4.1.7三角形的重心

第1頁(yè)（共1頁(yè)）一．選擇題（共21小題）1．（2006?寧波校級(jí)自主招生）G為△ABC的重心，△ABC的三邊長(zhǎng)滿足AB＞BC＞CA，記△GAB，△GBC，△GCA的面積分別為S1、S2、S3，則有（）A．S1＞S2＞S3 B．S1=S2=S3C．S1＜S2＜S3 D．S1S2S3的大小關(guān)系不確定【分析】根據(jù)三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，可以延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)D，則可求得S2=S3，同理可證明S1=S2，故S1、S2、S3面積關(guān)系可求．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)D則△ACD的面積=△BCD的面積，△AGD的面積=△BGD的面積∴S2=S3同理可證明S1=S2∴S1=S2=S3故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查了重心的概念．根據(jù)三角形的面積公式，可知三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，可以把三角形分割成面積相等的兩部分．2．（2008?臺(tái)灣）如圖，G是△ABC的重心，直線L過(guò)A點(diǎn)與BC平行．若直線CG分別與AB，L交于D，E兩點(diǎn)，直線BG與AC交于F點(diǎn)，則△AED的面積：四邊形ADGF的面積=（）A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2【分析】根據(jù)重心的概念得出D，F(xiàn)分別是三角形的中點(diǎn)．若設(shè)△ABC的面積是2，則△BCD的面積和△BCF的面積都是1．又因?yàn)锽G：GF=CG：GD，可求得△CGF的面積．則四邊形ADGF的面積也可求出．根據(jù)ASA可以證明△ADE≌△BDC，則△ADE的面積是1．則△AED的面積：四邊形ADGF的面積可求．【解答】解：設(shè)三角形ABC的面積是2∴三角形BCD的面積和三角形BCF的面積都是1∵BG：GF=CG：GD=2∴三角形CGF的面積是∴四邊形ADGF的面積是2﹣1﹣=∵△ADE≌△BDC（ASA）∴△ADE的面積是1∴△AED的面積：四邊形ADGF的面積=1：=3：2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．3．（2010?荊門）給出以下判斷：（1）線段的中點(diǎn)是線段的重心（2）三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的重心（3）平行四邊形的重心是它的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)（4）三角形的重心是它的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)那么以上判斷中正確的有（）A．一個(gè) B．兩個(gè) C．三個(gè) D．四個(gè)【分析】重心指幾何體的幾何中心．【解答】解：（1）線段的中點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，為線段的重心，正確；（2）三角形的中線平分三角形的三條邊，所以三條中線的交點(diǎn)為三角形的重心，正確；（3）平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)到平行四邊形對(duì)角頂點(diǎn)的距離相等，為平行四邊形的中心，正確；（4）利用平行可得三角形的重心把中線分為1：2兩部分，所以是它的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了常見(jiàn)圖形的重心．4．（2012?樂(lè)平市校級(jí)自主招生）在△ABC中，P、Q分別在AB、AC上，且，則PQ一定經(jīng)過(guò)△ABC的（）A．垂心 B．外心 C．重心 D．內(nèi)心【分析】結(jié)合題意畫出圖形，由線段之比之和為1，聯(lián)想到重心，就可以作出BC邊上的中線交PQ于點(diǎn)G．利用條件證明G為重心【解答】解：作BC邊上的中線AD，交PQ于G，過(guò)B作BE∥PQ交AD于E，過(guò)C作CF∥PQ交AD的延長(zhǎng)線于F．則D是BC的中點(diǎn)，BE∥CF，由△BED≌△CFD得ED=FD，∵+=+===∵根據(jù)已知條件，得=1，即=，故G是△ABC的重心，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形重心性質(zhì)的證明，是一道難度較大的幾何證明題．5．（2017秋?高港區(qū)校級(jí)月考）三角形的重心是（）A．三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)B．三角形三邊上高所在直線的交點(diǎn)C．三角形三邊上中線的交點(diǎn)D．三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)【分析】由三角形的重心的定義可得：三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)．【解答】解：三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．（2017?泰州）三角形的重心是（）A．三角形三條邊上中線的交點(diǎn)B．三角形三條邊上高線的交點(diǎn)C．三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)D．三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)解答．【解答】解：三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形重心的定義．掌握三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（2017?樊城區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，中線BE，CD相交于點(diǎn)O，連接DE，下列結(jié)論：①；②；③；④其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】BE、CD是△ABC的中線，即D、E是AB和AC的中點(diǎn)，即DE是△ABC的中位線，則DE∥BC，△ODE∽△OCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷．【解答】解：∵BE、CD是△ABC的中線，即D、E是AB和AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=BC，即，DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴，，故①正確，②錯(cuò)誤，③④正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用三角形的面積公式證明△ODE和△ADC之間的關(guān)系是關(guān)鍵．8．（2017?臨沭縣一模）如圖，在△ABC中，BD，CE分別為AC，AB邊上的中線，BD⊥CE．若BD=3，CE=2，則△ABC的面積為（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根據(jù)題意得到點(diǎn)O是△ABC的重心，得到OC=CE=4，根據(jù)三角形的面積公式求△BDC的面積，根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：∵BD，CE分別為AC，AB邊上的中線，∴點(diǎn)O是△ABC的重心，∴OC=CE=，∴△BDC的面積=×BD×OC=×3×=2，∵BD為AC邊上的中線，∴△ABC的面積=2×△BDC的面積=4，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．9．（2017?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)G為△ABC的重心，則S△ABG：S△ACG：S△BCG的值是（）A．1：2：3 B．2：1：2 C．1：1：1 D．無(wú)法確定【分析】首先延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)D，判斷出點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，即可判斷出S△ABD=S△ACD=S△ABC；然后根據(jù)三角形的面積和底的正比關(guān)系，求出S△ABG=S△ABD=S△ABC，同理可證：S△ACG=S△BCG=S△ABC，即可求出結(jié)論．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)D，∵G點(diǎn)為△ABC的重心，∴點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴S△ABD=S△ACD=S△ABC；∵G點(diǎn)為△ABC的重心，∴AG：GD=2：1，∴AG=AD，∴S△ABG=S△ABD=S△ABC．同理可證：S△ACG=S△BCG=S△ABC．∴S△ABG：S△ACG：S△BCG=1：1：1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：重心就是三條中線的交點(diǎn)，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．10．（2017?浦東新區(qū)一模）如圖，△ABC的兩條中線AD、CE交于點(diǎn)G，且AD⊥CE，聯(lián)結(jié)BG并延長(zhǎng)與AC交于點(diǎn)F，如果AD=9，CE=12，那么下列結(jié)論不正確的是（）A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=15【分析】根據(jù)題意得到點(diǎn)G是△ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)得到AG=AD=6，CG=CE=8，EG=CE=4，根據(jù)勾股定理求出AC、AE，判斷即可．【解答】解：∵△ABC的兩條中線AD、CE交于點(diǎn)G，∴點(diǎn)G是△ABC的重心，∴AG=AD=6，CG=CE=8，EG=CE=4，∵AD⊥CE，∴AC==10，A正確；AE==2，∴AB=2AE=4，B錯(cuò)誤；∵AD⊥CE，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，∴GF=AC=5，∴BG=10，C正確；BF=15，D正確，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．11．（2017?陜西模擬）點(diǎn)G是△ABC的重心，如果AB=AC=5，BC=8，那么AG的長(zhǎng)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)題意畫出圖形，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，由等腰三角形的性質(zhì)可得出AD⊥BC，再根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)，由三角形重心的性質(zhì)即可得出AG的長(zhǎng)．【解答】解：如圖所示：連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，∵G是△ABC的重心，AB=AC=5，BC=8，∴AD⊥BC，BD=BC=×8=4，∴AD===3，∴AG=AD=×3=2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心，熟知重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解答此題的關(guān)鍵．12．（2017?路南區(qū)一模）已知△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，點(diǎn)A、B、C、P均在格點(diǎn)上，則點(diǎn)P叫做△ABC的（）A．內(nèi)心 B．重心 C．外心 D．無(wú)法確定【分析】根據(jù)正方形網(wǎng)格圖、三角形的重心的概念解答．【解答】解：由正方形網(wǎng)格圖可以看出，點(diǎn)E、F、D分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P叫做△ABC的重心，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．（2017?莒縣模擬）如圖，△ABC的兩條中線BE、CD交于O，則S△EDO：S△ADE=（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：6【分析】首先根據(jù)三角形的面積的求法，判斷出S△CDE=S△ADE；然后判斷出DE∥BC，推得=，求出S△EDO：S△ADE的值是多少即可．【解答】解：∵△ABC的兩條中線BE、CD交于O，∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴S△CDE=S△ADE；∵△ABC的兩條中線BE、CD交于O，∴DE∥BC，∴==，∴=，∴S△EDO：S△CDE=1：3，∵S△CDE=S△ADE，∴S△EDO：S△ADE=1：3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的重心，以及三角形的面積的求法，要熟練掌握．14．（2017春?吉安縣期末）如圖，小明用鉛筆可以支起一張質(zhì)地均勻的三角形卡片，則他支起的這個(gè)點(diǎn)應(yīng)是三角形的（）A．三邊高的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三邊垂直平分線的交點(diǎn) D．三邊中線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)題意得：支撐點(diǎn)應(yīng)是三角形的重心．根據(jù)三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)．【解答】解：∵支撐點(diǎn)應(yīng)是三角形的重心，∴三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形的重心的概念和性質(zhì)．注意數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的運(yùn)用．15．（2016秋?南岸區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AD于點(diǎn)F，則FG：AG是（）A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：3【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)得到AG=2DG，BG=2GE，根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算即可．【解答】解：∵△ABC的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G，∴點(diǎn)G是△ABC的重心，∴AG=2DG，BG=2GE，∵EF∥BC，∴==，∴FG：AG=1：4，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．16．（2016秋?孝義市期末）如圖，BD、CE分別是△ABC的中線，BD與CE交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論中正確的是（）A．= B．=C．= D．=【分析】由△ABC的中線BD、CE相交于點(diǎn)O，推出DE∥BC，=，推出△EOD∽△COB，推出=．【解答】解：∵△ABC的中線BD、CE相交于點(diǎn)O，∴DE∥BC，=，∴△EOD∽△COB，∴=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．17．（2017春?槐蔭區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)D是△ABC的重心，若AE=4，則AC的長(zhǎng)度為（）A．4 B．8 C．10 D．12【分析】利用三角形重心的定義得到BE為AC邊的中線，然后根據(jù)E點(diǎn)為AC的中求解．【解答】解：∵點(diǎn)D是△ABC的重心，∴BE為AC邊的中線，∴AC=2AE=8．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)．18．（2016秋?安岳縣期末）已知G是△ABC的重心，且GP∥BC交AB于點(diǎn)P，BC=3，則GP的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得AG=AM=×=BC，即可求GP．【解答】解：連接AG并延長(zhǎng)交BC于M，根據(jù)題意，可知?jiǎng)tM是BC的中點(diǎn)，又∵GP∥BC，∴AG=AM，∴AG=AMGP=BM=×=BC，GP=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，以及平行線分線段成比例定理，正確求得AG=AM是解題關(guān)鍵．19．（2017秋?沅陵縣期中）如果三角形三條中線的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，那么這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無(wú)法確定【分析】根據(jù)三角形的重心的定義即可判定．【解答】解：因?yàn)殇J角三角形、鈍角三角形、直角三角形的三條中線的交點(diǎn)都在三角形的內(nèi)部，所以三角形三條中線的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，無(wú)法確定這個(gè)三角形的形狀．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的重心，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．20．（2017秋?楊浦區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC的兩條中線AD、CE交于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)BM并延長(zhǎng)，交AC于F，已知AD=9，CE=12且AD⊥CE．那么下列結(jié)論中不正確的是（）A．AC=10 B．BM=10 C．AB=15 D．FB=15【分析】根據(jù)題意得到點(diǎn)M是△ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)得到AM=AD=6，CM=CE=8，EM=CE=4，根據(jù)勾股定理求出AC、AE，判斷即可．【解答】解：∵△ABC的兩條中線AD、CE交于點(diǎn)G，∴點(diǎn)G是△ABC的重心，∴AM=AD=6，CG=CE=8，EM=CE=4，∵AD⊥CE，∴AC==10，A正確；∵AD⊥CE，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，∴MF=AC=5，∴BM=10，B正確AE==2，∴AB=2AE=4，C錯(cuò)誤；BF=15，D正確，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．21．（2017春?江陰市校級(jí)月考）如圖3，△ABC的中線AD、BE相交于點(diǎn)F，記△ABF、四邊形DCEF的面積分別為S1、S2，則S1、S2的大小關(guān)系是（）A．S1＜S2 B．S1=S2 C．S1＞S2 D．無(wú)法確定【分析】求出DE=AB，DE∥AB，證相似求出△CDE的面積，求出△ABE的面積，求出△ABF的面積，根據(jù)相似求出△DEF的面積，相加即可得出答案．【解答】解：連接DE，∵△ABC的中線為AD，BE，∴DE=AB，DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴=4，∵DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，∴，∵BE為△ABC的中線，∴△ABE的面積為△ABC的面積，∴△ABF的面積為：△ABC的面積，∵△DEF∽△ABF，∴，∴△DEF的面積=△ABF的面積，∴四邊形DCEF的面積是△ABC的面積+△ABC的面積=△ABC的面積．∴四邊形DCEF的面積：△ABF的面積=：=1：1；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的中位線定理，三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出各個(gè)三角形的面積．二．填空題（共24小題）22．（2008?上海模擬）在△ABC中，過(guò)重心G且平行BC的直線交AB于點(diǎn)D，那么AD：DB=2：1．【分析】根據(jù)三角形的重心性質(zhì)，結(jié)合三角形的中位線定理以及平行線分線段成比例定理知：三角形的重心到三角形頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．【解答】解：∵三角形的重心到三角形頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍∴AD：DB=2：1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的重心的概念和三角形的重心的性質(zhì)．23．（2009?河南模擬）三角形內(nèi)一點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離是該線段的，則這點(diǎn)是三角形三條中線的交點(diǎn)．【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，由中位線定理求得各線段之間的關(guān)系，再判斷求解．【解答】解：設(shè)AE、BF、CD分別是△ABC的中線，G為交點(diǎn)，連接DF由中位線定理DF∥BC，∴△DFG∽△BCG∴即CG=2DG，BG=2FG同理AG=2GD∴三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍∴三角形內(nèi)一點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離是該線段的∴這點(diǎn)是三角形三條中線的交點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱作三角形的重心．24．（2018?奉賢區(qū)一模）已知AD、BE是△ABC的中線，AD、BE相交于點(diǎn)F，如果AD=6，那么AF的長(zhǎng)是4．【分析】根據(jù)三角形的重心的概念和性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：∵AD、BE是△ABC的中線，∴點(diǎn)F是△ABC的重心，∴AF=AD=4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)，掌握三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．25．（2018?普陀區(qū)一模）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，已知點(diǎn)E、點(diǎn)F分別為△ABD和△ADC的重心，如果BC=12，那么兩個(gè)三角形重心之間的距離EF的長(zhǎng)等于4．【分析】連接AE并延長(zhǎng)交BD于G，連接AF并延長(zhǎng)交CD于H，根據(jù)三角形的重心的概念、相似三角形的性質(zhì)解答．【解答】解：如圖，連接AE并延長(zhǎng)交BD于G，連接AF并延長(zhǎng)交CD于H，∵點(diǎn)E、F分別是△ABD和△ACD的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH=（BD+CD）=BC=×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形重心的概念和性質(zhì)，三角形的重心是三角形中線的交點(diǎn)，三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．26．（2017秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，連結(jié)BG并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D，則的值是1．【分析】根據(jù)三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)解答即可．【解答】解：∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴AD=DC，即=1，故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的重心問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)解答．27．（2017秋?廣豐區(qū)期末）我們知道對(duì)于任意三角形，它的三條中線一定交于一點(diǎn)（重心），任意三角形的三條高、三條角平分線也分別交于一點(diǎn)【分析】根據(jù)三角形的高線、中線、角平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：任意三角形的三條高線、三條中線、三條角平分線分別交于一點(diǎn)，故答案為：一點(diǎn)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的高線、中線、角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的高線、中線、角平分線的性質(zhì)解答．28．（2017秋?泰興市期末）如圖，△ABC中，中線BE與中線AD交于點(diǎn)G，若DG=2，則AG=4．【分析】根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵△ABC中，中線BE與中線AD交于點(diǎn)G，DG=2，∴AG=4，故答案為：4；【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的重心問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1解答．29．（2017秋?江都區(qū)月考）如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，GE∥AB交BC于點(diǎn)E，GF∥AC交BC于點(diǎn)F，若△GEF的周長(zhǎng)是2，則△ABC的周長(zhǎng)為6．【分析】由GE∥AB，推出△DGE∽△DAB，推出===，可得AB=3GE，DB=3ED，同理可得AC=3GF，DC=3DF，即可推出△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=3GE+3GF+3EF=3（GE+GF+EF）；【解答】解：如圖，∵G是△ABC的重心，∴=2，∴=，∵GE∥AB，∴△DGE∽△DAB，∴===，∴AB=3GE，DB=3ED，同理可得AC=3GF，DC=3DF，∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=3GE+3GF+3EF=3（GE+GF+EF）=3×2=6．故答案為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．30．（2017?青浦區(qū)一模）點(diǎn)G是△ABC的重心，GD∥AB，交邊BC于點(diǎn)D，如果BC=6，那么CD的長(zhǎng)是4．【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍解答即可．【解答】解：延長(zhǎng)AG交BC與F，∵點(diǎn)G是△ABC的重心，BC=6，∴BF=3，∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴AG：GF=2：1，∵GD∥AB，∴BD：DF=DG：GF=2：1，∴BD=2，DF=1，∴CD=3+1=4，故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心，熟記三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．31．（2017?鄂城區(qū)校級(jí)二模）已知G為△ABC的重心，過(guò)G的直線交AB于P，交AC于Q，設(shè)=a，=b，則+=1．【分析】根據(jù)三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．可以分別過(guò)點(diǎn)B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于點(diǎn)E，F(xiàn)，根據(jù)平行線等分線段定理和梯形中位線定理可得到兩個(gè)等式，代入所求代數(shù)式整理即可得到答案．【解答】解：分別過(guò)點(diǎn)B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于點(diǎn)E，F(xiàn)，則GE=GF，∵GD是梯形的中位線，∴BE+CF=2GD，∴+=+=+===1，故答案為1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了重心的概念和性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用平行線分線段成比例定理、平行線等分線段定理以及梯形的中位線定理，難度適中．32．（2017?永嘉縣三模）如圖，在△ABC中，兩條中線BE、CD相交于點(diǎn)O，則S△ADE：S△COE=3：2．【分析】由題意可得DE為三角形的中位線，利用中位線定理得到DE與BC平行，可得出三角形ADE與三角形ABC相似，進(jìn)而得到面積之比，且得到三角形COE與三角形BOC相似，進(jìn)而求出所求．【解答】解：∵在△ABC中，兩條中線BE、CD相交于點(diǎn)O，∴DE為中位線，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，∴S△ADE：S△ABC=1：4，S△DOE：S△COB=1：4，∵OD：OC=1：2，∴S△DOE：S△COE=1：2，S△DOB：S△COB=1：2，∴S△COE=S四邊形DBCE=×S△ABC=S△ABC，則S△ADE：S△COE=：=3：2．故答案為：3：2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的重心，以及三角形面積，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．33．（2017?泰州三模）Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=12，G為△ABC的重心，則CG=4．【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)G為重心，AB=12，則AB邊上的中線是6，根據(jù)重心的性質(zhì)即可求出CG．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵AB=12，∴AB邊上的中線是6，∵點(diǎn)G為重心，∴CG=6×=4．故答案是：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，是需要熟記的內(nèi)容．重心的性質(zhì)：①重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1；②重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等；③重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的和最小（等邊三角形）．34．（2017?奉賢區(qū)一模）邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的重心到邊的距離是．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理求出高AD，根據(jù)重心的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：如圖，△ABC為等邊三角形，過(guò)A作AD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，則BD=AB=1，AB=2，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AD==，則重心到邊的距離是為：×=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心的概念、等邊三角形的性質(zhì)，掌握重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解題的關(guān)鍵．35．（2017?徐州一模）如圖，△ABC的兩條中線AD、CE交于點(diǎn)G，且AD⊥CE．連接BG并延長(zhǎng)與AC交于點(diǎn)F，若AD=9，CE=12，則GF為5．【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)得到AG=AD=6，CG=CE=8，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)G是△ABC的兩條中線AD、CE的交點(diǎn)，∴點(diǎn)G是△ABC的重心，∴AG=AD=6，CG=CE=8，∵AD⊥CE，∴AC==10，∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，∴GF=AC=5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．36．（2017?泰興市校級(jí)二模）如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)G作EF∥AB交BC于E，交AC于F．若AB=12，那么EF=8．【分析】由重心定理得到DG：DA=1：3，根據(jù)平行線分線段成比例定理證得=，再根據(jù)D是BC的中點(diǎn)化簡(jiǎn)得到=，把AB值代入即可．【解答】解：∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴DG：AG=1：2，∴DG：DA=1：3，∵GE∥AB，∴=，∴=，即=，∴==，∴=，∴=，∴=，∵AB=12，∴EF=8，故答案為8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的重心以及平行線分線段成比例定理的綜合應(yīng)用，掌握重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解題的關(guān)鍵．37．（2016秋?蚌埠期末）如圖，△ABC的兩條中線AD、BE相交于點(diǎn)G，如果AD=6，那么GD=2．【分析】直接根據(jù)三角形重心的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵△ABC的兩條中線AD、BE相交于點(diǎn)G，∴點(diǎn)G是△ABC的重心，∵AD=6，∴GD=AD=×6=2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心，熟知重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解答此題的關(guān)鍵．38．（2016秋?宜賓期末）如圖，在△ABC中，G是重心．如果AG=6，那么線段DG的長(zhǎng)為3．【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)三角形的重心到一頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，直接求得結(jié)果．【解答】解：∵三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，∴DG=AG=3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形重心問(wèn)題，掌握三角形的重心的性質(zhì)：三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其道對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．運(yùn)用三角形的中位線定理即可證明此結(jié)論．39．（2017秋?姜堰區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，F(xiàn)為△ABC的重心，AB=6，則EF=1．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得CE的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)，即可得到EF的長(zhǎng)．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，F(xiàn)為△ABC的重心，∴點(diǎn)D，E分別是中點(diǎn)，∴CE=AB=×6=3，∵F為△ABC的重心，∴EF=CE=1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的重心，解題時(shí)注意：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．40．（2017秋?利辛縣期中）如圖所示，△ABC的兩條中線AD，BE交于點(diǎn)F，連接CF，若△ABF的面積為8，則△ABC的面積為24．【分析】由中線得：S△ABD=S△ADC、S△BDF=S△FDC，同理得：S△ABF=S△BFC，所以△ABC的面積等于3×8=24．【解答】解∵AD是中線，∴S△ABD=S△ADC，S△BDF=S△FDC，∴S△ABD﹣S△BDF=S△ADC﹣S△FDC，即S△ABF=S△ACF，同理得：S△ABF=S△BFC，∴S△ABF=S△ACF=S△BFC，∴3S△ABF=S△ABC=24，故答案為：24【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積問(wèn)題，應(yīng)用了三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，與各三角形面積的和與差相結(jié)合，分別求出各三角形的面積；本題是求三角形的面積，思考的方法有兩種：①直接利用面積公式求；②利用面積的和與差求；本題采用了后一種方法．41．（2017秋?海陵區(qū)期中）已知G為Rt△ABC的重心，斜邊AB=6，則GC=2．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出斜邊上的中線，根據(jù)重心的概念計(jì)算．【解答】解：∵Rt△ABC的斜邊AB=6，∴斜邊上的中線長(zhǎng)為：AB=3，∴GC=×斜邊上的中線=2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．42．（2017秋?海陵區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)G為重心，斜邊BC=6，則線段AG=2．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AH，根據(jù)重心的概念計(jì)算．【解答】解：∵Rt△ABC中，點(diǎn)G為重心，∴AH=BC=3，AG=AH，∴AG=2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是重心的概念和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．43．（2017秋?鄭州期中）如圖所示，已知點(diǎn)G為Rt△ABC的重心，∠ABC=90°，若AB=12cm，BC=9cm，則△AGD的面積是9cm2．【分析】由于G為直角△ABC的重心，所以BG=2GD，AD=DC，根據(jù)三角形的面積公式可以推出S△AGD=S△ABD=?S△ABC=S△ABC，而△ABC的面積根據(jù)已知條件可以求出，所以也可以求出△AGD的面積．【解答】解：∵G為直角△ABC的重心，∴BG=2GD，AD=DC，∴S△AGD=S△ABD=?S△ABC=S△ABC，而S△ABC=AB×BC=54，∴S△AGD=9cm2故答案為：9cm2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)G為直角△ABC的重心，得出BG=2GD，AD=DC．44．（2017春?江陰市校級(jí)月考）如圖，△ABC的中線BD、CE相交于點(diǎn)O，OF⊥BC，且AB=7，BC=6，AC=4，OF=2，則四邊形ADOE的面積是6．【分析】首先根據(jù)三角形的面積=底×高÷2，求出△BOC的面積是多少；然后根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，可得△BCD、△ACE的面積均是△ABC的面積的一半，據(jù)此判斷出四邊形ADOE的面積等于△BOC的面積，據(jù)此解答即可．【解答】解：∵BD、CE均是△ABC的中線，∴S△BCD=S△ACE=S△ABC，∴S四邊形ADOE+S△COD=S△BOC+S△COD，∴S四邊形ADOE=S△BOC=6×2÷2=6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的面積的求法，以及三角形的中線的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵要明確：（1）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；（2）三角形的面積=底×高÷2．45．（2017春?晉江市校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)G為△ABC三邊的重心，若S△ABC=12，則圖中陰影部分的面積是4．【分析】根據(jù)重心的概念和性質(zhì)分別求出S△BGF和S△CGE，計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)G為△ABC三邊的重心，∴AD是△ABC的中線，CF是△ABC的中線，AG=2GD，∴S△ABD=S△ABC=6，∴S△ABG=2S△CBD=4，∴S△BGF=2，同理，S△CGE=2，∴圖中陰影部分的面積是4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．三．解答題（共5小題）46．過(guò)三角形的重心任作一直線，把這個(gè)三角形分成兩部分，求證：這兩部分面積之差不大于整個(gè)三角形面積的．【分析】根據(jù)題意畫圖，設(shè)△ABC重心為G，過(guò)點(diǎn)G分別作各邊的平行線與各邊交點(diǎn)依次為A1、B1、B2、C1、C2、A2連接A1A2；B1B2、C1C2，根據(jù)重心的性質(zhì)可得A1A=A1Bl=B1B，BB2=B2Cl=C1C，CC2=C2A2=A2A，從而求得圖中的9個(gè)三角形全等，即9個(gè)小三角形的面積均等于△ABC面積的．此時(shí)過(guò)點(diǎn)C作直線，討論恰好與直線A1C1、B1C2、B2A2重合和不重合兩種情況，最后總結(jié)結(jié)論．【解答】解：設(shè)△ABC重心為G，過(guò)點(diǎn)G分別作各邊的平行線與各邊交點(diǎn)依次為A1、B1、B2、C1、C2、A2連接A1A2；B1B2、C1C2，∵三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的二倍，∴A1A=A1Bl=B1B，BB2=B2Cl=C1C，CC2=C2A2=A2A，∵A1A2∥BC，B1B2∥AC，C1C2∥AB，∴圖中的9個(gè)三角形全等．即△AA1A2≌△A1B1G≌△B2GB1≌△C2ClC、所以上述9個(gè)小三角形的面積均等于△ABC面積的．若過(guò)點(diǎn)G作的直線恰好與直線A1C1、B1C2、B2A2重合，則△ABC被分成的兩部分的面積之差等于一個(gè)小三角形的面積，即等于△ABC面積的．若過(guò)點(diǎn)G作的直線不與直線A1C1、B1C2、B2A2重合，不失一般性，設(shè)此直線交AC于F，交AB于E，交C1C2于D，∵GBl=GC2，∠EB1G=∠DC2G，∠B1GE=∠C2GD，∴△B1GE≌△C2GD、∴EF分△ABC成兩部分的面積之差等于，而這個(gè)差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)S△C1C2C的面積．從而EF分△ABC成兩部分的面積之差不大于△ABC面積的．綜上所述：過(guò)三角形重心的任一直線分三角形成兩部分的面積之差不大于整個(gè)三角形面積的．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了重心的性質(zhì)：三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，綜合利用了三角形全等的判定和三角形面積的計(jì)算．47．△ABC中，G為重心，l是過(guò)G的一條動(dòng)直線，且分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，設(shè)S△ABC=1，問(wèn)l在何處時(shí)，所截得的△AEF面積取到最大值或最小值．【分析】如圖所示，連接AG并延長(zhǎng)交BC于D，分別過(guò)A、B、D、C作l的垂線，垂足分別為H、K、P、Q，則．由垂直得平行的四條直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)、梯形中位線的性質(zhì)求得，BK+CQ=2DP，設(shè)（0≤x≤1），則，討論x的取值即可．【解答】解：如圖所示，連接AG并延長(zhǎng)交BC于D，分別過(guò)A、B、D、C作l的垂線，垂足分別為H、K、P、Q，則BK∥AH∥PD∥CQ，∴，且，∴，又G為△ABC的重心，∴BD=DC，∴BK+CQ=2DP，∴．∵．設(shè)（0≤x≤1），則．而2≤（當(dāng)時(shí)，右邊取等號(hào)，即最大值；當(dāng)x=0或1時(shí)，左邊取等號(hào)，即最小值）∴．即當(dāng)時(shí)，△AEF面積取到最大值；當(dāng)x=0或1時(shí)，△AEF面積取到最小值．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了重心的概念和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、梯形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，難度大，作輔助線也很關(guān)鍵．48．（1）如圖1，G是△ABC的重心，AG，BG，CG的延長(zhǎng)線分別交BC，AC，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，的值為6；（2）如圖2，G是△ABC的重心．∠ACB＞90°，連接AG，BG，CG，①當(dāng)∠AGC=90°，證明：BG=AC；（3）設(shè)G是△ABC的重心，BC=a，AC=b，AB=c，當(dāng)△ACG為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1，可得，據(jù)此求出的值為多少即可；（2）首先根據(jù)重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1，可得BG=2GD；然后判斷出在直角三角