解三角形大題-2024年新高考數(shù)學(xué)重點二輪沖刺復(fù)習（新教材新高考）含解析

解三角形大題

解題秘籍

1.正弦定理

(1)基本公式：

—=^^=^—=2R(其中R為AABC外接圓的半徑)

sinAsin3sinC

(2)變形

abca+b+ca+ba+cb+c

------=-------=-------=2/v-------------------------=----------------=----------------=----------------

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

2.三角形中三個內(nèi)角的關(guān)系

vA+B+C=^

/.sin(5+C)=sinA,cos(B+C)=-cosA,tan(B+C)=-tanA

3.余弦定理

(1)邊的余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA,b1=a1+C1-laccosB,c2=a2+b2-2az7cosc

(2)角的余弦定理

cos」』”

2bc,lac,lab

4.射影定理

6.張角定理

sinPsinasin(a+〃)

----------1----------二------------------------

ABACAD

7.三角形的面積公式

^\ABC=]"

S^BC=；〃bsinC=-^acsinB=-^bcsinA

8.倍角定理

在.ABC中，三個內(nèi)角4B、C的對邊分別為a、b、c,

⑴如果A=25,則有:Y=b2+bc

(2)如果C=2A,則有:°?="+ab

(3)如果B=2C,則有:"=c?+ac

倍角定理的逆運用

在，ABC中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,

⑴如果/=〃+be，則有:A=2B.

(2)如果c2=a2+ab，則有:C=2A。

(3)如果/=02+",則有:3=2。。

9.中線長定理

AT)為5C的中線，則中線定理AB?+AC?=2(")2+)

證明：

在,A5D和二AZJC中，用余弦定理有：

AD?+BD?—AB?AD2+DC2-AC2

<2ADBD+2ADDC-=^AB2+AC2=2(AD-+DC2)

BD=DC

10.三角恒等式

在AABC中，

?sinA+sinB+sinC=4cos—cos—cos—；

222

ABC

@cosA+cosB+cosC=l+4sin—sin-sin一；

222

③sin?A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC；

(4)cos2A+cos2B+cos2C=l-2cosAcosBcosC；

zp\.2.2B.2。t--A.B.C

◎sin——bsin——I-sin-=l-2sin-sin-sin一；

222222

/p\2A2B2c

@cos——Feos——Feos一=2+2sin-sin-sin一；

222222

?tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;

@cotA-cotB+cotA-cotC+cotBcotC=l；

小ABCABC

⑨cot——I-cot——Fcot——=cot——cot——cot—；

222222

ABBCCA

迎tan—tan——Ftan-tan——Ftan-tan一=A1

222222

模擬訓(xùn)練

一、解答題

1.（2324上嚀波?一模）在43C中，角A、B、C所對的邊分別為b、c,已知f=l+2cosA.

b

（1）證明：A=2B；

3

（2）若sin3=y,c=13,求一ABC的面積.

（A7兀）

2.（22?23?唐山?二模）在銳角ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b.c.已知asinB+6cos（,+五,0.

⑴求A;

（2）若〃=百，求一ABC面積的最大值.

3.（2324上泳州?一模）在ABC中，設(shè)A氏C所對的邊分別為。，&c,且滿足ccosA-acosC=a+6

⑴求角C；

（2）若C=5,AABC的內(nèi)切圓半徑廠=也，求一抽。的面積.

4

4.（22?23?東莞?三模）在—ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為“，b,c.己知加inA=。3，-聿）.

⑴求角8的大??；

（2）設(shè)a=2,c=3,求sin（2A—g）的值.

5.（22?23?張家口?三模）在中，內(nèi)角A5,C的對邊分別為〃,瓦0,從+02=3）℃054.

（1）若3=C,a=2,求ABC的面積；

,tanAtanA,,.

⑵求v一+「的值z.

tanBtanC

jr

6?（22?23下?蘇州?三模）在一ABC中，NAB。",，點。，石在邊3c上，ZBAD=ZZME=ZEAC^BD=3f

DE=5.

⑴求AB;

（2）求△AEC的面積.

7.（2223下?江蘇?二模）在」中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且acos3+0+2c）cosA=0.

⑴求A;

⑵若點。在邊8c上，BD=2DC,AD=2,c=2b,求ABC的面積.

8.（2223下?浙江?二模）記一ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=2B.

（1）若6=2,c=l,求a；

⑵若b+c=6a,求反

sin/A

9.（2223?福州?三模）AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知——=cos（A+C）sinC,c=2.

a

⑴求8;

3

（2）。為AC的中點，B￡>2=BC,求一ABC的面積.

4

10.（2223下?湖北?二模）記一ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,仇C,設(shè)ABC的外接圓半徑為R,且

be=2K2（有+2cosBcosC）.

⑴求A；

（2）若。=1”=2,求.ABC的面積.

35

11.（22吃3下?武漢?三模）在AFC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知sinA=1,cosB=百.

⑴求sinC；

⑵若a=13,求一ABC的面積.

12.（2223?廣州?三模）在△A3C中，角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且。=5,5=8,設(shè)8與C8的夾角

為巴

TT

（1）當6=§時，求。及4A5C的面積；

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求函數(shù)/（。）=2饃$2（：+"-6饃$2。的最大值

與最小值.

條件①：0<cos6><sin6i；條件②：0<CA-CB<20y/2.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

7T

13.（22吃3嚀德?一模）在①c=12；②asin3=bcos（A-：）這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充到下

面的橫線上，并給出解答.

問題：已知。涉,。分別為，ABC內(nèi)角AB,C的對邊，。是AC邊的中點，a=BD=4幣,且______.

⑴求b的值；

(2)若26AC的平分線交BC于點E,求線段AE的長.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

14.(22?23下?長沙?二模)已知向量°=(sinx,l+cos2x),b=(cosx,；),f^=a-b-^-.

22

(i)求函數(shù)y=F(x)的最大值及相應(yīng)尤的值；

7冗1

(2)在"BC中，角A為銳角且4+3=71P/(A)=-,BC=2,求ABC的面積.

15.(23?24上郴州一■模)已知向量d=(sinx,l),6=(瘋:osx,-2),函數(shù)/(尤)=(4+6卜。.

(1)若。/區(qū)，求cos2x的值;

(2)已知.ABC為銳角三角形，a,b,c為.A5C的內(nèi)角A,B,C的對邊，6=2,且〃A)=；,求ABC

面積的取值范圍.

ab

16.(22-23下?河北?三模)在J1BC中，角A2,C的對邊分別為。，4c,且=cosB+cosA=1

yja2+b2yja2+b2

⑴判斷..ABC的形狀;

3

(2)若a=3力=4,點。，及廠分另Ij在邊8cAeA3上，＞CD=2DB,AE=3EC,AF=-FB,求刀石尸的面積.

17.(22?23?邯鄲?二模)已知條件：①2a=b+2ccos5；(2)2tzsinAcosB+Z?sin2A=2^/3^cosC；③

V3sinC=3-2cos2-.

2

從三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題：在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為m

b,c,滿足：.

⑴求角C的大小；

⑵若°=26，/ABC與—3AC的平分線交于點/,求△板周長的最大值.

4

18.(2223艙州?三模)在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,2sinC=sinB,cosA=丁,

be

且LABC的面積為2若.若8C,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點P,如圖所示.

B

⑴求ZBMA的余弦值;

Q)求MP2+NP2的值.

sin(A-B)sin(A—C)

19.（2223?鹽城?一模）已知銳角一ABC中，角A,5,C所對的邊分別為。，6,c,且

cosBcosC

(D若角A=],求角3；

(2)若asinC=l,求4+4的最大值

ab

20.(22?23下?江蘇?三模)已知a=(sin@x,coss:),b=^coscox,V3COSCDX^,其中G>0,函數(shù)

/6)

f{x}=a-b—---CL的最小正周期為兀.

27

⑴求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵在銳角小中，角4B,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足/圖邛,求泊取值范圍.

21.（2223佛山?一模）在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為〃涉,c,CD為Ci在CB方向上的投

影向量，且滿足2csin8=J^Cq

（1）求cosC的值；

(2)若人==3ccosB,求ABC的周長.

22.（22?23下?浙江?二模）在一ABC的內(nèi)角的對邊分別為。也。，已知a=3cosC,0=L

（1）證明：tanC=2tanB；

（2）再從條件①、②這兩個條件中選擇一個作為已知，求cos2B的值.

條件①：一ABC的面積取到最大值；

條件②：c=亞.

2

（注：如果選擇條件①、②分別解答，那么按照第一個解答計分.）

23.（22如下?溫州?二模）設(shè),ABC的內(nèi)角AB,C所對邊分別為a,b,c,若1±￡等=*二

smBsinA

⑴求證：上c成等差數(shù)列；

(2)若”,反c為整數(shù)，a<b,且三個內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍，求_ABC周長的最小值.

24.(2223下?浙江?二模)在銳角ABC中，內(nèi)角AB,C所對的邊分別為a,b,c,滿足

sinA,sin2A-sin2C.,?

1=；-----,且aAiC.

sinC------------sin"8

(1)求證：B=2C；

(2)已知5D是/ABC的平分線，若。=4,求線段3D長度的取值范圍.

25.(2223?泉州?三模)在_ABC中，角A,2,C所對的邊分別為a,b,c,(a+c)sinA=sinA+sinC,十°=廿一i.

⑴求B；

(2)已知。為AC的中點，BD=—,求ABC的面積.

2

26.(22吃3?荷澤?二模)記_ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知的外接圓半徑R=2&，

且tanB+tanC=④豆謾.

cosC

⑴求B和b的值；

(2)求AC邊上高的最大值.

27.(2223?福州?二模)71BC的角A,B,C的對邊分別為°也c,AB.AC=-l,.ABC的面積為0.

(1)若a=2應(yīng)，求ABC的周長；

(2)設(shè)。為AC中點，求A到5D距離的最大值.

28.(2223?淄博?三模)在.ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知s%A+&cosA=0.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)給出以下三個條件：①a=4乖,b=4；@b2-a2+c2+Wb=0；③S鉆。=15后.若以上三個條件中恰有

兩個正確，求sin8的值.

29.(2223?深圳?二模)已知在QLBC中,角4民。的對邊分別為a,6,c,a=指*=2,c=1.

(1)求角A的余弦值；

(2)設(shè)點。為一ABC的外心(外接圓的圓心)，求A。-ABA。?AC的值.

30.(2223?濰坊?三模)定義平面凸四邊形為平面上每個內(nèi)角度數(shù)都小于180的四邊形.已知在平面凸四邊

形ABCD中，ZABC=105,ZADB=60°,AB=^3,-403的平分線為DE,且AE=2EB.

(1)求△ABD的面積；

(2)求CD的取值范圍.

31.(22?23?山東?二模)在,ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,已知6sin(A+|J-4sinB=0.

⑴求角A；

(2)若。為邊上一點(不包含端點)，且滿足NADB=2NACB,求黑的取值范圍.

32.(2223?荷澤?三模)已知在_ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,

Z?sin2B+csin2C=(/?+(?)?sin2A.

3sinA

(1)^tanB+tanC=------,求出cosC的值；

cosC

(2)若。IBC為銳角三角形，c=2,求邊長匕的取值范圍.

33.(2223?棗莊?三模)己知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且acsinB-(a-c)2.

(1)求sinB；

h2

⑵求的最小值.

a+c

34.(22?23下,襄陽?三模)已知〃，b,。分別為“WC三個內(nèi)角A,B,。的對邊，且QCOsC+V^asinC=b+c.

(1)求角A的大小；

(2)若工的外接圓半徑為1,且ABC的外心。滿足。4+XO5+〃OC=0,(2>0,//>0),求幾十4的最大

值.

35.(2223下?武漢?三模)..ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,S.ACAB=^ABBC=^BCCA.

⑴求角A；

(2)若6=2,求_48。的面積.

36.(2223下?黃岡?三模)在銳角ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,6,c,滿足包工-1=型士①￡,

sinCsin2B

且￡C.

⑴求證：B=2C；

(2)已知是/ABC的平分線，若a=6,求線段3D長度的取值范圍.

37.(22-23下?湖南?二模)在ABC中，內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,6,c,ABC的面積為S,2accos2，=2735,

ZBAC的角平分線交BC于點D.

⑴求8;

(2)若c=4,8Q=2,求，ABC的周長.

IT

38.(2223下?長沙?一模)在.715c中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知c=2,C=-.

⑴當2sin2A+sin(23+C)=sinC時，求「ABC的面積；

(2)求ABC周長的取值范圍.

39.(2223?梅州?三模)在“ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且

cosAcosB2COSC

--------------1--------------=--------------.

sinAsinCsinBsinCsinAsinB

⑴求C；

(2)若。=4,b=3,點N分別在邊C4,CB上，且MN將.ABC分成面積相等的兩部分，求MN的最

小值.

40.(2223下?鹽城?三模)在中,4)為」止(7的角平分線，且AD=2.

27r

(1^ZBAC=—,AB=3,^ABC的面積；

(2)若8D=3,求邊AC的取值范圍.

解三角形大題

解題秘籍

11.正弦定理

(3)基本公式：

-^—=—=^—=2R(其中R為AABC外接圓的半徑)

sinAsin5sinC

(4)變形

abca+b+ca+ba+c_b+c

------=-------==2/v=------------------------=---------------

sinAsinBsinC---------sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

12.三角形中三個內(nèi)角的關(guān)系

A+B+C=7i

sin(B+C)=sinA,cos(B+C)=-cosA,tan(B+C)=-tanA

13.余弦定理

(3)邊的余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA,b1=a1+C1-2accosB,c2=a2+b2-2abeosC

(4)角的余弦定理

COSA^2+￡2-^cos於心口C+入巨

2bc2ac2ab

16.張角定理

sinPsinasin(a+〃)

----1----=--:----

ABACAD

17.三角形的面積公式

SAABC=5ah

SMBC=-?^sinC=—acsinB=—bcsinA

18.倍角定理

在1kABC中，三個內(nèi)角4B、C的對邊分別為a、b、c,

⑴如果A=25,則有:Y=b2+bc

(2)如果C=2A,則有:c2—a~+ab

(3)如果B=2C,則有:"=c?+ac

倍角定理的逆運用

在.ABC中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,

(1)如果a?=b2+兒,則有：4=25。

(2)如果c2—a2+ab，則有:C=2Ao

⑶如果^+acM：B=2C.

19.中線長定理

AT)為5C的中線，則中線定理AB?+AC?=2(">2+)

證明：

在，A5D和.ADC中，用余弦定理有:

十斤+盼一.AD2+DC2-AC2

<2ADBD+2ADDC-=^AB2+AC2=2(AD2+DC2)

BD=DC

20.三角恒等式

在AABC中，

@sinA+sinB+sinC=4cos—cos—cos—；

222

ABC

?cosA+cosB+cosC=l+4sin-sin-sin一；

222

③sin?A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC；

④cos2A+cos2B+cos2C=l-2cosAcosBcosC；

z-.A.B.C.A.B.C

?sin2——I-sin2——bsin2一=1l-2osin-sin-sin一；

222222

禽2ABC...A.B.C

@cos——Feos2——Feos2一=2+2sin-sin-sin一；

222222

?tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;

@cotA-cotB+cotA-cotC+cotBcotC=l；

ABCABC

⑨cot——I-cot——Fcot——=cot——cot——cot——;

222222

ABBCCA

QO)tan-tan——btan-tan——btan-tan一=1A

222222

模擬訓(xùn)練

一、解答題

1.（2324上?寧波?一模）在..ABC中，角A、B、C所對的邊分別為b、c,已知f=l+2cosA.

b

（1）證明：A=2B；

3

（2）若sinB=§,c=13,求ABC的面積.

【答案】（1）證明見解析

(2)52

【分析】⑴利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得出sin（A-3）=sinB,求出A-3的取值范圍，可得出

A—B=B,即可證得結(jié)論成立;

(2)由7=l+2cosA可求得b的值，再利用三角形的面積公式可求得-ABC的面積.

b

【詳解】(1)證明：因為，=l+2cosA,由正弦定理得sinC-2sinBcosA=sinB,

b

即sin(A+3)—2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB-2cosAsin3=sinB,

即sinAcos5-cosAsinB=sinB,故sin(A-3)=sinB,

因為A、Be(0,7i),所以A-3w(—兀,兀),則sin(A-3)=sinB＞0,

所以，OvA—5V兀，所以，4一5=5或4一3+5=兀(舍)，因止匕A=25.

7

(2)解：因為cosA=cos2B=l-2sin25=l-2x

25

故sinA=Vl-cos2A=J1-j=—,

c1439?5

由—=l+2cosA=Id----=一,因為c=13,故人=一，

b25253

117524

所以SA“=—bcsinA=—43---------=52.

ABC22325

(A7冗、

2.(22?23?唐山?二模)在銳角，ABC中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別為。，瓦c已知asinB+bcos6+回=0.

⑴求A；

(2)若a=6，求A5C面積的最大值.

【答案】⑴V

O

6+35/3

-----L----

【分析】(1)根據(jù)正弦定理，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可;

(2)利用余弦定理，結(jié)合基本不等式、三角形面積公式進行求解即可.

(A7711

【詳解】(1)由正弦定理得sinAsin5+sinBcos[,+Fj=0,

71

因為0＜3＜一,所以sinBwO,

2

,,.「兀八「A7兀

-g^sinA4=-cosl—+AI=-cosly+—

7兀A7K5兀

因為?！碅v,,所以,V'+AVTI,一＜——F一＜一,

122126

函數(shù)y=cosx在兀上單調(diào)遞減，貝|g+A=曰+得,

\J乙乙\,乙

解得A=F；

O

(2)由余弦定理［2=^2+C2-20CCOSA,

得3=〃+o2-病cZ(2-⑹6c,

即》c（/后=3（2+g）,當且僅當6=c=學(xué)時取等號,

故一ABC面積的最大值為Jx3（2+g卜inA=g?

3.（2324上?永州?一模）在ABC中，設(shè)A8,C所對的邊分別為a,6,c,且滿足ccosA—acosC=a+6.

⑴求角C；

（2）若C=5,AABC的內(nèi)切圓半徑廠=@,求一ABC的面積.

4

27r

【答案】（Dy

d

16

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，可得cosC的值，即可得答案；

（2）利用余弦定理得片+k=25一成，配方得（a+6了=25+浦，再結(jié)合；ABC的內(nèi)切圓半徑，利用等面積

21

法推出〃+人=2"-5,即可求得必=下，從而求得答案.

4

【詳解】（1）在_ABC中，由ccosA—QCOsC=a+〃得sinCcosA-sinAcosC=sinA+sin5,

即sinCcosA—sinAcosC=sinA+sin（A+C）,

故一2sinAcosC=sinA,由于A￡（0,7i）,/.sinAw0,

12兀

故cosC=—萬，而。￡（0,兀），故C=飛~.

兀

（2）由C=2r-可得02=6+〃+",而。=5,

故+〃=25-"，則（。+OY=25+ab,

由，ABC的內(nèi)切圓半徑r=，可得一（。+人+。）,r=—ctbsinC,

422

BP（a+b+5）=ab,BPa+b=2ab—5,

42

故(2ab-5)2=25+ab,解得ab=—,

4

故..ABC的面積S=—absinC=—x—x^-=-.

224216

4.（22?23?東莞?三模）在中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為。，b,c.已知bsinA=acos

（1）求角3的大小;

(2)設(shè)〃=2,c=3,求sin(2A—5)的值.

【答案】(1)8=2TT

⑵9

14

【分析】（1）運用正弦定理求解;

（2）運用兩角差公式求解.

【詳解】⑴在一ABC中，由正弦定理得：sinBsinA=sinAcos（B-‘

因為sinA>0,所以sinB=cos（8-」，可得sinB=—^cos8+'sinB,

I6）22

即sin5=A^cos3,tanB=^3,又5￡（0,兀），可得B=

(2)在ABC中，由余弦定理得：b1=0^+C2—2accosB=7,b=S,

由Z?sinA=acos15-￡),以及3=]71,可得sinA=V3

3萬

2

因為所以A是銳角，所以cosA=7亍,

因此sin2A=2sinAcosA=^^,cos2A=2cos2A—1=—,

77

；匚1、1./CA.CAnCA.n4^311A/33^/^

n\以9sin(2A—5)—sin2AcosB—cos2AsinB----x-------x-----------，

v7727214

綜上，B=psin（2A_3）=當

5.（22?23?張家口?三模）在.ABC中，內(nèi)角A3,C的對邊分別為"c^+c?=3AcosA.

(1)若3=。,〃=2,求ABC的面積;

小、4tanAtanA,,/上

⑵求荷+氤的值.

【答案】（1）有

(2)1

2

【分析】(1)由8=C得6=c,代入62+C2=36(WSA,得cosA=1,再根據(jù)余弦定理求出6=c=&,再根

據(jù)三角形面積公式可得結(jié)果.

2

(2)根據(jù)余弦定理得cosA=幺，再切化弦，利用兩角和的正弦公式、正弦定理變形可得結(jié)果.

be

2

【詳解】(1)因為B=C,所以匕=c,所以262=3^COSA，即COSA=§,

2

又=b2+c2-2bccosA所以4=2廿—2/x“所以人=°=#，

所以S"="csinA=gx6x6^=6

^22_2

(2)由+，=3Z?ccosA,得/+c?=3bc---------------，得/+c?=3tz2，

2bc

2

所以3a2=3Z?ccosA,所以cosA=幺，

be

llytanAtanAsinA(cosBcosC\sinAsinCcosB+cosCsinB

所以----+----=------——+-——=------------；----；--------

tanBtanCcosAysinBsinC)cosAsinBsinC

2

sinAsin(B+C)sin2A=—^—=1

=--------------------.................02.

cosAsinBsinCcosAsinBsinC--be

be

TT

6.(2223下?蘇州?三模)在“IBC中，=點在邊BC上，ZBAD=NDAE=ZEAC且BD=3,

DE=5.

⑴求AB；

⑵求△AEC的面積.

【答案】(1)6

(2)75

【分析】(1)根據(jù)已知可推得受==，設(shè)AB=3x,即可得出座=4x=8,進而得出答案；

AE5

(2)^ZBAD=ZDAE=ZEAC=a,根據(jù)直角三角形以及兩角和的正切公式，即可得出3c=33,進而

求出EC=25,根據(jù)三角形面積公式，即可得出答案.

【詳解】(1)

-ABxADsinZDAB-xABxBD

BD3

由題意知,2=2_________

DE~5

AE-AExADsinZDAES回-xABxDE

22

設(shè)AB=3x,所以4E=5x.

在Rt/XABE中，BE=4x=8,

所以x=2,從而AB=3x=6.

(2)設(shè)=石=/E4C=a,

+人,BD31

在RtAABP中，tana=----,

AB62

*、,cBE84

在RtAABE1中，tan2a=——=—=—,

AB63

14

tana+tan2cr=]+§=11

所以tan3a=

。14-2-

1-tanatan21X一

23

在RtZkABC中，由tan3a===—,得BC=33,

AB62

所以EC=25,

從而△AEC的面積為!ECA2=1X25X6=75.

22

7.(2223下?江蘇?二模)在一ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且acosB+(b+2c)cosA=0.

⑴求A;

⑵若點。在邊8c上，BD=2DC,AD=2,c=2b,求ABC的面積.

兀

【答案】⑴g2

(2)至

2

【分析】⑴由正弦定理邊化角可得，sinAcosB+(sinB+2sinC)cosA=0,然后化簡即可得出cosA=-；.

根據(jù)A的范圍即可得出答案;

(2)設(shè)CD=x,貝!]BD=2x,然后在AD5和八4￡)。中，根據(jù)余弦定理推得)？=f十？.在,他。中，由余

弦定理可得9f=7加.聯(lián)立可解得〃=3,c=2b=6,然后根據(jù)面積公式即可得出答案.

【詳解】(1)由正弦定理邊化角可得，sinAcosB+(sinB+2sinC)cosA=0,

整理可得，sin（A+5）+2sinCcosA=0.

因為sin（A+B）=sin（兀一C）=sinC,sinCVO,

所以有2cosA+l=0,

所以cosA=一工.

2

2兀

因為OVAVTI,所以A=—.

3

被+貸一.4+4x2-c2

在二4)5中,有cos/ADB=

2ADxBD8x

人。2+。。2一人。2

4+x2-/72

在△ADC中,有cosZADC=

2ADxCD

又NADB+NADC=n,所以cosNAZ>B=—cos/4T>C,

所以有，=6x2-2b2+12.

又c=2b,所以。2=/+2.

在.ABC中，由余弦定理可得a?=〃+/—2)ccosA.

又〃=3x,c=2b,A=—,

3

所以有9/=62+破-4八（-：）=7/.

b2=x2+2X=^/7LLrr

聯(lián)立9—解得,所以c=%=6,

b=3

所以，5Ase=LcsinA」x3x6x3=座

c2222

8.(2223下?浙江?二模)記ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為b,c,已知A=2B.

⑴若6=2,c=l,求a；

（2）若6+c=ga,求反

【答案】⑴指

【分析】(1)解法1：由A=2B可得sinA=2sinBcos5,由正弦定理和余弦定理將等式邊化角即可求出。；

bcc

解法：由正弦定理可得黃=嬴不=；^一而，結(jié)合兩角和的正弦公式、二倍角的正弦和余弦公式，

2sirijDsinesin7i兀一i

化簡可得cos3=逅，再由余弦定理代入即可求出。；

4

16+c=[c=2b

(2)由2，可得房，再由余弦定理即可求出8；解法2：由正弦定理邊化角化簡己知表達式

\a2-b2=bc\a=13b

可得sinB+sinC=5/§sinA,再結(jié)合兩角和的正弦公式，二倍角的正弦和余弦公式化簡即可求出反

【詳解】（1）解法1：A=2B^>sinA=sin2BsinA=2sinBcosB

lac

代入4=2x1,得“=

bcc

解法2：由正弦定理可得：茄=被=sin（…廠

21

代入?---化簡2sin3B=sinB,

sinnsm（兀-33）

則2sin（2B+B）=2sin2BcosB+2cos25sinB=sinB,

則4sinBcos2B+2cos2BsinB=sinB,

因為sinB/O,所以4cos28+2（28$28-1）=1,解得：cosB=^；

由余弦定理可得：cosB=^+C'~b~=^,

2ac4

代入S1=逅化簡得2/一指a-6=0,解得a="（負值舍）.

2a4

(2)解法1：

b+c=\/3aJ。=2b

a2—b2=be\a=6b

a2+c2-b26b2_43

cosB=XBe（O,7i）

lac4局2—2

所以3=2

o

解法2：因為Z?+c=G〃，所以sinB+sinC=gsinA,

代入sinB+sin（7i-3B）=V3sin2B,

sinB+sin3B=sinB+sin2BcosB+cos2BsinB=百sin2B,

sinB+2sinBcos23+（2cos?B-sinB=sinBcosB,

因為sin5wO,則1+2COS2JB+（2COS2B-1）=26cos5,

化簡：4（cosB）2=2A/3COSB,

當cos5=0時，則5=藥，則A=2B=7i,舍去不滿足題意；

當cosBwO時，則COSB=￥，因為3e（O,7i）,所以B4.

sinA

9.（2223?福州?三模）AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知——=cos（A+C）sinC,c=2.

a

⑴求&

3

（2）0為AC的中點，加28c，求ABC的面積.

4

兀

【答案】⑴g2

⑵2白或，且

2

【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡，再應(yīng)用正弦定理，最后由余弦即可求出反

（2）由。為AC的中點，求出。關(guān)系,c=2可得〃，最后求出面積即可.

【詳解】（1）.=cos（A+C）sinC,-=cos（7i-B）sinC,

sinA_—cosBsinG/.包￡=-cosBsinG

ac

12K

——cosi5,B￡（0,7i）,B——

2v73

（2）。為AC的中點，.?.23O=B4+BC,

/.ABD=^BA+BC^=c2+a2+2acx^-^）,所2%

3a=c2+a2+Zacxf——j9c=2,

/_5Q+4=0,/.a=1或a=4,

當“=4時，SARr=-BA-BC-sinB=-x4x2x^-=2V3,

ABC222

。=1時，S,Br=-BA-BC-sinB=-xlx2x^=-^

ABC2222

所以ABC的面積為SABC=3或SABC=26.

10.（2223下?湖北?二模）記MBC的內(nèi)角A民c