湖南省常德市2024屆高三年級下冊3月模擬考試數(shù)學(xué)試題 含解析

湖南省常德市2024屆高三下學(xué)期3月模擬考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，不留痕跡.回答非選擇題時，將答案寫在答題

卡上，寫在本試卷上無效.

3.本試卷共4頁，如缺頁，考生須及時報告監(jiān)考老師，否則后果自負(fù).

4.考試結(jié)束后，將本答題卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合〔％J,3={x|-2W尤42},則AB=()

A.[-2,0]B.[1,2]C.[-2,0)[1,2]D.[-2,2]

【答案】C

【解析】

【分析】由分式不等式解得集合A,再由交集的運算可得結(jié)果.

1,--1<0fx(x-l)>0

【詳解】因為一，解得XV?；騲Nl,

x〃八九

%w0i

所以集合4={1|%<0或％之1},

所以A5=[—2,0)[1,2],

故選：C.

2.已知等差數(shù)列{4}的前〃項和為S,，%=23,84=56,則$2=()

A.13B.14C.15D.16

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式、求和公式列方程求解即可.

取0<無］<々，則0<x；<x；,0</(%1)</(%2),故xVa)<x"(9)

所以X-%=d/(%)-%/(%2)<。，則函數(shù)y=f/(%)在(0,+動為遞增函數(shù)；

所以函數(shù)丁=必/(%)在(—8,0)也為遞增函數(shù)，且當(dāng)x=0時，丁=必/(》)=0,

所以y=x2/(x)在R上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D：不妨令y(x)=x,y=」^=2=L,xw0,

由反比例函數(shù)的單調(diào)性可知y=駕在(-”,0)和(0,+。)上單調(diào)遞減，故D錯誤；

故選：C.

4.如圖，現(xiàn)有棱長為6cm的正方體玉石缺失了一個角，缺失部分為正三棱錐A-ERG,且E,E,G分別

為棱A4A用,42靠近4的四等分點，若將該玉石打磨成一個球形飾品，則該球形飾品的體積的最大

值為()

.27-\/33o0表3

A.-------7tcmB.3671cm、

2

C125A/33crc3

C.--------7tcm3D.727icm3

2

【答案】B

【解析】

【分析】利用等體積法求出點A到平面MG的距離，說明所以所求球形體積最大時即為棱長為6的正方

體的正方體的內(nèi)切球，再根據(jù)求得體積公式即可得解.

3

【詳解】由題意AE=AE=AG=5,設(shè)點A到平面EFG的距離為d,

而EF=EG=FG=生~

2

\2

aJ30(3亞21873

S.EFG=2X_27X

I2J216

I7

,得四小解得心更

由Vg-AG/=匕t-EFG

322223162

棱長為6正方體的正方體的內(nèi)切球的半徑為3,

棱長為6的正方體體對角線的長度為，

因為班-4二孚〉3,

所以所求球形體積最大時即為棱長為6的正方體的正方體的內(nèi)切球,

4OO

則該球形飾品的體積的最大值為一兀X33=36兀cn?.

3

故選：B.

]a1

5.已知cosa=§,sinycos^=—,貝i]cos2A=()

11

AB.-D.——

-I32

【答案】A

【解析】

【分析】由二倍角的余弦公式化簡可得.

因為cosar=—,所以cost/=l-2sin2—=>sin—=土班~,

【詳解】

3223

又sinWcos￡=；,所以cos/?=±日，

31

所以cos2'=2cos29/?-1=2x—-1=—,

故選：A.

6.已知平面向量a力均為單位向量，且夾角為60°,若向量c與共面,且滿足c==1，則

c=()

20

A.1RD.---C.石D.2

3

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)c=ma+泌，然后由a.c=b.c=l解方程組求出m=〃=：,再利用模長的定義求出即可.

【詳解】設(shè)C=3Z+成，

因為a./?=|4Mcos（a,b）=lxlx—,

a-c=a-ma+nb\-m+—n二1

)2

即＜

\1

b-c-b-ma+nbz\--m+n二1

)2

2

解得加=n=—,

3

所以。=|。+京，所以卜卜廚曲麗果『二歲,

故選：B

7.已知（2%—3）=%+q（x—1）+。2（九-1）++Qg（九-1）+%（x—1）,則

%+2。］+3/++9a8+10。9=（）

A.9B.10C.18D.19

【答案】D

【解析】

【分析】先將等式兩邊同時乘以（x-1）,再將兩邊同時求導(dǎo)后，令％=2可得.

2

［詳解］由（2%—3）9=<20（X-1）+6Z2（X-1）++為（％—1）8+%（尤_］）9得，

（%—1）（2九一3）=%（%—+—1）+%（%—1）++%（x—1）+%（x—1）

分別對兩邊進(jìn)行求導(dǎo)得

（2X-3）9+18（X-1）（2X-3）8=%+2q（%—1）+3%（九-1）++9q（%—1）+10。9（X—1），

98

令x=2,^t（2x2-3）+18（2-l）（2x2-3）=^+2^+3a2++9/+1。%，

彳導(dǎo)a。+2q+3al++9，+1。佝=19,

故選：D

8.設(shè)有甲、乙兩箱數(shù)量相同的產(chǎn)品，甲箱中產(chǎn)品的合格率為90%,乙箱中產(chǎn)品的合格率為80%.從兩箱

產(chǎn)品中任取一件，經(jīng)檢驗不合格，放回原箱后在該箱中再隨機取一件產(chǎn)品，則該件產(chǎn)品合格的概率為

）

6717

B.D.

7820

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)事件與表示任選一件產(chǎn)品，來自于甲箱，事件不表示任選一件產(chǎn)品，來自于乙箱，事件A從

兩箱產(chǎn)品中任取一件，恰好不合格，先利用全概率公式求出P(A),進(jìn)而可得尸(41A),P(B21A),進(jìn)

而可得放回原箱后再取該件產(chǎn)品合格的概率.

【詳解】設(shè)事件與表示任選一件產(chǎn)品，來自于甲箱，事件當(dāng)表示任選一件產(chǎn)品，來自于乙箱，事件A

從兩箱產(chǎn)品中任取一件，恰好不合格,

P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）=0.1X0.5+0.2X0.5=0.15

又小)二常="^二0.等154

p（B（伍）*川-）。（耳）02x0.5_2

I2>p（A）*P㈤（A）0.153

經(jīng)檢驗不合格，放回原箱后在該箱中再隨機取一件產(chǎn)品，則該件產(chǎn)品合格的概率為

19285

—x1——x——=—

3103106'

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.數(shù)據(jù)6,5,3,4,2,7,8,9的上四分位數(shù)(75%分位數(shù))為7

B.樣本數(shù)據(jù)看與樣本數(shù)據(jù)%滿足/=毛+1?=1,2,,“)，則兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同

C.若隨機事件A,3滿足：P(A|B)+P(A)=1,則A,3相互獨立

D.若4~N(〃,4),且函數(shù)/(X)=P(XWJWX+2)為偶函數(shù)，則〃=0

【答案】BC

【解析】

【分析】借助百分位數(shù)的概念，方差的性質(zhì)，相互獨立事件的定義與正太分布的性質(zhì)及偶函數(shù)的性質(zhì)逐項

判斷即可得.

【詳解】對A：將數(shù)據(jù)從小到大重新排列后為：2、3、4、5、6、7、8、9,

7+8

8x0.75=6,則其上四分位數(shù)為——=7.5,故A錯誤;

2

對B：=D（%+1）=￡）（%）,故B正確；

對C：P（A|B）=l-P（A）=P（A）=,即P（AB）=P（A）P（6）,故A,8相互獨立，故C正

確;

對D：由/(%)=P(xWJWx+2)為偶函數(shù)，則P(xWJWX+2)=尸-％+2),

又由對稱性知P（xW九+2）=P（-x+2〃-2WJW-X+2〃），

故P（—x+2〃—2WJW—X+2〃）=P（—XWJW—X+2）,即〃=1,故D錯誤.

故選：BC.

10.過點P（4,0）的直線/交拋物線C：/=4x于A3兩點，線段A5的中點為〃（入0，兀），拋物線的焦

點為口，下列說法正確的是（）

A.以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點

B.FAFB<0

2

C.若直線/的斜率存在，則斜率為一

%

D.若%=2,則|4月+網(wǎng)=12

【答案】ABC

【解析】

【分析】設(shè)A（石§（尤2，%），l-x=my+4,將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出

%+%，%%，進(jìn)而得到石+々，石々，代入各選項求解即可?

【詳解】由題意可知直線/斜率不為0,設(shè)A（XQI）,B（x2,y2）,l:x=my+^,

聯(lián)立'2得y-4my-16-0,

[y=4x

2

則%+%=4根，x,+%2=m（y1+y2）+8=4m+8,

AJX2=7篦2%%+4m（x+y2）+16=16,

12.已知曲線/(x)=xlnx—1在％=1處的切線/與圓C：(x—iy+y2=9相交于A、B兩點，貝||AB|=

【答案】^34

【解析】

【分析】先求出函數(shù)在》=1處的切線方程，再由圓內(nèi)弦長公式求得即可.

【詳解】由/(%)=xlnx-l,定義域為(0,+"),/'(x)=lnx+l,

則切線斜率左=/'。)=1,又==

所以切線方程為：丁―(―l)=x—1,化簡為：x-y-2=O-

又因為圓的圓心。(1,0)，半徑廠=3,

設(shè)圓心到直線的距離為d,則?二交,

V22

則|A5|=2介—/=2J9J=A/34.

故答案為：^/34

13.若復(fù)數(shù)z滿足：-----=2,則|z+i|=.

z

【答案】2

【解析】

【分析】設(shè)2=。+歷,4/611,則由題設(shè)有6+?—2—=3,故可求|z+i|=2.

.z-3i.3i.3b+3ai.3b3a.

【詳解】設(shè)2=<7+歷,々力611,則n-----=1----------=1-------------=1-------------------------1,

za+bia2+b2a2+b2a2+b2

/—、2/-、2

故|1—:口。|+|二r|=4,i^.a2+b2+2b—3

Ia-+b-)[a~+b2J

所以4+0+吁=4即|z+i|=2,

故答案為：2.

22

14.已知雙曲線C：二-斗=1(。>0,6>0)的左、右焦點分別為E，E,過e的直線與雙曲線的左、右兩

支分別相交于M,N兩點，直線與雙曲線的另一交點為尸，若一NP耳為等腰三角形，且△汽耳工的

面積是居的面積的2倍，則雙曲線C的離心率為.

【答案】叵或返

33

【解析】

【分析】由雙曲線的定義和等腰三角形的定義，結(jié)合三角形的余弦定理和離心率公式，計算可得所求值.

【詳解】設(shè)1叫|=根，|PF21=n,

由雙曲線的定義可得|叫l(wèi)=2a+相，\PFt\=2a+n,

由XNF\F?的面積是△產(chǎn)￡區(qū)的面積的2倍，可得m=2n,

又LNP耳為等腰三角形，可得|NP|=|g|,或|P/"=|NP|,

當(dāng)|NP|=|N耳gpm+n-2a+m,可得〃=2〃，m=4afINF}\=6a,|PFl\=4a,

在..NP耳中，cosNRNP=(64+缶、一《4=工,

2-6a-6a9

在△酒田中，34嵋=(64+(4/32」,

122-6a-4a9

化為3c2=11/,即e=￡=叵；

a3

當(dāng)|狼|=|月耳|,gpm+n=2a+n,可得冽=2〃，n=a9\NFX\=4a,|PFX|=3a,

在-NP耳中，cosNRNPJ%+國產(chǎn)一(34,2,

2-4a-3a3

**zuu品(4a)2+(2?)2-(2c)22

在￡\NF[F,中，cosNRNF,=-~~~~

2?4。?2〃3

化為3c2=76，即e=￡=叵.

a3

故答案為：叵或叵.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為"，b,且sin?A+sin26+sinAsinB=sin?C.

（1）求角c；

（2）若。，b,。成等差數(shù)列，且ABC的面積為"且，求，ABC的周長.

4

2兀

【答案】（1）—

3

（2）15

【解析】

【分析】（1）先利用正弦定理角化邊得出再結(jié)合余弦定理得出cos。=-工即可求解.

2

（2先根據(jù)。，b,c成等差數(shù)列得出a+c=2Z?；再利用三角形的面積公式得出H?=15；最后結(jié)合⑴中

的4+尸+"=/,求出Q,b,。即可解答.

【小問1詳解】

因為sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，

ab

由正弦定理蔡可得:a2+Z?2+ub—(?2■

sinAsinB

.z.J'.-rm—TZBc<72+/72—C2^Z2+Z?2—(<72+Z?2+db)

由余弦TE理可得：COSC=----------=---------------------

lablab2

又因為Cw（0,兀）,

2兀

所以CT

【小問2詳解】

由成等差數(shù)列可得：Q+C=2Z?①.

因為三角形A5C的面積為巨S,C=—,

43

:.—absmC="8,即ab=15(2).

24

由⑴知：a2+b2+ab-c2@

由①②③解得：a=3,b=5,c=l.

:.a+b+c=15，

故三角形ABC的周長為15.

16.某市組織宣傳小分隊進(jìn)行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊記錄了前9天每天普及的人數(shù)，得到下表:

時間X（天）123456789

每天普及的人數(shù)y8098129150203190258292310

（1）從這9天的數(shù)據(jù)中任選4天的數(shù)據(jù)，以X表示4天中每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)，求X的

分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）由于統(tǒng)計人員的疏忽，第5天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計有誤，如果去掉第5天的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每天

普及的人數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的線性回歸方程.

（參考數(shù)據(jù)：

19999

y=dZ%=190，Z?-元了=60，Z（Y-歹巧=55482,乞口,一可（％-7）=1800,

9i=li=li=li=l

附：對于一組數(shù)據(jù)（西,％）,（X2,y2）,L,其回歸直線$=+6的斜率和截距的最小二乘

Z（x,-x）（x-y）Ex^-rn-y

估計分別為：B=J---------------------------------=上匕-,a^y-bx）.

f（x,.一無了之X；一比2

?=11=1

4

【答案】（1）分布列見解析，E（X）=m

c、「八307

（2）y—30xH------

8

【解析】

【分析】（1）利用超幾何分布與數(shù)學(xué)期望公式即可得解；

（2）利用平均數(shù)的定義結(jié)合參考數(shù)據(jù)求得新的樣本點，結(jié)合A*的計算公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化整理求得其值，從而

得解.

【小問1詳解】

每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)為3天，則X的所有可能取值為0,1,2,3,

C45C3clin

P（X=O）=W=2,P（X=I）=當(dāng)』，

\/C；42I7Cl21

2213

P（X=2）=4CC=35,P（X=3）=當(dāng)cC=工1，

故X的分布列為

X0123

51051

P

42211421

E（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=—

'）422114213

【小問2詳解】

設(shè)原來數(shù)據(jù)的樣本中心點為（元?），去掉第5天的數(shù)據(jù)后樣本中心點為（無',歹’）

y'=（（9?-%）=:（9義190-203）=等，

ooo

99

一%

.（2七,一匕,%）-8亍了（Z%y-匕?%）一87?96

Z=1Z=18

故匕=99

222

^（xz.-r）-（x5-r）Eu,-r）

Z=1Z=1

99

2%另一匕?為-9^?歹+巧52七%一9P9

”,

Z=1_i=l

一9一9

2

E（x;-x）fa-三y

Z=1i=l

r307

a人=—y-b廠x='-1-5-0-7--30x5

88

所以f=30x+受307

o

17.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，平面平面ABCD,AB//CD,ZABC=90°,

AB—2BC=2CD=4,PA=PD.

（1）證明：8D1平面上40；

（2）已知三棱錐3-P4D的體積為逑，點N為線段AP的中點，設(shè)平面NCD與平面PBD的交線為

I,求直線/與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵

3

【解析】

【分析】(1)方法一：取的中點。，由條件證明POLA。，結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理證明PO_L5￡),

再證明8￡>J_A￡),根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；方法二：由條件，利用勾股定理證明5DLAD,

根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明結(jié)論；

(2)由條件結(jié)合錐體體積公式求尸0,取PB的中點M,證明直線為平面NCD與平面PBD的交線，

建立空間直角坐標(biāo)系，求直線/的方向向量和平面Q43的法向量，結(jié)合向量夾角公式求直線,與平面上鉆

所成角的正弦值.

【小問1詳解】

方法一：取的中點O,PA=PD，：.POLAD.

又平面平面ABCD，平面平面ABC￡)=A。，

.,.PO,平面ABCD.

又BDu平面ABC。，..P0，3D

ABI/CD,ZABC=9Q°,AB=2BC=2CD=4,

：.BD=AD=20，：,BD2+AD2=AB2>:.BD±AD.

又POAD=O,PQADu平面MD，

平面MD.

方法二：AB//CD,ZABC=9Q°,AB=2BC=2CD=4,

BD=AD=2V2-BD2+AD2=AB2>.\BD±AD.

又平面AID_L平面ABC。，平面E4￡)c平面ABCD=AO,BDu平面ABCD,

平面24Z).

【小問2詳解】

11144J?

VB=V=-SPO=-X-ADBDPO=-PO=—^^

L5—r/PA\LDfrP-ABD3/\ADBLDJ3233

PO=42-

取尸8的中點M,又N為"的中點，.?.肱V//AB,

又ABIICD,:.MNIICD,

平面NCD即為平面MNDC,

DM為平面NCD與平面PBD的交線I.

取AB的中點Q,連結(jié)由⑴可知，ON、OP、。。兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則P(O,O,0),A(0,O,O),D(-V2,0,0),B(-叵2也,0),M(-—，^，―).

22

設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),PA=(>/2,0,-72),PB=(-V2,2A/2,-V2),

刖A/2X-V2z=0

—\/2x+2\Z2y—yp2,z=0

取x=l,則z=l,y=l,

?"=(1,1,1).

設(shè)直線/與平面夾角為氏DM=(—,72,—)，

22

_也+0+變

則sin0-IcosDM,n\-一？?.-,

J；+2+；.3

故直線/與平面PAB夾角的正弦值—.

3

18.已知。為坐標(biāo)原點，橢圓C：—+/=](?！?)的上、下頂點為A、B,橢圓上的點尸位于第二象

a

11-

限，直線B4、PB、尸。的斜率分別為3k2，%，且1+丁=-4%.

一左1左2

（I）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過原點。分別作直線以、尸3的平行線與橢圓相交，得到四個交點，將這四個交點依次連接構(gòu)成一

個四邊形，則此四邊形的面積是否為定值？若為定值，請求出該定值；否則，請求出其取值范圍.

【答案】（1）—+y2=l

2

（2）是定值，2血

【解析】

【分析】（1）設(shè)。（毛，為），%*1，結(jié)合意義表示出左，包，左3,代入計算即可得；

（2）作出該四邊形后，借助斜率表示出|。耳、月、歸|、|0G|,結(jié)合傾斜角與斜率的關(guān)系，借助面

積公式計算即可得解.

【小問1詳解】

由題意可得4（0,1）,3（0,—1）,

設(shè)P（不，％），%?0，1），則&=￡，

人0人0人0

???"=-的，4

%k2%T%+1%

化簡得：2（1—y；）=焉①，

2

又？（％,%）在橢圓上，烏+4=1②，

a

由①②得2（1—y：）=/（i—4），

又為?0,1）,1=2,

2

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程r工+y2=1.

2-

【小問2詳解】

設(shè)直線的平行線與橢圓相交于點E、F（E在上方），

直線總的平行線與橢圓相交于點G、H（G在上方），

直線EF方程為，=左/,直線GH的方程為丁=42%，

%-i%+i=y；-i=芯-1=i.卜=--L

片

%Xo2(1-y；)2(2kJ

2

y=k1X

2月+1

聯(lián)立《

X1221

——+y=12k；

12.

26+1

2+2將

：.\OE\=\OF\=

1+2左:

4公

26+1

解得<

21

y

2k；+1

ll+4k;

：.\OH\=\OG\=4l+2k；

設(shè)直線EF的傾斜角為。，直線GX的傾斜角為a,ZEOx=0,ZGOx=?,

：.tan0=k,,tana=k,=———

2kl

/4,cos0=i1一,sincif=1,cos?=-^L

貝“Sin8二

Jl+左；J1+將J1+%,1+%，

sinZEOG=sin(?-6>)=sinacos3-cosasva.3=,1+%

斤Sjl+4k；

；?四邊形面積為:

df-^)+2x^|(?E||OH|sin(6Z-^)

s=2(SAOEG+S、E°H)=2x1|<9E||(9G|sin(

，）=2日!?2+21c1+2片

=2|<9E||OG|sin(cc—=20,

+2k；jl+《2ji+%

故該四邊形的面積為定值2百.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：最后一問關(guān)鍵點在于借助斜率與傾斜角的關(guān)系及兩

角差的正弦公式，得到sinNEOG,從而可借助面積公式表示出面積.

19.已知函數(shù)/(x)=二竺.

X

(1)判斷函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,3乃)上極值點的個數(shù)并證明；

⑵函數(shù)“X)在區(qū)間(0,+s)上的極值點從小到大分別為%,了2，%,，,七,一，設(shè)%”為數(shù)

列｛4｝的前〃項和.

①證明：卬+。2<0；

②問是否存在“eN*使得Sa20?若存在，求出”的取值范圍；若不存