2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版）列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

§9.4列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

【考試要求】1.通過實(shí)例，理解2義2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義2通過實(shí)例，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.分類變量

為了表述方便，我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)

變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示.

2.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

（1）關(guān)于分類變量X和y的抽樣數(shù)據(jù)的2X2列聯(lián)表：

Y

X合計(jì)

y=oY=1

x=oaba+b

X=1cdc~\~d

合計(jì)a~\~cb~\~d

⑵計(jì)算隨機(jī)變量/=（,+須）團(tuán)+田,利用/的取值推斷分類變量x和y以逖立

的方法稱為Z2獨(dú)立性檢驗(yàn).

如表為5個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）2義2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個(gè)分類變量的頻數(shù).（V）

（2）事件A和8的獨(dú)立性檢驗(yàn)無關(guān)，即兩個(gè)事件互不影響.（X）

（3）/的大小是判斷事件A和8是否相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量.（V）

（4）在2X2列聯(lián)表中，若同一次|越小，則說明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系越強(qiáng).（X）

【教材改編題】

1.某機(jī)構(gòu)為調(diào)查網(wǎng)游愛好者是否有性別差異，通過調(diào)研數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：在500名男生中有200

名愛玩網(wǎng)游，在400名女生中有50名愛玩網(wǎng)游.若要確定網(wǎng)游愛好是否與性別有關(guān)時(shí)，用下

列最適合的統(tǒng)計(jì)方法是（）

A.均值B.方差

C.獨(dú)立性檢驗(yàn)D.回歸分析

答案C

解析由題意可知，“愛玩網(wǎng)游”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷.

2.如表是2X2列聯(lián)表，則表中a,b的值分別為（）

V以合計(jì)

XIa835

X2113445

合計(jì)b4280

A.27,38B.28,38

C.27,37D.28,37

答案A

解析a=35—8=27,6=a+ll=27+ll=38.

3.已知尸管eeessTO.oi,/VBIO&SAO.OOL在檢驗(yàn)喜歡某項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)

的過程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計(jì)算得到/=7.235,則根據(jù)小概率值.=的/獨(dú)立

性檢驗(yàn)，分析喜歡該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).

答案0.01

解析因?yàn)?.635<7,235<10,828,所以根據(jù)小概率值a=0.01的/獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡該

項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).

?探究核心題型

題型一列聯(lián)表與/的計(jì)算

例1（1）為了解某大學(xué)的學(xué)生是否喜歡體育鍛煉，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法在校園內(nèi)調(diào)查了120

位學(xué)生，得到如下2X2列聯(lián)表:

男女合計(jì)

喜歡ab73

不喜歡C25

合計(jì)74

則。一6一。等于（）

A.7B.8C.9D.10

答案C

解析根據(jù)題意，可得c=120—73—25=22,。=74—22=52,6=73—52=21,

補(bǔ)充完整2X2列聯(lián)表為:

男女合計(jì)

喜歡522173

不喜歡222547

合計(jì)7446120

??a—b—c—52—21—22=9.

(2)為加強(qiáng)素質(zhì)教育，使學(xué)生各方面全面發(fā)展，某學(xué)校對(duì)學(xué)生文化課與體育課的成績(jī)進(jìn)行了調(diào)

查統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表：

體育課不及格體育課及格合計(jì)

文化課及格57221278

文化課不及格164359

合計(jì)73264337

在對(duì)體育課成績(jī)與文化課成績(jī)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得到X2的值為()

A.1.255B.38.214

C.0.0037D.2.058

答案A

解析?=------n(ad-bcy----

x(a+6)(c+0(a+c)3+(Z)

337X(57X43-16X221)2

=---------------------------------—255

278X59X73X264

思維升華2義2列聯(lián)表是4行4列，計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確無誤，關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類別.

跟蹤訓(xùn)練1某次國際會(huì)議為了搞好對(duì)外宣傳工作，會(huì)務(wù)組選聘了50名記者擔(dān)任對(duì)外翻譯工

作，在如表“性別與會(huì)外語”的2X2列聯(lián)表中，a+b+d^.

會(huì)外語不會(huì)外語合計(jì)

男ab20

女6d

合計(jì)1850

答案44

解析由題意得o+6+d+6=50,

所以a+b+d=50—6=44.

題型二列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

例2(2022?全國甲卷改編)甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營.為了解這

兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表:

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司在甲、乙兩城之間長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率;

(2)能否根據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車

所屬公司有關(guān)？

附：必=講底端篇而就，n=a+b+c+d.

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

解(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A家公司共有班次260個(gè)，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240個(gè),

設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為

24012

則W=260=13=

8家公司共有班次240個(gè)，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210個(gè)，

設(shè)8家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N,

貝I1尸(八0=瑞=*

12

所以A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為百；

7

5家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為

o

(2)列聯(lián)表如下：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)

A24020260

B21030240

合計(jì)45050500

零假設(shè)為Ho：甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司無關(guān).

500義（240X30—210X20>

260X240X450X50

心3.205>2.706=尤0」，

根據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷必不成立，即認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是

否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).

思維升華獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2義2列聯(lián)表.

⑵根據(jù)公式/=(〃+須*篇Mb+m計(jì)算.

(3)比較/與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷.

跟蹤訓(xùn)練2為了減少自身消費(fèi)的碳排放，“綠色消費(fèi)”等綠色生活方式漸成風(fēng)尚.為獲得

不同年齡段的人對(duì)“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況，某地研究機(jī)構(gòu)將“90后與00后”作為A

組，將“70后與80后”作為8組，并從A,8兩組中各隨機(jī)選取了100人進(jìn)行問卷調(diào)查，

整理數(shù)據(jù)后獲得如下列聯(lián)表：

單位：人

認(rèn)知情況

年齡段合計(jì)

知曉不知曉

A組(90后與00后)7525100

B組(70后與80后)4555100

合計(jì)12080200

______6c)2_____________

“=<7+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+1/),

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.63510.828

Xa7.879

(1)若從樣本內(nèi)知曉“綠色消費(fèi)”意義的120人中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法隨機(jī)抽取

16人,問應(yīng)在A組、8組中各抽取多少人？

(2)能否依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況與年齡

有關(guān)？

7545

解(1)由題意知，在A組中抽取的人數(shù)為16X-=10.在3組中抽取的人數(shù)為16X訴=6.

(2)零假設(shè)為Ho：對(duì)“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況與年齡無關(guān).

,B,200X(75X55—25X45)2_

由題意,付片=-120X80X100X100=18-75>10,828=X0001'

故依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷Ho不成立，即認(rèn)為對(duì)“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)

知情況與年齡有關(guān).

題型三獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用

例3體育運(yùn)動(dòng)是強(qiáng)身健體的重要途徑，《中國兒童青少年體育健康促進(jìn)行動(dòng)方案(2020—

2030)》(下面簡(jiǎn)稱“體育健康促進(jìn)行動(dòng)方案”)中明確提出青少年學(xué)生每天在校內(nèi)參與不少于

60分鐘的中高強(qiáng)度身體活動(dòng)的要求.隨著“體育健康促進(jìn)行動(dòng)方案”的發(fā)布，體育運(yùn)動(dòng)受到

各地中小學(xué)的高度重視，眾多青少年的體質(zhì)健康得到很大的改善.某中學(xué)教師為了了解體育

運(yùn)動(dòng)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的影響情況，現(xiàn)從該中學(xué)高三年級(jí)的一次月考中隨機(jī)抽取1000名學(xué)

生，調(diào)查他們平均每天的體育運(yùn)動(dòng)情況以及本次月考的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，得到如表數(shù)據(jù):

數(shù)學(xué)成績(jī)（分）[30,50)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]

人數(shù)（人）2512535030015050

運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)

104514520010743

的人數(shù)（人）

約定：平均每天進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于60分鐘的為“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”，數(shù)學(xué)成績(jī)排在年級(jí)前

50%以內(nèi)（含50%）的為“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)”.

（1）求該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的65%分位數(shù);

（2）請(qǐng)估計(jì)該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值

作代表）;

（3）請(qǐng)根據(jù)已知數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“數(shù)學(xué)成

績(jī)達(dá)標(biāo)”是否與“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”相關(guān).

數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)人數(shù)數(shù)學(xué)成績(jī)不達(dá)標(biāo)人數(shù)合計(jì)

運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)人數(shù)

運(yùn)動(dòng)不達(dá)標(biāo)人數(shù)

合計(jì)

附：M=(a+b)(%(T)S+十+'+O

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.87910.828

解(1)每組的頻率依次為0.025,0.125,0.350,0.300,0.150,0.050,

V0.025+0.125+0.350=0.500<0.65,0.025+0.125+0.350+0.300=0.800>0.65,

?0.500+0.800

且-----2--------=065,

高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的65%分位數(shù)位于［90,110）內(nèi)，且為［90,110）的中點(diǎn)100,

該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的65%分位數(shù)為100.

（2）該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分

x=0.025X40+0.125X60+0.350X80+0.300X100+0.150X120+0.050X140=91.50,

估計(jì)該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為91.50分.

(3)列聯(lián)表如表所示:

數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)人數(shù)數(shù)學(xué)成績(jī)不達(dá)標(biāo)人數(shù)合計(jì)

運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)人數(shù)350200550

運(yùn)動(dòng)不達(dá)標(biāo)人數(shù)150300450

合計(jì)5005001000

零假設(shè)為Ho：“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)”與“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”無關(guān)，

,1000X(350X300—200X150)21000

彳二550X450X500X500=1129S9>10328=xo.ooi,

根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷Ho不成立，即認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)”與“運(yùn)

動(dòng)達(dá)標(biāo)”有關(guān).

思維升華獨(dú)立性檢驗(yàn)的考查，往往與概率和抽樣統(tǒng)計(jì)圖等一起考查，這類問題的求解往往

按各小題及提問的順序，一步步進(jìn)行下去，是比較容易解答的，考查單純的獨(dú)立性檢驗(yàn)往往

用小題的形式，而且/的公式一般會(huì)在原題中給出.

跟蹤訓(xùn)練3某網(wǎng)紅奶茶品牌公司計(jì)劃在W市某區(qū)開設(shè)加盟分店，為了確定在該區(qū)開設(shè)分店

的個(gè)數(shù)，該公司對(duì)該市已開設(shè)分店的5個(gè)區(qū)域的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格，記》表

示在5個(gè)區(qū)域開設(shè)分店的個(gè)數(shù)，y表示這尤個(gè)分店的年收入之和.

x(個(gè))23456

y(十萬元)2.5344.56

(1)該公司經(jīng)過初步判斷，可用經(jīng)驗(yàn)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;

(2)如果該公司最終決定在該區(qū)選擇兩個(gè)合適的地段各開設(shè)一個(gè)分店，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查得到如下

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，第一分店每天的顧客平均為30人，其中5人會(huì)購買該品牌奶茶，第二分店每天的

顧客平均為80人，其中20人會(huì)購買該品牌奶茶.依據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析

兩個(gè)店的顧客下單率有無差異.

n______

刀必―幾xy

仝業(yè)\aA2__________A—A—______n(ad—bcy

夕考公式：b=—_，a=y-bxL9g+頌0+加+-g+一，尤o」=2.706.

x2

i=\

解(1)由題意可得，x-=4,

—2.5+3+4+4.5+6

y=<=%

5

5>V=2X2.5+3X3+4X4+5X4.5+6X6=88.5,

Z=1

5

2>?=22+32+42+52+62=90,

i=l

設(shè)y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y="+。,

5_____

2>M一5Xy

88.5-5X4X4

90-5X42=0-85,

尸1

a—y~bx=4—0.85X4=0.6,

???y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.85x+0.6.

(2)零假設(shè)為瓦：兩個(gè)店的顧客下單率無差異，則

由題意可知2X2列聯(lián)表如表所示:

不下單下單合計(jì)

分店一25530

分店二602080

合計(jì)8525110

,110X(25X20—5X60)244

一_30X80X85X25-一20.863<2.706=沏.1,

根據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷“不成立,即兩個(gè)店的顧客下單

率沒有差異.

課時(shí)精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類變量x,y之間關(guān)系最強(qiáng)的是()

A

口X]口無1

衣工2

切必

CD

答案D

解析觀察等高堆積條形圖易知D選項(xiàng)兩個(gè)分類變量之間關(guān)系最強(qiáng).

2.下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的是()

A.獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗(yàn)

B.獨(dú)立性檢驗(yàn)可以100%確定兩個(gè)變量之間是否具有某種關(guān)系

C.利用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)中，若有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)

系時(shí)，則我們可以說在100個(gè)吸煙的人中，有99人患肺病

D.對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量/的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大

答案D

解析對(duì)于A,獨(dú)立性檢驗(yàn)是通過卡方計(jì)算來判斷兩個(gè)變量存在關(guān)聯(lián)的可能性的一種方法，

并非檢驗(yàn)二者是否是線性相關(guān)，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B,獨(dú)立性檢驗(yàn)并不能100%確定兩個(gè)變量相關(guān)，故錯(cuò)誤；

對(duì)于C,99%是指“抽煙”和“患肺病”存在關(guān)聯(lián)的可能性，并非抽煙人中患肺病的發(fā)病率，

故錯(cuò)誤；

對(duì)于D,根據(jù)卡方計(jì)算的定義可知該選項(xiàng)正確.

3.為了考察某種中成藥預(yù)防流感的效果，抽樣調(diào)查40人，得到如下數(shù)據(jù)：

流感

藥物

患流感未患流感

服用218

未服用812

下表是/獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值:

a0.10.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算成=，上小;丁，墨*一4，若由此認(rèn)為“該藥物預(yù)防流感有效果”，

八(a+b)(c-\-a)(a+c)(b+a)

則該結(jié)論出錯(cuò)的概率不超過()

A.0.05B.0.1C.0.01D.0.005

答案A

上的*",40X(2X12—8X18)2

2==

斛析由通思知，/4.8>3.841=xo.os,

1U入JU入ZUAZU

由臨界值表可知，認(rèn)為“該藥物預(yù)防流感有效果”，則該結(jié)論出錯(cuò)的概率不超過0.05.

4.(多選)(2022.鄭州模擬)為考察一種新型藥物預(yù)防疾病的效果，某科研小組進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，

收集整理數(shù)據(jù)后將所得結(jié)果填入相應(yīng)的2X2列聯(lián)表中，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得了心9.616.

參照附表，下列結(jié)論正確的是()

附表:

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

A.根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物有效”

B.根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物無效”

C.根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物有效”

D.根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物無效”

答案BC

解析因?yàn)槿?.616,所以7.879<%2<IO.828,所以根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，

分析認(rèn)為“藥物無效”.

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物有效”.

5.（多選X2023?南通模擬）根據(jù)分類變量x與y的觀察數(shù)據(jù)，計(jì)算得到/=2.974,依據(jù)表中給

出的/獨(dú)立性檢驗(yàn)中的小概率值和相應(yīng)的臨界值，作出下列判斷，正確的是（）

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析變量尤與y相互獨(dú)立

B.根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析變量x與y不相互獨(dú)立

C.變量x與y相互獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1

D.變量x與y不相互獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1

答案AD

解析因?yàn)?=2.974>2.706,所以變量x與y不相互獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1.

6.為考查某種營養(yǎng)品對(duì)兒童身高增長(zhǎng)的影響，選取部分兒童進(jìn)行試驗(yàn)，根據(jù)100個(gè)有放回簡(jiǎn)

單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表，由表可知下列說法正確的是（）

身高

營養(yǎng)品合計(jì)

有明顯增長(zhǎng)無明顯增長(zhǎng)

食用a1050

未食用b3050

合計(jì)6040100

參考公式：,=（a+b）（；%l）（黑c）（b+砌，其中〃=°+6+c+d

參考數(shù)據(jù)：

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.a—b—30

B.12.667

3

C.從樣本中隨機(jī)抽取1名兒童，抽到食用該營養(yǎng)品且身高有明顯增長(zhǎng)的兒童的概率是I

D.根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為該營養(yǎng)品對(duì)兒童身高增長(zhǎng)有影響

答案D

解析由題可知。=50—10=40,6=50—30=20,所以A錯(cuò)誤；

,100X（40X30—10X20）2

/—=50X50X60X40處16,667>10,828=x°001，

所以根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，

可以認(rèn)為該營養(yǎng)品對(duì)兒童身高增長(zhǎng)有影響，所以B錯(cuò)誤，D正確；

從樣本中隨機(jī)抽取1名兒童，抽到食用該營養(yǎng)品且身高有明顯增長(zhǎng)的兒童的概率是4湍0=*2

所以C錯(cuò)誤.

7.如表是對(duì)于“喜歡運(yùn)動(dòng)”與性別是否有關(guān)的2X2列聯(lián)表，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到

Z2-（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后3位）.

喜歡運(yùn)動(dòng)不喜歡運(yùn)動(dòng)合計(jì)

男402868

女51217

合計(jì)454085

答案4.722

解析上歿卷5“

8.一項(xiàng)研究同年齡段的男、女生的注意力差別的腦功能實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示:

注意力穩(wěn)定注意力不穩(wěn)定

男生297

女生335

則/=（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位），依據(jù)概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)

該年齡段的學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上對(duì)于性別沒有顯著差異（填拒絕或支持）.

答案0.538支持

解析由表中數(shù)據(jù)可知a=29,b=7,c=33,d=5,n=a+b+c-\-d=T4,

根據(jù)h------Mad-bcf---------,

￡(〃+C)(C+J)(Z?+頌〃+。)’

、…?o74X(145—231)2

計(jì)異可知^=(29+33)X(33+5)X(7+5)X(29+7)^0,538<3,841=即05,

所以沒有充分證據(jù)認(rèn)為學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上與性別有關(guān)，

即該實(shí)驗(yàn)支持該年齡段的學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上對(duì)于性別沒有顯著差異.

9.(2021?全國甲卷改編)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為

了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如

下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

(2)依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)芊裾J(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差

異？

附：4奸擊〃=a+6+c+d.

a0.050.010.001

3.8416.63510.828

解(1)根據(jù)題表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是標(biāo)=0.75,乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)

品中一級(jí)品的頻率是痂=0.6.

(2)零假設(shè)為Ho：甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量無差異,

根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)可得

400X(150X80—120X50)2

200X200X270X130-

=39210.256>6.635—xo.oi,

所以依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷Ho不成立，即認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)

床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

10.某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，A,B在實(shí)驗(yàn)地分別用甲、乙方法培

育該品種花苗.為觀測(cè)其生長(zhǎng)情況，分別在實(shí)驗(yàn)地隨機(jī)抽取各50株，對(duì)每株進(jìn)行綜合評(píng)分,

將每株所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評(píng)分為80及以上的花苗為

優(yōu)質(zhì)花苗.

頻率

050607080901。（）綜合評(píng)分

（1）求圖中。的值，并求綜合評(píng)分的中位數(shù)；

（2）填寫下面的2義2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析優(yōu)質(zhì)花苗與培育方

法是否有關(guān)，請(qǐng)說明理由.

優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗合計(jì)

甲培育法20

乙培育法10

合計(jì)

r伍+b）（c+m（a+c）（6+0'具甲"°十”十c十乙

a0.10.050.010.0050.001

3.8416.63510.828

Xa2.7067.879

解（1）由直方圖的性質(zhì)可知，0.005X10+0.010X10+0.025義10+10a+0.020X10=1,

解得a=0.040,

因?yàn)椋?.02+0.04）義10=0.6>0.5，所以中位數(shù)位于［80,90）內(nèi)，

設(shè)中位數(shù)為x,則有0.020義10+0.040義（90—尤）=0.5,解得尤=82.5.

故綜合評(píng)分的中位數(shù)為82.5.

⑵由⑴得優(yōu)質(zhì)花苗的頻率為0.6,

所以樣本中優(yōu)質(zhì)花苗的數(shù)量為60,

得如下列聯(lián)表：

優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗合計(jì)

甲培育法203050

乙培育法401050

合計(jì)6040100

零假設(shè)為%:優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法無關(guān),

100X(20X10—30X40)2

靖=勺16.667>6.635=xo.oi，

60X40X50X50

所以根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷Ho不成立，即認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān).

少合提升練

11.在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn).現(xiàn)隨機(jī)抽取100只

基因編輯小鼠對(duì)該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下2X2列聯(lián)表(部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失)：

被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)

注射疫苗1050

未注射疫苗3050

合計(jì)30100

計(jì)算可知，根據(jù)小概率值a=的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析”給基因編輯小鼠注射該種疫苗

能起到預(yù)防該病毒感染的效果”()

------Mad—bc?------+b++d

x(a+b)(c+田(4+c)3+t/)，。十。十C十"

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

A.0.001B.0.05

C.0.01D.0.005

答案B

解析完善2X2列聯(lián)表如下：

被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)

注射疫苗104050

未注射疫苗203050

合計(jì)3070100

零假設(shè)為H0：”給基因編輯小鼠注射該種疫苗不能起到預(yù)防該病毒感染的效果

…，100X(10X30-40X20)2

因?yàn)?=-=4.762,3.841<4.762<6.635,

JUA/uAJUAJU

所以根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷Ho不成立，

即認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果

12.(多選)有兩個(gè)分類變量X,Y,其列聯(lián)表如表所示.

Y

X合計(jì)

KiY2

X1a201a20

X2151a30+a45

合計(jì)155065

其中a,l5-a均為大于5的整數(shù)，若依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)可以認(rèn)為X與V有關(guān)，則a

的可能取值為（）

A.6B.7C.8D.9

答案CD

解析根據(jù)a>5且15—a>5,aGZ,知a可取6,7,8,9.由表中數(shù)據(jù)及題意，得

65X[a(30+a)—(15—a)(20—a)F13X(13^—60)2

,23.841=尤0.05,結(jié)合選項(xiàng)，知a的可能

20X45X15X5020X45X3X2

取值為8,9.

或西展沖刺練

13.（多選）在一次惡劣天氣的飛行航程中，調(diào)查男、女乘客在飛機(jī)上暈機(jī)的情況，得到如下

列聯(lián)表：（單位：人），則（）

暈機(jī)

性別合計(jì)

暈機(jī)者未暈機(jī)者

男a15C

女6bd