2024屆河北省石家莊高三調研聯(lián)合測評數(shù)學試題及答案

高三數(shù)學考試

注意事項：

1.答題前,考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在

中答題卡上。寫在本試卷上無效。

於

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內容:集合與常用邏輯用語、一元二次函數(shù)、平面向量與復數(shù)、

數(shù)列、函數(shù)與基本初等函數(shù)、一元函數(shù)的導數(shù)及其應用、三角函數(shù)與解三角形、立體幾

髓何、直線與圓、橢圓。

施一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

題1.復數(shù)(2+i)(—1+D在復平面內對應的點位于

叔A.第一象限B.第二象限C.第三象限拉第四象限

K2.若集合十x—2W。｝>則集合A的子集的個數(shù)為

A.2B.3C.4D.8

Q

區(qū)3.已知直線4皿+2)+a=0"2：3x+(2a—l)y+a+l=0,則、=一是%〃?！钡?/p>

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

於

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知。=2嘀3,6=log48,c=3°，6,貝1j

南

A.aV6<cB.6<cVaC.c<6VaD.6<a<c

5.已知B,F2分別是橢圓C，1=l(a?o)的左、右焦點,P是橢圓C上一點.若PF21

,IPFII=31P6I，則C的離心率為

A.學B.yC.噂D.i

乙乙OD

6.在等邊AABC中，部=2屈+3就,則向量就在向量覺上的投影向量為

A.喜覺B.J就C.一日就D.一卷皮

J乙J乙

7.某圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，在該圓錐中內接一個圓柱，則該圓柱的側面

積的最大值為

A.27tB.^3KC.2人“D.47r

8.已知M是圓/+?2=4上的一點,N是圓"+)2=1上的一點，直線,：久十?—4班'=0,過點

M作與I的夾角為30°的直線，交I于點A,則|AM|+2|MN|的最小值為

A.3B.4C.6D.8

【高三數(shù)學第1頁(共4頁)】?24-236C2?

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知a>0,b>0,a+b=a6,則

A.Q+6〉4B.ab<4

C.a+4b>9D.,十宗)-!"

10.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分

割率的值也可以用2sin180表示.下列結果等于黃金分割率的值的是

A.sin1020+遮cos102°B..?

C.2t：n9°cos%D.2cos78°+2cos42°

1—tanz9

11.已知函數(shù)/(R)=sin2比+acos2處且/(2)(得)I對KGR恒成立，則

JL乙

A.Q=士

B./⑴的圖象關于點(一氤0)對稱

C者方程,(X)=痣在(0,帆)上有2個實數(shù)解，則me(7t,y0

D"Gr)的圖象與直線24i—9p—8冗=0恰有5個交點

12,在邊長為1的正方體ABCD—AiBiGD中，動點M滿足又而=力屈+了近+(1—z—y)?

AA*(x^O,y^O,^+^^1).下列說法正確的是

A.四面體MBiDC的體積為得

B.若AM=^,則M的軌跡長度為空

O0

C.異面直線BM與D1G所成角的余弦值的最大值為整

O

D.有且僅有三個點，使得AiMLAM

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知S?是等比數(shù)列的前n項和,由+(22=1,奧十03=2,則S5=▲

14.點(0,0)到直線/的距離為1,且，與圓了2+丁+?=0相切，寫出一個滿足條件的/的方程:

▲.

9力+L----A

15.若。為坐標原點，過點P(l,l)的直線，與函數(shù)/(究)=念行的圖象交于A,B兩點，則(OA

ClU

+循)?Qp=A

16.關于7的方程F+MTeH+九€笈=0有3個不等實數(shù)根，則m的取值范圍是▲.

【高三數(shù)學第2頁(共4頁)】?24-236C2?

四、解答題:本題共6小題，共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

在AABC中,AB=2AaNRAC0警,￡）為邊BC上一點’

⑴若BC=4,求^ABC的面積；

（2）若AELLAJ3,求罌.

18.（12分）

在直四棱柱ABGD-AIBCIDI中,AB〃DC,AB，AD,AB=AD=2,DC=DDi=4.

（1）證明:平面A】BDJ_平面BiBCG.

（2）求平面AiBD與平面DCGD1夾角的余弦值.

19.（12分）

已知函數(shù)/Gr）=e".

（1）若函數(shù)f（J7nz2一了+7n）的值域為［1,+°°），求m的取值范圍;

（2）若過點（2,"）可以作曲線夕=/a）的兩條切線，求n的取值范圍.

【高三數(shù)學第3頁（共4頁）】?24-236C2?

20.(12分)

已知數(shù)列｛a*｝滿足an+i+。"=2%

(1)若Q”｝為等差數(shù)列，求｛狐｝的通項公式；

⑵記上｝的前幾項和為S“,不等式(-1)/<S2,一8葉9對九GN*恒成立，求；I的取值范圍.

21.(12分)a

已知橢圓?？?i=1(?！?>°)的上、下頂點分別是A，B，點P(異于兩點)在橢圓C

州

上，直線PA與PB的斜率之積為一看，橢圓C的長軸長為6.

潴

(1)求C的標準方程；

(2)已知T(0,1),直線PT與橢圓C的另一個交點為Q,且直線AP與BQ相交于點D,證3-

明:點D在定直線上.

關

斕

端

粽

22.(12分)

已知21,Z2,g是關于Z的方程|工出工|=&的三個不同的根，且力1<&<%.

(1)求a的取值范圍；

(2)證明:62223<e-*.

【高三數(shù)學第4頁(共4頁)】?24-236C2?

高三數(shù)學考試參考答案

l.B(2+i)(—l+i)=—3+i,所以該復數(shù)在復平面內對應的點為(一3,1),該點在第二象限.

2.CA={iGN|z2+z—2<0}={0,1},集合A的子集的個數(shù)為4.

3.C當1,//12時,a(2a—1)=6,解得a=2或a=—當a=2時與12重合,不符合h//

乙

QQQ1

%2;當〃=-7時：--2"<r+2j/—y=0,/2：31一4)一~^=0,。與h不重合，符合

故％=—>是“/1〃為”的充要條件.

乙

4.D〃=2嘀3=/^,6=[0848=,,。=3°，6>365=，^,故c〉a〉6.

乙

5.A因為吠1|=3吠2|,吠/+止6|=2%則16|=當，]久|=5，所以q+4C2=

乙乙4

竽，解得￡=整，即橢圓c的離心率為9.

4aLN

6.B由題可知:W?覺=(2期+3前)?就=一|?！菏X|2=J祝「，

乙乙

席洋覺=!拓，所以向量m在向量配上的投影向量為《反

7.C由題設可知該圓錐的高A=2V3.設在該圓錐中內接一個高為z的圓柱，該圓柱的底面半

徑為〃，則4=2乃二，所以廣=2一堂心故該圓柱的側面積S=2g=27t(2一堂英)￡=

427333

27r(—?12+2])，當1=6"時,側面積S取得最大值2西冗.

8.C設點M到直線，的距離為d,則|AM|=2d,所以|AM|+2|MN|=2d+2|MN|.因為d

十|MN|的最小值為坐標原點到/的距離減去1,所以d十|MN|的最小值為警一1=3,則

V2

\AM\+2。的最小值為6.

9.ACD因為a+6=aZ<(中產，所以。+6>4,仍>4,當且僅當a=b=2時，等號成立.

若a~\-b=aby貝！J,H--^=],所以a+46=(a+46)(―H~~^-)=5d-■白+效25+2?色一=9,

ababbaMba

當且僅當￡=政，即6=?,a=3時，等號成立,若a+6=a心則工+4=1,所以J+W=(l—

■)2一~r+l?由“〉0,6〉0及1+[=1,可知。<[<1,則當[=即a=~|~,6

bbobabbb3/

=3時,.一1+l)3X(/y—2X、+1=1~?故選ACD.

bb555

【高三數(shù)學?參考答案第1頁(共6頁)】?24-236C2?

10.ABsin1020+y3cos102°=2sin(102°+60o)=2sin162°=2sin18°,

sin360_sin360_2sin180cos180_.［父。2tan90cos180_

sin108°cos18°cos18°Sm'1-tan29°tan18°cos18°=sin18。,

2cos78°+2cos42°=2cos(60°+18°)+2cos(60°—18°)=4cos60°cos18°=2cos18°.

故選AB.

11.BCD因為對iGR恒成立，所以/⑴的圖象關于直線i=蔣對稱，則

/(0)=/(W),即a=sin§+acosg,解得a=后.

Ooo

/(j;)=sin2X+A/3^COS2i=2sin(2i+~^)"(=2sin0=0,所以f(1)的圖象關于點

oO

（一點,0）對稱.當iG（0,m）時,2久+^G（-^,2m+-^）,因為/（l）=唐在（0,W上有2個

實數(shù)解，所以?<2機+今?粵，解得7roi（卓.直線24k一9冗）-8兀=0經過點（*，0）與

（皆,2）,易知吟,0）與（腰,2）分別是函數(shù)/⑺的零點與其圖象的最高點，結合圖象（圖

略）可知八1）的圖象與直線24r—93—87t=0恰有5個交點.故選BCD.

12.AC如圖1,連接由AM=?z不有方+（1—x—jOAAi（久>0,了>0,尤+

夕Wl）,可得點M的軌跡在△A1B。內（包括邊界）.因為平面A1B?！ㄆ矫鍯B1A,所以

==

VM-B1D1CVA1-B1D1CVC-A1B1D1=?*X1X1X1--1~，故A正確.

OLiO

易知ACiJ_平面AiBD,設AG與平面4B。相交于點P.由于VA-AIB0=VB—A］。］%=

V-T，則點A到平面A1BD的距離為AP=——d-------=咚.若AM=^，則

111o1A/qlJo

卷X牛X（魚）2

MP=落即點M的軌跡是以P為圓心，名為半徑的圓，如圖2.在△AiEP中,AiP="

OoO

PE=g,NE4PW，由余弦定理解得AIE=*/I］NAIPE=￡,所以M的軌跡長度為

O0O0

/X6X#=?，故B錯誤.

因為DiG〃AB,所以NABM為異面直線BM與DiG所成的角，則sinNABM>:|=

除所以cos/ABMWf，故C正確.

Oo

由三垂線定理可知,又AP,平面A.BD,要使得A,M±AM,則A,所以點M在以

AiP為直徑的圓上，則存在無數(shù)個點，使得AjM,AM,故D錯誤.

【高三數(shù)學?參考答案第2頁（共6頁）】?24-236C2?

圖2

13-f設等比數(shù)列｛9的公比為q，則=q=2,

131

由恁=，可得即卷，所以由='］一=笥.

m+13ai=Lm=OJ.乙J

14.-f3x—y+2=0（或禽\z+y—2=0,填其中一?個即可）圓x2-\-y2+4j/=0可化為JC2+（J/+

2產=4.設M（0,0）,N（0,—2）,貝！||MN|=2.以M為圓心,1為半徑作圓M,以N為圓心,2

為半徑作圓N,則這兩圓相交，所以這兩圓有2條公切線，即符合條件的直線，有2條.

\b\

〃十.，

顯然當公切線的斜率存在時，設公切線的方程為,=氏+6,則有j21

?7W12，

O

得|6+2］=2|6］，所以6=2或b=一"舍去）.由6=2,得k=+^3,

則公切線的方程為痣）+2=0或歷式+）—2=0,

所以直線I的方程為西1—）+2=。或遮1+）—2=0.

23-42工+i4

15.4因為/（2一久）+/（%）_I2工+11=2,

22一工一21匕一2一2一2工工一22久一2

所以P（l,l）是函數(shù)［包）圖象的對稱中心，則P為線段AB的中點，

可得由十9=20？=（2,2）,貝I］（次+份）?份=2+2=4.

16.（泊—,0）由I?+加尤1+m€2工=0,可得（彳?-\-m?［+〃？=0.令2=斗,貝Uy-\-mt-\-m

e十eeee

=0，/=寧，所以片方在（一8,1）上單調遞增，在（1,十8）上單調遞減，且『0不是方

陷<0,

程/+初+機=0的根，則11解得---^T-<m<0.故m的取值范圍為

H-----Hm〉0,e十e

Iee

17.解：（1）由余弦定理可知BC2=AB2+AC2—2AB?ACcos/BAC..........................2分

即44。2+4。2+2人。2=7,解得人。=1,..........................................................................3分

所以△ABC的面積為4xiX2Xsin竽=§.....................................5分

乙J乙

【高三數(shù)學?參考答案第3頁（共6頁）】?24-236C2?

⑵因為NBAC=^,AIUAB,所以NCADg,6分

JAB-AD

BD

所以10分

DCSAACD

TAC*AD*sint

1&(1)證明：由題意可知BBL底面ABCD,

因為BDU底面ABGD,所以BBi_LBD.......................................1分

在梯形ABCD中，可得BD=2V^,DC=4,NBDC=今，

由余弦定理可得BC=2招，所以3￡)2+8。2=。。2,故8。，6。.……

..................................................3分

因為8。口6氏=8,所以BD,平面BiBCG,..............................4分

又BDU平面A/D,所以平面A/。，平面B1BCG...................................................6分

(2)解：以。為原點,DA,DC,DDi所在直線分別為7,”之軸,建立如圖所示的空間直角坐

標系，則。(0,0,0),_6(2,2,0),41(2,0,4),加=(2,2,0),五年=(2,0,4)..........7分

易知”=(1,0,0)為平面DCGD1的一個法向量................................8分

設平面A/D的法向量為機=(尤,y,z),

,D^=Q,]21+2y=0,

則<>得，,取z=-1,則y=-2,7=2,得機=(2,—2,—1),......

[m?DAi=0,〔2i+4z=0,

..................................................................10分

所以3〈加,〃〉=署尚=2,故平面人出。與平面。久1。1夾角的余弦值為京.....

..................................................................12分

19.解：(1)令函數(shù)g(jc)=mj?—x^rm的值域為D.因為/(一憶+加)的值域為[L+8),

所以10,+8)盤D......................................................1分

當切=0時,D=R，符合題意；...................................................2分

當mW。時解得方.....................................4分

[△=1-4加>0,2

綜上，”的取值范圍為[0,；]..............................................5分

乙

(2)在曲線/(/)=(上任取一點PG=),/(力)=1,

所以曲線6=^在點P處的切線方程為y—N=e，(i一2),即y=e3+(l—2)el……7分

由題意可知，點(2,加在直線y=e3+(l—力/上，可得〃=2/+(1—力d=(3—1)1.……

....................................................................9分

令h(t)=(3一t)e'，貝!J/?'&)=(2—Z)e\

當Y2時,，(>>0,此時九(力單調遞增，當￡>2時此時灰力單調遞減，

【高三數(shù)學?參考答案第4頁(共6頁)】?24-236C2?

2

所以ACz）mx=A（2）=e，且當t<2時,O0..........................................10分

由題意可知，直線y=n與曲線y=/i（力的圖象有兩個交點，則0<"<e2,

所以”的取值范圍為（0,e?）..........................................................................................12分

20.解：（1）因為a“+i+a“=2",所以a“+i+a“+2=2〃+2,......................................................1分

兩式相減得a”+2-?！?2..................................................................................................2分

因為為等差數(shù)列，所以｛%,｝的公差d=L..................................................................3分

又小+念=2,所以2ai+d=2,解得?=：,..................................................................4分

則?！?卷+（〃-1）X1="—"，即｛4”）的通項公式為an=?-4-...................................5分

（2）由（1）得Sz〃=（。1+〃2）+（〃3+〃4）+（〃5+&）+???+（<22n-l+〃2"）=2+6+10+???+4%

-2=2/，.............................................................................................................................8分

所以不等式（一1）2VS2%—8"+9可化為（-—8%+9=2（"一2）2+1,

當n為奇數(shù)時，一入<2（〃-2T+1,則一4<2（1—2）2+1,即入〉一3,..........................10分

當〃為偶數(shù)時以<2S—2/+1,則A<1.

綜上）的取值范圍為（一3,1）..........................................................................................12分

21.（1）解：由題意可得A（0,6）,B（0,—6），設PCri,”），

則上PA="^"PB="土々所以上PA?MB=公/.......................................................1分

]0C1]]

因為點P在橢圓。上，所以"+工=1,所以若="/應，.....................2分

1

貝J￡FA,k=Q=--..................................................................................................3分

PBCLy

因為2a=6,且a2=〃+c2,所以/=9,法=4,..................................................................4分

22

故橢圓c的標準方程為=............................................5分

（2）證明：設Q（4,州），D（Z。，,。），顯然直線PT不會垂直于無軸，

設直線PT的方程為_y=心+1.

由1/+上]消去，得（4+9左2）/+18左丁一27=0.

因為點（0,1）在橢圓C的內部，所以A〉。,與+及=—-9大2|4'21%2二―—1年...7分

設直線AP的方程為了=*三久+2,直線BQ的方程為了=江吆z—2,......................8分

X.2

所以、+2=總警探?（y。-2）...................................................................................9分

22乙）

由（1）知」.衛(wèi)=—《，可得吟T=—J.3+2）（,2+2）=—9.

X\y久2—N）4久1K24

【高三數(shù)學?參考答案第5頁（共6頁）】?24-236C2?

222

后2g&后一

(fei+3)Qkx2+3)=——9?+3+9=——9?-----2-7--k------5-4--^---+-9--(--9--^---+--4--)=§9

jQ久2-------4