2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷(新高考Ⅰ卷專用)含解析

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考I卷專用）

黃金卷（答案在最后）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.設(shè)集合/=卜/+3》-10<0},2={乂一3cx<3},貝?。?口8=（）

A.{x\-3<x<2}B.{x|-5<x<2}

C.{x|-3<x<3}D.{x|-5<x<3}

【答案】A

2

【詳解】因?yàn)椤盭+3X-10<01={X|-5<X<2},

所以/c5={x|-3<x<2}.

故選：A.

2.若i（l-R）=3,則|z-斗=（）

A.6iB.-6iC.2D.6

【答案】D

3

【詳解】由題設(shè)可得1—7===—篁，則z=l+3i，則z=l—3i,

i

故z—N=—6i,故=6,

故選：D

3.如圖，在四邊形中，DC=2AB,BE=2ECf設(shè)詼=M,DA=b9則詼等于（）

2]_

B._@+_5

32

51一21T

C._G+_bD._方r+—b

6333

【答案】C

【詳解】因?yàn)椤=2N8,8E=2EC,

所以詼=前+屈=前+：麗=或+；._配）=前+；件+刀_友）

2__.1—.1—.2__.1-.1__.51-

=-DC+_DA+-AB=_DC+_DA+-DC=_a+-b.

33333663

故選：C

4.攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、

四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它

的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3。米，側(cè)棱長(zhǎng)為5米，則其體積

為（）立方米.

A.240B.24C.7272D.72

【答案】B

【詳解】如圖所示，在正四棱錐尸-/BCD中，連接/Cl。于O,則。為正方形/BCD的中心,

1c

連接OP,則底面邊長(zhǎng)/8=30,對(duì)角線8。=嫄48=6，BO=-BD=^>.

又BP=5,故高OP=qBP?-BO?=4.

5.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)

可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和“，如20=3+17.在不超過(guò)15的素?cái)?shù)（素?cái)?shù)是指在大于1的自然數(shù)中，除了1和自

身外沒(méi)有其他因數(shù)的自然數(shù)）中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于16的概率是（）

1421

A.一B.一C.一D.—

10151511

【答案】C

【詳解】不超過(guò)15的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,隨機(jī)取兩個(gè)不同取法有q=15種，

其中和等于16的情況有3,13或5,11兩種情況，

2

所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于16的概率是正.

故選：C

6.將函數(shù)/（x）=cos（x+§f|圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，?>0）,縱坐標(biāo)不變，所得圖象在區(qū)間

2兀7171

0,行上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在-1rli上單調(diào)遞減，則①的取值范圍為（）

A.「-9,3JB,「49,4八）C,「—11,4JD.［f彳ll,6J

【答案】C

【詳解】依題意可得y=cos（sx+gl）,

八，，2匚二|、［2兀2兀2①2兀

因?yàn)?《》<寸_兀，所以r-VsX+kVkTt+k，

33333

因?yàn)椤?cos產(chǎn)+下在0,_恰有2個(gè)零點(diǎn)，且cos蒙+釗=0,k、wZ,

5兀2G2兀7兀1117

所以丁《-^-兀+丁<亍，解得彳《①〈牙，

_,2兀_,j?2:12匕兀71%c兀7r

令2&7兀43X+—4兀+242兀，,得__-+——<X<一+」_,左2一,

-3、3G）①3①①

,八（2兀）「2兀兀一

令0=0,得用叼小?。┰诓缝梗吧蠁握{(diào)遞減，

__兀兀2兀71

所以『場(chǎng)'豆］［［一福'麗J'

’2兀71

—__<___

所以43°3—12，又3>0,解得0<344.

71兀

一>——

13（0-12

11ri2,4

綜上所述，<?<4,故①的取值范圍是-

T4_,

故選：C.

7-已知*直,H汩［c=&［,“

ia,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

【答案】D

令+,>Q,則ln/(x)=xln(l+1],

XX>Q

令g(x)=xln(l+:J,x>o,

則g'(x)=ln(l+?+x-/

X

x

令"㈤=ln(l+x)一4,x>0,

11X

則"z(無(wú))=OT]E=g>。在(0,小)上恒成立，

x

故〃(x)=ln(l+^)—j—在(0,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，

1+X

JQ

又〃(0)=0,故為(x)=O(l+x)一干>0在(0,一)上恒成立,

1

將〃(x)=ln(l+x)_1匚>0中x換為1可得，ln|1+-|-^->0,

1+XXIXJ-t

I+--

X

即ln(l+I]_」_>0,故g<x)>0在(0,小)上恒成立，

所以g(x)=xlnp+：j在(0,小)上單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知/(x)=1l+j在(0,”)上單調(diào)遞增，

故1+++即0<b<c.

故選：D

8.已知等腰直角A48C中，NC為直角,邊NC=4，P,。分別為/C,48上的動(dòng)點(diǎn)(尸與C不重合)，將

△^尸。沿P。折起，使點(diǎn)/到達(dá)點(diǎn)H的位置，且平面4尸。，平面8c尸。若點(diǎn)/，，B,C,P,0均在球。的

球面上，則球。表面積的最小值為()

A.8TIB.4兀C.8*口D.—

33

【答案】A

【詳解】顯然尸不與N重合，由點(diǎn)H,5,C,P,Q均在球。的球面上，得8,C,尸，。共圓，則NC+4PQB=兀,

又“3C為等腰直角三角形，為斜邊，即有PQ'NB,

將△/尸。翻折后，尸。，HQ,PQ^BQ,又平面HP。，平面8CP。,

平面HP0口平面BCPQ=PQ,

/'Qu平面HPQ,J8。u平面BCP。，于是40，平面3CP。，30，平面HPQ,

顯然4P,5P的中點(diǎn)。，E分別為A4'PQ,四邊形8c尸。外接圓圓心，

則平面HPQ,￡。，平面2。。，因此。?！?。，EOHA'Q,

取尸。的中點(diǎn)尸，連接。尸木石則有￡///8。//。。，DFIIA'QIIEO,

四邊形EEDO為矩形，設(shè)HQ=x且o<x<2&,DO=EF=；BQ三,A，P="x,

2(2

設(shè)球O的半徑A,有笛=〃。2+]9]=|x2-7^+3=lx-^-j+2，

當(dāng)戶孥時(shí)，(爐L=2,所以球O表面積的最小值為4M霜%「8兀.

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.如圖，正方體45co-4404的棱長(zhǎng)為1,則下列四個(gè)命題正確的是（）

A.正方體N3CD-4494的內(nèi)切球的半徑為手

.兀

B.兩條異面直線和8G所成的角為不

兀

C.直線8c與平面所成的角等于4

D.點(diǎn)。到面NCR的距離為孚

【答案】BC

【分析】根據(jù)正方體和內(nèi)切球的幾何結(jié)構(gòu)特征，可判定A錯(cuò)誤；連接/C，CR，把異面直線2c和所成

的角的大小即為直線2c和/口所成的角，△/CR為正三角形，可判定B正確；證得qc，平面/5￡已，

進(jìn)而求得直線8c與平面/8￡口所成的角，可判定C正確；結(jié)合等體積法，得到七一/卬=?！?,進(jìn)而可

判定D錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A中，正方體43CD-44￡4的內(nèi)切球的半徑即為正方體的棱長(zhǎng)的一半，

所以內(nèi)切球的半徑R=3,所以A錯(cuò)誤?

對(duì)于B中，如圖所示，連接/C,CD|,

因?yàn)镹8//GB且=則四邊形4302為平行四邊形，所以BCJ/N2,

所以異面直線℃和BCX所成的角的大小即為直線2c和/2所成的角/好的大小，

又因?yàn)镹C=/A=r>C=J2,則為正三角形，即=所以B正確；

對(duì)于c中，如圖所示，連接4C,在正方形gqcc中，BCJBC

因?yàn)槠矫?Cu平面B4GC,所以43,4c.

又因?yàn)?8Ig=3,/8匚平面/264,BC|U平面NBCQi,

兀

所以qc，平面ABCA,所以直線3c與平面4BCR所成的角為/C3CI=_,

所以C正確；

對(duì)于D中，如圖所示，設(shè)點(diǎn)。到面/C。的距離為人因?yàn)椤?CA為正三角形,

所以Su6=gx/Cx/O|Sin'=乎，

又因?yàn)镾VS=:X/Z）XCD=!，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換可知：VD_ACD}=VD[_ACD,

即卜"LCRq'加09，即:x〃xf=」xlx）解得仁平，所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.已知函數(shù)/（x）=；/-X?+x,則（）

A.“X）為奇函數(shù)B.x=l不是函數(shù)/⑴的極值點(diǎn)

C./（x）在[T,+°°）上單調(diào)遞增D./（X）存在兩個(gè)零點(diǎn)

【答案】BC

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷A,求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性判斷BC,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理和單調(diào)性判斷D.

【詳解】函數(shù)/（x）=—+x的定義域?yàn)镽,又/（_龍）=_；爐---工，-/（X）=-AX3+X2-X,

則〃-x）H-/（x）,所以〃x）不是奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)?（工）=--2》+1=*-1）220,所以/（x）在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/⑴不存在極值點(diǎn)，故選項(xiàng)B與C

正確；

因?yàn)?⑴=；」+1>0,/（-1）=-1-1+1<0,又/（x）在R上單調(diào)遞增，且/（0）=0,

所以"X）僅有一個(gè)零點(diǎn)0,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.已知拋物線C:儼=6x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線交C于M,N兩個(gè)不同點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A?可|的最小值是6B.若點(diǎn)噌,2）則+的最小值是4

11「

C.陛「3D-若|MF「pVF|=18,則直線ACV的斜率為±1

【答案】ABD

【分析】A,根據(jù)也W1=X|+Xz+p結(jié)合基本不等式即可判斷；B,由拋物線定義知當(dāng)尸，可，/三點(diǎn)共線時(shí)

+C,D,設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理即可求解.

【詳解】對(duì)A,設(shè)加（演,乂）,陽(yáng)號(hào)%），（%,馬>0）,

因?yàn)檫@些MV傾斜角不為0,

3

則設(shè)直線MN的方程為x=0+1，聯(lián)立拋物線得y2-6ky-9=0,

則%+為=6h％，=-9,

3k99

所以；?%+%=4（乂+%）+3=61+3,%％=左4乂+彳（乂+%）+耳=4，

則|跖V|=Xi+%+3=642+626（當(dāng)且僅當(dāng)左=0時(shí)等號(hào)成立），A正確；

對(duì)B,如圖拋物線準(zhǔn)線，慳?|+慳9=|九『+|〃P|要使其最小，

即尸,三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，

53

^^MF^\MP\=\MA^+\MP\=\PA\=^_.=4,B正確；

11_\NF\+\MF\玉+4+3_2

對(duì)C,由亞或IWS=丫-3/一丫一9二，C錯(cuò)誤；

對(duì)D,產(chǎn)|?叫=(玉+j)?(x2+1)=再芍+.(再+無(wú)2)+,

93993

=_+_(6r+3)+_=_+_(6r+3)=18,解得左=±1,D正確

故選：ABD.

12.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域均為R,記g(x)=/'(x).若-2x],g(2+x)均為偶函數(shù)，

則()

A./(-1)=/(4)B.8臼=。C./(0)=1D.g(-l)=-g⑵

【答案】ABD

3

【分析】由題意分析得到/(X)關(guān)于直線X=2對(duì)稱，函數(shù)g(x)關(guān)于直線X=2對(duì)稱及周期為2,逐項(xiàng)求解即可.

【詳解】因?yàn)?(弓-2X)為偶函數(shù),所以/(>2x)=/(；+2x),所以〃；r)=/G+x),

353535

所以/(X)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，令》=彳得/勺-2、)=/勺+2*4),即〃-1)="4),故A正確；

因?yàn)?《-%)=/(；+》)，所以+即g@+x)=_gjj_x],

所以g(2+x)=-g(l-x),因?yàn)間(2+x)為偶函數(shù)，所以g(2+x)=g(2-x),

所以g(2-x)=-g(l-^),即g(x+l)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

33

則g(x)的一個(gè)周期為2.因?yàn)?(X)關(guān)于直線X=2對(duì)稱，所以X=1是函數(shù)/(幻的一個(gè)極值點(diǎn),

所以==所以g1_；)=g[j)=O,故B正確；

因?yàn)間(x+l)=-g(x),所以g(2)=g(0)=-g(-l),所以g(T)=-g(2),故D正確；

設(shè)〃(x)=/(x)+c(,為常數(shù))，定義域?yàn)镽,貝P'(x)=/'(x)=g(x),h[l+x\^f[L+x\+c,

顯然"(x)=/(x)+c也滿足題設(shè)，即/(x)上下平移均滿足題設(shè)，顯然1(0)的值不確定，故C錯(cuò)誤.

故選：ABD

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.+(2x+5)展開(kāi)式中含/項(xiàng)的系數(shù)是.

【答案】120

【詳解】+(2X+5)=2X[X+：〔+5]X+|J,

因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為=5.C；.2W"不可能出現(xiàn)含的項(xiàng)，

所以展開(kāi)式中含/的項(xiàng)為2X.C〉X41B=120/,即含好項(xiàng)的系數(shù)是120.

故答案為：120.

14.寫出與圓(》-1)2+3-2)2=1和圓々+1)2+3+2)=1都相切的一條直線的方程.

【答案】x=0或4y-3尤=0或2工_>±而=0(答案不唯一)

【詳解】由題設(shè)知，圓(x-l)2+0-2)2=l的圓心為“(1,2),半徑為11,

圓(x+iy+(>+2j=i的圓心為N(-l,-2),半徑為々=1,

所以叫=J(2+2j+(+l)2=20>(+々=2,即兩圓外離，故共有4條公切線；

又易知M,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且兩圓半徑相等，則有過(guò)原點(diǎn)的兩條公切線和與血W平行的兩條公切線.

設(shè)過(guò)原點(diǎn)的公切線為卬，則=即3/一4y0,解得f=0或2，

VW3

所以公切線為尤=0或4y-3x=°；

設(shè)與九W平行的公切線為了=2x+6,且M,N與公切線距離都為1,

貝U曹〒=1，即6=±b，

V4+1

所以公切線為2x-y土質(zhì)=0.

故答案為：x=0或4)-3x=0或2尤7±百=0

14

15.若函數(shù)/(》)=2/+4分與gG)=5aTiw-e?,a>0有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線方程相同，則6的

最小值為.

5

【答案】一］

5〃2

【詳解】/''(x)=x+4a,g,(x)=__.

設(shè)曲線了=/(x)與了=g(x)(x>0)的公共點(diǎn)為(%,%),兩者在公共點(diǎn)處的切線方程相同,

5。2

因此％+4〃=-----,即％：+4辦0-54=0,解得％=。或一5a.

%

因?yàn)椤ā?,所以舍去％=-5。.

又:片。442〃59

+4"=5?2lnx-e^bBPe^b=5a2]na_a2]na2a2.

09222

令函數(shù)人()=:ln/_|y,則〃Q)=jln/—2.

44

令/⑺<0,解得0</<屋，令”C)>0,解得/>砥，

/4\/4\

所以,O在0,6上單調(diào)遞減，在9,+8上單調(diào)遞增，

V7\)

,4、5，4c-45

貝e3=--e3,即一e一解得吐-丁

5

則6的最小值為-2.

一，5

故答案為：

22

16.已知橢圓C:二+與=1,F「"分別是其左，右焦點(diǎn)，尸為橢圓C上非長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，。是x

1612

S2sp.

軸上一點(diǎn)，使得PD平分4".過(guò)點(diǎn)。作尸片、桃的垂線，垂足分別為4A則T空+不二A」的最小

/\PFXF2

值是.

521

【答案】-70-

【詳解】如圖,

兀

由橢圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)尸位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，/月尸片最大，由。=4*=2/可知最大值為百?

設(shè)/彳”=2。（0<0弋），因?yàn)镻D平分/甲線，所以D4=DB,設(shè)D4=DB=m,

已知橢圓c：女+F=1，所以。=4,6=2JJ,C=2.

1612

從而工噂=〃tanO=12tane,

S,PFFZ=；〃|Py+gM|PK|=：%(|S|+|PK|)=7"a=4"?’

所以12tan。=4m,解得加=3tan。.

M22

S.DAB=-sinZ_ADB=1加？sin(兀_2。)=1加2sjn29=9tan0sin0cos0二,‘也°

△22v72cos0

9sin30

所以S-DAB_cose_3An20,

s.pg12tane4

S2S32

,DAB^_sinfi+_____

S.PFES.DAB43HF0

△ix|X9△LJ/iD

八兀?c。g，

因?yàn)閛<e〈G，所以smeE

°4，

設(shè)sir?。=te

s2s?2S

△DAB_j_dPGBF38rli△+PPP、318x4521

DAB

所以■Q+R=/+豆在°，4上單調(diào)遞減，所以=—x—+------=.

△DAB44348

APF'GADABAPF'F?,Jmin

故答案為：

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

17.已知公差不為零的等差數(shù)列包｝的前〃項(xiàng)和為S“,4=3,且4，%，%成等比數(shù)列.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式;

13

⑵若4=1r_0數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為力證明：T.

nn''

【答案】⑴與二〃+1

(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)設(shè)/｝的公差為d(dwO),因?yàn)?，％，％成等比數(shù)列，所以片二%?%，

即(4+23)2=4(4+64),因?yàn)閐wO,所以q=27,

又。2=3,所以q+d=2d+d=3,

所以d=l,%=2,

所以%=4=2+〃-1=〃+1.

〃(2+〃+1)n2+3w

(2)由(1)得，Sf

所以'=2s_%+1=〃(〃+2)

li〃+2

所以］=2

n〃+2

〃+1〃+2

18.在中,內(nèi)角4S。所對(duì)的邊分別為。也c,滿足Z?=Q-2ZJCOSC

(1)求證：C=2B；

(2)若“為銳角三角形，求2sinC+cos5-si"的最大值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)11

-8

【詳解】(1)由題b=。一26cosc,

=

由正弦定理：sinB=sin4-2sinBcosCsin(5+C)-2sin5cosCf

所以sin8=sinBcosC+cos5sinC-2sinBcosC，

整理sin5=sinCcosB-cosCsinB,

所以sinB=sin(C-S),

:.B=C-B或B+C-B=TI(舍)，

:.C=2B.

(2)???△49。為銳角三角形,

兀

0<7i-35<_

2

,vo<8弓，解得:白y,所以o<x

0<2B<l

2

.71.，兀兀、.兀兀71.71J6-J2

日sin_=sin___=sin-cos-cos__sm_=25___2L_

121^34J34344

由(1)問(wèn)，C=2B,:.2sinC+cosB-sinB=2sin2B+cos5-sin5,

則sin2B=l—gos5—sin5)2,

(］、2*

所以2sinC+cosB_sin5=21一產(chǎn)>，=_2,2+，+2=_2/__+

因?yàn)椤安?與I),

1,17

.,.當(dāng)f=_時(shí)，所求2sinC+cosS-sin8的最大值為--

48

19.如圖，在三棱柱ABC-中，NC=2,尸分別為4c,臺(tái)4的中點(diǎn)，且所，平面MCiC,

(1)求棱3C的長(zhǎng)度：

(2)若明工44,且△4尸C的面積s=#,求平面44尸與平面4尸C的夾角的余弦值.

【答案】(1)。

⑵羋

【詳解】(1)取NC的中點(diǎn)。，連接8Am,

在三棱柱/8C-44G中，可得DE//叫//叫,且。￡==

???四邊形。E必為平行四邊形，則EF//DB,

又跖_(tái)L平面...02,平面Z&CC,

；/Cu平面

DBYAC,

又。為NC的中點(diǎn)，

.?.“8C為等腰三角形，

VAC=2,AB=*,則8C=/8=J2；

222

（2）由（1）知，AB+BC=AC,AB1BC,EF=BD=11

4°u平面/&qc,所以E尸，&c,

故與4FC=.E尸=/n&C=20,

由（1）知，平面N4￡C,/4u平面44GC,

則DB工,

又三棱柱中AAJIBB、，：.DB1BB、

又AB±BB1,

?:又4BCDB=B,AB、O2u平面/8C,

平面NBC,

???三棱柱ABC~44cl為直三棱柱，

.?.△zqc為直角三角形，可得4幺=4,

又在三棱柱NBC-44G中，ABLBC,1BiCi,

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，4G，44,45所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則q（0,0,0）4（0,0,0）0S，0,0）,c9,0,4）,q0,0,今,[o,o。,

乖=@，3,2）語(yǔ)=/34）,

設(shè)平面4FC的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）

n.4尸=-yfly+2z=0

則為.豕=30+42=0'令z=l'則戶口x=-*，

：.平面4尸c的一個(gè)法向量為〃=Q*JI』）,

易得平面44尸的一個(gè)法向量為w=（i,o,o）

設(shè)平面44尸與平面4尸c的夾角為0，

\m.n\

?COS0=J____!________

\m\-\n\/xl5

平面44尸與平面4FC的夾角的余弦值為乎.

20.為了解學(xué)生中午的用餐方式（在食堂就餐或點(diǎn)外賣）與最近食堂間的距離的關(guān)系，某大學(xué)于某日中午

隨機(jī)調(diào)查了2000名學(xué)生，獲得了如下頻率分布表（不完整）:

學(xué)生與最近食堂間的距離d（m）(0,200](200,400](400,600](600,800](800,+oo)合計(jì)

在食堂就餐0.150.100.000.50

點(diǎn)外賣0.200.000.50

合計(jì)0.200.150.001.00

并且由該頻率分布表，可估計(jì)學(xué)生與最近食堂間的平均距離為370m（同一組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中

點(diǎn)值作為代表）.

(1)補(bǔ)全頻率分布表，并根據(jù)小概率值a=0.0001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式與學(xué)生距最近

食堂的遠(yuǎn)近有關(guān)(當(dāng)學(xué)生與最近食堂間的距離不超過(guò)400m時(shí)，認(rèn)為較近，否則認(rèn)為較遠(yuǎn))：

(2)已知該校李明同學(xué)的附近有兩家學(xué)生食堂甲和乙，且他每天中午都選擇食堂甲或乙就餐.

(i)一般情況下，學(xué)生更愿意去飯菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明準(zhǔn)備去食堂就餐.此時(shí)，記他選擇去

甲食堂就餐為事件A,他認(rèn)為甲食堂的飯菜比乙食堂的美味為事件。，且。、A均為隨機(jī)事件，證明：

P(D\AyP(D^

(ii)為迎接為期7天的校慶，甲食堂推出了如下兩種優(yōu)惠活動(dòng)方案，顧客可任選其一.

①傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案：校慶期間，顧客任意一天中午去甲食堂就餐均可獲得。元優(yōu)惠；

②“饑餓型”優(yōu)惠方案：校慶期間，對(duì)于顧客去甲食堂就餐的若干天(不必連續(xù))中午，第一天中午不優(yōu)惠(即

“饑餓”一天)，第二天中午獲得加元優(yōu)惠，以后每天中午均獲得6元優(yōu)惠(其中。，6為已知數(shù)且6>a>0).

校慶期間，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均為P且是否去甲食堂就餐相互獨(dú)立.又知

李明是一名“激進(jìn)型”消費(fèi)者，如果兩種方案獲得的優(yōu)惠期望不一樣，他傾向于選擇能獲得優(yōu)惠期望更大的方

案，如果兩種方案獲得的優(yōu)惠期望一樣，他傾向于選擇獲得的優(yōu)惠更分散的方案.請(qǐng)你據(jù)此幫他作出選擇，

并說(shuō)明理由.

nfad-bc^

附：1其中

a0.100.0100.001

X

a2.7066.63510.828

【答案】(1)頻率分布表見(jiàn)解析，根據(jù)小概率值a=0.0001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式與學(xué)

生距最近食堂的遠(yuǎn)近有關(guān)

(2)(i)證明見(jiàn)解析；(ii)當(dāng)0<p<p°時(shí)，選擇傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案；當(dāng)p°Vp<l時(shí)，選擇“饑餓型”優(yōu)惠方案,

理由見(jiàn)解析

【詳解】(1)(I)設(shè)de(200,400］組的頻率為貝I］】e(4°0,6°0］組的頻率為i-0.20-0.15-/=0.65-l,

估計(jì)學(xué)生與最近食堂間的平均距離7=100x0.20+300f+5000.65Ty700x0.15=450-200/=370,解得

t=0.40,

故可補(bǔ)全頻率分布表如下:

學(xué)生與最近食堂間的距離或加）(0,200](200,400](400,600](600,800](800,+co)合計(jì)

在食堂就餐0.150.200.100.050.000.50

點(diǎn)外賣0.050.200.150.100.000.50

合計(jì)0.200.400.250.150.001.00

據(jù)此結(jié)合樣本容量為2000可列出2x2列聯(lián)表如下:

學(xué)生距最近食堂較近學(xué)生距最近食較堂遠(yuǎn)合計(jì)

在食堂就餐7003001000

點(diǎn)外賣5005001000

合計(jì)12008002000

零假設(shè)4:學(xué)生中午的用餐情況與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近無(wú)關(guān).

注意至U=2000x(700x500一300x500)2—500

10.828=x

1000x1000x1200x8000.001

據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷用不成立,

即可以認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近有關(guān).

（2）⑴證法一：由題意得尸（小。）＞尸0⑷），

結(jié)合尸(曰￡>)+P(平)=P(N[Z))+P(13=1,P(A\D)>0.5>P(A\D).

P(AD\P(AD'\p(A\-P(AD\

結(jié)合條件概率公式知4r萬(wàn)，>-^=2=、)，即PQD)>P⑷P(D).

,、P(AD\尸包))

尸(°9-尸(°>尸基-鬲

P(^D)[1_尸(N)]-[尸(D)-P(AD^《今P("P(A)P(D)

尸(/)][祖1-4勾]，

即/（。/）＞/?/）成立.

證法二：由題意得尸00）＞尸。⑷），?㈤。）＞尸［卬）,

所以丹尸（/￡＞）＞尸同理尸@）＞尸0》）

P（D）

于是尸°。）尸（ID）＞尸卬y?萬(wàn)）

故"（。⑴“（。口）=琳-瑞

P（AD^P^D^+P^D^-P0r＞^|P（AD＞尸?Zr）

-，⑷呵

P（AD}P（XD\-P（2Dy（A'D}

P（^P0）＞0；即P（O/）"（°N）成立?

（ii）設(shè)李明在校慶期間去食堂甲就餐的次數(shù)為1，

若選擇傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案獲得的優(yōu)惠為X元，若選擇“饑餓型”優(yōu)惠方案獲得的優(yōu)惠為y元,

‘尸4=0）+尸（&=1）#=0

則自?5（7,2），X=a&,對(duì)0〈人（7,有尸（丫=左6）=＜0,左=1

P七=k）,24kq7

■^E（X）=E（a^）=aE（t,）=7pa,

77r7

￡y=kbpYkbkp（一不

（）kE=2（=）=k=2^=9=4[_k=E0阻&=今」）

=P（&=1）]=7P如-（1-p）6],

令￡（x）=￡（y）,結(jié)合a＜b得P=1一正J,記為局.

若P°＜"1,貝IJE（Y）-E（X）=7p{〃q-（l-p）6]-a}＞0,E（y）＞E（X）,

此時(shí)李明應(yīng)選擇“饑餓型，，優(yōu)惠方案；

若0＜。＜為，則E（y）-E（x）=7p{岫-（L-p）6]_a}＜0,E（Y）＜E（X）,

此時(shí)李明應(yīng)選擇傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案.

若P=p。，則（l-P）6=l-《，E（X）=E（y）.

注意到。（、）=。（度）=/。位）=7。/（1-。），

7

2

叩）=%2）-[叩）『=￡（町尸。=kb）-p（X）]

7

=b2P=k)_49P2a2-49p2a2

k=2

卜叫Eg2ApG=lj|-49律儲(chǔ)=於｛回（&y+。（目一尸（卜i）｝_切2,

=〃[49p2+7p(l_p)_7o(l一p)(49P2〃=7p叫6p+l_pJ]-7pa2}.

因此D(Y)-Q(X)=7p&[6,+l-(1-p)6]-7川2_(1_0〃2}

=7p^6pb2+ab-(6p+lya2}=7p(6_a)[6p(6+a)+a]>0,

即。（y）>o（x）.

此時(shí)李明選擇獲得的優(yōu)惠更分散的方案，即獲得的優(yōu)惠方差更大的方案，即“饑餓型”優(yōu)惠方案.

綜上所述，當(dāng)°<P<Po時(shí)，李明應(yīng)選擇傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案;

當(dāng)R）WP<1時(shí)，李明應(yīng)選擇“饑餓型”優(yōu)惠方案.

21.已知雙曲線C二X2?-￡2=1（。>0/>0）上的一點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為2且雙曲線C的離心率為

￡

（1）求雙曲線C的方程；

⑵已知M是直線x=Mo<，<a）上一點(diǎn)，直線曬交雙曲線c于/（/在第一象限），8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)"作直線CM的平行線/,/與直線。交于點(diǎn)尸，與x軸交于點(diǎn)。，若尸為線段加。的中點(diǎn)，求實(shí)

數(shù)t的值.

【答案】⑴k-丁=1

03

（2*=2

【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為桁士即=0,設(shè)雙曲線上一點(diǎn)0（%,穌），

2%-。％].|姐+明|=階0-。丹|砥0用0I/看一"2引

又因?yàn)?。?，九）在雙曲線上，所以、"_=1,即〃只，

代入可得竺-=2,又因?yàn)閑=E=2^,c2=a2+b2>代入可得Z>2=3,a2=6>

ca2

所以雙曲線方程為k-亍=1;

63

（2）由（1）如圖所示,

若直線"右斜率為0,此時(shí)點(diǎn)A不在第一象限，矛盾，故叫斜率不為0,

t_3

設(shè)直線外的方程為了=町+3,4（x“|）,B（x,y）,則M卜,

22m

x=my+3

聯(lián)立'x2y2］，化簡(jiǎn)可得(/-2)產(chǎn)+6叼+3=0,

63

冽2一200mw±

則A=36"_12(/_2)>0'可得24(加2+i)>o

-6m

乂+為

則

3

又因?yàn)椤?O4,所以勺=%=--y,§,

人1"少1+J%my2+3

t-3x/、V,

所以直線/的方程為G」），直線。的方程為^=而壬尤,

町+3

t-3

y-——二(x-t)

m町+3町外+（3-少2

聯(lián)立,解得y=

y-y2X加0f）

my2+3

my^+Ci-tSy

即P的縱坐標(biāo)為4=——37J—

-6m3

又由上可知乂+%=E'乂%,兩式相除,

得myxy2=+%)，