小學(xué)尺規(guī)作圖教學(xué)的思考與實(shí)踐

【摘

要】尺規(guī)作圖是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》“圖形與幾何”領(lǐng)域小學(xué)部分的新增內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)起著重要作用。以“作三角形”內(nèi)容為例，通過先后兩輪教學(xué)設(shè)計(jì)及改進(jìn)實(shí)施，發(fā)現(xiàn)：“作三角形”對(duì)學(xué)生來說有一定的難度，教學(xué)中，可以動(dòng)手操作奠基，動(dòng)態(tài)演示助力，拓展練習(xí)延伸，更好地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與推理意識(shí)?！娟P(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖；作三角形；幾何直觀；推理意識(shí)“尺規(guī)作圖”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱為《課程標(biāo)準(zhǔn)》）“圖形與幾何”領(lǐng)域小學(xué)部分的新增內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)起著重要作用。尺規(guī)作圖是指用無刻度直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖。直尺的作用是畫線段、射線和直線，圓規(guī)的作用是畫圓或截取相等的長(zhǎng)度。［1］尺規(guī)作圖過程能將抽象的推理過程直觀化、外顯化，使學(xué)生做到手腦并用、做學(xué)合一，培養(yǎng)了學(xué)生的推理意識(shí)和幾何直觀。以前，尺規(guī)作圖要到初中階段才開始學(xué)習(xí)，現(xiàn)在將尺規(guī)作圖下移至小學(xué)階段，這使得尺規(guī)作圖教學(xué)遇到了全新的挑戰(zhàn)。那么，小學(xué)階段應(yīng)該如何開展尺規(guī)作圖的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐呢？本文以“作三角形”為例，通過兩輪教學(xué)設(shè)計(jì)及實(shí)施，探索小學(xué)尺規(guī)作圖的教學(xué)路徑。一、小學(xué)階段引入尺規(guī)作圖的原因（一）加強(qiáng)中小學(xué)課程銜接針對(duì)尺規(guī)作圖，中小學(xué)數(shù)學(xué)課程存在銜接問題。以往的小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，只涉及用圓規(guī)畫圓的內(nèi)容，到初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)用尺規(guī)作圖時(shí)，就會(huì)遇到很大的困難。因此，《課程標(biāo)準(zhǔn)》依據(jù)學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，在小學(xué)階段增加了“會(huì)用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”（簡(jiǎn)稱“作等長(zhǎng)線段”）、“經(jīng)歷用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫到一條直線的過程，直觀感受三角形的周長(zhǎng)”（簡(jiǎn)稱“作三角形三條邊”）、“要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊”（簡(jiǎn)稱“作三角形”）三個(gè)尺規(guī)作圖內(nèi)容，為初中尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，以實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的連續(xù)性、統(tǒng)一性、整體性［2］。（二）注重核心素養(yǎng)的培養(yǎng)尺規(guī)作圖是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和推理意識(shí)的有效手段。一方面，學(xué)生利用尺規(guī)作圖，可以將頭腦中的思維轉(zhuǎn)化為直觀圖形，通過實(shí)際畫圖，讓思維可視化，有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。另一方面，在作圖操作過程中，學(xué)生可以加深對(duì)定理和命題的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)。［3］（三）實(shí)現(xiàn)“做中學(xué)，創(chuàng)中學(xué)”尺規(guī)作圖是典型的“做中學(xué)，創(chuàng)中學(xué)”方法。通過尺規(guī)作圖，學(xué)生積極想象，動(dòng)手操作，主動(dòng)構(gòu)造，從而激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生構(gòu)思如何用直尺和圓規(guī)作圖的過程是“做中學(xué)，創(chuàng)中學(xué)”的具體體現(xiàn)。構(gòu)思時(shí)，學(xué)生首先應(yīng)考慮作圖的關(guān)鍵是什么。他們要先初步想象出利用尺規(guī)作圖后所形成的圖形，其次構(gòu)思具體操作步驟，最后將作圖的過程有條理地表達(dá)出來。［4］以“作三角形”為例，學(xué)生需要在頭腦中構(gòu)思，先作一條邊，然后確定第3個(gè)頂點(diǎn)。再通過不斷嘗試、操作，經(jīng)歷找點(diǎn)的過程，及時(shí)反思，最終體會(huì)到需要找到兩弧的交點(diǎn)。整個(gè)學(xué)習(xí)過程，學(xué)生通過想象、操作、推理活動(dòng)，培養(yǎng)了創(chuàng)新能力和探究能力。［5］二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐六年級(jí)學(xué)生的幾何思維正處于從非形式化水平向形式化水平過渡的階段。［6］學(xué)生四年級(jí)時(shí)通過擺小木棒活動(dòng)直觀感知了“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的三角形三邊關(guān)系，六年級(jí)在“圓”單元又學(xué)習(xí)了用圓規(guī)畫圓對(duì)用尺規(guī)作圖作三角形有一定的基礎(chǔ)。同時(shí)，學(xué)生也面臨一些挑戰(zhàn)：習(xí)慣用有刻度直尺，不習(xí)慣使用無刻度直尺；對(duì)圓規(guī)的使用僅停留在畫圓層面；未學(xué)習(xí)過用圓規(guī)作等長(zhǎng)線段，直接“作三角形”對(duì)他們而言具有挑戰(zhàn)性。本內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“認(rèn)識(shí)三角形”“三角形三邊關(guān)系”“圓的認(rèn)識(shí)”的基礎(chǔ)上展開的，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握“借助無刻度的直尺和圓規(guī)畫出指定邊長(zhǎng)的三角形”的做法?；诖耍P者在北京市海淀區(qū)某小學(xué)六年級(jí)兩個(gè)班先后實(shí)施兩輪教學(xué)。具體教學(xué)目標(biāo)如下。（1）通過對(duì)比多種畫三角形的方法，掌握用尺規(guī)畫圓弧作三角形的方法，培養(yǎng)推理意識(shí)。（2）利用尺規(guī)作圖感知三角形的任意兩邊之和大于第三邊。（3）在與他人的合作交流中，能提出問題，并對(duì)自己及他人的問題解決過程給出合理解釋，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維來思考問題，提高學(xué)習(xí)成就感。教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用尺規(guī)畫圓弧作三角形，理解三角形任意兩邊之和大于第三邊，能有條理地表達(dá)作圖過程。教學(xué)難點(diǎn)：經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程，提高學(xué)生的尺規(guī)作圖技能，能根據(jù)條件作三角形，能理解作圖的依據(jù)。（一）第一輪教學(xué)設(shè)計(jì)及分析1.第一輪教學(xué)過程（1）活動(dòng)1：回顧舊知教師提問：“大家學(xué)習(xí)過用圓規(guī)畫圖，圓規(guī)可以畫什么圖形？畫出來的圖形有什么特點(diǎn)呢？”引導(dǎo)學(xué)生回顧圓規(guī)能畫圓，并回憶圓的相關(guān)知識(shí)。教師出示無刻度直尺，提問：“仔細(xì)觀察這把直尺，它和我們平時(shí)使用的直尺有什么區(qū)別？它可以用來畫什么？”明確無刻度直尺能畫直線。同時(shí)讓學(xué)生想象一下圓規(guī)和無刻度直尺能畫什么圖形，鼓勵(lì)學(xué)生用尺規(guī)動(dòng)手畫一畫。（2）活動(dòng)2：合作探究、作三角形教師引導(dǎo)學(xué)生回憶三角形的特征，并提問：用尺規(guī)可以作出三角形嗎？布置任務(wù)：嘗試用圓規(guī)和無刻度直尺，將任務(wù)1中的三條線段圍成三角形。展示交流：展示學(xué)生的不同作圖方法。方法1：用直尺大概作圖（如圖1）。方法2：利用圓規(guī)卡出兩個(gè)點(diǎn)，大概作圖（如圖2）。方法3：用圓規(guī)畫圓弧的方式作圖（如圖3）。教師引導(dǎo)全班學(xué)生交流討論，分析每種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，共同總結(jié)結(jié)論：第1、第2種作圖方法不夠精確，第3種作圖方法能準(zhǔn)確、快速作出三角形。（3）活動(dòng)3：探究三角形三邊關(guān)系在活動(dòng)2基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：任何三條線段都能畫成一個(gè)三角形嗎？接著出示任務(wù)2，讓學(xué)生觀察三組線段，判斷哪些能構(gòu)成三角形，并動(dòng)手畫一畫，驗(yàn)證判斷結(jié)果。學(xué)生通過動(dòng)手作圖進(jìn)行驗(yàn)證后，教師啟發(fā)他們思考：每組任務(wù)三條邊的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？構(gòu)成三角形的三邊必須滿足什么條件？2.教學(xué)實(shí)施結(jié)果分析對(duì)任務(wù)1中的學(xué)生作圖方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)：由于受到圓規(guī)畫圓的思維定式的影響，約有21.4%的學(xué)生采取隨意畫圓的方式作圖，但沒能作出三角形（如圖4）；由于六年級(jí)學(xué)生之前沒有學(xué)習(xí)過用尺規(guī)作等長(zhǎng)線段，約有47.6%的學(xué)生通過卡長(zhǎng)度畫三角形（如圖2）；約有7.2%的學(xué)生在理解了“任意兩邊之和大于第三邊”的情況下，選擇湊出一個(gè)三角形（如圖5）；僅有約23.8%的學(xué)生通過畫圓弧作三角形（如圖3）?？梢姳敬谓虒W(xué)設(shè)計(jì)存在較大問題，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果并不理想。在第一輪教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施之后，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)作如下調(diào)整。（1）在任務(wù)單上直接給出三角形底邊（其中一條邊）的位置，給學(xué)生一個(gè)尺規(guī)作圖的支架，防止他們隨意畫圓，并引導(dǎo)學(xué)生將重點(diǎn)放在“如何找到第3個(gè)頂點(diǎn)”上。（2）從用小木棒擺三角形引入，幫助學(xué)生搭建學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，讓他們直觀地體會(huì)畫圓弧的過程，將小木棒抽象成線段，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。（3）第一輪教學(xué)設(shè)計(jì)中的活動(dòng)3是在預(yù)設(shè)學(xué)生未學(xué)過“任意兩邊之和大于第三邊”的三角形三邊關(guān)系的情形下開展的。第二輪教學(xué)設(shè)計(jì)則將三角形三邊關(guān)系作為前提進(jìn)行教學(xué)。（4）設(shè)計(jì)拓展習(xí)題，打開學(xué)生思路，幫助學(xué)生突破慣性思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和空間想象能力。基于以上對(duì)第一輪教學(xué)設(shè)計(jì)的調(diào)整，繼續(xù)開展第二輪教學(xué)活動(dòng)，并在同一學(xué)校六年級(jí)的另外一個(gè)班實(shí)施教學(xué)。（二）第二輪教學(xué)設(shè)計(jì)及分析1.第二輪教學(xué)過程（1）活動(dòng)1：擺三角形教師帶領(lǐng)學(xué)生完成熱身游戲：用工具袋中的3根小木棒拼成一個(gè)三角形。讓學(xué)生動(dòng)手操作，直觀感受拼三角形的過程，明確在不斷調(diào)整小木棒擺三角形的過程中蘊(yùn)含著圓弧，為用圓規(guī)畫圓弧作三角形奠基。教師提問：“你是一下就拼成三角形的嗎？你做了怎樣的調(diào)整？”教師展示學(xué)生的操作調(diào)整過程，提問：“調(diào)整到什么時(shí)候就拼成了三角形？”然后利用課件動(dòng)態(tài)演示擺小木棒的過程（如圖6），引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注2根小木棒相交時(shí)產(chǎn)生的交點(diǎn)，即拼成三角形的關(guān)鍵是確定第3個(gè)頂點(diǎn)。（2）活動(dòng)2：作三角形教師引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)態(tài)演示總結(jié)出小木棒與圓規(guī)有相同之處，并提問：用尺規(guī)可以作出三角形嗎？布置任務(wù)：運(yùn)用圓規(guī)和無刻度直尺作出一個(gè)三角形，以任務(wù)1中的c作為三角形的一條邊，a和b作為另外左右兩條傾斜的邊。展示交流：展示學(xué)生的不同作圖方法。方法1：用直尺大概作圖（如圖1）。方法2：利用圓規(guī)卡出兩個(gè)點(diǎn)，大概作圖（如圖2）。方法3：用圓規(guī)畫圓弧的方式作圖（如圖3）。教師引導(dǎo)全班學(xué)生交流討論，分析每種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，共同總結(jié)結(jié)論：第1、第2種作圖方法不夠精確，第3種作圖方法能準(zhǔn)確、快速作出三角形。（3）活動(dòng)3：探究三角形三邊關(guān)系在活動(dòng)2基礎(chǔ)上，教師提問：“任意三條線段都能畫成一個(gè)三角形嗎？”引導(dǎo)學(xué)生回憶四年級(jí)學(xué)過的結(jié)論“任意兩邊之和大于第三邊”，并以此為猜想，通過動(dòng)手作圖來驗(yàn)證猜想。學(xué)生通過動(dòng)手作圖進(jìn)行驗(yàn)證后，得出結(jié)論“當(dāng)任意兩條線段的長(zhǎng)度和大于第三條線段的長(zhǎng)度時(shí)，才能畫出三角形”。（4）課外作業(yè)：拓展練習(xí)布置課外作業(yè)：點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B在直線l外，請(qǐng)?jiān)谥本€l上找到點(diǎn)C，使得△ABC構(gòu)成等腰三角形。通過尺規(guī)作圖作等腰三角形，既可分別將線段AB作為底邊或腰，作出多個(gè)等腰三角形，也可采用對(duì)折方法完成。這樣的拓展練習(xí)既可以拓寬學(xué)生的思考視野，又可以培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)。2.教學(xué)實(shí)施結(jié)果分析對(duì)第二輪教學(xué)任務(wù)1中學(xué)生的作圖方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)：約有84.6%的學(xué)生能直接想到畫圓弧的方式來畫三角形，僅有15.4%的學(xué)生用圓規(guī)卡長(zhǎng)度的方式作三角形，且沒有隨意畫圓的學(xué)生。由此可見，在改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)后，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果得到明顯提升，作圖情況有了較大變化。三、教學(xué)思考（一）動(dòng)手操作奠基，開啟思維之門小學(xué)生的思維水平總體較低，動(dòng)手畫圖的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累較少，難以直接借用知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去解決問題。第二輪教學(xué)中，教師在開展探究活動(dòng)前，讓學(xué)生動(dòng)手操作擺三角形，在此的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生將3根小木棒抽象成三條線段，為使用圓規(guī)畫圓弧奠基，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果得到明顯提升。因此，只有讓學(xué)生的思維順著支架螺旋式上升，才能讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式。（二）動(dòng)態(tài)演示助力，增強(qiáng)幾何直觀小學(xué)生因其自身的年齡特征和心理特征，對(duì)動(dòng)手操作、動(dòng)態(tài)演示比較敏感，能直觀感知其數(shù)學(xué)本質(zhì)。在第二輪教學(xué)中，教師先引入“用3根小木棒搭三角形”的活動(dòng)，再利用課件動(dòng)態(tài)演示“確定第3個(gè)頂點(diǎn)”的過程，最后，以操作演示軌跡類比用尺規(guī)作圖，引導(dǎo)學(xué)生掌握用尺