2.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)培訓(xùn)課件

2.4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、對數(shù)求導(dǎo)法三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、相關(guān)變化率

一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果當(dāng)x一般地，設(shè)有二元方程所確定的隱函數(shù)就不能用顯式表達(dá)出來。例如，隱函數(shù)可顯化為2.4在某區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí)，確定的y值與之對應(yīng)，相應(yīng)地總有滿足該方程的那么就說方程在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).問題：隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時(shí)如何求導(dǎo)？隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對

x

求導(dǎo)(注意y=y(x))(含導(dǎo)數(shù)的方程)2.4解

要把方程中的y看作x的函數(shù)所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求由方程在方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，得解得解

在所給的方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，得所確定的隱函數(shù)的例2

求由方程（1）

解得因此得二階導(dǎo)數(shù)2.4

在所給的方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，得在求時(shí)，也可以在（1）兩端同時(shí)對x求導(dǎo)，得（1）

解得2.4解

將方程兩邊分別對x求導(dǎo)，得2.4例3

已知曲線的方程為點(diǎn)

處的切線方程。求其在易知點(diǎn)在所給曲線上，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，所求切線的斜率為從而于是所求的切線方程為二、對數(shù)求導(dǎo)法2.4方法:(1)在方程兩邊取（自然）對數(shù);適用范圍:(1)含有復(fù)雜的乘、除、乘方、開方的函數(shù)；(2)冪指函數(shù)。(2)利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).解

這是冪指函數(shù)，為了求出它的導(dǎo)數(shù)，先在例4

求的導(dǎo)數(shù)。上式兩邊對x求導(dǎo)，注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，得于是2.4兩邊取對數(shù)，得如果對于一般的冪指函數(shù)除了像上例那樣利用2.4都可導(dǎo)，對數(shù)求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù)外，還可以把冪指函數(shù)表示為利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接求出導(dǎo)數(shù)解

在兩邊取對數(shù)，得上式兩邊對x求導(dǎo)，得解得2.4例5

設(shè)求解

在兩邊取對數(shù)，得上式兩邊對x求導(dǎo)，得解得2.4例6

求的導(dǎo)數(shù)。三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（2）一般地，若參數(shù)方程確定了y與x之間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。例如消去參數(shù)問題:

消參困難或無法消參時(shí)如何求導(dǎo)?2.4并且此反函數(shù)能與函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，在中，2.4如果函數(shù)在某個(gè)定義區(qū)間上具有單調(diào)、連續(xù)的反函數(shù)由參數(shù)方程（2）所確定的函數(shù)就可以看作是由函數(shù)與復(fù)合而成的函數(shù)假設(shè)均可導(dǎo)，且

則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有2.4即（3）（3）式就是參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。已知注意:對誰求導(dǎo)?2.4如果還具有二階導(dǎo)數(shù)，那么從（3）式還可得到函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)即2.4的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例7

求由參數(shù)方程所確定解

2.4點(diǎn)處的切線方程。例8

求曲線在t=0相應(yīng)的解

當(dāng)t=0時(shí)，曲線上的相應(yīng)點(diǎn)M0的坐標(biāo)曲線在M0點(diǎn)切線的斜率為于是曲線在M0點(diǎn)的切線方程為化簡得為2.4解

的二階導(dǎo)數(shù)。例9

求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)2.4上例中在求時(shí)，要注意是關(guān)于t

的表達(dá)式，必須把t

看作中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求實(shí)際上，求可以由新的參數(shù)方程按照公式(3)來計(jì)算四、相關(guān)變化率且變量x設(shè)都是可導(dǎo)函數(shù)，的關(guān)系，以便從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化相關(guān)變化率問題就是研究這兩個(gè)變化率之間2.4與變量y之間存在某種聯(lián)系，從而變化率間也存在著一定關(guān)系。這兩個(gè)相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率.率。四、相關(guān)變化率2.4相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對

t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率上式兩邊對t

求導(dǎo)，得到變化率的關(guān)系式2.4例10

一梯子長5m，上端靠墻，下端著地，梯子順墻下滑。當(dāng)梯子下端離墻4m時(shí)，沿著地面以3m/min的速度離墻。問梯子上端沿墻下降的速度是多少？解

上端為梯子下端為則因梯子長度為5m，故有關(guān)系式如圖建立坐標(biāo)系。設(shè)在時(shí)刻t，代入上式，得到2.4例10

一梯子長5m，上端靠墻，下端著地，梯子順墻下滑。當(dāng)梯子下端離墻4m時(shí)，沿著地面以3m/min的速度離墻。問梯子上端沿墻下降的速度是多少？當(dāng)x=4時(shí)，y=3，已知于是即梯子上端下降的速度為利用相似三角形可得2.4例11

圖中是一個(gè)高為4m、底半徑為2m的圓錐容器。假設(shè)以2m3/min的速度將水注入該容器，求水深3m時(shí)水面的上升速度。解

這樣V

與h

滿足方程用V,r,h

分別表示時(shí)刻t

時(shí)水的這里r不是獨(dú)立變量，體積、水面半徑和水的深度，則上式兩邊對t

求導(dǎo)，得2.4例11

圖中是一個(gè)高為4m、底半徑為2m的圓錐容器。假設(shè)以2m3/min的速度將水注入該容器，求水深3m是水面的上升速度。故將代入上式得到即水深3m時(shí)，水面的上升速度為內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)求導(dǎo)法：方程兩邊對x求導(dǎo)，注意y=y