2021屆重慶市高三年級下冊3月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

2021屆重慶市高三下學期3月聯(lián)考數(shù)學試題

、單選題

1.A={X|1<X<7),B={X|X2-4J:-5<0},Ary^B

A.(5,7)B.(1,5)C.(-U)D.(-1,1)55,7)

【答案】A

【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合8,再利用集合的交補運算求解即可.

【詳解】因為3={x|-啜k5},

又4=卜|1<%<7},

所以Ac(9)={x|5<x<7}.

故選：A.

2.已知復數(shù)A0=4-%a力eR,貝！|。+8=()

i

A.2B.-2C.4D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算計算可得；

【詳解】解：因為￥^=4-此所以2+切=(4-助i,所以2+切=6+4，，所以］

所以a+b=6.

故選：D

3.B^|j2sin(^-cr)=3sin^^-+cir^,則sin?a—；sin2。-cos?a=()

5151

A.—B.--C.——D.—

13131313

【答案】B

【分析】運用誘導公式及齊次化即可或解.

、713

【詳解】由2sin(?-。)=3sin(—+戊)，得2sina=3cosa,所以tana=—,

22

“K.21.c2sin2cr-sincrcoscr-cos2atan2a-tana-11

/Anusma——sin2a-cosa=-----------------------------------=---------------------=------

2sina+cosatana+113

故選：B

4.函數(shù)〃x)=-的部分圖象大致是()

cosx-1

【答案】D

【分析】通過函數(shù)的定義域判斷選項C,通過函數(shù)的奇偶性判斷選項B,當時,

通過函數(shù)的正負判斷選項A,即可得出結果.

【詳解】因為COSX-IHO,

所以/(x)的定義域為{x|x/2版?，左eZ},

則xwO,故排除C；

而f(t)=—=——=_/(x),

cos(-x)-1cosx-1

所以/(X)為奇函數(shù)，

其圖象關于原點對稱，故排除B；

當時，cosx-l<0,/(x)=---------<0,所以排除A.

<2Jcosx-1

故選：D.

5.構建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國教育一直以來努力的方向.某中學積極

響應黨的號召，開展各項有益于德智體美勞全面發(fā)展的活動.如圖所示的是該校高三

(1)、(2)班兩個班級在某次活動中的德智體美勞的評價得分對照圖(得分越高，說明

該項教育越好).下列說法正確的是()

A.高三(2)班五項評價得分的極差為1.5

B.除體育外，高三（1）班的各項評價得分均高于高三（2）班對應的得分

C.高三（1）班五項評價得分的平均數(shù)比高三（2）班五項評價得分的平均數(shù)要高

D.各項評價得分中，這兩班的體育得分相差最大

【答案】C

【分析】利用極差的概念，平均數(shù)的概念以及根據(jù)統(tǒng)計圖表的相關知識判斷選項即可.

【詳解】對于A,高三⑵班德智體美勞各項得分依次為9.5,9,9.5,9,8.5,

所以極差為9.5-8.5=1,A錯誤；

對于B,兩班的德育分相等，B錯誤；

對于C,圖二（1）班的平均數(shù)為-------------------=9.35,

（2）班的平均數(shù)為";=9.1,故C正確；

對于D,兩班的體育分相差9.5-9=0.5,

而兩班的勞育得分相差9.25-8.5=0.75,D錯誤，

故選：C.

6.已知拋物線C:y2=8x的焦點為尸，尸為C在第一象限上一點，若歹尸的中點到y(tǒng)軸

的距離為3,則直線尸尸的斜率為（）

A.y/2B.2&C.2D.4

【答案】B

【分析】由所的中點到y(tǒng)軸的距離為3可求得乙=4,得出點尸坐標，即可求出斜率.

【詳解】PF的中點到y(tǒng)軸的距離為3,

,弋0司=3,即三―=3,解得/=4,

代入拋物線方程可得尸（4,46）,

因為尸點的坐標為（2,0）,所以直線尸尸的斜率為逑二2=

4-2

故選：B.

7.設不區(qū)是雙曲線c：二-X=l的兩個焦點，O為坐標原點，點尸在C的左支上，且

48

彳OF瑞.np^+與FP方OP=26r-，則△尸居區(qū)的面積為（）

A.8B.8A/3C.4D.4遭

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件可以求出|。耳=26，由雙曲線的忸用=48可得點尸在以耳工

為直徑的圓上，利用鳥時直角三角形，利用勾股定理以及雙曲線的定義即可求出

|^||PK|,再由三角形的面積公式即可求解.

【詳解】由生包+心”==上"=|。尸|=2技

\OP\\0P\\OP\\OP\11

不妨設月上2后,0）,瑪（2君,0）,

所以1?？?；山工所以點尸在以月耳為直徑的圓上，

即△尸片6是以尸為直角頂點的直角三角形，

故附『+忸研=由用1即附『+|尸囚'=48.

又附-附|=2。=4,

所以16=（|/￡|一|%|）2=|尸耳『+|尸閶2—2忸制時|=48—2忸劇時|,

解得:|「耳||段|=16,

所以5?。莞絴|尸周=8.

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是利用已知條件分析出△尸耳乃是直角三角形,

再利用勾股定理和雙曲線的定義求出「制尸閶的值.

8.中國古典樂器一般按“八音”分類，這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分

類的方法，最早見于《周禮?春官?大師》.八音分為“金、石、土、革、絲、木、鮑、竹”,

其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、鮑、竹”為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器.某同

學安排了包括“土、鮑、竹”在內的六種樂器的學習，每種樂器安排一節(jié)，連排六節(jié)，并

要求“土”與“鮑”相鄰排課，但均不與“竹”相鄰排課，且“絲”不能排在第一節(jié)，則不同的

排課方式的種數(shù)為（）

A.960B.1024C.1296D.2021

【答案】C

【分析】排課可分為以下兩大類：（1）“絲”被選中，（2）“絲”不被選中，結合分類計數(shù)

原理，即可求解.

【詳解】由題意，排課可分為以下兩大類：

（1）“絲”被選中,不同的方法總數(shù)為M=C：懸琢寸-Cj$魅4=720種;

(2)“絲”不被選中，不同的方法總數(shù)為M=C；尺*尺=576種.

故共有N=720+576=1296種.

故選：C

2

9.函數(shù)于(x)=2百sinxcosx-2sinx+1的圖象向右平移三個單位長度后得到函數(shù)

g(x)的圖象，對于函數(shù)g(x),下列說法不正確的是()

A.g(%)的最小正周期為〃B.g(x)的圖象關于直線1=三對稱

24

JTIT(137r、

c.g。)在區(qū)間上上單調遞增D.g。)的圖象關于點卜刀,。)對稱

【答案】C

【分析】將函數(shù)轉化為/(X)=2sin12x+f,再由平移變換得到g(x)=2sin(2x+^1),

然后逐項判斷.

【詳解】因為/(x)=2括sinxcosx-2sin2x+l=2sin[2x+?).其圖象向右平移盤個

單位長度后得到函數(shù)g(x)=2sin?=25由卜+曰的圖象.所以g(x)的

最小正周期為"，故A正確；

當x=?S%時，2尤+號TC=7Tg,所以g(x)的圖象關于直線》=需S冗對稱，故B正確；

1.4乙NT*

jrTTTTITC7LTC

當xe時，2x+-e,所以g(x)在間上不單調，故C錯誤;

■"i"X乙JL乙J,乙?a

當天=-等時，2x+?F,所以函數(shù)g(x)的圖象關于點、詈,o]對稱，故D正確.

故選：C

二、多選題

10.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結構形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有

圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑,

園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱

錐.已知此正四棱錐的側面與底面所成的銳二面角為。，這個角接近30。，若取6=30。，

側棱長為衣■米，則()

A.正四棱錐的底面邊長為6米B.正四棱錐的底面邊長為3米

C.正四棱錐的側面積為24g平方米D.正四棱錐的側面積為126平方米

【答案】AC

【分析】利用已知條件畫出圖像，設。為正方形ABCD的中心，”為A3的中點，設底

面邊長為2“，利用線面角的定義得出NSHO=30。，根據(jù)已知條件得到各邊的長，進而

求出正四棱錐的側面積即可.

如圖，在正四棱錐S-鉆CD中，

。為正方形ABCD的中心，以為A3的中點，

貝I]SH±AB,

設底面邊長為2a.

因為NSHO=30。，

所以OH=AH=a,OS=是a,SH=^~a.

33

<QY

在Rf中，a2+工2a=21,

I3J

所以a=3,底面邊長為6米，

S=!x6x2A4=246平方米.

2

故選：AC.

11.新學期到來，某大學開出了新課“烹飪選修課”，面向2020級本科生開放.該校學

生小華選完內容后，其他三位同學根據(jù)小華的興趣愛好對他選擇的內容進行猜測.甲說:

小華選的不是川菜干燒大蝦，選的是烹制中式面食.乙說：小華選的不是烹制中式面食,

選的是烹制西式點心.丙說：小華選的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆絲.已

知三人中有一個人說的全對，有一個人說的對了一半，剩下的一個人說的全不對，由此

推斷小華選擇的內容（）

A.可能是家常菜青椒土豆絲B.可能是川菜干燒大蝦

C.可能是烹制西式點心D.可能是烹制中式面食

【答案】BD

【分析】根據(jù)合情推理，分別假設小華選擇的烹飪選修課，判斷甲、乙、丙的說法即可

得出選項.

【詳解】若小華選擇的是家常菜青椒土豆絲，

則甲對一半，乙對一半，丙對一半，不滿足條件，排除；

若小華選擇的是川菜干燒大蝦，則甲全不對，乙對一半，丙全對，滿足條件；

若小華選擇的是烹制西式點心，則甲對一半，乙全對，丙全對，不滿足條件，排除；

若小華選擇的是烹制中式面食，則甲全對，乙全不對，丙對一半，滿足條件.

故小華選擇的可能是川菜干燒大蝦或者烹制中式面食，

所以選：BD.

12.已知函數(shù)〃X)=[『+2'：2<E,若關于x的方程/(力=相恰有兩個不同解

IInx—1,

xl,x2(xl<x2),則-石)/(%)的取值可能是()

A.-3B.-1C.0D.2

【答案】BC

【分析】利用函數(shù)的單調性以及已知條件得到不=干,超=6"用,m代入

(%-石)〃*2)，令g(x)=xe*"-；x2+x,xe(-l,0],求導，利用導函數(shù)的單調性分析原

函數(shù)的單調性，即可求出取值范圍.

【詳解】因為F(X)=機的兩根為%,%(%<%)，

所以爸=與2,無2=e"l根e(T,O],

從而(電一%)/(%)=-m22]加=me"*'-^-+m.

令g(無)=xex+l-^x2+x,xe(-1,0],

則g'(x)=(x+l)e*M-x+l,%e(-l,0].

因為xe(-l,0],

所以x+l>0,"+i>e°=l,r+l>0,

所以g'(x)>0在(-1,0]上恒成立,

從而g(x)在(-1,0]上單調遞增.

又g(0)=0,g(T)=-g，

所以g(x)e,|>°,

即(馬-王)"(々)的取值范圍是，

故選：BC.

【點睛】關鍵點睛：本題考查利用導數(shù)解決函數(shù)的范圍問題.構造函數(shù)

g(x)=xex+l-^x2+x,xe(-1,0],利用導數(shù)求取值范圍是解決本題的關鍵.

三、填空題

111

13.已知平面向量“=(3,4),非零向量8滿足則6=.(答案不唯一,

寫出滿足條件的一個向量坐標即可)

【答案】(4,-3)

【分析】設6=(x,y),根據(jù)代入公式，即可求得滿足題意的答案.

【詳解】設b=(x,y),因為,_1_］所以3x+4y=0,可取6=(4,-3).

故答案為：(4,-3)

—49

14.已知〃>0力>0,。+4/?=4,貝!|—F7的最小值為________.

ab

【答案】16

【分析】根據(jù)題意由3+3=：(。+46)[3+展開利用基本不等式可求解.

ab4\ab)

【詳解】因為3；=:(。+43「+；)=140+.+知

=16,

ab4b)4\ab)

當且僅當圖=孚，即。=1,6=1時等號成立，

ab4

所以？4+J9的最小值為16.

ab

故答案為：16.

15.已知函數(shù)/⑺=加+lnx滿足lim，⑴一個一2?)=2,則曲線y=〃尤)在點

處的切線斜率為

【答案】3

【分析】根據(jù)極限形式和求導公式得-⑴=2。+1=3,進而得“=1,計算-得解

川)-〃1-2Ax)可得lim“匕2')一川)

【詳解】由lim=2,=3.

3AxAxf0一A2x

因為/'(X)=2ox+—,所以/z(l)=2tz+l=3,BP(2=1,則f(x)=x2+\nx,

x

所以/(尤)=2x+1,d'=3.

故答案為：3.

16.在正四棱錐尸-ABCD中，y/2PA=y[5AB,若四棱錐P-ABCD的體積為一，則

該四棱錐外接球的體積為

?小田、500%

【答案]:一

【分析】首先作PH，平面ABCD，垂足為H.連接BD,AB=2m得到PB=PA=Mm，

BH=y[im,從而尸8=2萬72,根據(jù)四棱錐P-ABCD的體積為亍，得到帆=2應，再

設出外接球的球心，得至U方程&=42+(8-尺)2,解方程再求外接球體積即可.

【詳解】如圖所示:

作尸平面ABCD,垂足為/L連接30,則〃為BO的中點.

設凡8=2祖，則==BH=En，從而PH=2叵找，故四棱錐尸―ABCD

的體積為1X(2/n)2X2扃i=逑厘=—,解得m=242.

333

由題意可知正四棱錐P-ASCD外接球的球心。在PH上，連接08.

設正四棱錐尸-ABCD外接球的半徑為R,

則7?2=囪/2+0〃2,BPZ?2=42+（8-7?）2

解得R=5,故該四棱錐外接球的體積為1萬氏3=等

遼研生、r500萬

故答案為：:一

四、解答題

17.已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛4,｝的公差為4,其前"項和為S”,且2%為邑,S3的

等比中項

(1)求｛%｝的通項公式；

4

(2)設4=——，求數(shù)列也｝的前〃項和1

anan+\

n

【答案】(1)??=4/7-2；(2)

2〃+1

【分析】法一：(1)將。2，邑和S3都表示成6和d的形式，代入等比中項，求出生,

進而求出通項公式冊；(2)代入數(shù)列｛%｝的通項公式則％=工二-1三，裂項相消

求7“即可.法二：(1)利用前〃項和的性質，可得$3=3%,代入等比中項可得4d=$2,

化簡，再代入可和〃，計算可得生,從而求得通項公式；(2)同法一.

【詳解】解：(1)因為數(shù)列｛%｝是公差為4的等差數(shù)列，

3x2

以％=q+4,$2=2(q+2),S3=3%H———x4—3(6+4).

又=S2S3,所以4(4+4)2=6(q+2)(4+4),即(6+4)(4-2)=。，

解得q=2或。=-4(舍去)，

所以4=2+4(〃-1)=4〃一2.

44_1

(2)因為2=

(4〃-2)(4〃+2)4n-24〃+2

所以，=4+打++%+2

11111111

---------1-----------FH----------------------1---------------------

266104/1-64/1-24n-24〃+2

_j____1

-2-4n+2

n

2〃+l?

法二：(1)因為數(shù)列｛q｝是公差為4的等差數(shù)列，且2出為S2,S3的等比中項,

所以=S2s3,從而4a；=S2-3a2.

因為4〉0,所以4〃2=3$2，即4(%+4)=3(2%+4),

解得4=2,

所以=2+4(〃-1)=4〃一2.

(2)第二問解法同上.

【點睛】易錯點睛：本題考查裂項相消求和，要注意裂項時配湊的系數(shù)和消項時保留的

項數(shù).

,,3

18.設ABC的內角A,B,。的對邊分別為a,b,c,且滿足〃cosB-Z7cosA=1c

/、_rutanA,.

⑴求言的值;

(2)若點。為邊AB的中點，AB=10,CD=5,求BC的值.

【答案】(1)4；(2)4省.

3Q

【分析】（1）由〃cos3"cosA=不，帶入余弦定理整理可得廿=/2,所以

a1+c2-b2

tanA_sinAcosBa2aca2+c2-b23

帶入82=（，即可得解;

tan5cosAsinBb2+c2-a2b2+c2-a2

----------------b7

2bc

CFCF?tanABE

(2)作A5邊上的IWJCE,垂足為E,因為tanA=—,tanB=----所----=——

AEBEtanBAE

又黑=4,所以*4的因為點。為邊，的中點且AB=1。,所以

BD=5,AE=2,DE=3,再根據(jù)勾股定理即可得解.

3

【詳解】(1)因為QCOSB-0cosA=《c,

c2+a2-Z?2b2+c2-a23

所以人-b-—c

2ca2bc5

即a2-b2=-c2.

5

a2+c2-b1

a?

「tanAsinAcosB

又----=---------2ac

tan3cosAsinB

2bc

匚UmtanAa2+c?—/8c25

所以----=75一n一7=一x：=4.

tanBb2+c2-a252c2

（2）如圖，作AB邊上的高CE,垂足為E,

CFCFtanABE

因為tanA=----,tanB=,所以

AEBEtanBAE

tanA，?…

又嬴萬=4,所以郎=4他.

因為點。為邊A3的中點，AB=W,所以9=5,AE=2,OE=3.

在直角三角形CDE中，CD=5,所以CE=j52-32=4.

在直角三角形BCE中，BE=8,所以8c="^=4石.

19.為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，加強環(huán)境的治理和生態(tài)的修復，某

市在其轄區(qū)內某一個縣的27個行政村中各隨機選擇農田土壤樣本一份，對樣本中的鉛、

錦、銘等重金屬的含量進行了檢測，并按照國家土壤重金屬污染評價級標準（清潔、尚

清潔、輕度污染、中度污染、重度污染）進行分級，繪制了如圖所示的條形圖

樣8個數(shù)

（1）從輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村中按分層抽樣的方法抽取6個，求在

輕度、中度、重度污染的行政村中分別抽取的個數(shù)；

（2）規(guī)定：輕度污染記污染度為1,中度污染記污染度為2,重度污染記污染度為3.從

（1）中抽取的6個行政村中任選3個，污染度的得分之和記為X,求X的數(shù)學期望.

【答案】（1）從輕度污染的行政村中抽取3個，從中度污染的行政村中抽取2個，從重

度污染的行政村中抽取1個；（2）5.

【分析】（1）根據(jù)題意，輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村共9+6+3=18個，

再根據(jù)分層抽樣分別算出所抽取的輕度污染、中度污染、重度污染行政村的個數(shù)即可；

（2）X的所有可能取值為3,4,5,6,7,寫出每算出一個數(shù)據(jù)的概率，得出分布列，

再根據(jù)期望公式即可得解.

【詳解】（1）輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村共9+6+3=18個，

所以從輕度污染的行政村中抽取上義9=3個，從中度污染的行政村中抽取￡x6=2個，

lolo

從重度污染的行政村中抽取2*3=1個.

18

（2）X的所有可能取值為3,4,5,6,7.

P(X=4)=%C2cFl=23

C：10

P(X=5)=

1

P(X=6)=*^C=±3,

或10

2

P(X=7)=4c=上1

或20

所以X的分布列為

X34567

13331

P

2010101020

13331

J5(flU￡,(X)=3x—+4x—+5x—+6x—+7x—=5.

2010101020

20.如圖，在直三棱柱4BC-AB|G中，底面ABC是等邊三角形，。是AC的中點.

(1)證明：AB//平面8CQ.

(2)若44,=248,求二面角片-AC-G的余弦值

【答案】(1)證明見解析；(2)生便.

19

【分析】(1)BtCBQ=E,連接DE,由三角形的中位線可得DE//ABt,進而可得\Bj/

平面BCQ.

(2)故以。為原點，分別以。氏OC,。尸的方向為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示

的空間直角坐標系。-孫z.平面明C的法向量為〃=(x,y,z),平面ACG的一個法向量

為7"=(1,0.0)，進而可得結果.

【詳解】(1)記用。BCt=E,連接DE.

由直棱柱的性質可知四邊形BCGM是矩形，則E為BC的中點.

因為。是AC的中點，所以DE//AA.

因為仁平面BCQ,OEu平面BCQ,所以AB//平面BCQ.

(2)因為底面ABC是等邊三角形，。是AC的中點，所以5OLAC,

由直棱柱的性質可知平面ABC_L平面ACGA,則B￡)J_平面ACGA.

取4G的中點R連接。尸，則。氏DC。歹兩兩垂直，故以D為原點，分別以DB,DC,DF

的方向為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z.

設AB=2,則A(0,-L0),C(0,L0)，4(6,0,4),從而配=(0,2,0),福=(百,1,4).

設平面ABtC的法向量為〃=(x,y,z),

ri-AC=2y=0,l

則令尤=4,得〃=(4,0,—6).

n-AB{=A/3x+y+4z=0,

平面AC￡的一個法向量為=(1,0,0),

E/、m?ri44M

cos<m,n)=-：——

Im||n|曬一19

設二面角與-AC-C]為。，由圖可知。為銳角，貝!Jcos6=|cos〈wi,w〉|=⑸.

21.已知橢圓C:[+g=l(a>b>())的左、右焦點分別為百,工，離心率為乎，且點

在C上.

(I)求橢圓c的標準方程;

(2)設過用的直線/與C交于4,5兩點，若|A修=^\AB\.

【答案】(1)—+y2=l；(2)|4切=逑.

23

2

【分析】（1）由題得，號4+表]=1，又r%=。1，解方程可得“I，從而得橢圓的方程;

（2）當直線/的斜率不存在時，恒居|=忸刃=[=￥，所以|A司JM|=910_

,直

23

線/的斜率存在時，設其為/:，=依彳-1）,聯(lián)立方程并由韋達定理求出玉+%,再%的式

子得，求得加用=澇，同理得出忸凰=為會，求出公=1,即可得|AB|.

’2君_叵

【詳解】解：（I）因為橢圓c過點

33J

41

所以豆+/=1.①

又橢圓c的離心率為Y2,「21

所以茄=5'

2

故巴"

a（a2--2②

A+X=1

3a23b2'°；j故橢圓C的標準方程為—+y2=l.

聯(lián)立①②得解得

b11b=1,2

一2'

（2）當直線/的斜率不存在時，|A引=忸用=/=孝,

所以

|A￡|,忸片1=（2夜一日）2=，

故直線I的斜率存在，設直線/:y=-x—1）,4（下,%）,3（%,%）.

y=k（x-l）,

聯(lián)立￡+y2T消去y并整理得（2