浙江省普通高等學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

浙江省普通高等學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

315

1.數(shù)列1,二的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是。

4216

Z2+1"+3

A-an=~^-B?4=可工

2.在平面區(qū)域｛（%,y）104x<1,—1KyK1｝內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)（羽y）滿足不等式x+y>l的概率是

()

13

A.-B.-

44

12

C.—D.-

33

3.圓/+9—2%=。和圓九2+y2+4y=。的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.內(nèi)切

C.相交D.外離

22

4.已知曲線C：土+乙=1,下列命題錯(cuò)誤的是（）

mn

A.若加>〃>0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在x軸上

B.若加=〃>0,則C是圓，其半徑為薪

C.若加則。是雙曲線，其漸近線方程為y=±

D.若m>0,n<0,P為C上任意一點(diǎn)，耳，心為曲線。的兩個(gè)焦點(diǎn)，貝！11|尸EIT尸耳||=2加

5.若4（0,1,2）,5（2,5,8）在直線/上，則直線/的一個(gè)方向向量為（）

A.（3,2,l）B.（l,3,2）

C.（2,l,3）D.（l,2,3）

7.若指數(shù)函數(shù)y="（a>0且awl）與三次函數(shù)y=d的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

C2\

A.1?)B.l,ee

k7

c.(l,e)D.(e,+oo)

8.已知圓C:x2+y2+2x+4y+4=0,則圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為（）

A.^/5-lB.6

C.布+1D.6

9.若圓￡:（%-。）2+/=/土〉0）與圓。2：/+〉2=4/2?！?）相切，則a的值為（）

A.±3rB.±r

C.±3r或土rD.3r或廠

10.下列命題中，結(jié)論為真命題的組合是（）

①，，機(jī)=；，，是，，直線（相+2）x+3/孫+1=0與直線（加—2）x+（帆+2）y—3=0相互垂直”的充分而不必要條件

②若命題"T7AF"為假命題，則命題T）一定是假命題

③8>&是lga>怛b的必要不充分條件

2

④雙曲線必一2L=1被點(diǎn)8（1,1）平分的弦所在的直線方程為2x—y-1=0

2

⑤已知過點(diǎn)（3,0）的直線y=k（x—3）（keR）與圓必+丁=9的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有?個(gè).

A.①③④B.②③④

C.①③⑤D.①②⑤

11.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(Xi,yi)(i=l,

2,n),用最小二乘法建立的回歸方程為y=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是

A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過樣本點(diǎn)中心(，工)

C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

D.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重必為58.79kg

12.有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)箱，甲箱中有3張無獎(jiǎng)票3張有獎(jiǎng)票，乙箱中有4張無獎(jiǎng)票2張有獎(jiǎng)票，某人先從甲箱中抽出

一張放進(jìn)乙箱，再從乙箱中任意抽出一張，則最后抽到有獎(jiǎng)票的概率是()

25

A.—B.—

714

75

C.—D.一

307

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

120

13.已知蜥蜴的體溫與陽光照射的關(guān)系可近似為T(。=不+15,其中丁(。為蜥蜴的體溫(單位：。C)/為太陽落

山后的時(shí)間(單位：min).當(dāng)/=min時(shí)，蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為-1.2C/min

14.已知點(diǎn)尸是拋物線丁=2內(nèi)5〉0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2,分別是拋物線上位于第一、四象限的點(diǎn)，若

|AF|=10,貝!J尸的面積為.

15.已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)/(x)=x—2'+1,則當(dāng)尤＜0時(shí)/(%)=.

16.拋物線y=Y的準(zhǔn)線方程為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)=-%2-3,g(x)=2%lnx-ax.

(1)若函數(shù)八%)與g(x)在x=l處的切線平行，求函數(shù)g(x)在(1，與1))處的切線方程;

(2)當(dāng)xw(0,+8)時(shí)，若g(x)N/(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.(12分)如圖甲是由正方形ABC。，等邊△A3E和等邊組成的一個(gè)平面圖形，其中48=6,將其沿A5,

BC,AC折起得三棱錐P—A3C,如圖乙.

(1)求證：平面K4C，平面ABC；

(2)過棱AC作平面AQ0交棱收于點(diǎn)且三棱錐P-ACM和3-AQ心的體積比為1:2,求直線40與平面

PBC所成角的正弦值.

19.(12分)已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸，直線/交拋物線于不同的4、5兩點(diǎn).

(1)若直線/的方程為.v=x-l,求線段45的長(zhǎng)；

(2)若直線/經(jīng)過點(diǎn)P(-L0),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為⑷，求證：A\F、3三點(diǎn)共線.

20.(12分)如圖，在直三棱柱ABC—A31G中，ZBAC=90°,A3=AC=A&=2,后是中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)A到平面AEG的的距離；

(2)求平面AEG與平面A3與4夾角的余弦值;

F,離心率e=g,且過點(diǎn)(J82)

21.(12分)已知橢圓C:三+%=1(?！?〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為月、2

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知過耳的直線/交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試探究在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)Q,使得。4是一個(gè)確定的常數(shù)?

若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由

22.(10分)如圖，四邊形ABC。為矩形，BC=2A5=4,且平面ABCD，平面BCE.

⑴若F,G分別是A￡）,鹿的中點(diǎn)，求證：FG//平面DCE；

（2）若一是等邊三角形，求平面ABE與平面DCE夾角的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解題分析】根據(jù)各項(xiàng)的分子和分母特征進(jìn)行求解判斷即可.

21+132+1143+154+1

【題目詳解】因?yàn)閘=z=k，：=k，；=w=k，77=k，

2242-28231624

n+1

所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是4=3-;

53

對(duì)于選項(xiàng)B：所以本選項(xiàng)不符合要求;

-84

21

對(duì)于選項(xiàng)C：a3=-^~,所以本選項(xiàng)不符合要求;

32

53

對(duì)于選項(xiàng)D：所以本選項(xiàng)不符合要求,

84

故選：A

2、A

【解題分析】根據(jù)題意作出圖形，進(jìn)而根據(jù)幾何概型求概率的方法求得答案.

【題目詳解】根據(jù)題意作出示意圖，如圖所示：

于，所求概率P__SADE=2=1.

SABCD24

故選：A.

3、C

【解題分析】根據(jù)兩圓圓心的距離與兩圓半徑和差的大小關(guān)系即可判斷.

【題目詳解】解：因?yàn)閳A九2+丁2—2%=0的圓心為。"1,0）,半徑為4=1,圓_?+/+—=（）的圓心為02（0,—2）,

半徑為2=2,

所以兩圓圓心的距離為|0021="（1-0）2+（0+2）2=下,

因?yàn)?—1（石＜2+1,即弓—4＜也（弓+4，

所以圓Y+/-2x=0和圓x2+y2+4y=0的位置關(guān)系是相交，

故選：C

4、D

【解題分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的性質(zhì)以及定義逐一判斷即可.

22

【題目詳解】曲線C:土+匕=1,若加＞〃＞0,則。是橢圓，其焦點(diǎn)在X軸上，故A正確；

mn

若m=n＞0,則。：必+/=〃，即。是圓，半徑為6,故B正確;

若儂＜0,則。是雙曲線，當(dāng)〃?＞0,〃＜0,則漸近線方程為產(chǎn)x=±,當(dāng)機(jī)＜0,〃＞。，則漸近線方

程為y=x=±,故C正確;

若加>0,n<0,則C是雙曲線，其焦點(diǎn)在X軸上，由雙曲線的定義可知，|尸耳|一|07q=2而，故D錯(cuò)誤；

故選：D

5、D

【解題分析】由題意可得首先求出直線上的一個(gè)向量A3,即可得到它的一個(gè)方向向量，再利用平面向量共線(平行)

的坐標(biāo)表示即可得出答案

【題目詳解】?:A(0,L2),5(2,5,8)在直線/上,

...直線/的一個(gè)方向向量A3=(2,4,6),

又???(l,2,3)=g(2,4,6),

(1,2,3)是直線I的一個(gè)方向向量

故選：D

6、B

【解題分析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A,C,然后利用特殊值判斷即可

【題目詳解】解：由題得函數(shù)/Xx)的定義域?yàn)椋鹸|x/。｝,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

所以函數(shù)/(-*)=以區(qū)=-/(彳)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,C.

-X

當(dāng)時(shí)，/(%)>0,排除選項(xiàng)D,

故選:B

7、A

3InY

【解題分析】分析可知直線y=Ina與曲線y=/(%)在(0,+。)上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令罐=三可得出Ina=——，

JC

令〃X)=問題轉(zhuǎn)化為直線y=lna與曲線y=/(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)”司的單調(diào)性與極值，

X

數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【題目詳解】當(dāng)尤<0時(shí)，y=ax>0,丁=/<0,此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖象無交點(diǎn)；

3Inx

當(dāng)%>0時(shí)，由優(yōu)=%3得xlnQ=31nx,可得lna=----,

x

令/(X)=——，其中％>0,則直線y=lna與曲線y=/(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，

X

J(x)=3(l[nx),當(dāng)0<%<6時(shí)，/。)>0,此時(shí)函數(shù)〃%)單調(diào)遞增，

3

當(dāng)％〉e時(shí),r(x)<0,此時(shí)函數(shù)/(X)單調(diào)遞減,則〃x)max=/(e)=3,

e

且當(dāng)龍〉1時(shí)，/(%)=—>0,作出直線y=lna與曲線y=/(x)如下圖所示:

X

33

由圖可知，當(dāng)0<lna<一時(shí)，即當(dāng)11時(shí)，

指數(shù)函數(shù)y=a*(a>0且awl)與三次函數(shù)y=式的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

故選：A.

8、A

【解題分析】先求出圓心和半徑，求出圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，從而求出圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值.

【題目詳解】。：/+/+2》+仃+4=0變形為(x+l)2+(y+2『=l,故圓心為(—1,—2),半徑為1,故圓心到原

點(diǎn)的距離為J(-l『+22=石,故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最小值為6-1.

故選：A

9、C

【解題分析】分類討論：當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心距等于半徑之和；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于半徑之差，即可求解.

【題目詳解】圓G的圓心為(。，°)，半徑為「，圓的圓心為(0,0)，半徑為2廠.

①當(dāng)兩圓外切時(shí)，有|a|=3乙此時(shí)。=±3八

②當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有|a|=r,此時(shí)。=土廠.

綜上，當(dāng)。=±3廠時(shí)兩圓外切；當(dāng)。=土廠時(shí)兩圓內(nèi)切.

故選：C

【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，解答兩圓相切問題時(shí)易忽略兩圓相切包括內(nèi)切和外切兩種情況.解答時(shí)注

意分類討論，屬于基礎(chǔ)題.

10、C

【解題分析】求出兩直線垂直時(shí)加值判斷①；由復(fù)合命題真值表可判斷②；化簡(jiǎn)不等式結(jié)合充分條件、必要條件定義

判斷③；

聯(lián)立直線與雙曲線的方程組成的方程組驗(yàn)證判斷④；判定點(diǎn)0,0)與圓好+y2=9的位置關(guān)系判斷⑤作答.

【題目詳解】若直線(m+2)x+3%+1=0與直線(機(jī)—2■+(機(jī)+2)丁—3=0相互垂直，貝！|

(m+2)(m—2)+3m(m+2)=0,

解得加二-2或加=工，

2

貝！|“根=；”是“直線+2)x+3/孫+1=0與直線(加―2)x+(m+2)y—3=0相互垂直”的充分而不必要條件，①正

確；

命題“「PAF”為假命題，則與r至少一個(gè)是假命題，不能推出一定是假命題，②不正確；

4a>4b<^a>b>Q，lga>lgba>b>0,則&>振是Iga>但人的必要不充分條件，③正確；

由［2x1-2y7-l2=20消去,并整理得:

2%2—4X+3=0，△=(—4)2—4義2義3=—8<0,

2

即直線2x—y-1=。與雙曲線好一21=1沒有公共點(diǎn)，④不正確;

2

點(diǎn)(3,0)在圓好+V=9上，則直線y=k(X-3)(keR)與圓好+y2=9至少有一個(gè)公共點(diǎn)，

而過點(diǎn)(3,0)與圓必+y2=9相切的直線為1=3,直線y=左(％—3)(keR)不包含％=3,

因此，直線丁=左(九—3)/eR)與圓好+/=9相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，⑤正確，

所以所有真命題的序號(hào)是①③⑤.

故選：C

11、D

【解題分析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x-85.71,則

%=0.85>0,y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；

回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(元歹)，B正確；

該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測(cè)其體重約增加0.85kg,C正確；

該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測(cè)其體重約為0.85X170-85.71=58.79kg,D錯(cuò)誤

故選D

12、B

【解題分析】先分為在甲箱中抽出一張有獎(jiǎng)票放入乙箱和在甲箱中抽出一張無獎(jiǎng)票放入乙箱，進(jìn)而結(jié)合條件概率求概

率的方法求得答案.

【題目詳解】記片表示在甲箱中抽出一張有獎(jiǎng)票放進(jìn)乙箱，當(dāng)表示在甲箱中抽出一張無獎(jiǎng)票放進(jìn)乙箱，A表示最后

抽到有獎(jiǎng)票.

31331?31?15

所以，］，于是入田=］乂=五.

p(4)=k=QP(AI4)=P(B2)=^-,P(A\B2)^-,5*3+5

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、5

【解題分析】求得導(dǎo)函數(shù)，令T")=-L2,計(jì)算即可得出結(jié)果.

120

【題目詳解】T(f)=——+15,

7Z+5

T'(f)=T20

(f

-120

令T")=-1.2,得：——7=-1.2.

解得：t=5.

二時(shí)刻f=5min時(shí)，蜥蜴的體溫的瞬時(shí)變化率為-1.2C/min

故答案為：5.

14、42

【解題分析】由焦半徑公式求得參數(shù)。，得拋物線方程，從而可求得A3兩點(diǎn)縱坐標(biāo)，再求得直線A5與％軸的交點(diǎn)

坐標(biāo)后可得面積

【題目詳解】因?yàn)閨”|=2+言=10,所以夕=16,拋物線的方程為V=32x,把x=1■代入方程，得y=-4(y=4

舍去)，

1

X—

即出,-4).同理4(2,8),直線AB方程為U

-即y=8x—8.所以直線A3與x軸交于點(diǎn)。。,0),

2——

2

所以SMF=gx(8—1)義|%—%|=42.

故答案為：42

15、/(x)=x+2T—l

【解題分析】當(dāng)x<0時(shí)，利用—x>0及/(%)=—/(—￡)求得函數(shù)的解析式.

【題目詳解】當(dāng)》<0時(shí)，—x>0,由于函數(shù)是奇函數(shù)，故/(x)=—/(—無)=—[―x—2-工+1]=尤+2-*—1.

【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查已知函數(shù)的奇偶性以及》軸一側(cè)的解析式，求另一側(cè)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

1

16、y=—

4

【解題分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y,得拋物線是焦點(diǎn)在y軸正半軸的拋物線，2p=l,

,其準(zhǔn)線方程是y=-e,丁=-工

24

故答案為y=-■-

4

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)2x+y+2=0；(2)(—8,4].

【解題分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線平行求出用即可求出切線方程；

33

(2)先把已知條件轉(zhuǎn)化為〃+21n%+—,令//(%)=%+21n%+—(0,+a)),利用導(dǎo)數(shù)求出/z(x)的最小值，

即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【題目詳解】⑴/(％)=-2x,故左=/■'⑴=—2,而g'(x)=2(lnx+l)—a,故g'⑴=2—a,故2—a=—2,解

得:a=4,故g(l)=—a=—4,故g(x)的切線方程是:y+4=—2(x—l),

即2x+y+2=0；

3

(2)當(dāng)xw(O,+8)時(shí)，(?(%)2/(%)恒成立等價(jià)于。<%+2111%+—，

x

3231

令/z(x)=%+21n%+—,%￡(0,+8)廁"(%)=11------=—(x+3)(x-l),

XXX

令解得：％>1；令解得：0<%<1；

所以“(x)=x+21nx+巳在(0,1)上單減，在(1,+8)上單增，

X

所以/z(x)1nm=l+21nl+；=4,所以aW4.

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,4].

18、(1)證明見解析；(2)叵.

7

【解題分析】(1)取AC的中點(diǎn)為。，連接60,PO,證明POJLAC,POLOB,即證平面ABC,即證

得面面垂直；

(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和向量AM的坐標(biāo)，再計(jì)算平面法向量”，利用所求角的正

弦為cos/AM,n\即得結(jié)果.

【題目詳解】(1)證明：如圖，取AC的中點(diǎn)為。，連接60,PO.

VPA=PC,：.PO±AC.

VPA=PC=6,ZAPC=9Q°,

/.=1AC=3A/2,同理30=30?

又PB=6,P()2+OB?=PB?,

：.PO±OB.'：AC\OB=O,AC,OBu平面ABC,

.?.POL平面ABC.

又POu平面PAC,

：.平面PAC_L平面ABC；

(2)解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系可知，A(3行,0,0),C(-372,0,0),6(0,3&,0),P(0,0,372),

?.?三棱錐P—ACM和3—ACM的體積比為1:2,

：.PM:BM=1:2,

:.M(QQ,2吟,

UUUL/廠L/—\

AM=(-3y/2,42,242).

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

3y/2x+3y/2y=0

令x=l,=(1,—1,—1).

3y/2x+3y/2z=

設(shè)直線AM與平面PBC所成角為0,

直線AM與平面PBC所成角的正弦值為叵.

7

【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：

求空間中直線與平面所成角的常見方法為：

(1)定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；

(2)等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點(diǎn)到面的距離，距離與斜線長(zhǎng)的比值即線面成角的正弦值；

(3)向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對(duì)值，即是線面成角的正弦值.

19、(1)8；(2)證明見解析.

【解題分析】(1)聯(lián)立直線與拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求線段A3的長(zhǎng)；

(2)設(shè)/為x=Ay-1,聯(lián)立拋物線由韋達(dá)定理可得力+為=4左，力力=4,應(yīng)用兩點(diǎn)式判斷左BF—左府是否為。即

可證結(jié)論.

【小問1詳解】

由題設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程可得(x—1)2=4x,則J—6x+l=0，A=62—4xl=32>0,

AxA+xB-6,xAxB=1,

所以|AB|=y/l+k~-\xA~xB|=\/2--^CxA+xB)~—4XAXB=8.

【小問2詳解】

由題設(shè)，F(xiàn)(1,O),又直線/經(jīng)過點(diǎn)P(-1,O),此時(shí)直線斜率必存在且不為0,可設(shè)/為x=6-1,

聯(lián)立拋物線得：/一4矽+4=0,則以+為=4左，力%=4,

%而k=%=%

又A'(%A,-%)，故kFA=-46「2'而"xB-l砥-2'

T

%+%=2(%+%)=8k-8k

所以^BF—^FA,

2

kyB~灼A—2左2力力-24(力+%)+44(1-左2)

所以⑷、F、5三點(diǎn)共線.

2。、(!)半

(2)

3

【解題分析】(1)以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為V軸，A4為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AEG的法向

量為〃，再利用公式四匚可計(jì)算即可；

\n\

(2)易得平面A3與4的法向量為a。，設(shè)平面AEG與平面A34A的夾角為夕，再利用cos。=|cos<AC,”>|計(jì)算

即可

小問1詳解】

解：(1)以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，44]為z軸建立空間直角坐標(biāo)系

所以4(0,0,0),40,0,2),5(2,0,0),4(2,0,2),C(0,2,。),￡(0,2,2),E(l,l,0),

因?yàn)檐?(1,1,0),隔=(0,2,2),麗=(0,0,2)

AE-n=0fx+y=0

設(shè)平面AEG的法向量為〃=(x,y,z),則有…八，得■八，

■AQ-n=0[y+z=0

令y=T則x=i,z=i,所以可以取〃=(1,-1/),

設(shè)點(diǎn)A到平面AEC的距離為d,則d=|A4|-/?I=之=巫,

\n\733

所以點(diǎn)4到平面AECX的的距離的距離為其I；

3

【小問2詳解】

(2)因?yàn)锳C,平面取平面A34A的法向量為AC=(0,2,0)

設(shè)平面AEQ與平面ABB.A,的夾角為0,

所以cos。=|cos<AC,n>\-1"=—

|AC||“I3

平面AEG與平面ABBA夾角的余弦值—

3

（2）存在，定點(diǎn)1,0

【解題分析】（1）根據(jù)已知條件求得力,/,由此求得橢圓。的方程.

（2）對(duì)直線AB的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線AB的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合QAQB是常數(shù)列方程,

從而求得定點(diǎn)。的坐標(biāo).

小問1詳解】

2221

2ca-b,bb-2

,-—7---2—=1---9-T=-

aaaa3

b2_2

a7-3

由題可得：＜n<

卜6記4_=1

【小問2詳解】

當(dāng)直線A3的斜率存在時(shí)，設(shè)直線A8的方程為丁=左（尤+2）,設(shè)3（9,%），

y=k(x+2)

聯(lián)立方程組《22,整理得（2+3左2）尤2+12左2%+i2（攵2_2）=0,

三+乙=1

1128

一殂T2E12（左2_2）

可得石+一江正，玉“下市

所以=-a.yx-Z?）-（x2-a.y2—b）=（%—。乂/-”）+（g+2左一+2左一Z?）

=（1+左2）%]%2+（2左2—bk—〃）（玉+/）+4k2—4kb+Z?2+tz2

—12￡,+4公-4抄+/+。2

-bk-

2+3左2

3a2+3/+12"4—34=0

844

則8b=0，解得a、—