第二章2.12.1.1傾斜角與斜率知識點(diǎn)講練高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性

§2.1直線的傾斜角與斜率2．1.1傾斜角與斜率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直線的斜率和傾斜角的概念.2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3.了解斜率公式的推導(dǎo)過程，會應(yīng)用斜率公式求直線的斜率．導(dǎo)語交通工程上一般用“坡度”來描述一段道路對于水平方向的傾斜程度，如圖，一輛汽車沿某條道路從A點(diǎn)前進(jìn)到B點(diǎn)，在水平方向前進(jìn)的距離為AD，豎直方向上升的高度為DB(如果是下降，則DB的值為負(fù)實(shí)數(shù))，則坡度k＝eq\f(上升高度,水平距離)＝eq\f(DB,AD).若k>0，則表示上坡，若k<0，則表示下坡，為了實(shí)際應(yīng)用與安全，在道路鋪設(shè)時常要規(guī)劃坡度的大?。敲础捌露取笔侨绾蝸砜坍嫷缆返膬A斜程度的呢？一、直線的傾斜角問題1在平面中，怎樣才能確定一條直線？提示兩點(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)和一個方向也可以確定一條直線．問題2在平面直角坐標(biāo)系中，規(guī)定水平直線的方向向右，其他直線向上的方向?yàn)檫@條直線的方向，圖中過點(diǎn)P的直線有什么區(qū)別？提示直線的方向不同，相對于x軸的傾斜程度不同．知識梳理當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.注意點(diǎn)：(1)從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)來看，當(dāng)直線l與x軸相交時，直線l的傾斜角是由x軸繞直線l與x軸的交點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線l重合時所得到的最小正角．(2)傾斜角從“形”的方面直觀地體現(xiàn)了直線對x軸正向的傾斜程度．(3)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.例1(1)(多選)下列命題中，正確的是()A．任意一條直線都有唯一的傾斜角B．一條直線的傾斜角可以為－30°C．傾斜角為0°的直線有無數(shù)條D．若直線的傾斜角為α，則sinα∈(0,1)答案AC解析任意一條直線都有唯一的傾斜角，傾斜角不可能為負(fù)，傾斜角為0°的直線有無數(shù)條，它們都垂直于y軸，因此A正確，B錯誤，C正確．D中，當(dāng)α＝0°時，sinα＝0；當(dāng)α＝90°時，sinα＝1，故D錯誤．(2)(多選)設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為()A．α＋45° B．α－135°C．135°－α D．α－45°答案AB解析根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示．通過圖象可知，當(dāng)0°≤α<135°，l1的傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.反思感悟直線傾斜角的概念和范圍(1)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時要根據(jù)情況分類討論．(2)注意傾斜角的范圍．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為．答案60°或120°解析有兩種情況：①如圖(1)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為60°，即直線l的傾斜角為60°.②如圖(2)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為120°，即直線l的傾斜角為120°.(2)已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點(diǎn)為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角為．答案135°解析設(shè)直線l2的傾斜角為α2，l1和l2向上的方向所成的角為120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.二、直線的斜率問題3在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α.(1)已知直線l經(jīng)過O(0,0)，P(eq\r(3)，1)，α與O，P的坐標(biāo)有什么關(guān)系？(2)類似地，如果直線l經(jīng)過P1(－1,1)，P2(eq\r(2)，0)，α與P1，P2的坐標(biāo)有什么關(guān)系？(3)一般地，如果直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α與P1，P2的坐標(biāo)有什么關(guān)系？提示(1)tanα＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).(2)tanα＝eq\f(1,－1－\r(2))＝1－eq\r(2).(3)tanα＝eq\f(y2－y1,x2－x1).知識梳理1．把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.2．直線的方向向量與斜率的關(guān)系：若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k＝eq\f(y,x).注意點(diǎn)：(1)當(dāng)x1＝x2時，直線的斜率不存在，傾斜角為90°.(2)斜率公式中k的值與P1，P2兩點(diǎn)在該直線上的位置無關(guān)．(3)斜率公式中兩縱坐標(biāo)和兩橫坐標(biāo)在公式中的次序可以同時調(diào)換．(4)若直線與x軸平行或重合，則k＝0.例2(1)經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角．①A(2,3)，B(4,5)；②C(－2,3)，D(2，－1)；③P(－3,1)，Q(－3,10)．解①存在．直線AB的斜率kAB＝eq\f(5－3,4－2)＝1，則直線AB的傾斜角α滿足tanα＝1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝45°.②存在．直線CD的斜率kCD＝eq\f(－1－3,2－－2)＝－1，則直線CD的傾斜角α滿足tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝135°.③不存在．因?yàn)閤P＝xQ＝－3，所以直線PQ的斜率不存在，傾斜角α＝90°.(2)求經(jīng)過兩點(diǎn)A(a,2)，B(3,6)的直線的斜率．解當(dāng)a＝3時，斜率不存在；當(dāng)a≠3時，直線的斜率k＝eq\f(4,3－a).反思感悟求直線的斜率的兩種方法(1)利用定義：已知直線的傾斜角為α，且α≠90°，則k＝tanα.(2)利用斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．跟蹤訓(xùn)練2(1)若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為．答案－eq\r(3)(2)若過點(diǎn)P(－2，m)，Q(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為．答案1解析由斜率公式k＝eq\f(4－m,m＋2)＝1，得m＝1.(3)已知直線l的方向向量的坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，則直線l的傾斜角為．答案eq\f(π,3)解析設(shè)直線l的斜率為k，則k＝eq\r(3)，所以直線的傾斜率為eq\f(π,3).三、傾斜角和斜率的應(yīng)用問題4當(dāng)直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°，其斜率如何變化？為什么？提示當(dāng)傾斜角為銳角時，斜率為正，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大；當(dāng)傾斜角為鈍角時，斜率為負(fù)，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大．知識梳理設(shè)直線的傾斜角為α，斜率為k.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范圍k＝0k>0不存在k<0k的增減性隨α的增大而增大隨α的增大而增大例3已知兩點(diǎn)A(－3,4)，B(3,2)，過點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)．(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．解如圖，由題意可知kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1，(1)要使l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.反思感悟傾斜角和斜率的應(yīng)用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯(lián)系．(2)涉及直線與線段有交點(diǎn)問題常通過數(shù)形結(jié)合利用公式求解．跟蹤訓(xùn)練3已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點(diǎn)D在線段BC(包括端點(diǎn))上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍．解(1)由斜率公式可得直線AB的斜率kAB＝eq\f(2－3,－4－3)＝eq\f(1,7).直線AC的斜率kAC＝eq\f(－2－3,0－3)＝eq\f(5,3).故直線AB的斜率為eq\f(1,7)，直線AC的斜率為eq\f(5,3).(2)如圖所示，當(dāng)D由B運(yùn)動到C時，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的變化范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))).1．知識清單：(1)直線的傾斜角及其范圍．(2)直線斜率的定義和斜率公式．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合思想．3．常見誤區(qū)：忽視傾斜角范圍，圖形理解不清．1．(多選)下列說法正確的是()A．若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°B．若k是直線的斜率，則k∈RC．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D．任意一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角答案ABC2．若經(jīng)過A(m,3)，B(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45°，則m等于()A．2B．1C．－1D．－2答案A解析由題意知，tan45°＝eq\f(2－3,1－m)，得m＝2.3．已知經(jīng)過點(diǎn)P(3，m)和點(diǎn)Q(m，－2)的直線的斜率為2，則m的值為()A．－1B．1C．2D.eq\f(4,3)答案D解析由eq\f(m－－2,3－m)＝2，得m＝eq\f(4,3).4．經(jīng)過A(m,3)，B(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角α的取值范圍是．(其中m≥1)答案0°<α≤90°解析當(dāng)m＝1時，傾斜角α＝90°；當(dāng)m>1時，tanα＝eq\f(3－2,m－1)>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.課時對點(diǎn)練1．下面選項(xiàng)中，兩點(diǎn)確定的直線的斜率不存在的是()A．(4,2)與(－4,1) B．(0,3)與(3,0)C．(3，－1)與(2，－1) D．(－2,2)與(－2,5)答案D解析D項(xiàng)，因?yàn)閤1＝x2＝－2，所以直線垂直于x軸，傾斜角為90°，斜率不存在．2．(多選)已知直線斜率的絕對值為eq\r(3)，則直線的傾斜角可以為()A．30°B．60°C．120°D．150°答案BC解析由題意得直線的斜率為eq\r(3)或－eq\r(3)，故直線的傾斜角為60°或120°.3．已知點(diǎn)A(eq\r(3)，1)，B(3eq\r(3)，3)，則直線AB的傾斜角是()A．60° B．30°C．120° D．150°答案B解析kAB＝eq\f(3－1,3\r(3)－\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴tanθ＝eq\f(\r(3),3)且0°≤θ＜180°，∴θ＝30°.4．若某直線的斜率k∈(－∞，eq\r(3)]，則該直線的傾斜角α的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))答案C解析∵直線的斜率k∈(－∞，eq\r(3)]，∴k≤taneq\f(π,3)，∴該直線的傾斜角α的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).5．如圖，若直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k1＜k2C．k1＜k2＜k3 D．k3＜k2＜k1答案A解析設(shè)直線l1，l2，l3的傾斜角分別為α1，α2，α3，則由圖知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，所以tanα1＜0，tanα2＞tanα3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0.6．直線l過點(diǎn)A(1,2)，且不過第四象限，則直線l的斜率的取值范圍是()A．[0,2] B．[0,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))答案A解析如圖所示，當(dāng)直線l在l1的位置時，k＝tan0°＝0；當(dāng)直線l在l2的位置時，k＝eq\f(2－0,1－0)＝2，故直線l的斜率的取值范圍是[0,2]．7．已知點(diǎn)A(1,2)，若在坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)P，使直線PA的傾斜角為135°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．答案(3,0)或(0,3)解析由題意知，kPA＝－1，若點(diǎn)P在x軸上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(m,0)(m≠1)，則eq\f(0－2,m－1)＝－1，解得m＝3，即P(3,0)．若點(diǎn)P在y軸上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(0，n)，則eq\f(n－2,0－1)＝－1，解得n＝3，即P(0,3)．綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)或(0,3)．8．若經(jīng)過點(diǎn)A(1－t,1＋t)和點(diǎn)B(3,2t)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．答案(－2,1)解析由題意知，kAB＝eq\f(2t－1＋t,3－1－t)＝eq\f(t－1,t＋2).因?yàn)橹本€的傾斜角為鈍角，所以kAB＝eq\f(t－1,t＋2)<0，解得－2<t<1.9．已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)A(－1，m)，B(m,1)，問：當(dāng)m取何值時：(1)直線l與x軸平行？(2)直線l與y軸平行？(3)直線l的方向向量的坐標(biāo)為(3,1)．(4)直線的傾斜角為45°？(5)直線的傾斜角為銳角？解(1)若直線l與x軸平行，則直線l的斜率k＝0，∴m＝1.(2)若直線l與y軸平行，則直線l的斜率不存在，∴m＝－1.(3)直線l的方向向量的坐標(biāo)為(3,1)，故k＝eq\f(1,3)，即eq\f(1－m,m＋1)＝eq\f(1,3)，解得m＝eq\f(1,2).(4)由題意可知，直線l的斜率k＝1，即eq\f(m－1,－1－m)＝1，解得m＝0.(5)由題意可知，直線l的斜率k>0，即eq\f(m－1,－1－m)>0，解得－1<m<1.10.如圖所示，菱形OBCD的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，OB邊在x軸的正半軸上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各邊和兩條對角線所在直線的傾斜角和斜率．解在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直線OD，BC的傾斜角相等，都為60°，所以kOD＝kBC＝tan60°＝eq\r(3).因?yàn)镃D∥OB，且OB在x軸上，所以直線OB，CD的傾斜角相等，都為0°，所以kOB＝kCD＝0，由菱形的性質(zhì)，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直線OC，BD的傾斜角分別為30°，120°，所以kOC＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，kBD＝tan120°＝－eq\r(3).11．如果直線l先沿x軸負(fù)方向平移2個單位長度，再沿y軸正方向平移2個單位長度后，又回到原來的位置，那么直線l的斜率是()A．－2B．－1C．1D．2答案B解析設(shè)A(a，b)是直線l上任意一點(diǎn)，則平移后得到點(diǎn)A′(a－2，b＋2)，于是直線l的斜率k＝kAA′＝eq\f(b＋2－b,a－2－a)＝－1.12．已知點(diǎn)A(2,3)，B(－3，－2)，若直線l過點(diǎn)P(1,1)，且與線段AB始終沒有交點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)<k<2)))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(k>2或k<\f(3,4)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(k>\f(3,4))))) D．{k|k<2}答案A解析∵kAP＝eq\f(3－1,2－1)＝2，kBP＝eq\f(－2－1,－3－1)＝eq\f(3,4)，如圖，∵直線l與線段AB始終沒有交點(diǎn)，∴斜率k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2)).13．已知直線l的傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，則直線l的斜率的取值范圍是．答案(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析當(dāng)傾斜角α＝eq\f(π,2)時，l的斜率不存在；當(dāng)α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))時，l的斜率k＝tanα∈[1，＋∞)；當(dāng)α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))時，l的斜率k＝tanα∈(－∞，－1]．14．已知O(O為坐標(biāo)