理解抽象的層次性落實數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

【摘要】本文基于王尚志教授對三角函數(shù)概念形成的教學(xué)分析，從數(shù)學(xué)抽象思維過程的層次性與產(chǎn)物結(jié)構(gòu)的層次性兩方面出發(fā)，對三角函數(shù)概念形成的六個主要階段進行教學(xué)設(shè)計，為教師在實際教學(xué)中理解數(shù)學(xué)抽象的過程與層次性，發(fā)掘數(shù)學(xué)抽象之美，落實數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提供啟示?！娟P(guān)鍵詞】三角函數(shù)；數(shù)學(xué)抽象；概念形成；層次分析一、引言《國務(wù)院辦公廳關(guān)于新時代推進普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》中明確指出：“深化課堂教學(xué)改革……培養(yǎng)適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力?！保?］為了能在數(shù)學(xué)課堂中高效率地落實核心素養(yǎng)，王尚志教授在“國培計劃（2020）”天津師范大學(xué)培訓(xùn)班中，以任意角三角函數(shù)概念的形成為例，鞭辟入里地闡釋如何理解數(shù)學(xué)抽象的層次性，進而落實數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。任意角的三角函數(shù)在三角學(xué)中具有重要地位，由于其定義方式與冪、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的定義方式有所不同，因此引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)任意角三角函數(shù)的概念歷來都是教學(xué)中的重點和難點。［2］在以往的教學(xué)設(shè)計中，章建躍的單位圓定義法單刀直入［3］，再在適當?shù)臅r機聯(lián)系銳角三角函數(shù)，不失為一種不錯的選擇。不過這種設(shè)計在導(dǎo)入的伊始，與學(xué)生已有認知結(jié)構(gòu)中銳角三角函數(shù)概念的聯(lián)系不夠緊密，可能會增加學(xué)生的認知負荷。那么，如何在保證借助單位圓定義三角函數(shù)的前提下，照顧到學(xué)生的銳角三角函數(shù)的經(jīng)驗基礎(chǔ)，實施任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)呢？本文立足于數(shù)學(xué)抽象的層次性，深入分析三角函數(shù)概念形成過程中抽象的六個階段，為廣大一線教師實施教學(xué)、落實數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提供啟示。二、數(shù)學(xué)抽象的層次性分析數(shù)學(xué)研究對象是對現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的逐級抽象形成的形式化思想材料，這種思想材料的獲得并不是一蹴而就的，而是逐級抽象的結(jié)果。［4］數(shù)學(xué)本身是一個層次分明的學(xué)科，每一層都是建立在之前的層次之上。數(shù)學(xué)抽象的層次性可以從兩方面理解：一是在思維過程中體現(xiàn)層次性，二是在產(chǎn)物結(jié)構(gòu)上具有層次性。（一）數(shù)學(xué)抽象在思維過程中體現(xiàn)層次性從思維過程與活動上看，數(shù)學(xué)抽象具有層次性。史寧中等把數(shù)學(xué)概念的抽象過程劃分為三個層級：第一層是簡約階段，包含辨別、分化、類化3個步驟；第二層是符號階段，包含檢驗、概括2個步驟；第三層是普適階段，包含推廣、形式2個步驟。［5］這三個層級7個步驟共同組成了概念形成的一般抽象過程。在任意角三角函數(shù)概念形成的教學(xué)中，這7個步驟可構(gòu)成教學(xué)內(nèi)容的明線，通過建立認知沖突，體會用單位圓定義三角函數(shù)的便利性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。（二）數(shù)學(xué)抽象在產(chǎn)物結(jié)構(gòu)上具有層次性從數(shù)學(xué)內(nèi)容上看，數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物在結(jié)構(gòu)上也具有層次性。為反映抽象物所具有的抽象性層次，徐利治等定義了抽象度的概念，創(chuàng)立了抽象度分析法，以對數(shù)學(xué)概念和具體數(shù)學(xué)問題中的抽象程度進行分析。［6］他將數(shù)學(xué)抽象的方法分為強抽象、弱抽象、廣義抽象，分別刻畫了特殊化、一般化、類比聯(lián)想、歸納猜測等思想方法的表現(xiàn)形式。在任意角三角函數(shù)概念的抽象過程中，需要從初中已形成的三角函數(shù)原型中選取某一側(cè)面加以抽象，從而獲得更廣的認識結(jié)構(gòu)，使原結(jié)構(gòu)成為新結(jié)構(gòu)的特例，這也是概念擴張式抽象中的弱抽象。具體可寫出如下抽象概念鏈：銳角三角函數(shù)值?以角為自變量的三角函數(shù)?一般三角函數(shù)其中?是構(gòu)成抽象鏈的序關(guān)系。在教學(xué)過程中，這一三角函數(shù)的抽象鏈可構(gòu)成教學(xué)內(nèi)容的暗線，引導(dǎo)學(xué)生從已形成的銳角三角函數(shù)的認識基礎(chǔ)出發(fā)，深化對三角函數(shù)概念的理解，形成一般三角函數(shù)的概念。三、基于數(shù)學(xué)抽象層次分析的“任意角三角函數(shù)概念”教學(xué)設(shè)計（一）辨別階段：初中形成的三角函數(shù)概念辨別階段主要是辨別各種刺激模式。這些刺激模式可以是學(xué)生已形成的認知經(jīng)驗基礎(chǔ)，也可以是與學(xué)生日常生活相關(guān)的經(jīng)驗事實。從初中銳角三角函數(shù)的定義入手，有利于調(diào)動學(xué)生在初中三角函數(shù)學(xué)習過程中的有關(guān)知識，進而實現(xiàn)由外部刺激引入學(xué)習情境。通過對三角函數(shù)概念體系進行逐級抽象，學(xué)生可以看清知識的來龍去脈，認識到三角函數(shù)在不同階段領(lǐng)域的聯(lián)系與區(qū)別，展示數(shù)學(xué)抽象的獨特魅力。問題1在初中，我們是如何研究銳角α的正弦、余弦函數(shù)的？初中是利用相似的直角三角形，探索學(xué)習特殊角銳角三角函數(shù)的值。這主要研究的是銳角三角函數(shù)值的計算，而不是真正意義上的函數(shù)分析。可倘若以單位圓的定義方式直接引入，學(xué)生難免會產(chǎn)生“為什么引進單位圓？這一做法是如何想到的？”等疑問。因此在教學(xué)過程設(shè)計中，從學(xué)生已有認知結(jié)構(gòu)中對邊的比的認識出發(fā)，明確數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)與原型，有助于實現(xiàn)三角函數(shù)概念從初中靜態(tài)認識到高中動態(tài)理解的順利過渡。（二）分化階段：讓變化融入三角函數(shù)分化階段主要是分化出各種刺激模式的屬性。為理解高中三角函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，就需要從函數(shù)和變化的視角對刺激模式的屬性予以分化。三角函數(shù)概念的抽象過程需要學(xué)生親身經(jīng)歷、動手體驗，在再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程中逐漸形成對概念的深刻認識，因此通過尋找具體三角函數(shù)值的幾何表征，讓學(xué)生感受用不同方式描述三角函數(shù)概念的特點，該過程有利于發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。問題2（1）如何用幾何圖形畫出sin60°？（2）再畫一個sin45°，你會選用何種方法？（3）在之前的學(xué)習中，我們知道函數(shù)是研究事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。以區(qū)間0°到90°為例，如何在變化中表示三角函數(shù)？初中大多是在靜態(tài)的過程中研究直角三角形的邊角關(guān)系，而函數(shù)是研究變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，因此就需要學(xué)生從變化的角度重新認識三角函數(shù)。以0°到90°為例，從邊的比方面考慮，有兩種描述變化的表示方法：第一種是固定直角三角形的一條直角邊的長度，通過變化另一條直角邊與斜邊的長度進而表示不同角度的大小如圖2（a）；第二種是固定一條斜邊的長度，通過兩條直角邊的變化對不同的角度進行表示如圖2（b）。通過幾何直觀的形式展現(xiàn)直角三角形中兩種邊角關(guān)系變化的描述方法，有利于突破在（單位）圓中定義任意角三角函數(shù)的教學(xué)難點。問題3圖2中描述變化的方式有什么不同？各自有何優(yōu)勢？圖2（a）的描述方式可以直接從初中所學(xué)的知識推廣得出，也可以連續(xù)地描述角的變化情況，學(xué)生易于理解和接受。但是這種方式既不利于用代數(shù)符號對變化的量予以表征，也不利于推廣至大于90°角的情形。對于圖2（b），由于直角三角形斜邊的長度是固定不變的，因此線段的一個端點繞另一個端點旋轉(zhuǎn)一周所形成的軌跡就是一個圓，如果簡化一點就可以把它看作是一個單位圓，對于給定的0°到90°的銳角α，角的一邊與單位圓交點的橫坐標與初中所定義的cosα保持一致，縱坐標與初中定義的sinα保持一致。教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生對這兩種方式進行比較，有利于明確引入單位圓模型的自然性與合理性，同時借助單位圓模型把握三角函數(shù)概念中的關(guān)鍵屬性——終邊與單位圓交點的橫坐標與縱坐標。（三）類化階段：從0°到90°的三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類化階段主要是提出抽象對象關(guān)鍵屬性的種種假設(shè)。在三角函數(shù)概念的形成過程中，共同關(guān)鍵屬性可假設(shè)為：角度同角的終邊與單位圓的交點的橫、縱坐標分別一一對應(yīng)。在概念形成的同時滲透坐標法的思想，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。與此同時，依托數(shù)學(xué)思想方法可以深化對三角函數(shù)概念的理解，有助于學(xué)生認識并形成數(shù)學(xué)抽象的思維方式，進而感受數(shù)學(xué)抽象之美。問題4圖2中哪種描述變化的方式更有利于三角函數(shù)概念的推廣？為什么？對任意角三角函數(shù)概念的拓展，首先需要對角的定義進行推廣，其次要對三角函數(shù)的定義進行推廣。角的定義的推廣在之前的學(xué)習中就已經(jīng)完成。對于三角函數(shù)的概念而言，借助單位圓模型是更有利于推廣的，因為在這個模型中滲透了解析幾何的思想——以點的坐標替代邊的比例關(guān)系。因此借助直角坐標系的單位圓模型，從0°到90°角拓展至任意角的過程中，角的終邊始終會與單位圓有一個唯一交點P，此時點P的橫坐標x就是0°到90°角的橫坐標的推廣，我們將其定義為cosα，縱坐標[y]定義為sinα，縱坐標與橫坐標的比y/x定義為tanα。解析幾何的思想不僅體現(xiàn)在任意角三角函數(shù)概念的形成過程中，在描述一般函數(shù)變化時，坐標思想也起到了重要作用。通過上述過程引導(dǎo)學(xué)生感悟坐標在解決函數(shù)問題時的實用性，這對培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力，在特定的情境中檢驗假設(shè)，確認用點的坐標定義任意角三角函數(shù)這個關(guān)鍵屬性都具有重要意義。（四）檢驗階段：從任意角三角函數(shù)到三角函數(shù)檢驗階段主要是在特定的情境中檢驗假設(shè)，確認概念的關(guān)鍵屬性。在檢驗過程中，采用變式是一種有效手段。通過列舉其他周期變化現(xiàn)象的實例，展示三角函數(shù)概念由淺入深的抽象過程，實現(xiàn)從“角度與實數(shù)集之間一一對應(yīng)”到“實數(shù)集與實數(shù)集之間一一對應(yīng)”的突破。學(xué)生逐步形成具體模型到形式模型的一般認識，感受數(shù)學(xué)抽象的層次性。問題5三角函數(shù)除了描述物體做勻速圓周運動，還能描述如簡諧振動、潮汐變化等周期變化。以角為自變量的三角函數(shù)與一般三角函數(shù)概念之間存在哪些差別？第一，以角為自變量的三角函數(shù)不足以反映對三角函數(shù)的整體的理解。例如潮汐現(xiàn)象也是可以利用三角函數(shù)來描述的一個現(xiàn)實模型，其自變量是時間而不是角度。此外，簡諧振動、交流電等均可以用三角函數(shù)來描述。這些周期變化的自變量和函數(shù)值都可以是與角無關(guān)的其他量。（五）概括階段：整體理解三角函數(shù)概念概括階段主要是在概括的基礎(chǔ)上形成概念。在驗證了假設(shè)后，需要將關(guān)鍵屬性抽象出來，并能區(qū)分有從屬關(guān)系的概念之間的不同屬性。將高中三角函數(shù)的概念與初中三角函數(shù)、高中函數(shù)概念的相關(guān)觀念分化，并用語言概括說明。這一階段可以幫助學(xué)生梳理三角函數(shù)概念的抽象過程，形成概念的邏輯鏈條，實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力的螺旋發(fā)展。問題6如何從多個角度全面理解三角函數(shù)概念？第一個角度：三角函數(shù)是刻畫變量間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。第二個角度：三角函數(shù)是實數(shù)集之間特殊的對應(yīng)關(guān)系。第三個角度：三角函數(shù)是平面直角坐標系中一種特殊的圖象。通過深入剖析概念的內(nèi)涵全面認識三角函數(shù)，使三角函數(shù)概念與學(xué)生已有認知結(jié)構(gòu)中初中三角函數(shù)的概念、函數(shù)的概念、函數(shù)圖象的概念建構(gòu)起實質(zhì)性的聯(lián)系，這也是三角函數(shù)概念形成過程中的一個關(guān)鍵步驟。（六）推廣階段：全面認識函數(shù)，感悟數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)推廣階段主要是將新概念的共同關(guān)鍵屬性拓展到同類事物中去。三角函數(shù)既然是一類函數(shù)，那么便可以用函數(shù)的研究方法去探究三角函數(shù)的基本要素（定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系）和有關(guān)性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性等）。此過程可以促使學(xué)生將三角函數(shù)的概念融會貫通，內(nèi)化認知。問題7回憶三角函數(shù)概念的學(xué)習過程，你對函數(shù)的概念又有了哪些新的認識？在三角函數(shù)概念的形成過程中，需要站在變化的視角對角的大小進行描述，也需要在自變量與因變量是兩個實數(shù)集的情況下進行研究，這兩個特點也正是高中函數(shù)概念之精華所在