湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2024屆高三年級下冊2月收心考試數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

2024年新高考聯(lián)考協(xié)作體高三2月收心考試

數(shù)學(xué)

（滿分150分，考試時間120分鐘.）

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考

證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙

和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

x

A=[xeR|log?（x-i）<l\,B-[y\y=2.xEA\An

1.已知I1/HPJ,則AcB等于（）

A.0B.{x[2<%<3}

C.^x|l<x<81D.1x|l<x<3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足忖?z=2G-2i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知拋物線C的頂點在原點，焦點尸在坐標軸上，點p關(guān)于其準線的對稱點為（6,0）,則。的方程為（）

A.y1--8xB.y~--4xC.y~=8xD.y2-4x

4.某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2023年全年投入研發(fā)資金160萬元，在此基

礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長10%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是

（）（參考數(shù)據(jù)：lgl.b0.04,1g2ao.30）

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

5.已知e是單位向量，且|2e—4=a+2e在。上的投影向量為5e,則。與e的夾角為（）

64312

2Y-8V

6.已知函數(shù)/（%）=（a〉0且a/l）是偶函數(shù)，則。=（）

x-ax

i1

A.-B.-C.2D.4

24

7.已知圓C:一+：/—2x=0,過圓C外一點P作圓的兩條切線，切點分別為A,3,三角形7^45的面積

為昱,則尸C的長為（）

12

26

DR.--C.由D.2

3

8.已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，貝產(chǎn)存在正整數(shù)左，對于"eN*,%〉6+,恒成立”是：“｛?！保秊檫f減數(shù)列”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形

的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，A4垂直于底面，9=5,底面

7T

扇環(huán)所對的圓心角為一，弧的長度是弧5c長度的3倍，8=2,則下列說法正確的是（）

2

Q1

A.弧AT＞長度為一兀B.曲池的體積為」

23

C.曲池的表面積為20+14兀D.三棱錐A-CQD的體積為5

10.設(shè)函數(shù)“xQog/d—3詞（"0且"I）在區(qū)間［Q）上單調(diào)遞減，則“的取值可以為（）

A.—B.2C.-D.3

223

11.數(shù)列｛4｝共有11項，前11項和為S「且滿足(a"］一為『=3(4+1—4)—2,q=l,則下列說法正

確的是()

A.｛4｝可以是等差數(shù)列

B.｛%｝可以不是等差數(shù)列

C.所有符合已知條件的數(shù)列｛%｝中，5口的取值個數(shù)為55

D.符合已知條件且滿足2%,=4+an的數(shù)列｛%｝的個數(shù)為252

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知a,6是不同的直線，a,尸是不同的平面，則下列四個結(jié)論：

①若a//a,a//，，則a//月；②若alib,alla,則》//a；

③若a_Ltz,a_L/?,則a//￡；④若夕人/7,?//?,則a_L/7；

以上結(jié)論中，正確的序號是.

13.如圖，圓和直角梯形A3CZ),其中==且A,C,￡＞三點在

圓上，則圓面積為.

14.將函數(shù)/(x)=2sinx-1的圖象上所有點的橫坐標不變縱坐標伸長為原來的2倍，向下平移1個單位長

度，向左平移°(ee(O,司)個單位長度，最后所有點的縱坐標不變橫坐標壓縮到原來的0.5倍，得到函數(shù)

兀7C

g(x)的圖象.若對任意石e0,-，都存在々e--,0，使得/(xj=g(x2)，則。的取值范圍為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

cosB

15.記A5c的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,c,已知-----=tanC

1+siaB

TT

(1)若。二一，求

6

7

(2)若b=—c,求sinC的值.

2

16.已知盒中有4個黑球和2個白球，每次從盒中不放回的隨機摸取1個球，直到盒中剩下的球顏色相同就

停止摸球

(1)求摸球兩次后就停止摸球的概率；

(2)記摸球的次數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和期望.

17.如圖，在四棱錐P—A5CD中，底面A3CD為菱形，上底面A5CD,PA=AB=2,BD=2&E

為線段PB的中點，點G在線段PC上(不含端點)，再從下面三個條件中選擇一個條件作為

4

己知條件.

①AE、G、尸四點共面②AG,平面PBD③EG〃平面產(chǎn)

(1)求——的值；

PC

(2)求平面AEG與平面APF所成角余弦值.

22

is,已知橢圓°：。+2=1(?！?〉0)長軸左右頂點分別為4,4,短軸的上下頂點分別為耳，鳥，四

邊形431A與面積為4,橢圓。的離心率是2

2

(1)求C方程;

(2)過點T(2,l)的直線交C于P,Q兩點，直線用P,與Q與直線y=-l的交點分別為證明：線

段"N的中點為定點.

19.函數(shù)〃無）=圖像與X軸兩交點為A（X，O）,B（x2,O）（x2

（1）令/，（x）=/（x）-lnx+x,若/i（x）有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）證明：石/<1；

（3）證明：當時，以A5為直徑的圓與直線y=￥（x+l）恒有公共點.

（參考數(shù)據(jù)：e0-25~1.3,e"土12.2）

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

A=（XGR|log9（x-l）<l],jB=b|y=2=x￡A14n

1.已知122lJ廣[上J,則AcB等于（）

A.0B.1x|2<%<31

C.1x|l<x<81D,|x|l<x<31

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求得人={%|1<%<3}和5={y[2<y<8},結(jié)合集合交集

的運算，即可求解.

【詳解】由不等式log2（x—1）<1,可得0<x—1<2,解得1<%<3,即4={為由<x<3},

又由集合3={y|y=2",xeA}={y[2<y<8},

根據(jù)集合交集運算，可得403={%|2<%<3}.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足忖?z=26-2i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,3eR),代入忖?z=2G-2i,根據(jù)復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷(aSeR),

因忖-[=？4一2i,

所以7?2+b2\a+bi)=ayJa2+b2+by/a2+/i=2也-2i,

a]cr+b"=2.yf3a=s/3r-

可得<______,解得<,所以z=6—i,

b^cr+lr=-2W=T

則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.

故選：D.

3.已知拋物線。的頂點在原點，焦點P在坐標軸上，點P關(guān)于其準線的對稱點為(6,0),則。的方程為()

A.y2=-8xB.>2=-4XC.y~-8xD.y2-4x

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)拋物線的方程為V=—2px(o>0),設(shè)焦點R關(guān)于準線/的對稱點為P(Xo,O),求得

x0=—>得到2=6,進而的拋物線的方程.

22

【詳解】由題意，設(shè)拋物線的方程為丁=—2加(2>0),

可得焦點坐標R(-￡,0),準線方程為/:%="，

22

設(shè)焦點廠關(guān)于準線/對稱點為&玉”0)，可得天+(—解得/=學(xué)，

因為點廠關(guān)于其準線的對稱點為(6,0),可得弓=6,解得。=4,

所以拋物線的方程為V=-8x.

故選：A.

4.某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2023年全年投入研發(fā)資金160萬元，在此基

礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長10%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是

()(參考數(shù)據(jù)：用.1。0.04,32。0.30)

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

【答案】C

【解析】

【分析】假設(shè)經(jīng)過九年后全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，列不等式求解即可.

【詳解】假設(shè)經(jīng)過〃年后全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，

l-31g20.1

即160?(1.1)”〉200,所以〃〉，=2.5,

lgl.1oH

因此超過200萬元的年份是2026年.

故選：C.

5.已知e是單位向量，且|2e—a|="5,a+2e在g上的投影向量為5e,則。與e的夾角為()

717171571

A.-B.-C.-D.—

64312

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量可求得利用|2e-=10可求得同，根據(jù)向量夾角公式可求得結(jié)果.

【詳解】。+助在e上的投影向量為(a-e+2\e=5e,.-.a-e=3,

:.\le-a^=4e2-4?-e+?2=?2-8=10,解得：|?|=3^2,

a-e_3_41

cos(a,e)又依刀e[0,7i],

|?|-|e|-372-2

故選：B.

6.已知函數(shù)/(x)=—^-(a〉0且a/l)是偶函數(shù)，則。=()

i1

A.-B.-C.2D.4

24

【答案】D

【解析】

【分析】利用偶函數(shù)的定義求解參數(shù)即可.

2-8%

【詳解】因為〃％）=（Q〉0且Qw1）是偶函數(shù),

x-ax

2'—8、2一一8r2-8”-8、+2%

所以---丁x=7―\——，-------=a-----------，

x-a（—%）?〃xax2、8

因此：a2x=2X-Sx,/=16,〃=4（舍負），

故選：D.

7.已知圓C:3+y2—2%=0,過圓c外一點P作圓的兩條切線，切點分別為AB,三角形的面積

為旦,則PC的長為（）

12

A.2B.冬8C.73D.2

33

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件設(shè)NAPC=i,得Sp..=』|PA|2sin2a=立，在Rt^APC中，|申|用一^

PAB21211tana

7T

表示，由此得到關(guān)于a的方程，三角恒等變換化簡解得&=—,即可在RtA4PC中求解PC.

3

【詳解】因為。：必+/-2x=0可化為（龍一1）2+丁=1,

19

設(shè)ZAPC=a,SPAB=—\PA\^sin2tz,

三角形APC直角三角形，ZPAC=90°,|C4|=1,

所以|PA|=’，所以，Jsin2a=走，

tana2tan”12

即112sintz-cosa_A/3所以1tana_百

2tan2asin26Z+cos2（712tan2。1+tan26Z12

整理可得：tan%+tana—4A/^=0，^tanc^—A/3^tan2cc+A/3tantz+4^=0

tan2or+A/3tanor+4>0,所以tana-6=0,

解得tana=6，aG2'},所以二二三；

因此在RtA4PC中，|PC|=-------=

sina3

故選：B

8.已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，貝『，存在正整數(shù)左，對于VfeN*,恒成立”是：“｛%｝為遞減數(shù)列”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】取兩種特殊情況說明，分％=1和％=4兩次情況討論，將q轉(zhuǎn)化為％(/-1)伍2+])<0,

分生〉0和g<0兩種情況與假設(shè)對比，據(jù)此即可求解.

【詳解】取兩種特殊情況說明充分性，

當％=1時顯然成立；

當左=4時，理由如下：

因為｛%｝是等比數(shù)列，設(shè)公比為.(9。0),則4。0,

4

當V%￡N*,qA*時，at>atq,即q伍、-1)(7+1)vO,

若見〉0,則一l<q<l,

注意到，當“<。時，at+i=atq<0,與假設(shè)矛盾，舍去，

故0<q<l,此時4+i=qq<q,則｛4｝為遞減數(shù)列；

若q<0,則“<T或q>1,

注意到，當鄉(xiāng)<—1時，at+l=atq>0,與假設(shè)矛盾，舍去，

故4>1,此時q+i=%q<%,則｛a.｝為遞減數(shù)列；

綜上：存在左=4,使V/eN*,qA?！瓡r，｛4｝為遞減數(shù)列，即充分性成立；

當｛4｝為遞減數(shù)列時，at>%>%+2>%+3〉％+4,即VfeN*,q〉q+4成立，即必要性成立.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于取兩種特殊情況說明，分左=1和左=4兩次情況討論.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形

的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，A4垂直于底面，M=5,底面

兀

扇環(huán)所對的圓心角為一，弧AD的長度是弧5C長度的3倍，8=2,則下列說法正確的是（）

2

3

A.弧AD長度為一兀B.曲池的體積為——

23

C.曲池的表面積為20+14兀D.三棱錐A—CG。的體積為5

【答案】ACD

【解析】

【分析】設(shè)弧AD所在圓的半徑為R,弧所在圓的半徑為人根據(jù)弧AD的長度是弧長度的3倍及

CO=R一r=2求出R、r，再根據(jù)體積、表面積公式計算可得.

【詳解】設(shè)弧A。所在圓的半徑為R,弧所在圓的半徑為「，

7T7T

因為弧AD的長度是弧5c長度的3倍，-H=3x——，即尺二3尸，

22

CD=R—r=2r=2,/.r=1,R=3,

3

所以弧A￡）的長度為一兀，故A正確；

2

曲池的體積為V成2—；兀,卜恒=］：7cx32—:兀乂仔卜5=10兀，故B錯誤；

（11

曲池的表面積為?卜丁9x2+[—71JR+—7tr|x5+2x5x2

(22)

\X32.1XI2jx2+f^-7cx3+^-7Cxljx5+20=20+1471,故C正確；

44

三棱錐A—CG。的體積為:xgx2x3x5=5,故D正確.

故選：ACD.

10.設(shè)函數(shù)/(x)=log/d—3.(”0且"I)在區(qū)間［白］上單調(diào)遞減，則0的取值可以為()

A.@B.立C.-D.3

223

【答案】AC

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得g(x)=%3-3依的單調(diào)性，由此可得，=,一3公|的大致圖象；分別在a>l和

0<。<1的情況下，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可確定,=13-3公|的單調(diào)性，結(jié)合,=k3一3金|的圖象可構(gòu)造不

等式組求得。的范圍.

詳解］令y=|尤3—3依|,g(x)=x3-3ax,

g<x)=3x2-3a=3(x+&)(x-&),

.?.當時，g<x)>0；當x4一G,6)時,gf(%)<0；

.,超(力在卜8,-6),(G,+動上單調(diào)遞增，在JZ)上單調(diào)遞減；

令g(x)=0,解得：x=0或x=±J§^，

y=卜3—3ax|的大致圖象如下圖所示，

當a>l時，若〃％)在住,21上單調(diào)遞減，則y=,—3詞在上單調(diào)遞減，

l3/—49

/.Va?—<2<q3a,解得：一4a4—；

234

當0<"1時，若”力在弓，2)上單調(diào)遞減，則y=,—3同在仁,2)上單調(diào)遞增,

:.2W&或解得：0<?<|；

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為[o,：U49，二?？赡艿娜≈禐橐埠褪?

35423

故選：AC.

11.數(shù)列｛4｝共有11項，前11項和為與，且滿足（a,”]一a,J=3（a“+i—4）-2,弓=1,則下列說法正

確的是（）

A.｛4｝可以是等差數(shù)列

B.｛&｝可以不是等差數(shù)列

所有符合已知條件的數(shù)列｛4｝中，”的取值個數(shù)為55

D.符合已知條件且滿足2%=4+?n的數(shù)列｛??｝的個數(shù)為252

【答案】ABD

【解析】

【分析】分解因式得出兩種等差數(shù)列判斷A,B選項；分類計算得出前11項的和判斷C選項；根據(jù)滿足條件

的組合數(shù)計算即可.

【詳解】對于AB,因為（a.+i=3（a“+i-%）-2嗎=1，

所以a“+i=1或%+i“=2,因此A,B是正確的.

對于C,相鄰兩項的差值最小為1,最大為2,

所以當｛%｝是以1為首項，以1為公差時，S”取最小值為66；

當｛4｝是以1為首項，以2為公差時，X取最大值為121；

且與取值一定是正整數(shù)，所以S”的取值個數(shù)為121—66+1=56,所以C不對.

對于D,因為2。6=4+。11，a6-a1=an-a6

（氏—。5）++（劣—%）=（%]—+（%—4），

所以滿足2%=%+an的數(shù)歹ij｛%｝的個數(shù)為

C5C5+C5C5+C；C；+C5C5+C5C5+C5C5=252.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知a,6是不同的直線，尸是不同的平面，則下列四個結(jié)論:

①若a//c,a//〃，則a/R；②若a〃仇a〃a,則Z?//a；

③若a_La,a_L/?,則a//〃；④若/7,?//?,則a_!_/?；

以上結(jié)論中，正確的序號是.

【答案】③

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于①中，設(shè)。分=/,當a///,a(Z(z,a(Z〃時，此時a//c,a//，所以a與少不一定平行，

所以①不正確；

對于②中，若a〃4a〃a,則b//e或Z>ua,所以②不正確；

對于③中，由a。,尸，根據(jù)垂直同一直線的兩個平面平行，則尸，所以③正確；

對于④中，若緘人(3,alla,則。與夕的位置關(guān)系不確定，所以④不正確.

故答案為：③.

13.如圖，圓和直角梯形A3CD,其中=且A,C,Z>三點在

圓上，則圓的面積為.

【答案】兀

9

【解析】

【分析】連接AC，結(jié)合正弦定理求出三角形ACD外接圓直徑，即求三角形ACD的外接圓的面積.

3

【詳解】直角三角形ABC中，AB^6,BC=8,AC=10,所以sin/ACB=m，

3

又AD〃BC,:.sinZZMC二|,

直角梯形A3CD中，DC=136+(8-4/=2而,

CD_2屈

三角形ACD的外接圓直徑為：飛——刀一

5

325

因此三角形ACD的外接圓的面積——71.

9

故答案為：---兀

9

14.將函數(shù)/(x)=2sinx-1的圖象上所有點的橫坐標不變縱坐標伸長為原來的2倍，向下平移1個單位長

度，向左平移。(ee(O,可)個單位長度，最后所有點的縱坐標不變橫坐標壓縮到原來的0.5倍，得到函數(shù)

兀7C

g(%)的圖象.若對任意玉￡0,-，都存在--,0，使得/(再)=8(入2)，則。的取值范圍為

7125

【答案】不彳兀D/兀，兀

_23J|_6_

【解析】

【分析】由題意易得了(%)在0弓上的值域是g(x)在一：,0上值域的子集，再分析g(x)的最值判斷值

域的包含關(guān)系求解即可

【詳解】由已知可知g(x)=2(2sin(2x+°)-1)—1=4sin(2x+9)-3,

兀7C

因為對任意石?0,-,都存在々e--,0,使得/(xj=g(x2)，

jrjr

所以“力在0,-上的值域是g(x)在9￡-了。上值域的子集,

當西￡0弓時，04sinXi〈l,則/(石)=2sinX]-1￡[一1,1],

JT

所以/(%)在0,-上的值域[—1,1],

7T?-7T

且XG,0,2%+夕￡(p---,(p

因為g(x)值域中一定有1這個元素，所以■|+2Ee(p-*,(p,kwZ:.(p0~,n(必要條件)

還需要約束g(x)的最小值小于等于-1,所以4sin卜——3<-1或者4sin。-3<-1

]]7T25

因此sin/V—或者COS02——,所以0￡一,一兀.

22236

兀25

故答案為：不彳兀u;兀，兀

_23J|_o_

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

cosB

15.記ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為Q,hc,已知一；—=tanC

1+sinB

7T

(1)若C=一，求5；

6

7

(2)若/?二一c,求sinC的值.

2

JT

【答案】(1)B=y

6

(2)sinC=—

4

【解析】

【分析】(1)將C代入，由三角恒等變換結(jié)合B的取值范圍求出即可.

(2)先由同角基本關(guān)系式和三角恒等變換得出(8+C)與C的三角關(guān)系，再根據(jù)誘導(dǎo)公式用C表示A和8,

進而得到C的取值范圍，最后由正弦定理變形公式求解即可.

【小問1詳解】

當。=四時，cosB=2H.^cosB-siaB=2cosfB=1,

61+siaB36J

An兀11八/c\八兀（兀7兀17171

所以cosB+—=—,SG（0,K）,5+—G—,--,B+—=—,

V072oo7o3

71

因此8=g

6

【小問2詳解】

0°sB-tanC,.*.cosBcosC-sinBsinC=sinC

1+siiiB

化簡得cos（B+C）=sinC=-cosAsin^A-^=sinC.

7171（71、

因此：A=C+-,B=——2C0<C<-

2214J

7777

因為b=—c,則siaB=—sinC,cos2C=—sinC,2sin2C+—sinC-1=0.

2222

所以sinC=—或sinC二一2（舍）

4

因此sinC.

4

16.已知盒中有4個黑球和2個白球，每次從盒中不放回的隨機摸取1個球，直到盒中剩下的球顏色相同就

停止摸球

（1）求摸球兩次后就停止摸球的概率；

（2）記摸球次數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和期望.

【答案】（1）七

64

（2）分布列見解析，—

【解析】

【分析】（1）摸球兩次停止摸球說明前面兩次摸到的是白色球，根據(jù)概率乘法公式求解即可；

（2）X的可能取值為2,3,4,5,求出X的每個取值的概率可得分布列，由期望公式可得期望.

【小問1詳解】

摸球兩次停止摸球說明前面兩次摸到的是白色球，記事件4，，=L2為“第i次摸球的顏色是白色”，

211

因此摸球兩次后就停止摸球的概率為P（AA）=7X7=77；

【小問2詳解】

X的可能取值為2,3,4,5,

7419

P（X=3）=2x-x-x-=—,

''65415

nlv^432124314

,76543654315

o

p（X=5）=l-P（X=2）-P（X=3）-P（X=4）=—,

X2345

1248

p

15151515

2+6+16+40_64

15一話，

因此X的期望為后■.

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，八底面ABCD,PA=AB=2,BD=2?E

為線段PB的中點，=點G在線段PC上（不含端點），再從下面三個條件中選擇一個條件作為

①A、E、G、/四點共面②AGL平面尸③EG〃平面尸

PC

（1）求一的值；

PC

（2）求平面AEG與平面APF所成角的余弦值.

APR2pc19

【答案】（1）選擇條件①，—選擇條件②，—選擇條件③，—

PC7PC3PC3

（2）選擇條件①，叵;選擇條件②，叵；選擇條件③，叵；

51313

【解析】

【分析】（1）以點A為坐標原點，AB,AH、AP所在直線分別為X、丁、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)

PG=APC,選擇條件①，利用AG=AP+尸G和=+求解即可；選擇條件②，利用

AG1PB＞求解即可；選擇條件③，利用EGw=O求解即可（"為平面Q4F的法向量）；

〃,n

（2）利用cos〈〃,4〉=/q求解即可（々為平面加G的法向量，〃平面尸的法向量）.

【小問1詳解】

解：因為上4J_底面A3CD,四邊形A3CD為菱形，取CD中點H,

AB=AD=2,BD=25

NBAD=120°,.?一ACD是等邊三角形，，AH，CD

以點A為坐標原點，AB,AH、AP所在直線分別為不y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則4(0,0,0)、5(2,0,0)、C(1,73,0),D(-1,AO),P(0,0,2),E(l,0,l),；,G,0

所以*=2),

T^PG=APC=^2,^32,-22j,其中0<2<l,

則AG=AP+PG=(4,0l,2-24)；

選擇條件①，AE=(L0]),AE=1—

設(shè)AG=mAE+nAF=m—^n,6n,mj,

1,

m—n=z

2

則《y/3n-A/32,解得2=—,

,7

m=2-2A

所以t=2

選擇條件②，AG_L平面尸BD,

所以

又因為尸8=(2,0,—2),

—.「2PG2

所以AG-P5=64—4=0,所以％=§，即拓=§

選擇條件③，EG〃平面Q4尸,

EG=AG-AE=(A,

因為AP=(0,0,2),AF=(-1,A/3,0),

可得平面/^4尸的法向量為：n=(6,V3,0),

所以EG-”=6(2—1)+32=94—6=0,

解得x=—,即一無=—

3PC3

【小問2詳解】

4/-6、

解：選擇條件①，AG=mAE+nAF=yv3,yl,A￡,=(l,0,l),平面AEG的法向量4=(石,％*])

44廠6

ni-AG=-xi+),3%+-z=0

1，貝！|勺=-1,-6'/

%.AE=x1+z1=0

設(shè)平面尸的法向量為〃=(羽，z),AP=(O,O,2),A/=1—；,、/&o],

n-AP=2z=0

則1廠，取x=2,則〃廣3,。）

ri-AF=x+V3.y=0

V13

COS〈〃,〃)=〃

〃|〃1

平面AEG與平面APF所成二面角的余弦值為巫;

5

“22\/32、

選擇條件②，AG=,AE=(l,0,l),平面AEG的法向量勺二(%,%,zj

I333J

’_2262_n

<3331,則4=(—1,0,1),

勺?AE=玉+4=0

設(shè)平面叩'的法向量為〃=（x,y,z）,AP=（0,0,2）,Ab=,百,

n?AP=2z=0,取x=2,則〃=2,^,0,

則

ri,AF-——x+yfiy=0

COS〈〃,〃］〉=〃V78

nWn\IF

平面AEG與平面APF所成角的余弦值為叵；

13

選擇條件③，AG=g,手2、

—,A￡1=(1,0,1),平面AEG的法向量勺=(不，y,zj

3J

'__22_n

H,,AG——X,~\-------y,H—Z.—0,、

3331則“=(—1,0,1)

勺?AE=%+4=0

COS〈凡〃］〉=n|/7'|=V78

IT

平面AEG與平面APF所成角的余弦值為圓.

13

22

18.已知橢圓C:——+=1（。〉人〉0）長軸的左右頂點分別為4,4,短軸的上下頂點分別為耳,層，四

ab

邊形a用A區(qū)面積為4,橢圓。的離心率是走

2

（1）求C的方程；

（2）過點T（2,l）的直線交。于P,Q兩點，直線4P,4。與直線y=-l的交點分別為證明：線

段MV的中點為定點.

尤2

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)四邊形面積、離心率和橢圓”,仇c關(guān)系可構(gòu)造方程組求得”,仇c,由此可得橢圓方程;

（2）設(shè)尸。方程，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的結(jié)論；用RQ坐標表示出",N坐標，將橫坐標

作和可整理得到定值，由此可知線段"N中點為定點.

【小問1詳解】

5AMzR=1'2a,2Z?=4--'-ab=2,

又離心率6=￡=^^，a2=b2+c2<；.a=2,b=1,c=6，

a2

尤2

，橢圓。的方程為：—+y2=1.

4-

【小問2詳解】

由題意知：直線尸。的斜率存在，

可設(shè)。。：7=4（％-2）+1,

v=^（%-2）+1

又《L21

---1-V=1

[4'

貝UA=64左2（I—2k}-64（4公+1）（公—左）=64%>0,rM>0,

8M1—2左）16（lc-k）

…-KTF，.=R7r，

4（0,1）,，直線用P：y=T^x+l,

石

（、

令y=-i,解得：x=-^-9/2、

,即M——^-,-1同理可得：N-----,—1,

%TI%T）I%-1）

2石2X2_2/（%—1）+2%2（%—1）_2%（電-2左）+2%2（/-24）

乂一1%-1（%—1）（%—1）（g-2左）（如一24）

4Axi/一4人（周+/）64左（左2一左）+32k2（1—2k）32k?

—左2石々一2左2（石+%）+4左2—16左2（左2一女）+16左3（1一2人）+4左2（4左2+1）一1^

二線段MV中點為定點（4,-1）.

【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下:

①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于尤或y的一元二次方程的形式；

②利用A>0求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；

③利用坐標表示出所求量，代入韋達定理的結(jié)論，化簡整理可得定點.

19.函數(shù)〃尤)=.-。圖像與x軸的兩交點為A(x，0),B(x2,Q)(x2>Xl)

⑴令/z(x)=/(x)-lnx+x,若/i(x)有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：<1；

(3)證明：當時，以A5為直徑的圓與直線y==E(x+l)恒有公共點.

（參考數(shù)據(jù)：e0-25~1.3,e"5al2.2）

【答案】(1)(e+1,+8)

(2)證明見解析(3)證明見解析

【解析】

【分析】⑴求導(dǎo)判斷秋尤）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)趨近值即可得出結(jié)果;

⑵根據(jù)已知得到"貯=比,化簡可得1^全=1,要證丑<1,即證斥（1^版,即

證明皿^（6一Ji'令"Ji>1,即證：21nZ<Z-p令g⑺=21n/T+L求導(dǎo)得出g（。