9.2.3總體集中趨勢的估計課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2

第九章統(tǒng)計9.2用樣本估計總體9.2.3總體集中趨勢的估計內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動方案檢測反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù))．2.會求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．3.理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義．活動方案活動一理解平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的概念為了了解總體的情況，前面我們研究了如何通過樣本的分布規(guī)律估計總體的分布規(guī)律，但有時候，我們可能不太關(guān)心總體的分布規(guī)律，而更關(guān)注總體取值在某一方面的特征．例如，對于某縣今年小麥的收成情況，我們可能會更關(guān)注該縣今年小麥的總產(chǎn)量或平均每公頃的產(chǎn)量，而不是產(chǎn)量的分布；對于一個國家國民的身高情況，我們可能會更關(guān)注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等等．思考1???求52,49,48,54,47,48,55,52的平均數(shù)．方法一：方法二：1.一般地，我們將一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫作該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排成一列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)，那么排在正中間的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，那么排在正中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．2.關(guān)于平均數(shù)有如下結(jié)論：(3)在一組數(shù)據(jù)中，a1的頻率是p1，a2的頻率為p2，…，an的頻率為pn，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a1p1＋a2p2＋…＋anpn.【解析】

集中趨勢．思考2???平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個量都是反映一組數(shù)據(jù)的什么趨勢？例1利用下面100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)(單位：t)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù)．9.0

13.6

14.9

5.9

4.0

7.1

6.45.4

19.4

2.0

2.2

8.6

13.8

5.410.24.9

6.8

14.0

2.0

10.5

2.15.7

5.1

16.8

6.0

11.1

1.3

11.27.7

4.9

2.3

10.0

16.7

12.012.4

7.8

5.2

13.6

2.6

22.4

3.67.1

8.8

25.6

3.2

18.3

5.1

2.03.0

12.0

22.2

10.8

5.5

2.0

24.39.9

3.6

5.6

4.4

7.9

5.1

24.56.4

7.5

4.7

20.5

5.5

15.7

2.65.7

5.5

6.0

16.0

2.4

9.5

3.717.0

3.8

4.1

2.3

5.3

7.8

8.14.3

13.3

6.8

1.3

7.0

4.9

1.87.1

28.0

10.2

13.8

17.9

10.1

5.54.6

3.2

21.6該市某個小區(qū)有2000戶，你能估計該小區(qū)的月用水總量嗎？即100戶居民的月均用水量的平均數(shù)為8.79t.8.79×2000＝17580(t)，故該小區(qū)的月用水總量為17580t.小明用統(tǒng)計軟件計算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)，但在錄入數(shù)據(jù)時，不小心把一個數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請計算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)．【解析】

平均數(shù)由原來的8.79t變?yōu)?.483t，中位數(shù)沒有變化，還是6.8t．平均數(shù)的值變化更大．這是因為樣本平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，樣本中的任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變．思考3???將例1與跟蹤訓(xùn)練的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較，哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對樣本中的極端值更加敏感．思考4???在下圖的三種頻率分布直方圖的形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？圖1

圖2

圖3【解析】

一般來說，對一個單峰的頻率分布直方圖來說：①直方圖形狀對稱：平均數(shù)≈中位數(shù)；②直方圖右邊“拖尾”：平均數(shù)>中位數(shù)；③直方圖左邊“拖尾”：平均數(shù)<中位數(shù)，結(jié)論：和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊．活動二平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的簡單應(yīng)用例2某學(xué)校要定制高一年級的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格．據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示.校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適？試討論用上表中的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性．【解析】

為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)，如下圖．可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適．由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學(xué)校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理．思考5???你能根據(jù)居民用水的頻率分布直方圖提供的信息，估計出樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)嗎？中位數(shù)即第50百分位數(shù)，由于0.077×3＝0.231，(0.077＋0.107)×3＝0.552，因此中位數(shù)落在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)．設(shè)中位數(shù)為x，由0.077×3＋0.107×(x－4.2)＝0.5，得x≈6.71，所以中位數(shù)約為6.71.在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)間[4.2，7.2)內(nèi)的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點5.7作為眾數(shù)的估計值．平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小矩形面積乘以各個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)的和．中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成面積相等的左右兩部分．眾數(shù)：最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo)．例3某高中教師從高一學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中隨機抽取40名學(xué)生的成績，分成六段：[40,50)，[50,60)…，[90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中實數(shù)a的值；(2)估計這40名學(xué)生的成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．【解析】(1)a＝(1÷10)－(0.005＋0.01＋0.02＋0.025＋0.01)＝0.030.眾數(shù)為75；設(shè)中位數(shù)為x，因為前三個矩形面積之和為0.35，第四個矩形面積為0.3,0.35＋0.3＝0.65>0.5，所以中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，所以0.35＋0.03(x－70)＝0.5，所以x＝75，即中位數(shù)為75.目前用外賣網(wǎng)點餐的人越來越多，現(xiàn)在對大眾等餐所需時間情況進(jìn)行隨機調(diào)查，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，其中等餐所需時間的范圍是[0,120]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]．【解析】(1)由頻率分布直方圖，得(0.02＋x＋0.008＋0.004＋0.002＋0.002)×20＝1，解得x＝0.014.(1)求頻率分布直方圖中x的值；(2)利用頻率分布直方圖估計樣本的眾數(shù)、中位數(shù)．因為(0.002＋0.004＋0.014)×20＝0.4<0.5，所以中位數(shù)位于[60,80)．設(shè)中位數(shù)為x，則(0.002＋0.004＋0.014)×20＋(x－60)×0.02＝0.5，解得x＝65，故中位數(shù)為65.檢測反饋245131.從某中學(xué)抽取100名學(xué)生進(jìn)行閱讀調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每位同學(xué)的年閱讀量都在50篇至350篇之間，頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.a的值為0.004B.平均數(shù)約為200C.中位數(shù)大約為183.3D.眾數(shù)約為35024513【答案】C245132.已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個，剩下的六個數(shù)據(jù)分別是3,3,5,3,6,11，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的2倍，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為(

)A.6 B.8C.12 D.1424513【答案】C245313.(多選)對于一組數(shù)據(jù)1,2,3,4,6,8,8,8，下列說法中正確的是(

)A.中位數(shù)為4 B.平均數(shù)為5C.眾數(shù)為8 D.第40百分位數(shù)是4【答案】BCD245314.某學(xué)校為了調(diào)查高一年級學(xué)生的體育鍛煉情況，從甲、乙、丙3個班中，按分層隨機抽樣的方法獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間(單位：h)，數(shù)據(jù)如下：甲66.577.58

乙6789101112

丙34.567.5910.51213.5估計這個學(xué)校高一年級學(xué)生一周的平均鍛煉時間為________.24531【答案】8.2h245315.(2023通遼高一階段練習(xí))某實驗中學(xué)對選擇生物學(xué)學(xué)科的200名學(xué)生的高一下學(xué)期期中考試成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知成績均在區(qū)間[40,100]內(nèi)，不低于90分視為優(yōu)秀，低于60分視為不及格．同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表值．24531【解析】(1)成績在區(qū)間[70,80)內(nèi)的頻率為0.03×10＝0.3，所以在區(qū)間[70,80)內(nèi)應(yīng)抽取40×0.3＝12(人)．(1)根據(jù)此次成績采用分層隨機抽樣法從中抽取40人開座談會，求在區(qū)間[70,80)內(nèi)應(yīng)抽取多少人？(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這次考試成績的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)．24531(2)成績在區(qū)間[40,50)內(nèi)的頻率為0.01×10＝0.1；區(qū)間[50,60)內(nèi)的頻率為0.015×10＝0.15；區(qū)間[60,70)內(nèi)的頻率為0.02×10＝0.2；區(qū)間[70,80)內(nèi)的頻率為0.03×10＝0.3；區(qū)間[80,90)內(nèi)的頻率為0.015×10＝0.15；區(qū)間[90,100]內(nèi)的頻率為0.01×10＝0.1，估計這次考試成績的平均數(shù)為45×0.1＋55×0.15＋65