山東省菏澤、單縣2024屆高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

山東省荷澤一中、單縣一中2024屆高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

—%3+%2,X<1

1.已知函數(shù)/(x)=〈，若曲線y=/(x)上始終存在兩點(diǎn)A,B,使得。4,05,且A5的中點(diǎn)在y

-----------,x>l

x(x+l)

軸上，則正實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

I

A.(0,+co)B.C.-,+ooD.[e,+co)

e

2.已知拋物線C:/=4x和點(diǎn)。(2,0),直線尤=9-2與拋物線。交于不同兩點(diǎn)A,B,直線與拋物線。交于

另一點(diǎn)E.給出以下判斷：

①以助為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離；

②直線OB與直線OE的斜率乘積為-2；

③設(shè)過點(diǎn)A,B,E的圓的圓心坐標(biāo)為S,切，半徑為廠，則Y—r=4.

其中，所有正確判斷的序號是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

3.設(shè)機(jī)，〃均為非零的平面向量，貝！1“存在負(fù)數(shù)2,使得加=力?”是“相?〃<()”的

A.充要條件B,充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

2

4.在AABC中，C=30°,cosA=--,=—2,則AC邊上的高為()

正D.叵

A.B.2C.75

22

x+y<2

5.若變量滿足，2x-3y<9,則f+y2的最大值為()

x>Q

81

A.3D?乙L?un.1Un

13

6.點(diǎn)。為棱長是2的正方體ABC。-ABIG，的內(nèi)切球。球面上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為四G的中點(diǎn)，若滿足

則動點(diǎn)P的軌跡的長度為()

2亞兀4后8號

A.

~5~555

22

7.橢圓事+'=1的焦點(diǎn)為耳,鳥，點(diǎn)P在橢圓上，若IP耳|=2,則/耳「耳的大小為()

A.150°B.135°C.120°D.90°

22

8.已知橢圓「:=+與=1(°>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，上頂點(diǎn)為點(diǎn)A，延長AG交橢圓廣于點(diǎn)3,若ABF1

ab

為等腰三角形，則橢圓廠的離心率e=

1R百

A.-B.------

33

C.

22

9.中國古典樂器一般按“八音”分類.這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進(jìn)行分類的方法，最先見于《周禮?春

官?大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏(pao),竹”八音,其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”

為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂器的概率為()

31112

A.—B.—C.—D.一

1414147

10.下列命題為真命題的個數(shù)是()(其中萬，e為無理數(shù))

?Ve>—；?Inyr<—；(3)In3<-.

23e

A.0B.1C.2D.3

11.設(shè)遞增的等比數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為s“，已知04=三，3?4-10?3+3a2=0,則%=()

Q

A.9B.27C.81D.-

3

12.已知函數(shù)"x)=2sin3x+0)—1(啰>0,。<。<不)的一個零點(diǎn)是函數(shù)y=/(X)圖象的一條對稱軸是

直線x=-g,則當(dāng)。取得最小值時，函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

女》號,3小；

A.3k?！?3k?！?左wZ)B.(ZreZ)

_36」

…2〃八,71

C.2k兀------,2k?！?ZreZ)D.2k7l--,2k7l--(左eZ)

3636

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/（%）=（"一口乂靖—111%）,若在定義域內(nèi)恒有，（乃＜0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

\nx-ax

14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知工匚），二；J.,|，若圓」-上有且僅有四個不同的點(diǎn)C,使得△ABC

的面積為5,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是—.

15.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=4-2i,其中i是虛數(shù)單位，若三是z的共軌復(fù)數(shù)，則三=.

16.已知數(shù)列｛4｝滿足％=L對任意心2,〃eN*,--一——=2n-\則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式a〃=.

anan-\

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在世界讀書日期間，某地區(qū)調(diào)查組對居民閱讀情況進(jìn)行了調(diào)查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城

鎮(zhèn)居民140人，農(nóng)村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農(nóng)村居民有30人.

（1）填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)？

城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)

經(jīng)常閱讀10030

不經(jīng)常閱讀

合計(jì)200

（2）從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中，隨機(jī)抽取5位居民參加一次閱讀交流活動，記這5位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為X,若用

樣本的頻率作為概率，求履機(jī)變量X的期望.

??叱2n(ad-bc)~“一,,

附：K=----------------------------------，其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

設(shè)淮）0.100.050.0250.0100.0050.001

k02.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.（12分）已知拋物線G：y2^2px（。＞0）上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4.

(1)求P的值；

(2)設(shè)(0</<2)為拋物線G上的動點(diǎn)，過尸作圓(龍+1)2+/=1的兩條切線分別與y軸交于A、B

兩點(diǎn).求IA卻的取值范圍.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx—以+g(a,beR),且對任意x>0,都有/(x)+/[j=O.

(I)用含。的表達(dá)式表示b；

,2、

(II)若/(九)存在兩個極值點(diǎn)x2,且不<々，求出。的取值范圍，并證明了.>0；

I27

cm)在(II)的條件下，判斷y=/(x)零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由.

20.(12分)已知函數(shù)/(%)="一(a+l)lnx-，+2(i￡R).

(1)討論函數(shù)/(九)單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=—2時，求證：f[x)<ex-2x--.

21.(12分)已知動圓。經(jīng)過定點(diǎn)尸(0,。)，且與定直線/：y=-。相切(其中a為常數(shù)，且。>0).記動圓圓心。的

軌跡為曲線C.

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線？

(2)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,-。)，過點(diǎn)尸作曲線C的切線，切點(diǎn)為A,若過點(diǎn)尸的直線機(jī)與曲線C交于M,N兩點(diǎn)，

則是否存在直線機(jī)，使得NA2%/=NA2W?若存在，求出直線機(jī)斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由.

22.(10分)已知變換T將平面上的點(diǎn)”,g],(0,1)分別變換為點(diǎn)R-2,U1,41設(shè)變換T對應(yīng)的矩陣為

(1)求矩陣M；

(2)求矩陣M的特征值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

根據(jù)A3中點(diǎn)在y軸上，設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)a>o).對f分成三類，利用

則04.03=0,列方程，化簡后求得。=/二，利用導(dǎo)數(shù)求得二的值域，由此求得。的取值范圍.

In?Int

【詳解】

根據(jù)條件可知A,3兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè)A(-t,t3+t2),即,/⑺)，C>0),若f<1,則/⑺=+/,

由。4,05,所以。4.03=0，即一/+,3+/)(—/3+/)=0,方程無解；若/=],顯然不滿足01_103；若/〉1,

則/?)=丁不，由03=0,即-+卜+/)丁==0,即。=「，因?yàn)椤?一,~",所以函數(shù)「

在(O,e)上遞減，在(e,上遞增，故在/=e處取得極小值也即是最小值自=6,所以函數(shù)y=.在(1+8)上的

值域?yàn)閇e,+8),故ae[e,+8).故選D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最

小值，考查分析與運(yùn)算能力，屬于較難的題目.

2、D

【解析】

對于①，利用拋物線的定義，利用4=叫住=型上」也>學(xué)=氏可判斷；

222

對于②，設(shè)直線。石的方程為工=陽+2,與拋物線聯(lián)立，用坐標(biāo)表示直線08與直線0E的斜率乘積，即可判斷；

對于③，將％=3-2代入拋物線。的方程可得，以為=8,從而，力=-%，利用韋達(dá)定理可得

|BE|2=16m4+48m2+32,再由「=|MN『+(與1),可用m表示嚴(yán)，線段助的中垂線與x軸的交點(diǎn)(即圓心

N)橫坐標(biāo)為2〃/+4,可得a,即可判斷.

【詳解】

如圖，設(shè)口為拋物線C的焦點(diǎn)，以線段破為直徑的圓為〃，則圓心〃為線段班的中點(diǎn).

設(shè)3,E到準(zhǔn)線的距離分別為4，d2,M的半徑為R,點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d,

顯然3,E,產(chǎn)三點(diǎn)不共線，

則4=或±口1=變1旦也＞型1=氏.所以①正確.

222

由題意可設(shè)直線DE的方程為x^my+2,

代入拋物線。的方程，有丁―4切-8=0.

設(shè)點(diǎn)3,E的坐標(biāo)分別為（王,%），（42，%），

則%+%=4根，乂%=-8.

所以王/=。孫+2）。佻+2）=療％為+2帆（％+%）+4=4.

則直線06與直線OE的斜率乘積為"=-2.所以②正確.

xxx2

將》=2代入拋物線c的方程可得，力為=8,從而，%=-%?根據(jù)拋物線的對稱性可知,

A，E兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，所以過點(diǎn)A,B,￡的圓的圓心N在x軸上.

由上，有%+%=4加,%+/=4〃/+4,

22

則|BE|=（%1+/）--4XJ%2+（必+y2y-4%%=+48m+32.

所以，線段BE的中垂線與％軸的交點(diǎn)（即圓心N）橫坐標(biāo)為2m2+4,所以a=2m2+4.

于是，/=1^2V|2=12m2+4—+4m4+12m2+8,

代入%+%2=4"廠+4,%+%=4根，得戶=4m4+167*2+12,

22222

所以a-r=(2m+4)—(4/+16/n+12)=4.

所以③正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.

3,B

【解析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)榧樱ň鶠榉橇愕钠矫嫦蛄?，存在?fù)數(shù)X,使得機(jī)=4〃，

所以向量機(jī)，〃共線且方向相反，

所以加?〃<(),即充分性成立；

反之，當(dāng)向量加，”的夾角為鈍角時，滿足〃2力<0,但此時冽，“不共線且反向，所以必要性不成立.

所以“存在負(fù)數(shù)2,使得機(jī)=X"”是“m-n<Q”的充分不必要條件.

故選B.

【點(diǎn)睛】

判斷P是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件P能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件P，定義法

是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確.

4、C

【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，求得邊長，由此求得AC邊上的高.

【詳解】

過3作5DLC4,交。1的延長線于。.由于cosA=—2,所以A為鈍角，且sinF=Jl—府4=好,所以

33

sinZCBA=sin(^-ZCBA)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=—x—=~-.在三角形

''32326

BC_^5-2

ABC中，由正弦定理得一二=^—,即石一莊-2,所以BC=26.在RfABCD中有

sinAsmB--------

36

BD=BCsinC=2#x；=下,即AC邊上的高為君.

故選:C

B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，屬于中檔題.

5、D

【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.

【詳解】

\+y<2

解：畫出滿足條件2x-3yW9的平面區(qū)域，如圖示：

x>Q

如圖點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0,-3）,B（3,-1）,C（O,2）,

目標(biāo)函數(shù)x2+y?的幾何意義為，可行域內(nèi)點(diǎn)（乂y）與坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）的距離的平方，由圖可知B（3,-l）到原點(diǎn)的距離

最大，故（上+力=32+（-1）2=10.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

6、C

【解析】

設(shè)片8的中點(diǎn)為〃，利用正方形和正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理可以證明出氏平面。這樣可以

確定動點(diǎn)P的軌跡，最后求出動點(diǎn)P的軌跡的長度.

【詳解】

設(shè)與6的中點(diǎn)為"，連接因此有而而DC,CHu平面CDH,DCCH=C,

因此有平面。CH,所以動點(diǎn)P的軌跡平面。CH與正方體AB。-A4G，的內(nèi)切球。的交線.正方體

ABCD-^B^D,的棱長為2,所以內(nèi)切球。的半徑為R=l,建立如下圖所示的以。為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系:

因此有0(1』」),C(0,2,0),H(2,2,1),設(shè)平面DCH的法向量為加=(x,y,z),所以有

m±DCm-DC=Q2y=0

/c八=加=(1,0,-2),因此。到平面OCH的距離為:

m1DHm-DH=Q2x+2y+z=0

\mOD\______o反A仁

d==所以截面圓的半徑為：r=痛彳=處，因此動點(diǎn)P的軌跡的長度為2萬廠=生

網(wǎng)555

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了立體幾何中軌跡問題，考查了球截面的性質(zhì)，考查了空間想象能力和

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

7、C

【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得忸司=4,閨=2近，再利用余弦定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意，寓匐=24,|尸司+|尸耳|=6,又歸閭=2,則歸耳|=4,

附「+怛月2—閨用216+4—281

由余弦定理可得cosN片「乙=

2|叫?明2x2x42

故/耳空=120°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】

設(shè)|%|=f,則|B4|=2a-f,\AB\=a+t,

因?yàn)閨明|=*所以若|44|=|8月|,則0=21,所以"乙

所以IMI+I即"=|AB|=2a,不符合題意，所以|5E|=|A3|,貝?。??！?。+/,

所以a=2f,所以|即"=|A3|=3r,|AF}\=2t,設(shè)貝！|e=sin。，

在A3片中，易得cos2d=；,所以1—2sin26=；,解得$也。=當(dāng)（負(fù)值舍去），

所以橢圓廠的離心率e=中.故選B.

3

9、B

【解析】

分別求得所有基本事件個數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】

從“八音”中任取不同的“兩音”共有或=28種取法；

“兩音”中含有打擊樂器的取法共有C；-C：=22種取法；

—2211

所求概率P=—=--

2814

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠利用組合的知識求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù).

10、C

【解析】

2

對于①中，根據(jù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可判定值正確的；對于②中，構(gòu)造新函數(shù)〃x)=lnx-§,x〉0,

利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而得到/(?)>/,),即可判定是錯誤的；對于③中，構(gòu)造新函數(shù)

f(x)=e\nx-x,x>0,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值為/(e)=0,進(jìn)而得到/(3)<0,即可判定是正確的.

【詳解】

由題意，對于①中，由(及了=6(當(dāng)=2=2.25,可得e>2.25,根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得G〉』成立，所以是正

242

確的；

21

對于②中，設(shè)函數(shù)/(%)=lnx—鼻/〉。，則/(%)=—>0,所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，

因?yàn)?〉e,則/■(句>/(e)

2?12

又由/(e)=lne—§=1—§=§>0,所以/(乃)>0,即山乃>§,所以②不正確；

對于③中，設(shè)函數(shù)/(x)=elnx—x,x>0,則/(力=工一1=,

X

當(dāng)xe(0,e)時，/'(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(e,+s)時，/(%)<0,函數(shù)/(九)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=e時，函數(shù)取得最大值，最大值為/(e)=elne-e=0,

3

所以/(3)=eln3—3<0,即eln3<3,即ln3<^,所以是正確的.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，合理構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求

得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

11,A

【解析】

根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項(xiàng)，即得知的值.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q.

由3%+3出=0，得3q2-10q+3=0,解得4=3或q=

因?yàn)橐?gt;0.且數(shù)列｛4｝遞增，所以q=3.

又業(yè)巧=竺，解得%=:，

41-333

1,

故"4=§義33=9.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

12、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)/（%）的一個零點(diǎn)是x=f,得出=再根據(jù)x=—￡是對稱軸，得出—fo—°=kez,

313J662

求出W的最小值與對應(yīng)的9,寫出/（龍）即可求出其單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】

\

717TC0￡

依題意得，f—|=2sin—^―+夕卜1=0,即sin—^-+

3372

左力/口7CCD77C7CCD57r.z、z-x

解得----(p=2k[7i—或-----(p=2k?7兀4-----(其中％1,&7￡Z).①

3636

.(7TCD

又SH1------+0±1,

I6

即—等+0=《%+1（其中左3CZ）.②

由①—②得曹=（2%一%3）萬一（或曹=（2左2+y?

2?2

即G=2（2左］—左3）—飛或@=2（2左2—左3）+3（其中左1，女2，左3WZ）,因此0的最小值為

E，.n3冗|jr71JT71

因?yàn)閟in-------F(p-sin---+(p=±1,所以——*(p=—*k兀(^eZ).

\69J9922

/

27171271

又Tf。C＜0〈%，所?以xt0=3冗+不冗,所以/(x)=2sin—x+—+—|-l=2cos—x+—|-1,

32939

27T57c7T

令2左萬一刀■〈一——<2k?i(A:GZ),則3左1------<x<3k/c-----(kEZ).

3936

54JI

因此，當(dāng)。取得最小值時，/（九）的單調(diào)遞增區(qū)間是3^--,3^--（丘Z）.

36

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點(diǎn)，在對稱軸處取得最值，對稱點(diǎn)處函數(shù)值為零，屬于較易題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=/與對數(shù)函數(shù)y=lnx圖象可將原題轉(zhuǎn)化為（/-ax）（lnx-以）＜0恒成立問題，湊而可知V=改

的圖象在過原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間；利用過一點(diǎn)的曲線切線的求法可求得兩切線斜率，結(jié)合分母不為零

的條件可最終確定。的取值范圍.

【詳解】

由指數(shù)函數(shù)y=爐與對數(shù)函數(shù)y=Inx圖象可知：/＞Inx，

.../（龍）＜0恒成立可轉(zhuǎn)化為，'一°”＜0恒成立,即ox）（lnx—。%）＜0恒成立，.?.ejQOlnx，即,=?是

Inx-ax

夾在函數(shù)丁=e*與y=lnx的圖象之間，

--y=ax的圖象在過原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.

設(shè)過原點(diǎn)且與y=Inx相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn)（m,In加），

[m=e

|Inm

則切線斜率尤=—=——,解得：1;

mmk[=一

、e

設(shè)過原點(diǎn)且與y二產(chǎn)相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn)（凡e〃）,

則切線斜率左=e〃=—,解得：＜7；

n[k2=e

當(dāng)〃二,時，In%—工；rVO,又Inx—依w0,.?.〃=,滿足題意；

eee

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【點(diǎn)睛】

本題考查恒成立問題的求解，重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過一點(diǎn)的曲線切線的求解方法；關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)

函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題；易錯點(diǎn)是忽略分母不為零的限制，忽略對于臨界值能否取得

的討論.

14、()

【解析】

求出45的長度，直線方程，結(jié)合△ABC的面積為5,轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：AB的斜率ks°/|ABJG-Q+U+D：

=—―="L

九41

______5,

==

設(shè)^ABC的高為h,

則,?,△AbC的面積為5,

：.S\AB\hh=5,

=L=￡x5

即h=2,

直線AB的方程為y-ax9即4x-3y+3o=0

若圓X2+J2=9上有且僅有四個不同的點(diǎn)C,

則圓心。到直線4x-3y+3a=0的距離d一一，

則應(yīng)該滿足d<R-ft=3-2=1,

得|30V5

得a,

一：vB

故答案為：（

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，求出直線方程和A3的長度，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵.

15、l+3i

【解析】

口十4-2i(4-2i)(l-i),,

由于z==F=-2—=1-31,則z=l+3i.

【解析】

利用累加法求得數(shù)列—的通項(xiàng)公式，由此求得｛4｝的通項(xiàng)公式.

【詳解】

1f11)(11)(11)1

由題，——=---------+-------------H------------1---------------H----------

an\冊an-l7\an-\27I“2%J%

=1+2+2?+…+2"T=2"-1

所以q=不二

Z—1

1

故答案為:

2,!-1

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析，有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).(2)E(X)=—

【解析】

(1)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，利用公式求出長2,比較K?與6635的大小得結(jié)論;

(2)由樣本數(shù)據(jù)可得經(jīng)常閱讀的人的概率是g,則乂~66]]根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得;

【詳解】

解：(1)由題意可得:

城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)

經(jīng)常閱讀10030130

不經(jīng)常閱讀403070

合計(jì)14060200

則k2_200x(100x30-40x30)2

'-140x60x130x70?8.477>6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).

(2)根據(jù)樣本估計(jì)，從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中隨機(jī)抽取1人，抽到經(jīng)常閱讀的人的概率是：，且所以隨

525

機(jī)變量X的期望為E(X)=5x-=—.

77

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18、(1)°=2；⑵0<|AB|<2

【解析】

(1)根據(jù)橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4,由拋物線的定義得到3+2=4求解.

2

|y0-^(x0+l)|

(2)設(shè)過點(diǎn)P(%,%)的直線方程為y-%=左(X-%),根據(jù)直線與圓(x+l)2+y2=1相切，則有=1,

jE+1

整理得：(/2+2x°)左2_2%(%+1)左+(%2_1)=0,根據(jù)題意A(0,為_//)，5(0,%_&%)，建立

|A.=%-&|%=/J(占+&1一4左的，將韋達(dá)定理代入求解.

【詳解】

(1)因?yàn)闄M坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4,

由拋物線的定義得：3+"=4,

2

解得:P=2.

(2)設(shè)過點(diǎn)%)的直線方程為y-%=以X—X。),

因?yàn)橹本€與圓(*+1)2+丁=1相切，

所以跖4%,

整理得：(玉2+2%)42—2%(%+1)左+(為2T)=0，

匕+&=23(：；+晨為=4^-，

%0+2%0%+2%0

由題意得：A(0,y0-Zqx0),B(0,y0-^2x0)

所以|A可二|左i一4/=/4柩2，=2『。(xW=(二a)?+(%+2)+1，

因?yàn)?<毛W2,

111

所以-------<—

x0+22

所以0<|AB|W2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的定義及點(diǎn)與拋物線，直線與圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

19、(1)b=a(2)見解析(3)見解析

【解析】

試題分析：利用賦值法求出。力關(guān)系，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，要求函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，只需/(%)=。在(0,+s)內(nèi)

有兩個實(shí)根，利用一元二次方程的根的分布求出。的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個數(shù).

試題解析：(I)根據(jù)題意：令％=1,可得/(1)+/0,

所以/(1)=—a+b=O,

經(jīng)驗(yàn)證，可得當(dāng)a=b時，對任意x>0,都有"x)+/[[=0,

所以/?=〃.

(II)由(I)可知/(x)=hu—ta+W,且x>0,

JC

2

—QX+%—a

所以''(九)----a---2

2

XXX

^g(x)=-cuc+x-a,要使/(力存在兩個極值點(diǎn)花,%，則須有y=g(x)有兩個不相等的正數(shù)根，所以

a>0,a<0,

—>0,—>0,

{2a或{2〃

人=1—4/>0,4,=1—4/>0,

g(0)=-a<0g(0)=-a>Q

解得0<a<工或無解，所以。的取值范圍0<。<,，可得0<土<!，

2228

，2、22G2

由題意知f=In—-----H—=21n(2+————ln2,

[2)22aa2

令3日…1（2則%

而當(dāng)時，-3X4+4X-4=-3X4-4(1-X)<0,即〃(X)<0,

所以力⑺在卜，上單調(diào)遞減，

所以

A(x)>/?-U-21n2+4---ln2>--31ne>0

。1615

即0<a<—時，f—>0.

2I2J

2

—CIX~\rX—Cl

(in)因?yàn)?g(x)=-ar2+x-a.

XX

令……乜4

由（II）知0<a<g時，丁=8（%）的對稱軸工=：6。,+00）,A=1-4?2>0?g（。）=一。<0,所以%>1.

又再泡=1，可得芭<1，此時，/（%）在（°，石）上單調(diào)遞減，（石,々）上單調(diào)遞增，（乙，”）上單調(diào)遞減，所以V=/（x）

最多只有三個不同的零點(diǎn).

又因?yàn)椤?)=0,所以(％,1)在“X)上遞增,即行［知1)時,“同<0恒成立.

根據(jù)⑵可知，餐〉0且0<￡<L所以三武和1),即三?0,石)，所以現(xiàn)e+，再，使得/(%)=0.

I272822I2

1(1A、

由得一〉1,又/—=-/(%0)=0,/(1)=0,

X。

/、1

所以/(%)恰有三個不同的零點(diǎn)：/，1,—,

工0

綜上所述，y=/(x)恰有三個不同的零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】利用賦值法求出關(guān)系，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，要求函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，只需/'("=0在

(0,轉(zhuǎn))內(nèi)有兩個實(shí)根，利用一元二次方程的根的分布求出。的取值范圍，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,

再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個數(shù)是近年高考壓軸題的熱點(diǎn).

20、(1)見解析(2)見解析

【解析】

(1)根據(jù)/(九)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論/(x)單調(diào)性

(2)欲證/(x)</—2x—L只需證lnx+2<e',構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx—/+2,證明且⑺曄④，這時需研究

g(x)的單調(diào)性，求其最大值即可

【詳解】

解：(1)/(%)=以一(“+1)111兀一工+2的定義域?yàn)?0,+00),

2

XXXX

①當(dāng)々<0時，由廣(x)vo得X>1,由廣(x)>0,得xvl,

所以〃力在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減;

②當(dāng)0<〃<1時，由/(x)<0得1<%<L由r(x)>o,得xvl,或x>—,

所以“X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在［1,￡|單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

③當(dāng)a=1時，/，(％)=所以/(%)在(o,+“)上單調(diào)遞增；

X

④當(dāng)a>l時，由/'(x)<0,得:<x<l,由/''(x)>。，得x<:，或無>1，

所以/(%)在10,￡|上單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，在°,+8)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)a=—2時，欲證/(x)<e“—2x—工，只需證lnx+2</,

X

令g(x)=lnx—e*+2,XW(0,~H?),則g，(x)=L—e*,

因存在％e(0」)，使得工=/°成立，即有%=一111%，使得g'(%)=0成立.

當(dāng)X變化時，g'(x),g(x)的變化如下：

X