福建省泉州市南安國(guó)光中學(xué)2024屆高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)卷數(shù)學(xué)試卷含解析

福建省泉州市南安國(guó)光中學(xué)2024屆高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)2=」一（，是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

2-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

xlnx-2x,x>0

2.已知函數(shù)/（x）=23八的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=-1的對(duì)稱點(diǎn)在y=履-1的圖像

I2

上，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是（）

3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知人,凡是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足=-設(shè)4,紇

到直線x+y/3y+n（n+l）=0的距離之和的最大值為an,若數(shù)列工的前〃項(xiàng)和Sn<加恒成立，則實(shí)數(shù)的取值

范圍是（）

A.+s］B.C.D.3

—,+co

2

4.已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)椋?,+"）,且/闈黃⑺受琴，當(dāng)0<x<l時(shí)，/（力<0.若/（4）=2,則函數(shù)/（%）

乙■乙—今

在［1,16］上的最大值為（）

A.4B.6C.3D.8

5.給出以下四個(gè)命題：

①依次首尾相接的四條線段必共面；

②過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角必相等;

④垂直于同一直線的兩條直線必平行.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

6.已知函數(shù)/（x）=a一，-鏟"+c（方，c均為常數(shù)）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,1）對(duì)稱，則/（5）+/-（-1）=（）

B.-1

7.AABC中，BC=2有，。為的中點(diǎn)，ZBAD=~,AD=1,則AC=()

275B.2A/2C.6-也

8.已知集合A={x|x>—1},集合5={x|x(x+2)<0},那么A5等于()

A.{%Ix>-2}B.{x|-1<x<0}C.{x|x>-l}D.{x|-l<x<2}

9.已知復(fù)數(shù)z=a+z；aeR,若|z|=2,則。的值為()

B.V3C.±1D.±73

10.執(zhí)行下面的程序框圖，若輸出的S的值為63,則判斷框中可以填入的關(guān)于i的判斷條件是（）

S=0,i=l

S=S+2'"

H?=f-n1

,「，

//出s/

A.i<5B.i<6C.Z<7D.Z<8

11.若復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=|3+44，則z的虛部為()

55

A.5B.-C.一一D.-5

12.如圖，正四面體P—ABC的體積為V,底面積為S,。是高7W的中點(diǎn)，過(guò)。的平面a與棱24、PB、PC分

別交于。、E、F,設(shè)三棱錐P-D歷的體積為％,截面三角形DEF的面積為So,則（）

A.V<8%,S<4S0B.V<8%,524so

C.V>8^,S<4S0D.V28%,S>4S0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.已知雙曲線￡/=13〉0）的一條漸近線為y=2x,則焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為.

14.在矩形ABC。中，BC=4,〃為的中點(diǎn)，將A的〃和分別沿AM，DM翻折，使點(diǎn)3與C重合

于點(diǎn)P.若NAPD=150°,則三棱錐〃-的外接球的表面積為.

15.五聲音階是中國(guó)古樂(lè)基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”.中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，如果

把這五個(gè)音階全用上，排成一個(gè)五個(gè)音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)，可排成種不

同的音序.

16.已知（x+1）”的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，貝!]"=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17.（12分）已知數(shù)列｛4｝滿足：xn+l=xn-6,neN*,且對(duì)任意的〃eN*都有<當(dāng)匚，

（I）證明：對(duì)任意〃eN*,都有—3VxI而；

"2

（II）證明：對(duì)任意〃eN*,都有氏+1+2|22%+2|；

（III）證明：西=-2.

18.（12分）如圖，在四棱錐尸—A5CD中，平面ABC。，AD1AB,AB//CD,AB=AD=AP=-CD=2,

2

E為PC的中點(diǎn).

p

（1）求證：Ml平面PC。；

（2）求二面角A—M—C的余弦值.

19.（12分）在直角坐標(biāo)系x0y中，/是過(guò)定點(diǎn)P（4,2）且傾斜角為戊的直線；在極坐標(biāo)系（以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，

以x軸非負(fù)半軸為極軸，取相同單位長(zhǎng)度）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=4cos"

（1）寫出直線/的參數(shù)方程，并將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線C與直線/相交于不同的兩點(diǎn)M、N,求忸河|+|尸N］的取值范圍.

2

20.（12分）在AABC中，內(nèi)角A，B,。所對(duì)的邊分別是b,bsinA=3csinBa=3,cosB.

93

（I）求1的值;

TT

（II）求cos（2B—上）的值.

6

%=2cosafx=x

21.（12分）在直角坐標(biāo)系九0y中，曲線。的參數(shù)方程為彳（。為參數(shù)，將曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換c

y=sma［乂=2y

后得到曲線在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為夕cos6+夕sin9-5=0.

（1）說(shuō)明曲線G是哪一種曲線，并將曲線G的方程化為極坐標(biāo)方程；

TT

（2）已知點(diǎn)M是曲線G上的任意一點(diǎn)，又直線/上有兩點(diǎn)E和尸，且I跖1=5,又點(diǎn)E的極角為,，點(diǎn)尸的極角

為銳角.求：

①點(diǎn)尸的極角；

②AEMF面積的取值范圍.

22.（10分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S"，滿足。需=2S“+〃+4,?2-1,%，的，恰為等比

數(shù)列也｝的前3項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列《的前〃項(xiàng)和為J；;若對(duì)均滿足（＞一一，求整數(shù)機(jī)的最大值;

J2020

（3）是否存在數(shù)列｛g｝滿足等式X（q—1）%+1=22-〃-2成立，若存在，求出數(shù)列化,｝的通項(xiàng)公式；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及幾何意義即可求解.

【詳解】

zz（2+z）-l+2z12.

解?z=--=--------=----=--1-1,

腕2-z（2-z）（2+z）555'

則復(fù)數(shù)z=」一M是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：|b

2-iI55j

位于第二象限.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，求直線y=依-1關(guān)于直線y=-1的對(duì)稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨

界點(diǎn)，進(jìn)一步確定上的取值范圍即可

【詳解】

可求得直線y=依T關(guān)于直線y=-l的對(duì)稱直線為y=s-l（加=-4），

當(dāng)尤>0時(shí)，/(x)=xlnx-2x,/'(%)=ln.x-l,當(dāng)x=e時(shí)，/'(x)=0,則當(dāng)xe(0,e)時(shí)，/'(x)<0,/(%)

單減，當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，/'(x)>0,單增；

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=x2+|x,/'(%)=2x+|,當(dāng)％=-j/'(x)=0,當(dāng)x<—(時(shí)，/(x)單減，當(dāng)-(<x<0時(shí),

/()單增;

根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：

31

當(dāng)丁=如一1與y（%）=x2+-x（x<o）相切時(shí)，得△=（）,解得力=—5；

y=x]nx-2x

當(dāng)y=如一1與/(x)=xlnx_2x(x>0)相切時(shí)，滿足,丁=如一1

m=Inx-1

解得x=l,祖=-!,結(jié)合圖像可知me,1,-J即公卜,一；）,左出,11

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題

3、B

【解析】

由于4,以到直線尤+百y+〃5+1）=0的距離和等于4,紇中點(diǎn)到此直線距離的二倍，所以只需求4,紇中點(diǎn)到此

直線距離的最大值即可。再得到4,紇中點(diǎn)的軌跡是圓，再通過(guò)此圓的圓心到直線距離，半徑和4,紇中點(diǎn)到此直線

距離的最大值的關(guān)系可以求出乙。再通過(guò)裂項(xiàng)的方法求人的前〃項(xiàng)和，即可通過(guò)不等式來(lái)求解加的取值范圍.

【詳解】

22

由OV。叫=一4~，得“?”?3/4。用=—、，，/40紇=120.設(shè)線段4￡,的中點(diǎn)。"，則|OG|=；，

2

在圓V+＞2=?上，4紇到直線龍++n(n+l)=O的距離之和等于點(diǎn)Cn到該直線的距離的兩倍，點(diǎn)C”到直

2

線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓好+y2=。的圓心(0,0)到直線無(wú)+Gy+〃(“+l)=O

-4

1_,1_111

2

ann+2n2\n〃+2

11

2n+\

:.m>—.

4

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積，點(diǎn)到直線的距離，數(shù)列求和等知識(shí)，是一道不錯(cuò)的綜合題.

4、A

【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)幕運(yùn)算，可得/'+/(〃)=/(〃2)；利用定義可證明函數(shù)/(%)的單調(diào)

性，由賦值法即可求得函數(shù)/(%)在［1,16］上的最大值.

【詳解】

fn

函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?0,+8),且26).2()=44

則，(小

任取石?0,轉(zhuǎn))，且玉＜多，貝!|°＜上＜1,

X2

c、

故/工＜0,

/、

令旭=石，則/土+/(x)=/(%1),

n=x2,2

c、

即“再)一/(%)=/—＜0，

7

故函數(shù)/(尤)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故/("/(16)，

令機(jī)=16,71=4,

故〃4)+/(4)=〃16)=4,

故函數(shù)/(九)在［1,16］上的最大值為4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)塞的運(yùn)算及化簡(jiǎn)，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.

5、B

【解析】

用空間四邊形對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)公理2對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)空間角的定義對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)空間直線位置關(guān)系對(duì)

④進(jìn)行判斷.

【詳解】

①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯(cuò)誤.

②中，由公理2知道，過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故②正確.

③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么

這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故③錯(cuò)誤.

④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯(cuò)誤.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本小題考查空間點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理，定理及其推論的理解和認(rèn)識(shí)；考查空間想象能力，推理論證能

力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.

6、C

【解析】

根據(jù)對(duì)稱性即可求出答案.

【詳解】

解：■:點(diǎn)(5,f(5))與點(diǎn)(-1,/(-1))滿足(5-1)+2=2,

故它們關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，所以/(5)+/(-D=2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.

7、D

【解析】

在AABZ)中，由正弦定理得sinB=典；進(jìn)而得cosNADC=cos[四+§]=^,在AAZJC中，由余弦定理可得

10UJ5

AC.

【詳解】

ADBD廠.L

在A/函中，由正弦定理得擊萬(wàn)=.n，得sinB=Y更，又BD>AD,所以3為銳角，所以cos5=±49,

sm71010

cosZADC=cosf—+81=,

UJ5

在AADC中，由余弦定理可得AC?=AD2+OC2—2A。.。。?osNAOC=4，

AC=2.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

8、A

【解析】

求出集合3,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

【詳解】

VA={%|x>-11,B|-2<%<0),

/.A5={%|x>-21.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

由復(fù)數(shù)模的定義可得：|Z|=V7+1=2,求解關(guān)于實(shí)數(shù)。的方程可得：a=上也.

本題選擇D選項(xiàng).

10、B

【解析】

根據(jù)程序框圖，逐步執(zhí)行，直到S的值為63,結(jié)束循環(huán)，即可得出判斷條件.

【詳解】

執(zhí)行框圖如下：

初始值：S=0,z=l,

第一步：S=0+l=l,z=l+l=2,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；

第二步：S=1+2=3,i=2+l=3,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；

第三步：S=3+4=7,，=3+1=4,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；

第四步：5=7+8=15,，=4+1=5,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；

第五步：S=15+16=31,，=5+1=6,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán);

第六步：S=31+32=63,7=6+1=7,此時(shí)要輸出，結(jié)束循環(huán)；

故，判斷條件為”6.

故選B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查完善程序框圖，只需逐步執(zhí)行框圖，結(jié)合輸出結(jié)果，即可確定判斷條件，屬于常考題型.

11,C

【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【詳解】

由（1+0z=|3+4/|=732+42=5?

得-5_5（l-z）_55

得5不-而而丁丁子

??.z的虛部為-

2

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

設(shè)A5=2,取所與重合時(shí)的情況，計(jì)算出S。以及％的值，利用排除法可得出正確選項(xiàng).

【詳解】

如圖所示，利用排除法，取砂與重合時(shí)的情況.

不妨設(shè)AB=2,延長(zhǎng)MO到N,使得PN//AM.

PD1

PO=OH,:.PN=MH,AH=2MH,AM=3MH=3PN,則一=—,

AD3

由余弦定理得+2ADcos生=2?+[3)-2x2x-x-=—,

3。224

DM=y]BD2-BM2=-,S=-x2x-=-,

2°n222

又S=1x2?=百，二='=26〉1,

、

當(dāng)平面。瓦7/平面ABC時(shí)，S=4S0,:.S<4S0,排除BD選項(xiàng)；

LI、rPD11..8VJ)

因?yàn)?=—V,此時(shí)，=2>1,

AD304V

當(dāng)平面。瓦7/平面ABC時(shí)，8%=V,.?.8%2V,排除C選項(xiàng).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、排除法，考查了空間想象能力、

推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2.

【解析】

由雙曲線d-1=1（6〉0）的一條漸近線為y=2x,解得求出雙曲線的右焦點(diǎn)（c,0）,利用點(diǎn)到直線的距離公式

求解即可.

【詳解】

雙曲線X1*=l（b>0）的一條漸近線為y=2x

解得：b—2c=Vl+22=y[5

二雙曲線的右焦點(diǎn)為（J?,0）

7J5

，焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為：方與==2

本題正確結(jié)果：2

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線和的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，涉及到點(diǎn)到直線距離公式的考查，屬于基礎(chǔ)題.

14、68乃.

【解析】

計(jì)算△4DP外接圓的半徑廣，并假設(shè)外接球的半徑為R,可得球心在過(guò)外接圓圓心且垂直圓面的垂線上，然后根據(jù)

【詳解】

由題意可知，MP±PA,MPLPD,PDoPA^P,

所以可得？ML面PAD,

設(shè)AADP外接圓的半徑為r,

設(shè)三棱錐M-外接球的半徑R,

因?yàn)橥饨忧虻那蛐臑檫^(guò)底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點(diǎn),

則在？=（￡吧）+r2=1+16=17,

所以外接球的表面積為S=4;次^68萬(wàn).

故答案為：68%.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐的外接球的應(yīng)用，屬于中檔題.

15、1

【解析】

按照“角''的位置分類，分“角”在兩端，在中間，以及在第二個(gè)或第四個(gè)位置上，即可求出.

【詳解】

①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側(cè)，此時(shí)有2x3x&x&=24種；

②若“角”在中間，則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)；

③若“角”在第二個(gè)或第四個(gè)位置上，則有2MM=8種；

綜上，共有24+8=32種.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用排列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，涉及分步計(jì)數(shù)乘法原理和分類計(jì)數(shù)加法原理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生分類討論

思想的應(yīng)用和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、10

【解析】

根據(jù)（x+1）”的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，得到C：=d，再利用組合數(shù)公式求解.

【詳解】

因?yàn)椋╔+1）”的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，

所以c；=d，

即4!（A一4）!6!（A一6）!，

所以—4）（〃—5）=6x5,

即z?_9〃—10=0，

解得〃=10.

故答案為：10

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】

分析：（1）用反證法證明，注意應(yīng)用題中所給的條件，有效利用，再者就是注意應(yīng)用反證法證題的步驟;

⑵將式子進(jìn)行相應(yīng)的代換，結(jié)合不等式的性質(zhì)證得結(jié)果；

（3）結(jié)合題中的條件，應(yīng)用反證法求得結(jié)果.

詳解：證明：（I）證明：采用反證法，若不成立，則

2

若毛<-3，則X?+1=X?-6>3，與任意的〃eN*都有七<空匚矛盾；

若玉〉-駕匚,則有則

與任意的〃eN*都有七<彗匚矛盾;

故對(duì)任意〃eN*,都有—3<%〈匕區(qū)成立;

(II)由x,+i=%2一6得X,+I+2=X『—6+2=(X?+2).(X?-2),

則上+1+2|=氏+2Hx2|,由(I)知x“<?！瘄%?-2|>2,

即對(duì)任意〃eN*,都有|七+1+2|?2,“+2|；.

(皿)由(II)得：氏+i+2|?2瓦+2|222氏_1+2|"-22"|七+2],

由(I)知，—3<x,<—1,.-.|x?+1+2|<l,

???21%+2區(qū)1,即歸+2|《,

若王?！?,則|石+2]>0,取〃2log2；-7+1時(shí)，有卜+2]>;一與卜+2區(qū)行■矛盾.

I九]十乙1//

則X]=-2.得證.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)命題的證明問(wèn)題，在證題的過(guò)程中，注意對(duì)題中的條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意對(duì)式子的等價(jià)變形,

以及證題的思路，要掌握證明問(wèn)題的方法，尤其是反證法的證題思路以及證明步驟.

18、(1)見(jiàn)解析；(2)-史

3

【解析】

⑴取PD的中點(diǎn)產(chǎn)，連接AF,EF，根據(jù)中位線的方法證明四邊形ABEF是平行四邊形.再證明”PD與CD，

從而證明”_L平面PCD,從而得到跖1平面PC。即可.

(2)以AD,AB,AP所在的直線為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再求得平面CPB的法向量與平面APB的法向量進(jìn)而

求得二面角A-PB-C的余弦值即可.

【詳解】

(1)證明：如圖，取的中點(diǎn)廠,連接

又E為PC的中點(diǎn)，則所是PCD的中位線.所以跖//CD且跖=：C￡>.

又AB//CD且AB=gCD,所以EE//AB且石戶=A3.所以四邊形池跖是平行四邊形.

所以BE/MF.因?yàn)锳Z)=AP,歹為PD的中點(diǎn)，所以AF，PD.

因?yàn)锳￡>，AB,AB//C￡>,所以小>，CD.因?yàn)镻A，平面ABC。,所以，CD.

又A。cQ4=A,所以CD，平面R4D.所以C￡>J_A".

又PDcCD=D,所以AF_L平面PCD又5E/MF,所以班1平面PCD

(2)易知A。,A5,AP兩兩互相垂直，所以分別以AD,AB,AP所在的直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系：

因?yàn)锳B=A。=AP=工CD=2,所以點(diǎn)4(0,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),C(2,4,0).

2

則PB=(0,2,-2),AP=(0,0,2),BC=(2,2,0).設(shè)平面CPB的法向量為n=(x,y,z),

,\n-PB=(x,y,z)-(0,2,-2)=2y-2z=0[z=y,

[n-BC-(x,y,z).(2,2,。)=2x+2y=0'[x=-y'

令y=l,得平面CPB的一個(gè)法向量為冏=(-1,1,1)；顯然平面APB的一個(gè)法向量為根=(1,0,0)；

、九一i,,,rALz.HI八m'n(L。,0)，(-1,1,1)^3

設(shè)二面角A—PB—C的大小為。，貝!)cos。=------=---------尸----=------

|m||n|1x^/33

故二面角A-PB-C的余弦值是一心.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面垂直的證明以及建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角的問(wèn)題，需要用到線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)換以

及法向量的求法等.屬于中檔題.

x=4+/cos。//--i

19、(1)\,a為參數(shù))，z(%-2)+y=4；(2)4,4V2

y=2+，sin。'J'」

【解析】

■X=4+/COSOL

分析：⑴直線/的參數(shù)方程為｛_2+fsinaa為參數(shù))'其中M表示。(蒼力。(2,4)之間的距離，而極坐標(biāo)方

、ysina

程。=4cos，可化為p2=40cosO,從而C的直角方程為(x—2丫+9=4.

(2)-SM(4+?1cos?,2+?1sina),A^(4+r2cos￡Z,2+Z2sincr),l!!!)|PA/|+|7W|=|^+?2|,利用Af,N在圓上得到

九滿足的方程，最后利用韋達(dá)定理就可求出兩條線段的和.

x=4+/cosa

詳解：(i)直線/的參數(shù)方程為〈c.a為參數(shù)).

y=2+Zsin?

曲線C的極坐標(biāo)方程。=4cos，可化為"=4。cosQ.

把x=〃cose,y=〃sin。代入曲線C的極坐標(biāo)方程可得

%2+y2=4x,即(x-2)2+V=4.

x=4+%cos。

(2)把直線/的參數(shù)方程為(f為參數(shù))代入圓的方程可得：r+4(sina+cosa)r+4=0.

y=2+/sin。

???曲線。與直線相交于不同的兩點(diǎn)〃、N,

:.△=16(sina+cosa)——16>0,

Jsinacoso>0,又。武。,萬(wàn)),

哈.

又：+t2=-4(sina+cosa),t1t2=4.

二=間+⑷=14+4=4|sina+cosa|=4V2sin^?+^,

.?.忸〃|+|取|的取值范圍是(4,40].

x=x+tcosa

點(diǎn)睛：(1)直線的參數(shù)方程有多種形式，其中一種為n.(戊為直線的傾斜角，f是參數(shù))，這樣的參數(shù)

J=%+，sin。

方程中的參數(shù)?有明確的幾何意義，它表示。(尤,丁),。(/，為)之間的距離.

X=pcosd

(2)直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式1,八，而極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用

y二夕sm”

22=J+,2

公式,后者也可以把極坐標(biāo)方程變形盡量產(chǎn)生p\pcos9,psin6以便轉(zhuǎn)化.

tan6^=—y

、x

20、(I)b=&(II)4-

18

【解析】

(I)根據(jù)正弦定理先求得邊c,然后由余弦定理可求得邊勿

(II)結(jié)合二倍角公式及和差公式，即可求得本題答案.

【詳解】

(I)因?yàn)閆?sinA=3csin5,

由正弦定理可得，ab-3bc9

又Q=3,所以C=1,

99+1_A2

所以根據(jù)余弦定理得，~=，

36

解得，b=^6;

(II)因?yàn)镃OS3=2,所以sinB=好，

33

cos2B=2cos2B-l=--,sin2B=2sinBcosB=,

99

則cos(2Bcos2B+-sin2B-—x(--)lx迪=班一：.

62229+2918

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，屬基礎(chǔ)題.

21、(1)曲線G為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.G的極坐標(biāo)方程為P=2(2)①(②]―^——5,—^—+5

【解析】

(1)求得曲線。伸縮變換后所得G的參數(shù)方程，消參后求得G的普通方程，判斷出G對(duì)應(yīng)的曲線，并將G的普通

方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.

(2)

①將E的極角代入直線/的極坐標(biāo)方程，由此求得點(diǎn)E的極徑，判斷出AEO歹為等腰三角形，求得直線/的普通方程,

由此求得NEEO=—,進(jìn)而求得NR9E=—,從而求得點(diǎn)尸的極角.

48

②解法一：利用曲線G的參數(shù)方程，求得曲線G上的點(diǎn)"到直線/的距離d的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得d的

最小值和最大值，由此求得AEMF面積的取值范圍.

解法二：根據(jù)曲線G表示的曲線，利用圓的幾何性質(zhì)求得圓q上的點(diǎn)到直線/的距離的最大值和最小值，進(jìn)而求得

AEMF面積的取值范圍.

【詳解】

X=2COS6Z,

(1)因?yàn)榍€。的參數(shù)方程為〈.(a為參數(shù))，

y=sina

x,=x,[x.=2cosa,

因?yàn)閏則曲線G的參數(shù)方程c.

y=2y，i=2sma

所以G的普通方程為％；+y；=4.所以曲線G為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.

所以G的極坐標(biāo)方程為22=4,即夕=2.

(2)①點(diǎn)E的極角為不，代入直線/的極坐標(biāo)方程夕COS0+夕sin?！?=0得點(diǎn)E

極徑為夕=5,且|取|=5,所以AEO產(chǎn)為等腰三角形，

又直線/的普通方程為x+y—5=0,

TT37r

又點(diǎn)尸的極角為銳角，所以NEEO=—,所以NFOE=—,

48

”2「..1、、73乃71

所以點(diǎn)尸的極角為-------=—.

288

②解法1：直線/的普通方程為x+y-5=0.

曲線G上的點(diǎn)M到直線I的距離

242sin[a+-5

.12coso+2sino—51

一a

當(dāng)sin[c+?]=l,即&=77

2k兀H—(kEZ)時(shí)，

4

d取到最小值為?251572.

注=--------2.

V22

3萬(wàn)

當(dāng)sin,即a=2kji----(左￡Z)時(shí),

4

d取到最大值為12.-51=述+2.

V22

所以AEWF面積的最大值為2X5義[2+2]=苧+5；

1(5-J1)2500

所以AEMF面積的最小值為c*5x2=

212J丁一5;

os6/Q

故AEMF面積的取值范圍,5,+5

44

解法2：直線/的普通方程為x+y-5=0.

|0+0-5|572

因?yàn)閳AG的半徑為2,且圓心到直線/的距離1=

一a一2

所以圓G上的點(diǎn)”到直線/的距離最大值為d+r=*+2,

2

最小值為d-r=----2.

2

箏+5

所以AEMF面積的最大值為,x5x

25后＜

所以AEMF面積的最小值為-x5x------3

4

250「250

故AEMF面積的取值范圍———5,——+5.

44

【點(diǎn)睛】

本小題考查坐標(biāo)變換，極徑與極角；直線，圓的極坐標(biāo)方程，圓的參數(shù)方程，直線的極坐標(biāo)方程與普通方程，點(diǎn)到直

線的距離等.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，包括運(yùn)算原理的理解與應(yīng)用、運(yùn)算方法的選擇與優(yōu)化、運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn)與改進(jìn)等.也兼

考了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).

QW+1

22、(2)%