第1章 一元二次方程 數(shù)學九年級上冊單元提升必刷卷A(含答案)

【單元測試】第1章一元二次方程（夯實基礎）（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（2022·陜西安康·九年級期末）若是關于x的一元二次方程的一個根，則m的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．22．（2021·河南南陽·九年級期中）方程的解是（

）A． B． C．， D．，3．（2022·湖南郴州·中考真題）一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根4．（2022·貴州黔東南·中考真題）已知關于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（

）A．7 B． C．6 D．5．（2022·全國·九年級單元測試）若菱形兩條對角線的長度是方程的兩根，則該菱形的邊長為（

）A． B．4 C． D．56．（2021·山東·費縣第二中學九年級階段練習）如果關于x的一元二次方程的兩根分別為，，那么這個一元二次方程是(

)A． B．C． D．7．（2022·山東泰安·中考真題）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株樓后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設這批椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（

）A． B．C． D．8．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，將圖1的正方形剪成四塊，恰能拼成圖2的矩形，則（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共有10小題，每題3分，共30分）9．（2022·全國·九年級單元測試）若關于x的方程是一元二次方程，則m=_____．10．（2021·廣東·道明外國語學校九年級階段練習）已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為_____．11．（2021·廣西南寧·九年級期中）方程(a－1)x2＋2(a＋1)x＋a＋5=0有兩個實根，則正整數(shù)a的值為________.12．（2022·河北保定·九年級期末）一元二次方程的一個根為，則的值為________，另一根為________．13．（2022·北京·九年級期末）我國南宋數(shù)學家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載了這樣一道題：“直田積八百六十四步，口云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步．”其大意為：一個矩形的面積為864平方步，寬比長少12步，問寬和長各多少步？設矩形的寬為x步，根據(jù)題意，可列方程為______．14．（2022·黑龍江綏化·中考真題）設與為一元二次方程的兩根，則的值為________．15．（2021·湖北襄陽·一模）如圖，把長為40cm，寬30cm的長方形硬紙板，剪掉2個小正方形和2個小長方形（陰影部分即剪掉的部分），將剩余的部分折成一個有蓋的長方體盒子，且折成的長方體盒子的表面積為888cm2，則剪掉的小正方形邊長為_____cm（紙板的厚度忽略不計）．16．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，在的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25，點D在邊BC上，以AD為折痕將△ADB折疊得到△ADB′，AB′與邊BC交于點E．若為直角三角形，則BD的長是_____．17．（2020·山東濟南·中考真題）如圖，在一塊長15m、寬10m的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余分栽種花草，要使綠化面積為126m2，則修建的路寬應為_____米．18．（2022·四川成都·九年級期末）將兩個關于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個方程為“同二次方程”．已知關于x的一元二次方程（）與方程是“同二次方程”，且方程（）有兩個根為、，則b－2c＝______，的最大值是______．三、解答題（本大題共有10小題，共66分；第19-24每小題5分，第25-26每小題6分，第27小題10分，第28小題14分）19．（2020·江蘇無錫·九年級期中）解下列方程(1)4(x－2)2－25＝0；(2)(m＋1)2＝4(m＋1)；(3)(t＋3)(t－1)＝12；(4)3x2－5x＋4＝020．（2022·全國·九年級單元測試）已知關于x的方程．(1)求證：無論m為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設方程的兩根分別為，且分別是一個菱形的兩條對角線長，已知菱形的面積為6，求m的值．21．（2021·湖南永州·中考真題）若是關于x的一元二次方程的兩個根，則．現(xiàn)已知一元二次方程的兩根分別為m，n．（1）若，求的值；（2）若，求的值．22．（2022·江蘇·九年級單元測試）閱讀下列材料：利用完全平方公式，可以將多項式ax2+bx+c（a≠0）變形為a（x+m）2+n的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式ax2+bx+c的配方法．運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行分解因式．例如：x2+11x+24＝（x+8）（x+3）根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)初步感知：用多項式的配方法將x2+8x﹣1化成（x+m）2+n的形式；(2)問題探究：下面是某位同學用配方法及平方差公式把多項式x2﹣3x﹣40進行分解因式的解答過程：解：x2﹣3x﹣40＝x2﹣3x+32﹣32﹣40＝（x﹣3）2﹣49＝（x﹣3+7）（x﹣3﹣7）＝（x+4）（x﹣10）老師說，這位同學的解答過程中有錯誤，請你找出該同學解答中開始出現(xiàn)錯誤的地方，并用“一一”標畫出來，然后寫出完整的、正確的解答過程．23．（2022·河南駐馬店·九年級期中）上蔡生姜味道純正，色澤金黃，無絲耐煮，味長久，被譽為“蔡州生姜”，它既是人們生活中不可缺少的調(diào)味品，又是優(yōu)良的中藥材．上蔡縣某村民合作社2019年種植生姜100畝，2021年該合作社擴大了上蔡縣生姜的種植面積，共種植144畝．(1)求該合作社這兩年種植上蔡生姜畝數(shù)的平均增長率．(2)假定該合作社種植生姜畝數(shù)的平均增長率保持不變，預計2022年底，該合作社種植生姜的畝數(shù)可否突破175畝？(3)某專賣店銷售上蔡縣生姜，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當生姜售價為20元/千克時，每天能售出200千克，售價每降低1元，每天可多售出50千克，為了推廣宣傳，該店決定降價促銷，已知生姜的平均成本價為12元/千克，若使銷售生姜每天獲利1800元，則售價應降低多少元？24．（2021·江蘇淮安·九年級期中）閱讀下面的材料，回答問題：解方程，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾?，．當時，，；當時，，；原方程有四個根：，，，．仿照上面方法，解方程：．25．（2022·河南安陽·九年級期末）近兩年直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音平臺上對一款成本價為60元的商品進行直播銷售，如果按每件100元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查，該商品售價每降低5元，日銷售量增加10件，設每件商品降價x元．(1)每件商品降價x元時，日銷售量為______件；(2)求x為何值時，日銷售能盈利1200元，同時又能盡快銷售完該商品；(3)麗麗的線下實體商店也銷售同款商品，標價100元．為了提高市場競爭力，促進線下銷售，麗麗決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（2）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？26．（2022·山東臨沂·九年級期末）某快餐店試銷某種套餐，每份套餐的成本為5元，該店每天固定支出費用為600元（不含套餐成本）．試銷一段時間后發(fā)現(xiàn)，若每份套餐售價不超過10元，每天可銷售400份；若每份套餐售價超過10元，每提高1元，每天的銷售量就減少40份．為了便于結算，每份套餐的售價x（元）取整數(shù)，用y（元）表示該店每天的利潤．(1)若每份套餐售價不超過10元．①試寫出y與x的函數(shù)關系式；②若要使該店每天的利潤不少于800元，則每份套餐的售價應為多少元？(2)該店把每份套餐的售價提高到10元以上，每天的利潤能否達到1560元？若不能，請說明理由；若能，求出每份套餐的售價應定為多少元時，既能保證利潤又能吸引顧客？27．（2021·湖北宜昌·中考真題）隨著農(nóng)業(yè)技術的現(xiàn)代化，節(jié)水型灌溉得到逐步推廣．噴灌和滴灌是比漫灌更節(jié)水的灌溉方式，噴灌和滴灌時每畝用水量分別是漫灌時的和．去年，新豐收公司用各100畝的三塊試驗田分別采用噴灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000噸．（1）請問用漫灌方式每畝用水多少噸？去年每塊試驗田各用水多少噸？（2）今年該公司加大對農(nóng)業(yè)灌溉的投入，噴灌和滴灌試驗田的面積都增加了，漫灌試驗田的面積減少了．同時，該公司通過維修灌溉輸水管道，使得三種灌溉方式下的每畝用水量都進一步減少了．經(jīng)測算，今年的灌溉用水量比去年減少，求的值．（3）節(jié)水不僅為了環(huán)保，也與經(jīng)濟收益有關系．今年，該公司全部試驗田在灌溉輸水管道維修方面每畝投入30元，在新增的噴灌、滴灌試驗田添加設備所投入經(jīng)費為每畝100元．在（2）的情況下，若每噸水費為2.5元，請判斷，相比去年因用水量減少所節(jié)省的水費是否大于今年的以上兩項投入之和？28．（2022·江蘇·九年級期末）定義，若關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根為（），分別以為橫坐標和縱坐標得到點，則稱點M為該一元二次方程的的衍生點．(1)若方程為，寫出該方程的的衍生點M的坐標．(2)若關于x的一元二次方程的衍生點為M，過點M向x軸和y軸作垂線，兩條垂線與坐標軸恰好圍成一個正方形，求m的值．(3)是否存在b，c，使得不論k（）為何值，關于x的方程的衍生點M始終在直線的圖象上，若有請求出b，c的值，若沒有說明理由．

【單元測試】第1章一元二次方程（夯實基礎）（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（2022·陜西安康·九年級期末）若是關于x的一元二次方程的一個根，則m的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】把x＝2代入x2﹣mx+2＝0，得到關于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．【詳解】解：根據(jù)題意，得，即，解得，．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．也考查了解一元一次方程．2．（2021·河南南陽·九年級期中）方程的解是（

）A． B． C．， D．，【答案】D【分析】先將原方程化成一般式，然后再運用因式分解法解答即可．【詳解】解：，．故選D．【點睛】本題考查用因式分解法解一元二次方程，掌握運用因式分解法解一元二次方程是解答本題的關鍵．3．（2022·湖南郴州·中考真題）一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A【分析】根據(jù)即可判斷．【詳解】解：，，，，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點睛】本題主要考查利用判別式來判斷一元二次方程根的個數(shù)：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根，掌握利用判別式判斷方程根的方法是解題的關鍵．4．（2022·貴州黔東南·中考真題）已知關于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（

）A．7 B． C．6 D．【答案】B【分析】根據(jù)根與系數(shù)關系求出=3，a=3，再求代數(shù)式的值即．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根分別記為，，∴+=2，∵，∴=3，∴·=-a=-3，∴a=3，∴．故選B．【點睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)關系，代數(shù)式的值，掌握一元二次方程的根與系數(shù)關系，代數(shù)式的值是解題關鍵．5．（2022·全國·九年級單元測試）若菱形兩條對角線的長度是方程的兩根，則該菱形的邊長為（

）A． B．4 C． D．5【答案】A【分析】先求出方程的解，即可得出AC＝4，BD＝2，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AO和OD，根據(jù)勾股定理求出AD即可．【詳解】解：解方程x2?6x＋8＝0得：x＝4或2，即AC＝4，BD＝2，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD＝＝，故選：A．【點睛】本題考查了解一元二次方程和菱形的性質(zhì)，能求出方程的解是解此題的關鍵．6．（2021·山東·費縣第二中學九年級階段練習）如果關于x的一元二次方程的兩根分別為，，那么這個一元二次方程是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系，直接代入計算即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程的兩根分別為，，∴3＋1＝?p，3×1＝q，∴p＝?4，q＝3，所以這個一元二次方程是，故選：A．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練掌握根與系數(shù)的字母表達式，并會代入計算．7．（2022·山東泰安·中考真題）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株樓后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設這批椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設這批椽的數(shù)量為x株，則一株椽的價錢為3（x?1）文，利用總價＝單價×數(shù)量，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：∵這批椽的數(shù)量為x株，每株椽的運費是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，∴一株椽的價錢為3（x?1）文，依題意得：3（x?1）x＝6210，故選：A．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．8．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，將圖1的正方形剪成四塊，恰能拼成圖2的矩形，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)左圖可以知道圖形是一個正方形，邊長為，右圖是一個長方形，長寬分別為、，并且它們的面積相等，由此即可列出等式，解方程即可求出．【詳解】解：依題意得，整理得：，則，方程兩邊同時除以，，（負值已經(jīng)舍去），故選：C．【點睛】此題主要考查了圖形的剪拼，此題是一個信息題目，首先正確理解題目的意思，然后會根據(jù)題目隱含條件找到數(shù)量關系，然后利用數(shù)量關系列出方程解決問題．二、填空題（本大題共有10小題，每題3分，共30分）9．（2022·全國·九年級單元測試）若關于x的方程是一元二次方程，則m=_____．【答案】1【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解，一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0，據(jù)此解答即可．【詳解】解：由題意得：，則，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的概念，只有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是(且)，特別要注意的條件，這是做題中容易忽視的知識點．10．（2021·廣東·道明外國語學校九年級階段練習）已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為_____．【答案】－1【分析】由關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，即可得判別式Δ＝0，繼而可求得k的值．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2?4ac＝（?2）2?4×1×（－k）＝4＋4k＝0，解得：k＝－1，故答案為：－1．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根與△＝b2?4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．11．（2021·廣西南寧·九年級期中）方程(a－1)x2＋2(a＋1)x＋a＋5=0有兩個實根，則正整數(shù)a的值為________.【答案】2或3##3或2【分析】當a≠1時，原方程為一元二次方程，根據(jù)題意，令△≥0即可求出此時a的取值范圍，在此取值范圍內(nèi)求出正整數(shù)a的值，即可得出結論．【詳解】解：方程(a－1)x2＋2(a＋1)x＋a＋5=0有兩個實根，所以：a-1≠0，故當a≠1時，原方程為一元二次方程，∵(a-1)x2+2(a+1)x+a+5=0有兩個實根，∴△=[2(a+1)]2－4(a-1)(a+5)≥0，解得：a≤3∴此時a≤3且a≠1故正整數(shù)a的值為：a=2或者3故答案為：2或3．【點睛】此題考查的是根據(jù)方程根的情況求參數(shù)的取值范圍，討論一元二次方程根的情況與△的關系是解決此題的關鍵．12．（2022·河北保定·九年級期末）一元二次方程的一個根為，則的值為________，另一根為________．【答案】

【分析】將x=-1代入方程即可求得k的值，然后利用根與系數(shù)的關系即可求出另一個跟從而得到答案．【詳解】解：設方程的另一個根為t，∵一元二次方程的一個根為x=-1，∴，解得，∴原方程為，∴，∴故答案為：，．【點睛】本題考查一元二次方程的解和一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是明確一元二次方程的解一定使得原方程成立．13．（2022·北京·九年級期末）我國南宋數(shù)學家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載了這樣一道題：“直田積八百六十四步，口云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步．”其大意為：一個矩形的面積為864平方步，寬比長少12步，問寬和長各多少步？設矩形的寬為x步，根據(jù)題意，可列方程為______．【答案】x(x+12)=864【分析】根據(jù)矩形的面積=長×寬列出方程即可．【詳解】解：設矩形的寬為x步，則長為(x+12)根據(jù)題意得x(x+12)=864．故答案為：x(x+12)=864．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題關鍵是正確地找出等量關系．14．（2022·黑龍江綏化·中考真題）設與為一元二次方程的兩根，則的值為________．【答案】20【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；【詳解】解：∵△=9-4=5＞0，∴，，∴=，故答案為：20；【點睛】本題考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解題關鍵．15．（2021·湖北襄陽·一模）如圖，把長為40cm，寬30cm的長方形硬紙板，剪掉2個小正方形和2個小長方形（陰影部分即剪掉的部分），將剩余的部分折成一個有蓋的長方體盒子，且折成的長方體盒子的表面積為888cm2，則剪掉的小正方形邊長為_____cm（紙板的厚度忽略不計）．【答案】6【分析】設剪掉的小正方形邊長為xcm，則剪掉的小長方形的長為40＝20（cm），寬為xcm，利用折成的長方體盒子的表面積＝長方形硬紙板的面積﹣2×剪掉的小正方形的面積﹣2×剪掉的小長方形的面積，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】解：設剪掉的小正方形邊長為xcm，則剪掉的小長方形的長為40＝20（cm），寬為xcm，依題意得：40×30﹣2x2﹣2×20x＝888，整理得：x2+20x﹣156＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣26（不合題意，舍去）．∴剪掉的小正方形邊長為6cm．故答案為：6．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．16．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，在的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25，點D在邊BC上，以AD為折痕將△ADB折疊得到△ADB′，AB′與邊BC交于點E．若為直角三角形，則BD的長是_____．【答案】17或【分析】先利用勾股定理可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再分①和②兩種情況，利用勾股定理建立方程，解方程即可得．【詳解】解：在中，，，由折疊的性質(zhì)得：，則分以下兩種情況：①如圖1，當時，為直角三角形，過點作的垂線，交延長線于點，則四邊形是矩形，，設，則，，在中，，即，解得或（舍去），即此時；②如圖2，當時，為直角三角形，由對頂角相等得：，，此時點與點重合，，設，則，在中，，即，解得，即此時；綜上，的長為17或，故答案為：17或．【點睛】本題考查了勾股定理與折疊問題、一元二次方程的應用、矩形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關鍵．17．（2020·山東濟南·中考真題）如圖，在一塊長15m、寬10m的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余分栽種花草，要使綠化面積為126m2，則修建的路寬應為_____米．【答案】1【分析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程求解即可．【詳解】解：設道路的寬為xm，根據(jù)題意得：（10﹣x）（15﹣x）＝126，解得：x1＝1，x2＝24（不合題意，舍去），則道路的寬應為1米；故答案為：1．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，把中間修建的兩條道路分別平移到矩形地面的最上邊和最左邊是做本題的關鍵．18．（2022·四川成都·九年級期末）將兩個關于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個方程為“同二次方程”．已知關于x的一元二次方程（）與方程是“同二次方程”，且方程（）有兩個根為、，則b－2c＝______，的最大值是______．【答案】

4；

-3【分析】利用（）與方程是“同二次方程”得出，，即可求出；利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可得，，進而得出，設（），得，根據(jù)方程有正數(shù)解可知，求出t的取值范圍即可求出的最大值．【詳解】解：根據(jù)新的定義可知，方程（）可變形為，∴，展開，，可得，，∴；∵，，∴，∵方程（）有兩個根為、，∴，且，∴，設（），得，∵方程有正數(shù)解，∴，解得，即，∴．故答案為：4，-3．【點睛】本題考查新定義、一元二次方程根與系數(shù)的關系以及根的判別式，由根與系數(shù)的關系得到是解題的關鍵．三、解答題（本大題共有10小題，共66分；第19-24每小題5分，第25-26每小題6分，第27小題10分，第28小題14分）19．（2020·江蘇無錫·九年級期中）解下列方程(1)4(x－2)2－25＝0；(2)(m＋1)2＝4(m＋1)；(3)(t＋3)(t－1)＝12；(4)3x2－5x＋4＝0【答案】(1)，；(2)，；(3)，；(4)方程無解【分析】（1）利用直接開平方法求解可得答案；（2）利用因式分解法求解即可；（3）整理為一般式，再利用因式分解法求解即可；（4）利用公式法求解即可．【詳解】（1）解∶∵4(x－2)2－25＝0，∴，∴，∴或，∴，；（2）解：∵(m＋1)2＝4(m＋1)，∴，∴，即，∴或，∴，；（3）解：∵(t＋3)(t－1)＝12，∴，∴，∴或，∴，；（4）解：∵a＝3，b＝－5，c＝4，∴，∴原方程沒有實數(shù)根．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．20．（2022·全國·九年級單元測試）已知關于x的方程．(1)求證：無論m為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設方程的兩根分別為，且分別是一個菱形的兩條對角線長，已知菱形的面積為6，求m的值．【答案】(1)見解析；(2)3【分析】（1）根據(jù)方程的根的判別式，得出△，即可證出方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，列出關于的方程，解方程并檢驗即可得答案．【詳解】（1）證明：△，△，總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：∵方程的兩根分別為，∴，由題意知：∴∴或．∵∴∴∴．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系以及根的判別式，解題的關鍵是掌握：（1）牢記“當△時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關系得出．21．（2021·湖南永州·中考真題）若是關于x的一元二次方程的兩個根，則．現(xiàn)已知一元二次方程的兩根分別為m，n．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）-1．【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得到．（1）把，代入，即可求出的值；（2）把，代入，得到．利用整體代入即可求解．【詳解】解：∵已知一元二次方程的兩根分別為m，n，∴．（1）當時，，解得，經(jīng)檢驗，是方程的根，∴；（2）當時，．∴．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)題意得到是解題關鍵．22．（2022·江蘇·九年級單元測試）閱讀下列材料：利用完全平方公式，可以將多項式ax2+bx+c（a≠0）變形為a（x+m）2+n的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式ax2+bx+c的配方法．運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行分解因式．例如：x2+11x+24＝（x+8）（x+3）根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)初步感知：用多項式的配方法將x2+8x﹣1化成（x+m）2+n的形式；(2)問題探究：下面是某位同學用配方法及平方差公式把多項式x2﹣3x﹣40進行分解因式的解答過程：解：x2﹣3x﹣40＝x2﹣3x+32﹣32﹣40＝（x﹣3）2﹣49＝（x﹣3+7）（x﹣3﹣7）＝（x+4）（x﹣10）老師說，這位同學的解答過程中有錯誤，請你找出該同學解答中開始出現(xiàn)錯誤的地方，并用“一一”標畫出來，然后寫出完整的、正確的解答過程．【答案】(1)；(2)標畫出的錯誤見解析；正確解答過程見解析【分析】（1）根據(jù)配方法，可得答案；（2）根據(jù)配方法，可以看出該同學的錯誤；再根據(jù)配方法和平方差公式，分解因式，可得答案．【詳解】（1）解：x2+8x﹣1（2）該同學第一步出現(xiàn)錯誤，如圖所示：正確的解答如下：【點睛】本題主要考查了配方法分解因式，熟練掌握配方法的基本步驟和平方差公式，是解題的關鍵．23．（2022·河南駐馬店·九年級期中）上蔡生姜味道純正，色澤金黃，無絲耐煮，味長久，被譽為“蔡州生姜”，它既是人們生活中不可缺少的調(diào)味品，又是優(yōu)良的中藥材．上蔡縣某村民合作社2019年種植生姜100畝，2021年該合作社擴大了上蔡縣生姜的種植面積，共種植144畝．(1)求該合作社這兩年種植上蔡生姜畝數(shù)的平均增長率．(2)假定該合作社種植生姜畝數(shù)的平均增長率保持不變，預計2022年底，該合作社種植生姜的畝數(shù)可否突破175畝？(3)某專賣店銷售上蔡縣生姜，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當生姜售價為20元/千克時，每天能售出200千克，售價每降低1元，每天可多售出50千克，為了推廣宣傳，該店決定降價促銷，已知生姜的平均成本價為12元/千克，若使銷售生姜每天獲利1800元，則售價應降低多少元？【答案】(1)這兩年上蔡生姜種植畝數(shù)的平均增長率為(2)預計年底，該合作社種植上蔡生姜的畝數(shù)不能突破畝(3)售價應降價元【分析】（1）設該合作社這兩年種植上蔡生姜畝數(shù)的平均增長率為，然后根據(jù)“上蔡縣某村民合作社2019年種植生姜100畝，2021年該合作社擴大了上蔡縣生姜的種植面積，共種植144畝”列一元二次方程求解即可；（2）根據(jù)“合作社種植生姜畝數(shù)的平均增長率保持不變”列式求出2022種植量，然后與175比較即可；（3）設售價應降低元，則每天可售出千克；然后根據(jù)題意列一元二次方程求解即可．【詳解】（1）解：設該合作社這兩年種植上蔡生姜畝數(shù)的平均增長率為，依題意，得：．解得：，（不合題意，舍去）．答：這兩年上蔡生姜種植畝數(shù)的平均增長率為．（2）解：144(1+20%)=172.8<175．∴預計年底，該合作社種植上蔡生姜的畝數(shù)不能突破畝．（3）解：設售價應降低元，則每天可售出千克，根據(jù)題意，得：，整理得：，解得：．答：售價應降價元．【點睛】本題主要考查了一元二次方程方程的應用、冽式求值等知識點，審清題意、找準等量關系、列出一元二次方程是解答本題的關鍵．24．（2021·江蘇淮安·九年級期中）閱讀下面的材料，回答問題：解方程，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設，那么，于是原方程可變?yōu)?，解得，．當時，，；當時，，；原方程有四個根：，，，．仿照上面方法，解方程：．【答案】，．【分析】設x2+3x=y，則原方程變?yōu)閥2+4y+3=0，求出y=-1，或y=-3，再分別解方程即可．【詳解】解：設x2+3x=y，則原方程變?yōu)閥2+4y+3=0，∴（y+1）（y+3）=0，解得y=-1，或y=-3，當y=-1時，x2+3x=-1，即x2+3x+1=0，解得x=，當y=-3時，x2+3x=-3，即x2+3x+3=0，因為?=32-4×3<0，所以方程沒有實數(shù)根，舍去；∴原方程有兩個根：，．【點睛】此題考查了換元法解一元二次方程，正確理解已知中的解題方法并仿照解題是解題的關鍵．25．（2022·河南安陽·九年級期末）近兩年直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音平臺上對一款成本價為60元的商品進行直播銷售，如果按每件100元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查，該商品售價每降低5元，日銷售量增加10件，設每件商品降價x元．(1)每件商品降價x元時，日銷售量為______件；(2)求x為何值時，日銷售能盈利1200元，同時又能盡快銷售完該商品；(3)麗麗的線下實體商店也銷售同款商品，標價100元．為了提高市場競爭力，促進線下銷售，麗麗決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（2）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？【答案】(1)；(2)x為20；(3)8折【分析】（1）按照“如果按每件100元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查，該商品售價每降低5元，日銷售量增加10件”直接列式即可；（2）根據(jù)（1）設的未知數(shù)，根據(jù)題意列一元二次方程求解即可；（3）設該商品需要打a折銷售，根據(jù)（2）可得售價不得超過（100-20）元，據(jù)此不等式求解即可．【詳解】（1）解：∵如果按每件100元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查，該商品售價每降低5元，日銷售量增加10件每件商品降價x元時，日銷售量為，即件．故答案為．（2）解：由題意得：即解得，因為盡快銷售完該商品，所以答：當x為20時，日銷售能盈利1200元，同時又能盡快銷售完該商品．（3）解：設該商品需要打a折銷售由題意得：，解得答：該商品至少需打8折銷售．【點睛】本題主要考查一元二次方程的實際應用以及一元一次不等式的應用，找準等量關系列出方程和不等式是解答本題的關鍵．26．（2022·山東臨沂·九年級期末）某快餐店試銷某種套餐，每份套餐的成本為5元，該店每天固定支出費用為600元（不含套餐成本）．試銷一段時間后發(fā)現(xiàn)，若每份套餐售價不超過10元，每天可銷售400份；若每份套餐售價超過10元，每提高1元，每天的銷售量就減少40份．為了便于結算，每份套餐的售價x（元）取整數(shù)，用y（元）表示該店每天的利潤．(1)若每份套餐售價不超過10元．①試寫出y與x的函數(shù)關系式；②若要使該店每天的利潤不少于800元，則每份套餐的售價應為多少元？(2)該店把每份套餐的售價提高到10元以上，每天的利潤能否達到1560元？若不能，請說明理由；若能，求出每份套餐的售價應定為多少元時，既能保證利潤又能吸引顧客？【答案】(1)①y＝400x﹣2600．（5＜x≤10），②9元或10元(2)能，套餐售價應定為11元【分析】（1）①本題考查的是分段函數(shù)的知識點．當5＜x≤10時，y＝400（x﹣5）﹣600；②根據(jù)利潤不少于800列不等式，解不等式，再根據(jù)x為整數(shù)即可得答案；（2）當x＞10時，y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，把y＝1560代入，并解答．【詳解】(1)解：①y＝400（x﹣5）﹣600=400x﹣2600．（5＜x≤10）．②依題意得：400x﹣2600≥800，解得：x≥8.5，又∵5＜x≤10，∴8.5≤x≤10．∵且每份套餐的售價x（元）取整數(shù)，∴每份套餐的售價應為9元或10元．(2)能，理由如下：依題意可知：每份套餐售價提高到10元以上時，y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，當y＝1560時，（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600＝1560，解得：x1＝11，x2＝14，為了保證凈收入又能吸引顧客，應取x1＝11，即x2＝14不符合題意．故該套餐售價應定為11