專題06 巧作輔助線構(gòu)造全等形（解析版）

專題06巧作輔助線，構(gòu)造全等形【典例解析】【例1】（2020·江蘇江都月考）問(wèn)題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：?jiǎn)栴}背景：EF=BE+DF，證明如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案為EF=BE+DF．探索延伸：上述結(jié)論EF＝BE+FD成立，理由：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使得DG＝BE，連接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠EAF，又∵AG＝AE，AF＝AF，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴EF＝GF，∵GF＝DF+DG＝DF+BE，∴EF＝BE+FD；實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，在四邊形AOBC中，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝60°+120°＝180°，∴EF＝AE+FB＝1.5×（60+80）＝210（海里），即此時(shí)兩艦艇之間的距離210海里．【變式1-1】（2020·重慶巴南月考）(1)問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)AG，先證明ΔΔADG，再證明ΔΔAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．(2)探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？并說(shuō)明理由．【答案】（1）EF=BE+DF；（2）成立，見(jiàn)解析.【解析】解：（1）EF=BE+DF，證明如下：在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG∴AE=AG，∠BAE=∠DAG∵∠EAF=∠BAD∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠EAF∴∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGF∴EF=GF∴EF=BE+DF故答案為：EF=BE+DF．（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連結(jié)AG，易證△ABE≌△ADG∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF.【變式1-2】（2019·山東嘉祥·初二期中）現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問(wèn)題：截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種常見(jiàn)輔助線的做法．在證明線段的和、差、倍、分等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩余的線段與另一段線段相等．補(bǔ)短法：就是延長(zhǎng)較短線段與較長(zhǎng)線段相等，而后證延長(zhǎng)的部分等于另一條線段．請(qǐng)用截長(zhǎng)法解決問(wèn)題（1）（1）已知：如圖1等腰直角三角形中，，是角平分線，交邊于點(diǎn)．求證：．圖1請(qǐng)用補(bǔ)短法解決問(wèn)題（2）（2）如圖2，已知，如圖2，在中，，是的角平分線．求證：．圖2【答案】見(jiàn)解析．【解析】解：（1）證明：在AC上截取AE=AB，連接DE，∵AD是角平分線，∴∠BAD=∠EAD在△ADB和△ADE中，∴△ADB≌△ADE∴∠AED=∠B=90°，DE=BD∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形，∴ED=CE，∴AC=AE+CE=AB+BD（2）延長(zhǎng)AB到F，使AF=AC，連接DF，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠FAD=∠CAD在△FAD和△CAD中，∴△FAD≌△CAD，∴∠C=∠F∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠F+∠BDF，∴∠F=∠BDF，∴BD=BF，∴AC=AF=AB+BD．【例2-1】（2020·唐山市豐南區(qū)）如圖，在△ABC中，AC=5，中線AD=7，則AB邊的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D.【解析】延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE在△ADC和△EDB中，AD=DE,∠ADC=∠BDE,CD=BD∴△ADC≌△EDB∴AC=BE∵AC=5，AD=7∴BE=5，AE=14在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE∴AB邊的取值范圍是：9＜AB＜19故答案為：D.【例2-2】（2020·余干縣月考）（1）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：①延長(zhǎng)AD到Q，使得DQ＝AD；②再連接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<14，則AD的取值范圍是_____________．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的己知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．（2）請(qǐng)你寫(xiě)出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明．（3）思考：已知，如圖2，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°．試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．圖1圖2【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）延長(zhǎng)AD到Q，使DQ＝AD，連接BQ，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△QDB和△ADC中，，∴△QDB≌△ADC，∴BQ＝AC＝5，在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，∴4＜AQ＜14，∴2＜AD＜7，故答案為：2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，∴∠BQD＝∠CAD，∴AC∥BQ；（3）EF＝2AD，AD⊥EF.理由：延長(zhǎng)AD到Q使得BQ＝AD，連接BQ，由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，∵AC＝AF，∴BQ＝AF，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，∴∠BAC+ABQ＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABQ＝∠EAF，在△ABQ和△EAF中，，∴△ABQ≌△EAF，∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，延長(zhǎng)DA交EF于P，∵∠BAE＝90°，∴∠BAQ+∠EAP＝90°，∴∠AEF+∠EAP＝90°，∴∠APE＝90°，∴AD⊥EF，∵AD＝DQ，∴AQ＝2AD，∵AQ＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD，AD⊥EF．【變式2-1】（2019·山西模考）閱讀材料，解答下列問(wèn)題．如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，進(jìn)一步可得到AC=BE，AC//BE等結(jié)論．圖1圖2在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長(zhǎng)中線”的輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算或證明題．解決問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，點(diǎn)F為AD上一點(diǎn)，且BF=AC，連結(jié)并延長(zhǎng)BF交AC于點(diǎn)E，求證：AE=EF．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使得DM=AD，連接BM，∵AD是三角形的中線，∴BD=CD，在△MBD和△ACD中，∴△BDM≌△CDA，∴AC=BM，∠BMD=∠CAD，∵BF=AC∴BF=BM∴∠BMD=∠BFD∵∠BFD=∠EFA，∠BMD=∠CAD∴∠EFA=∠EAF，∴AE=EF．【變式2-2】（2020·北京朝陽(yáng)期末）閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：如圖，AD為△ABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，AE＝EF．求證：AC＝BF．經(jīng)過(guò)討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．圖①思路二如圖②，添加輔助線后并利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．圖②完成下面問(wèn)題：（1）①思路一的輔助線的作法是：；②思路二的輔助線的作法是：．（2）請(qǐng)你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法（要求：只寫(xiě)出輔助線的作法，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形，不需要寫(xiě)出證明過(guò)程）．【答案】（1）①延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG；②作BG＝BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；（2）見(jiàn)解析【解析】解：（1）①延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG，如圖①，理由如下：∵AD為△ABC中線，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案為：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG；②作BG＝BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案為：作BG＝BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；（2）作BG∥AC交AD的延長(zhǎng)線于G，則∠G＝∠CAD，∵AD為△ABC中線，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【例3-1】（2020·華中科技大學(xué)附屬中學(xué)月考）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．（1）求證：AD為∠BDC的平分線；（2）若∠DAE=∠BAC，且點(diǎn)E在BD上，直接寫(xiě)出BE、DE、DC三條線段之間的等量關(guān)系_______．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）DE=BE+DC.【解析】證明:（1）過(guò)A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，∵AG⊥BD，AF⊥DC，∴∠AGD=∠F=90°，∴∠GAF+∠BDC=180°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，∴∠BAG=∠CAF，在△BAG和△CAF中，∴△BAG≌△CAF（AAS），∴AG=AF，∴∠BDA=∠CDA.（2）DE=BE+DC，理由如下：過(guò)A作∠CAH=∠BAE，交DC的延長(zhǎng)線于H，∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，∵∠CAH=∠BAE，∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，在△EAD和△HAD中，，∴△EAD≌△HAD（ASA），∴DE=DH，AE=AH，在△EAB和△HAC中，，∴△EAB≌△HAC（SAS），∴BE=CH，∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，∴DE=DC+BE.故答案是：DE=DC+BE.【例3-2】（2020·無(wú)錫市胡埭中學(xué)月考）如圖，BD是△ABC的外角∠ABP的角平分線，DA＝DC，DE⊥BP于點(diǎn)E，若AB＝5，BC=3，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)____________【答案】1【解析】解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，∵BD是∠ABP的角平分線，∴DE=DF，在△BDE和△BDF中，∴△BDE≌△BDF(HL)，∴BE=BF，在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE(HL)，∴AF=CE，∵AF=AB?BF，CE=BC+BE，∴AB?BF=BC+BE，∴2BE=AB?BC，∵AB=5，BC=3，∴2BE=5?3=2，BE=1.故答案為1.【變式3-1】（2020·江蘇江都月考）如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)．若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA，OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不變，（3）四邊形PMON的面積不變，（4）MN的長(zhǎng)不變，其中正確的為_(kāi)_________（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)結(jié)論前面的序號(hào)）．【答案】（1）（2）（3）.【解析】解：過(guò)P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF+∠AOB=180°，∵∠MPN+∠AOB=180°，∴∠EPF=∠MPN，∴∠EPM=∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE=PF，在△POE和△POF中，,∴△POE≌△POF，∴OE=OF，在△PEM和△PFN中，,∴△PEM≌△PFN，∴EM=NF，PM=PN，故（1）正確，∴S△PEM=S△PNF，∴S四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值，故（3）正確，∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故（2）正確，MN的長(zhǎng)度是變化的，故（4）錯(cuò)誤，故答案為：（1）（2）（3）．【變式3-2】（2020·四川達(dá)州期末）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA，過(guò)E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF；其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【解析】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正確；②∵BD為△ABC的角平分線，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正確；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE為等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE＝EC．③正確；④過(guò)E作EG⊥BC于G點(diǎn)，∵E是∠ABC的角平分線BD上的點(diǎn)，且EF⊥AB，∴EF＝EG，在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG?CG＝BF＋BG＝2BF，④正確．故答案為D．【變式3-3】（2020·四川成都開(kāi)學(xué)考試）如圖，AD是ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DM，△ADM和△AED的面積分別為58和40，則EDF的面積為（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】C【解析】解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DMH中，DF＝DH，DE＝DM，∴Rt△DEF≌Rt△DMH（HL），∴S△DEF＝S△DMH，∵△ADM和△AED的面積分別為58和40，∴△EDF的面積＝×（58﹣40）＝9．故答案為：C．【變式3-4】（2020·內(nèi)蒙古扎魯特旗期末）已知∠BAC的平分線與BC的垂直平分線DG相交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，（1）連接CD、BD，求證：△CDF≌△BDE；（2）若AE＝5，AC＝3，求BE的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析.【解析】證明：（1）連接CD、BD，∵AD平分∠BAE，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，又∵DG垂直平分BC，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE.（2）在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AE＝AF，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE＝CF，∵CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2，∴BE＝2．【習(xí)題專練】1.（2020·南部縣月考）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，則圖中陰影部分的面積等于__________．【答案】4.【解析】解：過(guò)D作DG⊥BE于G，過(guò)C作CF⊥AE于F，∴∠DGE=∠CFE=90°，∵∠AEB=∠DEC=90°，∴∠GED+∠DEF=90°，∠DEF+∠CEF=90°，∴∠GED=∠CEF，∵DE=EC，∴△GDE≌△FCE，∴DG=CF，∵S△BED=BE?DG，S△BED=AE?CF，AE=BE，∴S△BED=S△BED，∵D是BC的中點(diǎn)，∴S△BDE=S△EDC==2，∴S陰影=2+2=4，故答案為4.2.（2020·江蘇泰州月考）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)____．【答案】12.5【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于E，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB，∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四邊形ABCD的面積與△ACE的面積相等，∵S△ACE=×5×5=12.5，∴四邊形ABCD的面積為12.5，故答案為12.5．3.（2020·啟東市月考）P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，則∠APC的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】142°【解析】解：延長(zhǎng)AC至F，使AF＝AB，連BF，PF，延長(zhǎng)AP交BC于D，交BF于E，在△APB和△APF中，，∴△APB≌△APF，∴AB＝AF，PB＝PF，∠AFP＝∠ABP＝8°，∴AP垂直平分BF，∠BPE＝∠BAP+∠ABP＝30°°，∠FPE＝∠CAP+∠AFP＝30°∴∠AEP=∠FEP=90°，∴∠PBF=∠PFB=60°∵∠PBC＝30°∴∠CBF＝30°＝∠PBC，∠BPF＝∠BFP＝∠PBF=60°，∴三角形BPF是等邊三角形，BC平分∠PBF∴BC垂直平分PF∴PC=PF∴∠CPF＝∠CFP＝8°∴∠DPC＝38°∴∠APC＝142°；故答案為：142°．4.（2020·四川成華期末）（1）如圖1，在ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC邊上的中線，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，連接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）如圖2，在ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A為鈍角，∠C為銳角，∠B+∠ADC=180°，DA=DC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且∠EDF=∠ADC，連接EF，試探索線段AF，EF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜5；（2）見(jiàn)解析；（3）AF+EC=EF，見(jiàn)解析【解析】解：（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴△CDE≌△BDA，∴EC=AB=4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（2）延長(zhǎng)ED到H，使DH=DE，連接DH，F(xiàn)H．∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴△BDE≌△CDH，∴BE=CH，∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH=BE，F(xiàn)H=EF，∴BE+CF＞EF；（3）結(jié)論：AF+EC=EF．理由：延長(zhǎng)BC到H，使CH=AF．∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCH+∠BCD=180°，∴A=∠DCH，∵AF=CH，AD=CD，∴△AFD≌△CHD，∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH，∵∠EDF=∠ADC，∴∠EDF=∠FDH，∴∠EDF=∠EDH，∵DE=DE，∴△EDF≌△EDH，∴EF=EH，∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC．5．（2020·武漢市期中）在中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，分別在AB，AC上．且DE⊥DF，連EF．（1）如圖1，AB=AC，∠BAC=90°，求證：∠DEF=45°；（2）如圖2，求證：BE+CF＞EF．圖1圖2【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：連接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=45°，AD⊥BC，∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，∴AD=BD=CD，∵∠EDF=90°，即∠ADE+∠ADF=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ADF=∠BDE，∴△BDE≌△ADF，∴DE=DF，∠EDF=90°，∴∠DEF=45°；（2）延長(zhǎng)ED至G，使ED=DG，連接FG和CG，∵FD⊥ED，∴∠FDE=∠FDG=90°，又FD=FD，∴△FDE≌△FDG，∴EF=FG，∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴BD=CD，又ED=DG，∠EDB=∠CDG，∴△BDE≌△CDG，∴BE=CG，在△CFG中，CG+CF＞FG，∴BE+CF＞EF.6.（2020·北京海淀期中）已知，如圖：AD是△ABC的中線，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，連結(jié)EF．試猜想線段AD與EF的關(guān)系，并證明.【答案】EF=2AD，EF⊥AD；見(jiàn)解析【解析】猜想：EF=2AD，EF⊥AD．證明：延長(zhǎng)AD到M，使AD=DM，連接MC，延長(zhǎng)DA交EF于N，∴AD=DM，AM=2AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ABD和△MCD中，，∴△ABD≌△MCD，∴AB=MC，∠BAD=∠M，∵AB=AE，∴AE=MC，∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠FAC=90°，∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°，∴∠BAC+∠EAF=180°，∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°，∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°，即∠BAC+∠MCA=180°，∴∠EAF=∠MCA．在△AEF和△CMA中，，∴△AEF≌△CMA，∴EF=AM，∠CAM=∠F，∴EF=2AD；∵∠CAF=90°，∴∠CAM+∠FAN=90°，∵∠CAM=∠F，∴∠F+∠FAN=90°，∴∠ANF=90°，∴EF⊥AD．7.（2020·四川成都）已知，如圖AD為△ABC的中線，分別以AB和AC為一邊在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，連接EF，∠EAF+∠BAC＝180°（1）如圖1，若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度數(shù)；（2）如圖1請(qǐng)?zhí)骄烤€段EF和線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）如圖2，設(shè)EF交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)R，延長(zhǎng)FC，EB交于點(diǎn)M，若點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，且∠BAE＝70°，請(qǐng)?zhí)骄俊螦CB和∠CAF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝63°，∴∠EAB＝54°，∵∠BAC＝45°，∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，∴54°+2×45°+∠FAC＝180°，∴∠FAC＝36°；（2）EF＝2AD；理由如下：延長(zhǎng)AD至H，使DH＝AD，連接BH，∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD，在△BDH和△CDA中，，∴△BDH≌△CDA，∴HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，∴AC∥BH，∴∠ABH+∠BAC＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABH，在△ABH和△EAF中，，∴△ABH≌△EAF，∴EF＝AH＝2AD；（3）∠ACB－∠CAF=55°；理由如下：由（2）得，AD＝EF，又點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，∴EG＝AD，由（2）△ABH≌△EAF，∴∠AEG＝∠BAD，在△EAG和△ABD中，，∴△EAG≌△ABD，∴∠EAG＝∠ABC＝70°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠BAC+∠CAF＝180°，即：70°+2∠BAC+∠CAF＝180°，∴∠BAC+∠CAF＝55°，∴∠BAC＝55°﹣∠CAF，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣∠ACB＝110°﹣∠ACB，∴∠ACB﹣∠CAF＝55°．8.（2020·湖北黃石期末）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線上．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）圖中與∠DBE相等的角有：；（2）直接寫(xiě)出BE和CD的數(shù)量關(guān)系；（3）若△ABC的形狀、大小不變，直角三角形BEC變?yōu)閳D2中直角三角形BED，∠E＝90°，且∠EDB＝∠C，DE與AB相交于點(diǎn)F．試探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠BAC，又∠EDB＝∠ADC，∴∠DBE＝∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，∴∠DBE＝∠BCD，故答案為：∠ACE和∠BCD；（2）延長(zhǎng)BE交CA延長(zhǎng)線于F，∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE，在△CEF和△CEB中，，∴△CEF≌△CEB（ASA），∴FE＝BE，在△ACD和△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（ASA），∴CD＝BF，∴BE＝CD；（3）BE＝DF過(guò)點(diǎn)D作DG∥CA，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，與AE相交于H，∵DG∥AC，∴∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°，∵∠EDB＝∠C，∴∠EDB＝∠EDG＝∠C，∵BE⊥ED，∴∠BED＝90°，∴∠BED＝∠BHD，∵∠EFB＝∠HFD，∴∠EBF＝∠HDF，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∵GD∥AC，∴∠GDB＝∠C＝45°，∴∠GDB＝∠ABC＝45°，∴BH＝DH，在△BGH和△DFH中，，∴△BGH≌△DFH（ASA）∴BG＝DF，在△BDE和△GDE中，，∴△BDE≌△GDE（ASA）∴BE＝EG，∴BE＝BG=DP．9．（2020·江蘇泰州月考）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且滿足DE=DH，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，G為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，滿足DG＝DF，若AE=4cm，則AG=_____cm．【答案】2或6.【解析】解：∵DE⊥AB，DH⊥AC，∴∠AED=∠AHE=90°.在△ADE和△ADH中，∵AD=AD,DE=DH,∴△ADE≌△ADH,∴AH=AE=4cm.∵F為AE