠OCB＝90°，在Rt△ODB和Rt△OCB中，∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），∴BD＝BC；（2）解如圖，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵Rt△ODB≌Rt△OCB，∴，在Rt△OBC中，∵OC＝1，∴，在Rt△ABC中，．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟悉相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023?金華）如圖，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，⊙A與x軸相切于點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C，D，連結(jié)AB，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD于點(diǎn)H．（1）求證：四邊形ABOH為矩形．（2）已知⊙A的半徑為4，OB＝，求弦CD的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB⊥x軸根據(jù)垂直的定義得到∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形AHOB是矩形；（2）連接AD，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AH＝OB＝，根據(jù)勾股定理得到DH＝＝＝3，根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：∵⊙A與x軸相切于點(diǎn)B，∴AB⊥x軸又∵AH⊥CD，HO⊥OB，∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，∴四邊形AHOB是矩形；（2）解：連接AD，∵四邊形AHOB是矩形，∴AH＝OB＝，∵AD＝AB＝4，∴DH＝＝＝3，∵AH⊥CD，∴CD＝2DH＝6．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，正確都作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023?紹興）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CD，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E．（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度數(shù)；（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）由垂直的定義得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性質(zhì)即可求出∠ACD的度數(shù)；（2）由勾股定理求出CD的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例定理得到，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出CE的長(zhǎng)．【解析】解：（1）∵AE⊥CD于點(diǎn)E，∴∠AEC＝90°∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°；（2）∵CD是⊙O的切線，∴半徑OC⊥DE，∴∠OCD＝90°，∵OC＝OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB+BD＝3，∴CD＝＝．∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE，∴，∴，∴CE＝．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，垂線，平行線分線段成比例，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由三角形外角的性質(zhì)求出∠ACD的度數(shù)，由勾股定理求出CD的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例定理即可求出CE的長(zhǎng)．5．（2023?臺(tái)州）我們可以通過(guò)中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)的位置刻畫(huà)圓上點(diǎn)的位置．如圖，AB是⊙O的直徑，直線l是⊙O的切線，B為切點(diǎn)．P，Q是圓上兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合，且在直徑AB的同側(cè)），分別作射線AP，AQ交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)D．（1）如圖1，當(dāng)AB＝6，弧BP長(zhǎng)為π時(shí)，求BC的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)，時(shí)，求的值；（3）如圖3，當(dāng)，BC＝CD時(shí)，連接BP，PQ，直接寫(xiě)出的值．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OP，設(shè)∠BOP的度數(shù)為n，可得＝π，n＝60，即∠BOP＝60°，故∠BAP＝30°，而直線l是⊙O的切線，有∠ABC＝90°，從而B(niǎo)C＝＝2；（2）連接BQ，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，求出cos∠BAQ＝＝，由＝，得∠BAC＝∠DAC，有CF＝BC，證明∠FCD＝∠BAQ，即得＝，故＝；（3）連接BQ，證明△APQ∽△ADC，得＝①，證明△APB∽△ABC，得②，由BC＝CD，將①②兩式相除得：＝，故＝．【解析】解：（1）如圖，連接OP，設(shè)∠BOP的度數(shù)為n°，∵AB＝6，長(zhǎng)為π，∴＝π，∴n＝60，即∠BOP＝60°，∴∠BAP＝30°，∵直線l是⊙O的切線，∴∠ABC＝90°，∴BC＝tan30°?AB＝2；（2）如圖，連接BQ，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，∵AB為⊙O直徑，∴∠BQA＝90°，∴cos∠BAQ＝＝，∵＝，∴∠BAC＝∠DAC，∵CF⊥AD，AB⊥BC，∴CF＝BC，∵∠BAQ+∠ADB＝90°，∠FCD+∠ADB＝90°，∴∠FCD＝∠BAQ，∴cos∠FCD＝cos∠BAQ＝，∴＝，∴＝；（3）如圖，連接BQ，∵AB⊥BC，BQ⊥AD，∴∠ABQ＝90°﹣∠QBD＝∠ADC，∵∠ABQ＝∠APQ，∴∠APQ＝∠ADC，∵∠PAQ＝∠DAC，∴△APQ∽△ADC，∴＝①，∵∠ABC＝90°＝∠APB，∠BAC＝∠PAB，∴△APB∽△ABC，∴②，由BC＝CD，將①②兩式相除得：＝，∵cos∠BAQ＝＝，∴＝．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓的切線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用．6．（2023?衢州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O為AC邊上一點(diǎn)，連結(jié)OB．以O(shè)C為半徑的半圓與AB邊相切于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)E．（1）求證：BC＝BD．（2）若OB＝OA，AE＝2．①求半圓O的半徑．②求圖中陰影部分的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）連結(jié)OD．由切線的性質(zhì)得出∠ODB＝90°，證明Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），由全等三角形的性質(zhì)得出BC＝BD．（2）①證出∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得出答案；②由勾股定理求出AD＝2，∠AOD＝60°，由三角形面積公式和扇形的面積公式可得出答案．【解析】（1）證明：如圖，連結(jié)OD．∵BD是圓O的切線，D為切點(diǎn)，∴∠ODB＝90°，∵∠ACB＝90°，OC＝OD，OB＝OB，∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），∴BC＝BD．（2）解：①∵OB＝OA，∴∠OBD＝∠A，∵Rt△ODB≌Rt△OCB，∴∠OBD＝∠OBC，∴∠OBD＝∠OBC＝∠A，∵∠OBD+∠OBC+∠A＝90°，∴∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，在Rt△ODA中，sin∠A＝，∴OD＝OA．∵OD＝OE，∴OE＝OA，∴OE＝AE＝2，∴半圓O的半徑為2．②在Rt△ODA中，OD＝2，OA＝4，∴AD＝＝2，∴S△OAD＝＝2，∵∠A＝30°，∴∠AOD＝60°，∴S陰影部分＝S△ODA﹣S扇形ODE＝2﹣＝2﹣．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積，銳角三角函數(shù)定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．（2023?寧波）如圖1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE，過(guò)C作AC的垂線交AE于點(diǎn)F，點(diǎn)G在AD上，連結(jié)BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．（1）求∠BGC的度數(shù)．（2）①求證：AF＝BC．②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)O恰好在BG上且OG＝1時(shí)，求AC的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)同弧圓周角相等得∠EBC＝∠EAC，然后利用直角三角形兩個(gè)銳角互余即可解決問(wèn)題；（2）①證明△ACF≌△BGC（ASA），即可解決問(wèn)題；②過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EG于點(diǎn)H，設(shè)AG＝DF＝2x，根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)即可解決問(wèn)題；（3）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M，連結(jié)OC交AE于點(diǎn)N，分別證明△EBD≌△NCD（ASA），△COG≌△OBM（AAS），得BM＝OG＝1，設(shè)OB＝OC＝r，然后由△GON∽△GBE，對(duì)應(yīng)邊成比例，求出r的值，進(jìn)而可求AC的長(zhǎng)．【解析】（1）解：∵BC平分∠EBG，∴∠EBC＝∠CBG，∵∠EBC＝∠EAC，∴∠CBG＝∠EAC，∵AC⊥FC，∴∠AFC+∠EAC＝90°，∵∠BCG＝∠AFC，∴∠BCG+∠CBG＝90°，∴∠BGC＝90°；（2）①證明：∵∠BGC＝90°，D為BC中點(diǎn)，∴GD＝CD，∴∠DGC＝∠DCG，∵∠BCG＝∠AFC，∴∠DGC＝∠AFC，∴CF＝CG，∵∠ACF＝∠BGC＝90°，∴△ACF≌△BGC（ASA），∴AF＝BC；②解：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EG于點(diǎn)H，設(shè)AG＝DF＝2x，∵△ACF≌△BGC，∴AF＝BC＝2DG，∴CD＝DG＝AG+DF＝4x，∵CF＝CG，∴HG＝HF＝3x，∴DH＝x，AH＝5x，∴CH＝＝＝x，∴tan∠GBC＝tan∠CAF＝＝，∴tan∠GBC的值為；（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M，連結(jié)OC交AE于點(diǎn)N，∵OB＝OC，∴∠CBE＝∠OBC＝∠OCB，∴OC∥BE，∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDN，∴△EBD≌△NCD（ASA），∴BE＝CN，∵OC∥BE，∴∠GOC＝∠MBO，∵∠CGO＝∠OMB＝90°，OC＝OB，∴△COG≌△OBM（AAS），∴BM＝OG＝1，∵OM⊥BE，∴CN＝BE＝2BM＝2，設(shè)OB＝OC＝r，∵OC∥BE，∴△GON∽△GBE，∴＝，∴＝，解得r＝或r＝（舍去），由（2）知：△ACF≌△BGC，∴AC＝BG＝BO+OG＝r+1＝．∴AC的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．8．（2023?浙江）已知，AB是半徑為1的⊙O的弦，⊙O的另一條弦CD滿足CD＝AB，且CD⊥AB于點(diǎn)H（其中點(diǎn)H在圓內(nèi)，且AH＞BH，CH＞DH）．（1）在圖1中用尺規(guī)作出弦CD與點(diǎn)H（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）連結(jié)AD，猜想：當(dāng)弦AB的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，線段AD的長(zhǎng)度是否變化？若發(fā)生變化，說(shuō)明理由；若不變，求出AD的長(zhǎng)度；（3）如圖2，延長(zhǎng)AH至點(diǎn)F，使得HF＝AH，連結(jié)CF，∠HCF的平分線CP交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，連結(jié)HM．若PD＝AD，求證：MH⊥CP．【思路點(diǎn)撥】（1）以A，B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交點(diǎn)為G，連接OG，與⊙O交點(diǎn)為E，F(xiàn)，與AB交點(diǎn)為M，則OG⊥AB，分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交點(diǎn)為N，連接ON，則ON∥AB，以O(shè)為圓心，OM長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與ON交點(diǎn)為P，則OP＝OM，以P為圓心，OP長(zhǎng)為半徑，交直線ON于Q，以O(shè)，Q為圓心，大于OQ長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交點(diǎn)為R，連接PR，則PR⊥AB，PR與⊙O交點(diǎn)為C，D，與AB交點(diǎn)為H，即CD、點(diǎn)H即為所求；（2）如圖2，連結(jié)AD，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于E，連結(jié)AE，AC，過(guò)O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，證明四邊形OFHN是正方形，則可證△ACH是等腰直角三角形，則∠C＝45°，由，可知∠E＝∠C＝45°，由DE是⊙O的直徑，可得∠EAD＝90°，則△ADE是等腰直角三角形，AD＝DE?sin∠E＝；（3）如圖3，延長(zhǎng)CD、FP，交點(diǎn)為G，由題意知MH是△APF的中位線，則MH∥PF，MH＝PF，由PD＝AD，可得MD＝PD，證明△MDH∽△PDG，則＝，即GP＝2MH＝PF，如圖3，作△CFG的外接圓，延長(zhǎng)CP交外接圓于點(diǎn)N，連結(jié)GN、FN，由CP是∠HCF的平分線，可得∠GCP＝∠FCP，則GN＝NF，證明△GPN≌△FPN（SSS），則∠GPN＝∠FPN＝90°，即PF⊥CP，由MH∥PF，可得MH⊥CP，進(jìn)而結(jié)論得證．【解析】（1）解：如圖1，CD、點(diǎn)H即為所求；（2）當(dāng)弦AB的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，線段AD的長(zhǎng)度不變；如圖，連結(jié)AD，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于E，連結(jié)AE，AC，過(guò)O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，則四邊形OFHN是矩形，∵AB＝CD，AB⊥CD，∴OF＝ON，∴四邊形OFHN是正方形，∴FH＝NH，∴AF+FH＝CN+NH，即AH＝CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∴∠C＝45°，∵，∴∠E＝∠C＝45°，∵DE是⊙O的直徑，∴∠EAD＝90°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD，∴AD＝DE?sin∠E＝，∴線段AD是定長(zhǎng)，長(zhǎng)度不發(fā)生變化，值為；（3）證明：如圖3，延長(zhǎng)CD、FP，交點(diǎn)為G，∵HF＝AH，∴點(diǎn)H為AF的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，∴MH是△APF的中位線，∴MH∥PF，MH＝PF，又∵PD＝AD，PM＝AM，∴MD＝PD，∵M(jìn)H∥GP，∴∠MHD＝∠PGD，又∵∠MDH＝∠PDG，∴△MDH∽△PDG，∴，即GP＝2MH＝PF，如圖3，作△CFG的外接圓，延長(zhǎng)CP交外接圓于點(diǎn)N，連結(jié)GN、FN，∵CP是∠HCF的平分線，∴∠GCP＝∠FCP，∴GN＝NF，∵GP＝PF，GN＝NF，PN＝PN，∴△GPN≌△FPN（SSS），∴∠GPN＝∠FPN＝90°，∴PF⊥CP，∵M(jìn)H∥PF，∴MH⊥CP．證法二：過(guò)點(diǎn)P作PG⊥HF于G點(diǎn)，由PG∥DH，∴HG：AH＝PD：AD＝1：2，∵AH＝HF，∴HG：HF＝1：2，即G是HF中點(diǎn)，∴PH＝PF，∵CP平分∠DCF，過(guò)點(diǎn)P作PK⊥CH于點(diǎn)K，PE⊥CF于點(diǎn)E，∴∠KPE＝135°，PK＝PE，∴△PHK≌△PFE（HL），∴∠HPF＝135°，∠PFG＝22.5，在△CPF中，由內(nèi)角和推得∠CPF＝90°，∴MH⊥CP．【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，正弦，正方形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，中位線，直徑所對(duì)的圓周角為直角，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．9．（2023?麗水）如圖，在⊙O中，AB是一條不過(guò)圓心O的弦，點(diǎn)C，D是的三等分點(diǎn)，直徑CE交AB于點(diǎn)F，連結(jié)AD交CF于點(diǎn)G，連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)C的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．（1）求證：AD∥HC；（2）若＝2，求tan∠FAG的值；（3）連結(jié)BC交AD于點(diǎn)N，若⊙O的半徑為5．下面三個(gè)問(wèn)題，依次按照易、中、難排列．請(qǐng)根據(jù)自己的認(rèn)知水平，選擇其中一道問(wèn)題進(jìn)行解答．①若OF＝，求BC的長(zhǎng)；②若AH＝，求△ANB的周長(zhǎng)；③若HF?AB＝88，求△BHC的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意可得，再由HC是⊙O的切線，即可求證．（2）先證明△CAG≌△FAG（ASA），設(shè)出CG，根據(jù)勾股定理即可求解．（3）①根據(jù)題意，求出AG的長(zhǎng)，再由即可求解．②根據(jù)題意可求得，再由勾股定理及相似三角形的性質(zhì)即可求解．③作出輔助線，設(shè)出CG，利用勾股定理及相似三角形的性質(zhì)可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，進(jìn)而可求得S△CHA＝8，再證明△CHA∽△BHC，即可解答．【解析】（1）證明：∵點(diǎn)C，D是的三等分點(diǎn)，∴．由CE是⊙O的直徑可得CE⊥AD，∵HC是⊙O的切線，∴HC⊥CE，∴AD∥HC．（2）解：如圖1，連接AO，∵，∴∠BAD＝∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠AGC＝∠AGF＝90°，∴△CAG≌△FAG（ASA），∴CG＝FG，設(shè)CG＝a，則FG＝a，∵，∴OG＝2a，AO＝CO＝3a．在Rt△AOG中，AO2＝AG2+OG2，∴（3a）2＝AG2+（2a）2，∴，∴．答：tan∠FAG的值為．（3）解：①如圖1，∵，∴，∴，∴，∴，∵CE⊥AD，∴AD＝2AG＝，∵，∴，∴．答：BC的長(zhǎng)為．②如圖2，連接CD，∵AD∥HC，F(xiàn)G＝CG，∴AH＝AF，∵∠HCF＝90°，∴，設(shè)CG＝x，則FG＝x，OG＝5﹣x，由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝AC2﹣CG2，即25﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，解得x＝1，∴AG＝3，AD＝6，∵，∴∠DAC＝∠BCD，∵∠CDN＝∠ADC，∴△CDN∽△ADC，∴，∴，∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC，∴△ANB∽△ACD，∴＝．答：△ANB的周長(zhǎng)為．③如圖3，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，則，設(shè)CG＝x，則FG＝x，OG＝5﹣x，OF＝5﹣2x，由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝25﹣（5﹣x）2，AF2＝AG2+FG2＝10x﹣x2+x2＝10x，∵AD∥HC，F(xiàn)G＝CG，∴，∴，∴，∵∠AGF＝∠OMF＝90°，∠AFG＝∠OFM，∴△AFG∽△OFM，∴，∴AF?FM＝OF?GF，∴AF?AM＝AF?（AF+FM）＝AF2+AF?FM＝AF2+OF?GF＝22，可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，解得x1＝2，x2＝5.5（舍去），∴CG＝FG＝2，∴OG＝3，∴AG＝4，∴，∴S△CHA＝8，∵AD∥HC，∴∠CAD＝∠ACH，∵，∴∠B＝∠CAD，∴∠B＝∠ACH，∵∠H＝∠H，∴△CHA∽△BHC，∴．答：△BHC的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造相似三角形解答．1）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角；3）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過(guò)一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過(guò)兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等；4）注意圓的相關(guān)知識(shí)和相似、特殊四邊形、三角函數(shù)、全等三角形、勾股定理等結(jié)合解決相關(guān)計(jì)算問(wèn)題。1．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C，E分別位于直徑AB異側(cè)，連接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE．（1）求證：CE＝CB；（2）求證：∠BAE＝2∠ABC；（3）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，若，求tan∠ABC的值．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)AB是⊙O的直徑，AD為⊙O的切線，得AD⊥AB，∠AEB＝90°，則∠ADB+∠ABD＝90°，∠AEC+∠CEB＝90°，再根據(jù)∠ABD＝∠AEC得∠ADB＝∠CEB，進(jìn)而再由∠ADB＝∠DBE得∠CEB＝∠DBE，據(jù)此可得出結(jié)論；（2）連接CO并延長(zhǎng)交BE于H，則∠AOC＝2∠ABC，由（1）的結(jié)論可知CE＝CB，則，由垂徑定理得AH⊥BE，再根據(jù)AB是⊙O的直徑得∠AEB＝90°，由此可得AE∥CH，則∠BAE＝∠AOC，據(jù)此可得出結(jié)論（3）證△ABE和△OCF相似得AE：OF＝BE：CF＝AB：OC＝2，則AE＝2OF，BE＝2CF，設(shè)⊙O的半徑為r，OF＝x，則AE＝2x，BF＝OB+OF＝r+x，由得，由此解出x＝，則BF＝r+x＝，然后在Rt△OCF中，由勾股定理求出CF＝，最后再根據(jù)銳角三角形的定義可得tan∠ABC的值．【解析】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，AD為⊙O的切線，∴AD⊥AB，∠AEB＝90°，∴∠ADB+∠ABD＝90°，∠AEC+∠CEB＝90°，∵∠ABD＝∠AEC，∴∠ADB＝∠CEB，∵∠ADB＝∠DBE，∴∠CEB＝∠DBE，∴CE＝CB；（2）證明：連接CO并延長(zhǎng)交BE于H，如下圖所示：∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠AOC＝∠ABC+∠OCB＝2∠ABC，由（1）的結(jié)論可知：CE＝CB，∴，∴AH⊥BE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BE，∴AE∥CH，∴∠BAE＝∠AOC，∴∠BAE＝2∠ABC；（3）解：∵AB是⊙O的直徑，CF⊥AB，∴∠BEA＝∠CFO＝90°，AB＝2OC，又∵AE∥CH，∴∠BAE＝∠AOC，∴△ABE∽△OCF，∴AE：OF＝BE：CF＝AB：OC＝2，∴AE＝2OF，BE＝2CF，設(shè)⊙O的半徑為r，OF＝x，則AE＝2x，BF＝OB+OF＝r+x，∴S△BCF＝BF?CF＝（r+x）?CF，S△ABE＝AE?BE＝×2x?2CF＝2x?CF，∵，∴，即，解得：x＝，∴BF＝r+x＝r+＝，在Rt△OCF中，OF＝x＝，OC＝r，由勾股定理得：CF＝，∴tan∠ABC＝＝＝．【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，理解切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是直線AB上方的⊙O上一點(diǎn)．點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心．連結(jié)AM，BM，CM，延長(zhǎng)CM交⊙O于點(diǎn)D．（1）若AB＝10，AC＝6，求BC的長(zhǎng)．（2）求∠AMB的度數(shù)．（3）當(dāng)點(diǎn)C在直線AB上方的⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：．【思路點(diǎn)撥】（1）由AB是⊙O的直徑，得∠ACB＝90°，而AB＝10，AC＝6，則BC＝＝8；（2）因?yàn)辄c(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，所以∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA，則∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，即可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠AMB＝135°；（3）連結(jié)AD、BD，則∠ADB＝90°，因?yàn)镃M平分∠ACB，所以∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，則＝，所以AD＝BD，由勾股定理得AB＝AD，由∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC，得∠DAM＝∠DMA，則DM＝AD，所以AB＝DM，即可證明DM＝AB．【解析】（1）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴BC的長(zhǎng)為8．（2）解：∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，∴AM平分∠CAB，BM平分∠CBA，∴∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA，∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°，∴∠AMB的度數(shù)為135°．（3）證明：連結(jié)AD、BD，則∠ADB＝90°，∵點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，∠ACB＝90°，∴CM平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，∴＝，∴AD＝BD，∴AB＝＝＝AD，∵∠DAB＝∠ACD＝45°，∠MAB＝∠MAC，∴∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC，∵∠DAM＝∠DAB+∠MAB，∠DMA＝∠ACD+∠MAC，∴∠DAM＝∠DMA，∴DM＝AD，∴AB＝DM，∴DM＝AB．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、三角形的內(nèi)心的定義和性質(zhì)、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2024?臨安區(qū)一模）在△ABC中，BC＝10，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交BC于點(diǎn)E．（1）如圖1，若∠ABC＝90°，BE：EC＝2：3，求DE的長(zhǎng)．（2）如圖2，若∠ABC＜90°，AB與⊙O相交于點(diǎn)F，連接FD，當(dāng)點(diǎn)E與圓心O重合時(shí)，①求證：FD＝DC；②四邊形FBCD的周長(zhǎng)有最大值嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）連接BD，在直角三角形BCD中，由射影定理可得DE2＝BE?CE，求出BC、CE即可求DE；（2）①連接OF，根據(jù)平行線的性質(zhì)推導(dǎo)出∠FOD＝∠COD，可得＝，即可證明FD＝CD；②先求AB＝2OD＝10，設(shè)BF＝x，DF＝y(tǒng)，再由（2y）2﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，推導(dǎo)出x＝10﹣y2，則四邊形FBCD的周長(zhǎng)＝﹣（y﹣5）2+25，當(dāng)y＝5時(shí)，四邊形FBCD的周長(zhǎng)有最大值為25．【解析】（1）解：連接BD，∵BE：EC＝2：3，BC＝10，∴BE＝4，CE＝6，∵BC是圓O的直徑，∴∠BDC＝90°，∴DE2＝BE?CE，∴DE＝2；（2）①證明：連接OF，∵OD∥AB，∴∠DOC＝∠ABO，∠BFO＝∠FOD，∵BO＝OF，∴∠FBO＝∠OFB，∴∠FOD＝∠COD，∴＝，∴FD＝CD；②四邊形FBCD的周長(zhǎng)有最大值，理由如下：∵BC是圓O的直徑，∴∠BFC＝90°，∵DF＝CD，∴AD＝CD，∵OD＝5，∴AB＝2OD＝10，設(shè)BF＝x，DF＝y(tǒng)，∴AF＝10﹣x，AC＝2y，∴（2y）2﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，∴x＝10﹣y2，∴四邊形FBCD的周長(zhǎng)＝10+x+2y＝10+10﹣y2+2y＝﹣（y﹣5）2+25，∴當(dāng)y＝5時(shí)，四邊形FBCD的周長(zhǎng)有最大值為25．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等，射影定理，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2024?寧波模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在⊙O上，連結(jié)AD，AO，分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠CAD＝∠BAO．（1）如圖1，求證：AD⊥BC．（2）如圖1，若AO∥CD，求證：CA＝CF．（3）如圖2，在（2）的條件下，①若，求BC的長(zhǎng)．②若，求tan∠ACE的值．【思路點(diǎn)撥】（1）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)M，連結(jié)CM，利用圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)和垂直的定義解答即可；（2）利用平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理解答即可；（3）①利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到，設(shè)AC＝5a，則AF＝a，設(shè)CE＝x，則EF＝5k﹣x，利用勾股定理求得x，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論；②連結(jié)DO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)K，連結(jié)AK，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到CE＝EK，∠DCK＝∠DKC，再利用線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)得到AK＝BK＝AC＝CF，CK＝BF，設(shè)BF＝b，則CK＝b，，CF＝kb，利用勾股定理和直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)M，連結(jié)CM，如圖，∵AM為⊙O的直徑，∴∠ACM＝90°，∴∠CAM+∠M＝90°．∵∠CAD＝∠BAO，∴∠CAD+∠DAM＝∠BAO+∠DAM，∴∠CAM＝∠BAD．又∠M＝∠B，∴∠BAD+∠B＝90°，即∠AEB＝90°，∴AD⊥BC．（2）證明：∵AO∥CD，∴∠FAE＝∠D，∵∠D＝∠B，∴∠FAE＝∠B．∵∠CAF＝∠CAE+∠FAE，∠FAB+∠B＝∠AFC，∴∠CAF＝∠AFC，∴CA＝CF．（3）①∵∠CAD＝∠FAB，∠D＝∠B，∴△ACD∽△AFB，∴．設(shè)AC＝5a，則AF＝a，由（2）知：CF＝CA，∴CF＝5a．設(shè)CE＝x，則EF＝5k﹣x，∵AE2＝AC2﹣CE2，AE2＝AF2﹣EF2，∴AC2﹣CE2＝AF2﹣EF2，∴，∴x＝4a，∴CE＝4a，EF＝a，∴AE＝＝3a．∵∠FAE＝∠B，∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴，∴AE2＝EF?EB，即，∴，∴CF＝5a＝，∴．②連結(jié)DO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)K，連結(jié)AK，如圖，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AO∥CD，∴∠OAD＝∠CDA，∴∠CDA＝∠ODA．在△CDE和△KDE中，，∴△CDE≌△KDE（ASA），∴CE＝EK，∠DCK＝∠DKC．∵AO∥CD，∴∠DCK＝∠AFC，∵∠AFC＝∠OFK，∴∠OFK＝∠DKC，∴OF＝OK，∵CE＝EK，AD⊥BC，∴AD為CK的垂直平分線，∴AC＝AK，∴△ACK為等腰三角形，∵AE⊥CK，∴∠CAD＝∠KAD，∵∠CAD＝∠BAO，∴∠KAD＝∠BAO，∴∠OAD＝∠BAK，∴∠BAK＝∠ODA＝∠CDA＝∠B，∴AK＝BK．∴AK＝BK＝AC＝CF，∴CF+FK＝BK+FK．即CK＝BF．設(shè)BF＝b，則CK＝b，，CF＝kb，即AC＝AK＝KB＝bk，∴AE＝＝．∵∠AEC＝90°，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線和利用勾股定理列出方程解答是解題的關(guān)鍵．5．（2024?北侖區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC⊥BD．（1）∠BCO+∠BAC＝90°；（2）如圖2，若半徑OC∥AD．①求證：AB＝AC；②若OC：CD＝5：6，求tan∠ACD的值．（3）如圖3，過(guò)D作DF⊥BC于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)F，BO的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，若AD＝5，，求OF的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）連接BO，根據(jù)2∠BCO+2∠BAC＝180°，可推導(dǎo)出∠BCO+∠BAC＝90°；（2）①推導(dǎo)出∠ABC＝∠ACB，即可證明；②連接OD，連接AO延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，證明△ABC∽△OCD，可推導(dǎo)出AB：BC＝5：6，設(shè)AB＝5k，則BC＝6k，BM＝3k，分別求出BE＝，AE＝，即可得tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝；（3）過(guò)點(diǎn)O作OI⊥BC交于I點(diǎn)，先證明△ABE≌△FBE，可得∠ABD＝∠FBD，再證明△BHF≌△BEF，得HF＝EF，從而證明△HFC≌△EFD≌△EAD，設(shè)AE＝x，ED＝y(tǒng)，則HD＝5+x，HC＝y(tǒng)，由方程組，求出，求出EC＝9，ED＝3，tan∠ECD＝，再求BH＝12，BC＝15，BF＝4，可得BI＝BC＝，根據(jù)OI∥HF，求得BO＝，即可求OF＝BF﹣BO＝．【解析】（1）解：如圖1，連接BO，∵＝，∴∠BOC＝2∠BAC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵2∠BCO+2∠BAC＝180°，∴∠BCO+∠BAC＝90°，故答案為：90°；（2）①證明：∵OC∥AD，∴∠ACO＝∠CAD，∴∠ACO+∠ABC＝90°，∵AC⊥BD，∴∠CBD+∠ACB＝90°，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CAD+∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；②解：如圖2，連接OD，連接AO延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，∴AM⊥BC，∵∠BCO+∠BAC＝90°，∠DBA+∠BAC＝90°，∴∠BCO＝∠DBA＝∠DCA，∴∠ACO+∠DCA＝∠ACO+∠BCO，∴∠BCA＝∠OCD，∵AB＝AC，OC＝OD，∴∠ABC＝∠ACB＝∠OCD＝∠ODC，∴△ABC∽△OCD，∴AB：BC＝OC：CD，∵OC：CD＝5：6，∴AB：BC＝5：6，設(shè)AB＝5k，則BC＝6k，BM＝3k，在Rt△AMB中，AM＝＝4k，∵2S△ABC＝BC?AM＝AC?BE，∴BE＝，在Rt△ABE中，AE＝＝，∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝；（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)O作OI⊥BC交于I點(diǎn)，∵AC⊥BD，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∠EDF+∠EFD＝90°，∵DH⊥BC，∴∠HFC+∠HCF＝90°，∵∠HCF＝∠EDA，∠HFC＝∠EFD，∴∠DAF＝∠HFC＝∠DFA，∴AD＝FD，∴AE＝EF，∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEF，∴△ABE≌△FBE，∴∠ABD＝∠FBD，同（2）可得，∠CBO＝∠ABD＝∠ACD＝∠FBD，∵∠BEF＝∠BHF＝90°，BF＝BF，∴△BHF≌△BEF，∴HF＝EF，∴△HFC≌△EFD≌△EAD，設(shè)AE＝x，ED＝y(tǒng)，則HD＝5+x，HC＝y(tǒng)，在△AED和△DHC中，，解得，∴EC＝9，ED＝3，tan∠ECD＝，∵∠OBC＝∠ECD，HF＝4，∴BH＝＝12，BC＝15，BF＝4，∴BI＝BC＝，∵OI∥HF，∴BI：BH＝BO：BF，∴BO＝，∴OF＝BF﹣BO＝．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A的圓心角與圓周角的關(guān)系，垂徑定理，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在正方形ABCD中，以AB為直徑作半圓O，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC邊于點(diǎn)E，連結(jié)BP并延長(zhǎng)交CD邊于點(diǎn)F，連結(jié)CP．（1）求證：AE＝BF．（2）當(dāng)AB＝1時(shí)，求CP的最小值．（3）若CP＝CF，求BE：BC的值．【思路點(diǎn)撥】（1）由正方形的性質(zhì)得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，由AB是⊙O的直徑，得∠APB＝90°，可證明∠BAE＝∠CBF，進(jìn)而證明△ABE≌△BCF，得AE＝BF；（2）連接OP、OC，由AB＝1，得OP＝OB＝，AB＝BC＝1，則OC＝＝，由CP+OP≥OC，得CP+≥，則CP≥，所以CP的最小值為；（3）取EF的中點(diǎn)I，以IE為半徑作⊙I，連接IP、IC，則IP＝IC＝IF＝IE＝EF，所以P、E、C、F四點(diǎn)都在⊙I上，而CP＝CF，則∠CEF＝∠CPF＝∠BFC，可證明∠CEF＝∠AEB，CF＝BE，則＝tan∠CEF＝tan∠AEB＝，所以＝，則BE＝BC，求得BE：BC的值為．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB＝90°，∴∠BAE＝∠CBF＝90°﹣∠ABP，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF．（2）解：如圖1，連接OP、OC，∵AB是⊙O的直徑，且AB＝1，∴OP＝OB＝AB＝，AB＝BC＝1，∴OC＝＝＝，∵CP+OP≥OC，∴CP+≥，∴CP≥，∴CP的最小值為．（3）如圖2，取EF的中點(diǎn)I，以IE為半徑作⊙I，連接IP、IC，∵∠EPF＝∠ECF＝90°，∴IP＝IC＝IF＝IE＝EF，∴P、E、C、F四點(diǎn)都在⊙I上，∵CP＝CF，∴∠CEF＝∠CPF＝∠BFC，由（1）得△ABE≌△BCF，∴∠AEB＝∠BFC，CF＝BE，∴∠CEF＝∠AEB，∴＝tan∠CEF＝tan∠AEB＝，∴＝，整理得BE2+BC?BE﹣BC2＝0，∴BE＝BC或BE＝BC（不符合題意，舍去），∴＝，∴BE：BC的值為．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2024?湖州一模）如圖，在?ABCD中，∠B是銳角，，BC＝10．在射線BA上取一點(diǎn)P，過(guò)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)P，E，C三點(diǎn)作⊙O．（1）當(dāng)時(shí)，①如圖1，若AB與⊙O相切于點(diǎn)P，連結(jié)CP，求CP的長(zhǎng)；②如圖2，若⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，求⊙O的半徑長(zhǎng)．（2）如圖3，已知⊙O與射線BA交于另一點(diǎn)F，將△BEF沿EF所在的直線翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為B′，且B′恰好同時(shí)落在⊙O和邊AD上，求此時(shí)PA的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）①利用圓周角定理和切線的性質(zhì)定理得到PC⊥PB，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理得到BP，再利用勾股定理解答即可得出結(jié)論；②連接CP，PD，利用圓周角定理和平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠PAD＝∠B，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得AP，再利用勾股定理求得PD，PC，則結(jié)論可求；（2）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接CF，CP，設(shè)PE與AD交于點(diǎn)N，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓周角定理和垂直的定義得到∠B＝∠FPE＝45°，則△BFC為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得線段MB′，AB′，設(shè)PN＝AN＝x，則PE＝x+6，NB′＝6﹣x，利用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）①∵PE⊥BC，∴∠PEB＝∠PEC＝90°，∴PC為⊙O的直徑，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)P，∴PC⊥PB．∵，∴＝，∴BP＝BC＝6，∴CP＝＝＝8；②連接CP，PD，如圖，∵PE⊥BC，∴∠PEB＝∠PEC＝90°，∴PC為⊙O的直徑，∴∠PDC＝90°．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠PAD＝∠B，∴∠APD+∠PDC＝180°，cos∠PAD＝cos∠B＝，∴∠APD＝90°．∵cos∠PAD＝，∴AP＝6，∴PD＝＝8．∴PC＝＝＝2，∴⊙O的半徑長(zhǎng)為PC＝．（2）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接CF，CP，設(shè)PE與AD交于點(diǎn)N，如圖，由題意得：∠B＝∠FB′E，∵∠FB′E＝∠FPE，∴∠FPE＝∠B．∵PE⊥BE，∴∠B＝∠FPE＝45°．∵PE⊥BC，∴∠PEB＝∠PEC＝90°，∴PC為⊙O的直徑，∴∠PFC＝90°，∴△BFC為等腰直角三角形，∴BF＝FC＝BC＝5，∴AF＝AB﹣BF＝．∵AD∥BC，∴∠MAF＝∠B＝45°，∴MF＝MA＝AF＝1，∵FB＝FB′＝5，∴MB′＝＝7，∴AB′＝MB′﹣MA＝6．∵AD∥BC，PE⊥BC，∴PN⊥AD．∵EN為平行四邊形ABCD的高，∴NE＝AB?sin∠B＝6＝6，∵△PAN為等腰直角三角形，∴設(shè)PN＝AN＝x，則PE＝x+6，NB′＝6﹣x．∵PE＝BE＝B′E，∴B′E＝x+6．在Rt△NB′E中，∵NB′2+NE2＝B′E2，∴（6﹣x）2+62＝（x+6）2，∴x＝．∴PN＝AN＝，∴PA＝PN＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，圓的切線的性質(zhì)定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)和恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線是解題的關(guān)鍵．8．如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)G，，點(diǎn)F在線段BD上，且AF＝AD．（1）若∠ADB＝α，請(qǐng)用α的代數(shù)式表示∠ADC；（2）求證：BF＝CD；（3）如圖2，延長(zhǎng)AF交⊙O于點(diǎn)M，連結(jié)FC．①若AM為⊙O的直徑，AM＝13，tan∠DAC＝，求AF的長(zhǎng)；②若FG＝2GD，猜想∠AFC的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等得∠ABC＝∠ADB＝α，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得結(jié)論．（2）分別證明∠AFB＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，再證明△ABF≌△ACD（AAS）即可得到結(jié)論．（3）①連接BM，MC，Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），得∠DAC＝∠BAM＝∠CAM＝∠CBM，tan∠DAC＝，得，，求得BP＝6，MP＝4，AP＝9，即可求得AF的長(zhǎng)．②連接BM，CM，過(guò)點(diǎn)F作FQ∥BM交MC于點(diǎn)Q，證明△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP，得，，求得MP＝2PF，證明△BFP∽△CMP，四邊形BMQF是平行四邊形，可得四邊形BMQF是菱形，進(jìn)一步可求得結(jié)論．【解析】（1）解：∵．∴∠ABC＝∠ADB＝α．∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC＝180°．∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣α．（2）證明：∵AF＝AD．∴∠AFD＝∠ADB＝α．∴∠AFB＝180°﹣∠AFD＝180°﹣α．∴∠AFB＝∠ADC．∵∠ABD，∠ACD是所對(duì)的圓周角．∴∠ABD＝∠ACD．又AF＝AD．∴△ABF≌△ACD（AAS）．∴BF＝CD．（3）①解：如圖2，連接BM，MC．．∵AM是直徑．∴∠ABM＝∠ACM＝90°．∵△ABF≌△ACD（AAS）．∴∠BAM＝∠CAD，AB＝AC．又AM＝AM．∴Rt△ABM≌Rt△ACM（HL）．∴BM＝CM，∠BAM＝∠CAM．∴∠DAC＝∠BAM＝∠CAM＝∠CBM．∵AB＝AC．∴AM⊥BC且AM平分BC．∵tan∠DAC＝，AM＝13．∴，．∴BP＝6，MP＝4，AP＝9．∴PF＝MP＝4．∴AF＝AP﹣PF＝9﹣4＝5．②猜想：∠AFC＝90°．如圖，連接BM，CM，過(guò)點(diǎn)F作FQ∥BM交MC于點(diǎn)Q．．∵AB＝AC，AF＝AD．∴∠1＝∠2＝∠4＝∠5＝∠7．∵∠3，∠6是所對(duì)的圓周角．∴∠3＝∠6．∴△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP．∴，．∵FG＝2GD．∴MP＝2PF．∵∠2＝∠7．∴BD∥MC．∴△BFP∽△CMP，四邊形BMQF是平行四邊形．∴．∵∠4＝∠5．∴BM＝BF．∴四邊形BMQF是菱形．∴BF＝MQ＝FQ．∴MQ＝FQ＝QC．∴∠7＝∠MFQ，∠MCF＝∠QFC．∵∠7+∠MFQ+∠MCF+∠QFC＝180°．∴∠MFC＝90°．∴∠AFC＝90°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的意義等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．9．如圖1，⊙O為△ABC外接圓，點(diǎn)D、E分別為，中點(diǎn)，連結(jié)AD、AE、DE，DE分別與AB、AC交于點(diǎn)F、G．已知AF＝4．（1）求證：AF＝AG．（2）如圖2，連結(jié)CD交AB于點(diǎn)M，連結(jié)BE交CD于點(diǎn)N，連結(jié)BD、CE．若∠BAC＝60°，求證：△NEC是等邊三角形．（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若，①求DN的長(zhǎng)；②求．【思路點(diǎn)撥】（1）由D、E分別為，中點(diǎn)，得出，，由圓周角定理可得∠AED＝∠DAB，∠ADE＝∠CAE，進(jìn)而得到∠AFG＝∠AGF即可求證；（2）先證明△ADE≌△NDE，得到AE＝NE＝CE，即可求證；（3）①過(guò)A點(diǎn)作AH⊥DE于點(diǎn)H，由三角函數(shù)得到HE＝，GE＝，再證明△AFD∽△EGA，根據(jù)勾股定理可得AD＝2，再由△ADE≌△NDE即可求解；②由△BDN∽△ECN，可得，設(shè)S△ECN＝4S，則S△BNC＝S△END＝6S，S△BND＝9S，分別表示出S△CBE和S四邊形ADBE即可求解．【解析】（1）證明：∵D、E分別為，中點(diǎn)，∴，，∴∠AED＝∠DAB，∠ADE＝∠CAE，∵∠AFG＝∠DAB+EAD，∠AGF＝∠AED+CAE，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG；（2）證明：∵D、E分別為，中點(diǎn)，∴，，∴∠ADE＝∠NDE，∠AED＝∠NED，AE＝EC，∵DE＝DE，∴△ADE≌△NDE（ASA），∴AE＝NE＝CE，∵∠BAC＝60°，∴∠BEC＝∠BAC＝60°，∴△NEC是等邊三角形；（3）①∵AF＝AG．∠BAC＝60°，∴△AFG為等邊三角形，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥DE于點(diǎn)H，如圖：∵AF＝4，∴FH＝HG＝AF＝2．AH＝＝2．∴tan∠DEA＝tan∠DAF＝＝，∴HE＝，∴GE＝HE﹣HG＝，由（1）知，∠AEG＝∠DAF，∠ADF＝∠EAG，∴△AFD∽△EGA，∴，即，∴DF＝6，∴AD＝＝＝2，∵△ADE≌△NDE，∴DN＝AD＝2；②∵DN＝AD＝BD，∠BDC＝∠BAC＝60°，∴△BDN為等邊三角形，∵△CEN為等邊三角形，∴∠BDC＝∠CEB＝60°，∴BD∥CE，△BDN∽△ECN，∴＝（）2＝＝＝＝，設(shè)S△ECN＝4S，則S△BNC＝S△END＝6S，S△BND＝9S，S△CBE＝S△ECN+S△BNC＝10S，∵△ADE≌△NDE，∴S△ADE＝S△NDE＝6S，∴S四邊形ADBE＝6S+6S+9S＝21S，∴＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵，10．定義，若四邊形的一條對(duì)角線平分這個(gè)四邊形的面積，則稱這個(gè)四邊形為倍分四邊形，這條對(duì)角線稱為這個(gè)四邊形的倍分線．如圖①，在四邊形ABCD中，若S△ABC＝S△ADC，則四邊形ABCD為倍分四邊形，AC為四邊形ABCD的倍分線．（1）判斷：若是真命題請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打√，若是假命題請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打×．①平行四邊形是倍分四邊形．√②梯形是倍分四邊形．×（2）如圖①，倍分四邊形ABCD中，AC是倍分線，若AC⊥AB，AB＝3，AD＝DC＝5，求BC；（3）如圖②，△ABC中BA＝BC，以BC為直徑的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)N、M，已知四邊形BCMN是倍分四邊形．①求sinC；②連結(jié)BM，CN交于點(diǎn)D，取OC中點(diǎn)F，連結(jié)MF交NC于E（如圖③），若OF＝3，求DE．【思路點(diǎn)撥】（1）①平行四邊形的對(duì)角線平分平行四邊形的面積，可判斷①是真命題；②梯形的對(duì)角線不平分梯形的面積，可判斷②是假命題；（2）過(guò)D作DE⊥AC于E，根據(jù)AC是四邊形ABCD的倍分線，AC⊥AB，可得DE＝AB＝3，故AE＝＝4，AC＝2AE＝8，故BC＝＝；（3）①連接BM，CN，OM，設(shè)CN交OM于H，由BA＝BC，得AM＝CM，故S△BCM＝S△BAM＞S△BNM，可知倍分四邊形BCMN中，CN是倍分線，即S△BCN＝S△MCN，而∠ANC＝90°，AM＝CM，有MN＝AM＝CM＝AC，從而＝，知OM⊥CN，NH＝CH，設(shè)OH＝m，由S△BCN＝S△MCN，有MH＝BN＝2m，可得OC＝OM＝3m，BC＝2OC＝6m，根據(jù)勾股定理可得BM＝2m，即得sin∠ACB＝＝；②連接OM交CN于H，作MF中點(diǎn)P，連接DP，由F為OC的中點(diǎn)，得OC＝2OF＝6，BC＝2OC＝12，BF＝9，則BM＝BC?sin∠ACB＝4，CM＝＝4，證明△BDN≌△MDH（AAS），得DM＝BD＝BM＝2，故CD＝＝6，而DP是△MBF的中位線，可得DP＝BF＝，DP∥BC，故△DPE∽△CFE，即得DE＝CD＝×6＝．【解析】解：（1）①平行四邊形的對(duì)角線平分平行四邊形的面積，故平行四邊形是倍分四邊形，①是真命題；故答案為：√；②梯形的對(duì)角線不平分梯形的面積，故梯形不是倍分四邊形，②是假命題；故答案為：×；（2）過(guò)D作DE⊥AC于E，如圖：∵AC是四邊形ABCD的倍分線，AC⊥AB，∴AB?AC＝DE?AC，∴DE＝AB＝3，在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，∵AD＝DC，DE⊥AC，∴AC＝2AE＝8，在Rt△ABC中，BC＝＝＝，∴BC的長(zhǎng)為；（3）①連接BM，CN，OM，設(shè)CN交OM于H，如圖：∵BC為⊙O的直徑，∴∠BNC＝∠BMC＝90°，∵BA＝BC，∴AM＝CM，∴S△BCM＝S△BAM＞S△BNM，∴倍分四邊形BCMN中，CN是倍分線，即S△BCN＝S△MCN，∵∠ANC＝180°﹣∠BNC＝90°，AM＝CM，∴MN＝AM＝CM＝AC，∴＝，∴OM⊥CN，NH＝CH，設(shè)OH＝m，則BN＝2m，∵S△BCN＝S△MCN，∴BN?CN＝MH?CN，∴MH＝BN＝2m，∴OM＝OH+MH＝3m，∴OC＝OM＝3m，BC＝2OC＝6m，在Rt△OCH中，CH2＝OC2﹣OH2＝8m2，在Rt△CMH中，CM＝＝＝2m，在Rt△BMC中，BM＝＝＝2m，∴sin∠ACB＝＝＝；②連接OM交CN于H，作MF中點(diǎn)P，連接DP，如圖：∵F為OC的中點(diǎn)，∴OC＝2OF＝6，BC＝2OC＝12，BF＝9，在Rt△BCM中，BM＝BC?sin∠ACB＝12×＝4，∴CM＝＝＝4，由①知，BN＝MH，∵∠BND＝∠MHD＝90°，∠BND＝∠MDH，∴△BDN≌△MDH（AAS），∴DM＝BD＝BM＝2，∴CD＝＝＝6，∵P為MF的中點(diǎn)，∴DP是△MBF的中位線，∴DP＝BF＝，DP∥BC，∴△DPE∽△CFE，∴＝＝＝，∴DE＝CD＝×6＝．【點(diǎn)睛】本題考圓的綜合應(yīng)用，涉及新定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．11．如圖，AB為⊙O的弦，點(diǎn)C在弧AB上，AB平分∠OBC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)OF．（1）求的值．（2）求證：∠ECA＝∠BAO．（3）當(dāng)時(shí)，判斷△OBF的形狀，并說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）連結(jié)BC，OC．過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，則BC＝2BD＝2CD，由AB平分∠OBC，可得∠OBA＝∠ABC，又由∠OBA＝∠OAB，可得BC∥OA，可證明四邊形OECD為矩形，得出CD＝OE，再求解即可：（2）由OB＝OC，可得∠OBC＝∠BCO，再由∠CBA＝∠OBA，可得∠BOC＝180°﹣4∠CBA．再求解可得結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)O分別作AC，AB的垂線，垂足分別為M，N．先證明△BCF∽△AEF，可得＝，設(shè)BF＝2x，則AF＝3x，AB＝5x，再證明△AFC∽△ACB，可得AC＝x，最后再通過(guò)勾股定理求解即可．【解析】（1）解：連結(jié)BC，OC．過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，則BC＝2BD＝2CD，∵AB平分∠OBC，∴∠OBA＝∠ABC，∵∠OBA＝∠OAB．∴BC∥OA．∵CE⊥OA，∴四邊形OECD為矩形，∴CD＝OE．∴BC＝2OE，即＝；（2）證明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠BCO，∵∠CBA＝∠OBA，∴∠BOC＝180°﹣4∠CBA．∠BAC＝∠BOC＝90°﹣2∠CBA，∠ECA＝90°﹣∠OAC＝90°﹣∠OAB﹣∠BAC＝90°﹣∠OAB﹣（90°﹣2∠CBA）＝2∠CBA﹣∠OAB＝∠BAO；（3）解：△OBF是等腰三角形，理由如下：由（1）可知＝，且，∴，∵BC∥OA，∴△BCF∽△AEF，∴，過(guò)點(diǎn)O分別作AC，AB的垂線，垂足為M，N，如圖，設(shè)BF＝2x，則AF＝3x，AB＝5x，由垂徑定理得AN＝、FN＝，∵∠ECA＝∠BAO．∠ABC＝∠BAO．∴∠ECA＝∠ABC，∵∠BAC＝∠CAF，∴△AFC∽△ACB，∴，即，∴AC＝x，∴AM＝AC＝，∵CE⊥AO，∴∠ACE∠AOM＝∠OAB，∵∠NOM＝∠MAN，∴∠NOA＝∠MAO，∵∠ANO＝∠OMA＝90°，AO＝OA，∴△AOM≌△OAN（AAS），∴ON＝AM＝，在Rt△ONF中，OF＝＝2x．∴OF＝BF，∴△OBF是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．12．已知，如圖四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，，點(diǎn)T在BC的延長(zhǎng)線上．BE平分∠ABC交CD延長(zhǎng)線于E，交⊙O于F，連接AE，AF，DF．（1）求證：CD平分∠ACT；（2）求∠AED的度數(shù)；（3）若，△DEF的面積等于25，求AC的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）可推出∠DCT＝∠BAD＝∠ACD，從而得出結(jié)論；（2）連接BD，設(shè)∠FBD＝α，可推出∠BAD＝∠ACD＝∠ABD＝∠ABF+∠FBD＝45°+α，∠CAD＝90°﹣∠ACD＝45°﹣α，∠BDC＝∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝（45°+α）﹣（45°﹣α）＝2α，進(jìn)而得出∠BED＝∠FBD＝α，從而得出BD＝DE，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）設(shè)AD的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于T，作EG⊥DF，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，可推出AC＝CT，＝，從而得出從而sin∠ACD＝，從而得出sin∠EFG＝sin∠BFD＝sin∠ACD＝，tan∠EFG＝＝，可設(shè)DE＝AD＝4x，則AC＝5x，解△DEF，進(jìn)而得出結(jié)果．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠DCT＝∠BAD，∵，∴∠BAD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CD平分∠ACT；（2）解：如圖1，連接BD，設(shè)∠FBD＝α，∵，∴AD＝BD，∠BAD＝∠ABD＝∠ACD，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADE＝∠ADC＝∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF＝45°，∴∠BAD＝∠ACD＝∠ABD＝∠ABF+∠FBD＝45°+α，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝45°﹣α，∴∠BDC＝∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝（45°+α）﹣（45°﹣α）＝2α，∴∠BED＝∠BDC﹣∠FBD＝2α﹣α＝α，∴∠BED＝∠FBD，∴BD＝DE，∴AD＝DE，∴∠AED＝∠DAE＝45°；（3）解：如圖2，設(shè)AD的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于T，作EG⊥DF，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由（1）（2）得：∠ABC＝∠ADC＝∠CDT＝90°，∠ACD＝∠DCT＝∠BAD，∴∠CAD＝∠CTD，△CDT∽△ABT，∴AC＝CT，＝，∴，∴∴sin∠ACD＝，∵，∴∠BFD＝∠ACD，∴sin∠EFG＝sin∠BFD＝sin∠ACD＝，∴tan∠EFG＝＝，設(shè)DE＝AD＝4x，則AC＝5x，∵四邊形CBFD內(nèi)接于⊙O，∴∠EDF＝∠CBE＝45°，∴DG＝EG＝DE?sin∠EDF＝4x?＝2，∴FG＝，∴DF＝DG﹣FG＝2＝，由DF?EG＝S△DEF得，，∴x1＝5，x2＝﹣5（舍去），∴AC＝5x＝25．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的推論，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造等腰三角形．13．【概念呈現(xiàn)】在鈍角三角形中，鈍角的度數(shù)恰好是其中一個(gè)銳角的度數(shù)與90度的和，則稱這個(gè)鈍角三角形為和美三角形，這個(gè)銳角叫做和美角．【概念理解】（1）當(dāng)和美三角形是等腰三角形時(shí)，求和美角的度數(shù)．【性質(zhì)探究】（2）如圖1，△ABC是和美三角形，∠B是鈍角，∠A是和美角，求證：【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，AB是⊙O的直徑，且AB＝13，點(diǎn)C，D是圓上的兩點(diǎn)，弦CD與AB交于點(diǎn)E，連接AD，BD，△ACE是和美三角形．①當(dāng)BC＝5時(shí)，求AD的長(zhǎng)．②當(dāng)△BCD是和美三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的值．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)和美角的度數(shù)為x，利用和美三角形的定義和三角形的內(nèi)角和定理列出方程解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，交AC于點(diǎn)D，利用和美三角形的定義得到∠DBC＝∠A，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到，再利用直角三角形的邊角關(guān)系定理得到tanA＝，則結(jié)論可得；（3）利用圓周角定理和勾股定理得到AC的長(zhǎng)度，利用分類討論的數(shù)學(xué)方法分兩種情況討論解答：Ⅰ．當(dāng)∠EAC為和美角時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，利用（2）的結(jié)論和相似三角形的判定與性質(zhì)得到EC＝BC，再利用等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；Ⅱ．當(dāng)∠ACE為和美角時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作CH⊥AB于點(diǎn)H，利用（2）的結(jié)論和相似三角形的判定與性質(zhì)得到DE＝AD，利用圓周角定理和等腰三角形的判定定理解答即可；（4）利用分類討論的數(shù)學(xué)方法，依據(jù)和美三角形的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)，類比（3）的方法解答即可．【解析】（1）解：設(shè)和美角的度數(shù)為x，則鈍角的度數(shù)為90°+x，∴x+x+90°+x＝180°，∴x＝30°．∴當(dāng)和美三角形是等腰三角形時(shí)，和美角的度數(shù)為30°．（2）證明：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，交AC于點(diǎn)D，如圖，則∠ABD＝90°，∵△ABC是和美三角形，∠B是鈍角，∠A是和美角，∴∠ABC＝90°+∠A，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝90°+∠DBC，∴∠DBC＝∠A．∵∠C＝∠C，∴△CDB∽△CBA，∴．在Rt△ABD中，tanA＝，∴；（3）解：①∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AB＝13，BC＝5，∴AC＝＝12．Ⅰ．當(dāng)∠EAC為和美角時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，如圖，由（2）知：tan∠EAC＝，在Rt△ABC中，tan∠EAC＝，∴，∴EC＝5．∴EC＝BC．∴∠CEB＝∠CBA．∵∠CBA＝∠CDA，∠AED＝∠CEB，∴∠CDA＝∠AED，∴AD＝AE．∵CE＝CB，CF⊥AB，∴BF＝EF＝BE．∵∠ACB＝90°，CF⊥AB，∴△BCF∽△BAC，∴，∴，∴BF＝，∴BE＝2BF＝，∴AD＝AE＝AB﹣BE＝；Ⅱ．當(dāng)∠ACE為和美角時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖，由（2）知：tan∠ACE＝，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ACE＝∠ABD，∴tan∠ACE＝tan∠ABD＝．∵∠CAB＝∠CDB，∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB，∴，∴，∴DE＝AD，∴∠DAE＝∠DEA．∵∠AED＝∠CEB，∠DAE＝∠ECB，∴∠ECB＝∠CEB，∴BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝13﹣5＝8．∵DE＝AD，CH⊥AB，∴AH＝AE＝4．∵∠ADB＝90°，CH⊥AB，∴△ADH∽△ABD，∴，∴，∴AD＝＝2．綜上，AD的長(zhǎng)2或；②當(dāng)△BCD是和美三角形時(shí)，的值為或．理由：設(shè)∠CAB＝α，Ⅰ．當(dāng)∠CAB與∠CDB為和美角時(shí)，如圖，則∠ACD＝∠BCD＝45°，CE＝CB，α＝22.5°，∴；Ⅱ．當(dāng)∠CAB與∠DCB為和美角時(shí)，如圖，則∠CEA＝90°+α，∠ACE＝90°﹣2α，∠DCB＝2α，∠CBD＝90°+2α，∵△BDC的內(nèi)角和為180°，∴α＝18°．∴；Ⅲ．當(dāng)∠ACD與∠CDB為和美角時(shí)，如圖，則∠CEA＝135°﹣0.5α，∠ACE＝45°﹣0.5α，∠DCB＝45°+0.5α，∠CBD＝90°+α，∵△BDC的內(nèi)角和為180°，∴α＝18°．∴；Ⅳ．當(dāng)∠ACE與∠DCB為和美角時(shí)，如圖，則∠CEA＝135°﹣0.5α，∠ACE＝45°﹣0.5α，∠DCB＝45°+0.5α，∵∠ACB＝90°，∴α＝0°，這種情況不存在．綜上，的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，特殊角的三角函數(shù)值，圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)，本題是新定義型，正確理解新定義的規(guī)定并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．14．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AB上，連結(jié)DF并延長(zhǎng)交⊙O與點(diǎn)G，連結(jié)BG，CG，CG＝FG．（1）如圖1，求證：△BCG≌△BFG．（2）如圖2，BG與CD交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)F作BG的平行線交CD于點(diǎn)M，若NE＝a，求DM．（用含a的代數(shù)式表示）（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)GE，若△EFG與△DFM的面積相等，求cos∠ABC的值．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)垂徑定理求出BC＝BD，根據(jù)圓周角定理求出∠BGC＝∠BGF，利用SAS即可證明△BCG≌△BFG；（2）連結(jié)CF與BG交于點(diǎn)H，利用SAS證明△HCG≌△HFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CH＝FH，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出CM＝2CN，根據(jù)垂徑定理求出CD＝2CE，根據(jù)線段和差求解即可；（3）由△EFG與△DFM的面積相等，推出GP＝DM＝2EN，設(shè)BC＝k，cos∠ABC＝x，則BE＝PE＝kx，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、線段的和差求出AB＝BF+PF+AP＝4kx﹣k，由三角函數(shù)定義求出BC2＝BE?AB，代入求解即可．【解析】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，∴BC＝BD，∴∠BGC＝∠BGF，在△BCG和△BFG中，，∴△BCG≌△BFG（SAS）；（2）解：如圖2，連結(jié)CF與BG交于點(diǎn)H，∵∠BGC＝∠BGF，CG＝FG，HG＝HG，∴△HCG≌△HFG（SAS），∴CH＝FH，∵FM∥BG，∴CM＝2CN，∵OB⊥CD，∴CD＝2CE，∴DM＝CD﹣CM＝2CE﹣2CN＝2NE＝2a；（3）解：連結(jié)AG，AC，作GP⊥AB于點(diǎn)P，∵△EFG與△DFM的面積相等，∴EF?GP＝EF?DM，∴GP＝DM＝2EN，∵NE⊥AB，GP⊥AB，∴NE∥GP，∴＝＝，∴BE＝BP，∴BE＝PE，設(shè)BC＝k，cos∠ABC＝x，∵cos∠ABC＝，∴BE＝PE＝kx，∵BC＝BF＝k，∴PF＝2kx﹣k，∵∠GBC＝∠GBA，∴CG＝AG＝GF，∴AP＝PF＝2kx﹣k，∴AB＝BF+PF+AP＝4kx﹣k，∵AB為⊙O的直徑，∴cos∠ABC＝＝，∴BC2＝BE?AB，∴k2＝kx?（4kx﹣k），∴4x2﹣x﹣1＝0，∴x＝或x＝（舍去），∴cos∠ABC＝x＝．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、圓周角定理、垂徑定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，正確作出輔助線，利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．15．如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC是⊙O的兩條切線，點(diǎn)A，C為切點(diǎn)，延長(zhǎng)PC，AB相交于點(diǎn)D，若BD＝1，CD＝3，點(diǎn)F為弧AB的中點(diǎn)，連接AC．（1）連接OP交AC于點(diǎn)M，求證：∠ACB＝∠AMO；（2）設(shè)∠OCB＝α，求tanα的值；（3）若點(diǎn)G與點(diǎn)F關(guān)于圓心O對(duì)稱，連接CG，求CG的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)切線性質(zhì)得出PA＝PC，由OA＝OB，得出點(diǎn)O、P在線段AC的垂直平分線上，證明∠AMO＝90°，根據(jù)AB是⊙O的直徑，得出∠ACB＝90°，證明∠ACB＝∠AMO；（2）證明△DCA∽△DBC，得出，求出tan∠OCB＝tan∠OBC＝tanα＝＝3即可；（3）連接CF，F(xiàn)G，由△DCA∽△DBC，得出，求出AB＝8，根據(jù)，設(shè)BC＝k，AC＝3k，根據(jù)BC2+AC2＝AB2列出方程，求出，得出，，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CF，垂足為H，連接AF，BF，求出CF＝CH+FH＝＝，最后根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．【解析】（1）證明：∵PA，PC是⊙O的兩條切線，∴AB⊥AP，OC⊥CP，PA＝PC，∵OA＝OB，∴點(diǎn)O、P在線段AC的垂直平分線上，∴OP垂直平分AC，即∠AMO＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AMO．（2）解：∵∠ACB＝90°，∠OCD＝90°，∴∠BCD＝∠ACO＝∠OAC，∵∠D＝∠D，∴△DCA∽△DBC，∴，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴．（3）解：連接CF，F(xiàn)G，如圖所示：∵點(diǎn)G與點(diǎn)F關(guān)于圓心O對(duì)稱，∴GF過(guò)圓心，且為⊙O的直徑，∴∠GCF＝90°，由（2）得△DCA∽△DBC，∴，即，∴AB＝8，又∵，∴設(shè)BC＝k，AC＝3k，由BC2+AC2＝AB2得，∴k2+（3k）2＝82，即10k2＝64，∴（舍去負(fù)值），即，，如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CF，垂足為H，連接AF，BF，如圖所示：∵點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，∴AF＝BF，∠ACF＝∠BCF＝45°，∴，∴，，∴，在Rt△CFG中，，∴（負(fù)值舍去）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓與三角形的綜合，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直平分線的判斷，圓周角定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握基本的性質(zhì)和定理，靈活應(yīng)用．16．（2024?杭州模擬）等腰三角形AFG中AF＝AG，且內(nèi)接于圓O，D、E為邊FG上兩點(diǎn)（D在F、E之間），分別延長(zhǎng)AD、AE交圓O于B、C兩點(diǎn)（如圖1），記∠BAF＝α，∠AFG＝β．（1）求∠ACB的大?。ㄓ忙粒卤硎荆?；（2）連接CF，交AB于H（如圖2）．若β＝45°，且BC×EF＝AE×CF．求證：∠AHC＝2∠BAC；（3）在（2