專題04 與角度、面積等相關(guān)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題（解析版）

專題04與角度、面積等相關(guān)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題【典例解析】【例1】（2020·四川遂寧期末）Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=60°，則∠1+∠2=；（2）若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為；（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由；（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：(1)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，由∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案為：150；(2)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案為：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如圖3，設(shè)DP與BE的交點(diǎn)為F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如圖4，設(shè)PE與AC的交點(diǎn)為G，∵∠PGD＝∠EGC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案為∠2＝90°＋∠1－∠α．【變式1-1】（2020·福建龍巖期中）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)按如圖所示的方式疊放在一起（其中，，），固定三角板，另一三角板的邊從邊開(kāi)始繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為．（1）當(dāng)時(shí)；①若，則的度數(shù)為；②若，求的度數(shù)；（2）由（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)時(shí)，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相垂直？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有可能的值，并指出哪兩邊互相垂直（不必說(shuō)明理由）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）①150°；②50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°；（3）當(dāng)α=30°時(shí)，AD⊥CE，當(dāng)α=90°時(shí)，AC⊥CE，當(dāng)α=75°時(shí)，AD⊥BE，當(dāng)α=45°時(shí)，CD⊥BE．【解析】解：（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，∴∠DCB=90°?30°=60°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，故答案是150°；②∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠DCB=130°?90°=40°，∴∠DCE=90°?40°=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：①當(dāng)0≤α＜90°時(shí)，如圖，∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；②當(dāng)α=90°時(shí)，∠ACB+∠DCE=180°，成立；③當(dāng)90°＜α＜360°時(shí)，如圖，∠ACB+∠DCE=360°-90°-90°=180°．綜上所述：∠ACB+∠DCE=180°；(3)存在，理由如下：①若AD⊥CE時(shí)，如圖則α=90°-∠A=90°-60°=30°，②若AC⊥CE時(shí)，如圖則α=∠ACE=90°，③若AD⊥BE時(shí)，如圖則∠EMC=90°+30°=120°，∵∠E=45°，∴∠ECD=180°-45°-120°=15°，∴α=90°-15°=75°，④若CD⊥BE時(shí)，如圖則AC∥BE，∴α=∠E=45°．綜上所述：當(dāng)α=30°時(shí)，AD⊥CE，當(dāng)α=90°時(shí)，AC⊥CE，當(dāng)α=75°時(shí)，AD⊥BE，當(dāng)α=45°時(shí)，CD⊥BE．【變式1-2】（2019·上海市市期中）結(jié)合“愛(ài)市西，愛(ài)生活，會(huì)創(chuàng)新”的主題，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一款“地面霓虹探測(cè)燈”，增加美觀的同時(shí)也為行人的夜間行路帶去了方便．他的構(gòu)想如下：在平面內(nèi)，如圖1所示，燈射線從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．（1）填空：______；（2）若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)60秒，燈射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，若射出的光束交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，且，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）120；（2）（3）見(jiàn)解析．【解析】解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2:1∴∠BAM=120°，∠BAN=60°∵PQ∥MN∴∠ABP=∠BAM=120°故答案為：120；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，燈B射線從BP開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ所需時(shí)間為180秒，燈B射線從BP開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB所需時(shí)間為120秒，燈A射線從AM開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN所需時(shí)間為90秒則t的取值范圍為：0<t<120①當(dāng)0<t≤60時(shí)，∵PQ∥MN∴∠PBD=∠BDA∵AC∥DB∴∠CAM=∠BDA∴∠CAM=∠PBD∴2t=60+t解得t=60此時(shí)，∠CAM=∠PBD=∠PBA=120°即兩燈的光束重合，舍去；②當(dāng)60＜t≤90時(shí)，如圖所示，此時(shí)燈A射線未從AN回轉(zhuǎn)同理得：60+t+180-2t=180解得t=60（舍去）③當(dāng)90<t≤120時(shí)，如圖所示，此時(shí)燈A射線旋轉(zhuǎn)至AN，并已開(kāi)始回轉(zhuǎn)可得60+t+2t-180=180解得t=100，綜上，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)100秒，兩燈的光束互相平行；（3）∠BAC=2∠BCD，理由如下：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵∠CAN=180－2t∴∠BAC=∠BAN-∠CAN=2t-120又∵∠ABC=120－t∴∠BCA=180－t∵∠ACD=120°∴∠BCD=∠ACD-∠BCA=t-60∴∠BAC：∠BCD=2:1,即∠BAC=2∠BCD.【例2】（2020·湖北廣水期末）如圖，以直角三角形AOC的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)C，OA所在直線為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（0，a），C（b，0）滿足．（1）a=；b=；直角三角形AOC的面積為．（2）已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O勻速移動(dòng)，Q點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)O點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．AC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，3），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問(wèn)：是否存在這樣的t，使得△ODP與△ODQ的面積相等？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在（2）的條件下，若∠DOC=∠DCO，點(diǎn)G是第二象限中一點(diǎn)，并且y軸平分∠GOD．點(diǎn)E是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接接CE交OD于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論(三角形的內(nèi)角和為180)．【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：(1)解：（1）∵，∴a-6=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）；∴S△ABC=6×8÷2=24,故答案為（0，6），（8，0）；6；8；24.（2）∵S△ODQ=2t，S△ODP=12-3t由2t=12-3t得：t=2.4∴當(dāng)t=2.4時(shí)，△ODP與△ODQ的面積相等.(3)2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°∴∠OAC+∠ACO=90°∵∠DOC=∠DCO∴∠OAC=∠AOD∵y軸平分∠GOD∴∠GOA=∠AOD∴∠GOA=∠OAC∴OG∥AC，如圖，過(guò)點(diǎn)H作HF∥OG交x軸于F，∴HF∥AC∴∠FHC=∠ACE同理∠FHO=∠GOD，∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．∴∠GOD+∠ACE=∠OHC．【變式2-1】（2020·山東日照期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（a，b），且點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，且AC＝5．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）把點(diǎn)C往上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)H，作射線CH，連接BH，點(diǎn)M在射線CH上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)C、H重合），試探究∠HBM，∠BMA，∠MAC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）由，得：a＝2，b＝3，∴B（2，3），∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），AC＝5，∴C（－2，0）；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，設(shè)P為（x，0）S△POB=S△ABC，即：，解得：x=±，∴點(diǎn)P（，0）或（-，0）；②當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，設(shè)P為（0，y）S△POB=S△ABC，即：解得：y=±5，∴點(diǎn)P（0,5）或（0，-5）.綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，0）或（-，0）或（0,5）或（0，-5）；（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段CH上時(shí)，∠BMA＝∠MAC＋∠HBM理由：過(guò)點(diǎn)M作MN∥BH∴∠BMN＝∠HBM∵B、H兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等∴BH∥AC∴MN∥AC∴∠AMN＝∠MAC∴∠AMN＋∠BMN＝∠MAC＋∠HBM即∠BMA＝∠MAC＋∠HBM；②當(dāng)點(diǎn)M在線段CH延長(zhǎng)線上時(shí)，∠BMA＝∠MAC－∠HBM理由：過(guò)點(diǎn)M作MN∥BH∴∠BMN＝∠HBM∵B、H兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等∴BH∥AC∴MN∥AC∴∠AMN＝∠MAC∴∠AMN－∠BMN＝∠MAC－∠HBM即∠BMA＝∠MAC－∠HBM．【習(xí)題專練】1.（2020·長(zhǎng)沙市月考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B（0，﹣4）是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，將點(diǎn)B向右平移6個(gè)單位得到點(diǎn)A（6，﹣4）．（1）如圖1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①用含t的式子表示P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．②是否存在t使△BPQ的面積為4t＋12？若存在，求出t，并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．（2）如圖2，點(diǎn)D為線段OA（端點(diǎn)除外）上某一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作直線EF交x軸正半軸于E，交直線AB于F，∠EOD，∠AFD的平分線相交于點(diǎn)N，若∠ODF＝α，請(qǐng)用含α的式子表示∠ONF的大小，并說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析．【解析】解：（1）①∵將點(diǎn)B（0，﹣4）向右平移6個(gè)單位得到點(diǎn)A（6，﹣4）．∴BA∥x軸，∵點(diǎn)B（0，﹣4），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA方向運(yùn)動(dòng)，∴P（2t，﹣4），∵動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸向上運(yùn)動(dòng)，∴Q（0，3t）；②∵Q（0，3t），B（0，﹣4），∴BQ＝3t＋4，BP＝2t，∴S△BPQ＝BP·BQ＝×2t×（3t+4）＝3t2＋4t，∴3t2＋4t＝4t＋12，∴t2＝4，解得t＝2，t＝﹣2舍去，∴P（4，﹣4），Q（0，6）．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)N作NM∥x軸，∵NM∥x軸，AB∥x軸，∴NM∥AB∥x軸，∴∠MNO＝∠NOE，∵ON是∠EOD的角平分線，∴∠MNO＝∠NOE＝∠EOD，又∵M(jìn)N∥AB∴∠MNF＝∠NFA，∵FN是∠AFD的角平分線，∴∠MNF＝∠NFA＝∠AFD，∵AB∥x軸，∴∠OED＝∠AFD，∵∠ODF＝∠EOD＋∠AFD＝α，∴∠ONF＝∠MNO＋∠MNF＝（∠EOD＋∠AFD）＝α．2.（2019·湖北武昌期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，軸，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)在軸上以單位/秒的速度向軸的正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．平分．(提示：中，，若則，反之亦然)（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，求A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；（3）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)(用含的式子表示，且不含絕對(duì)值)．【答案】（1）90°；（2）（3）見(jiàn)解析．【解析】解：（1）當(dāng)t＝4時(shí)，OA＝4，∴A（4，0），∵B（4，?2），∴AB⊥OA，∴∠OAB＝90°，即m＝90．故答案為90．（2）延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)K，過(guò)C作CT⊥BE于T，連接KT，∵S△LCT=S△LBT+S△BCT∴K（2,0），設(shè)A（n，0），又S△ABC＝S△AKC?S△AKB＝3∴·|n-2|×4=·|n-2|×2+3解得：n=5或n=-1(舍去)∴t=5秒時(shí)，△ABC的面積為3.（3）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，∵∠ABC＝（180°?m°）＋（180°?45°）＝315?m°，BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝∴∠DBE＝∠CBD＋∠CBE＝＋45°＝當(dāng)t＝2時(shí)，∠DBE＝45°或135°當(dāng)2＜t≤6時(shí)，∵OA∥BE，∴∠ABE＝∠OAB＝m°，∴∠ABC＝45°＋m°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝，∴∠DBE＝∠ABE?∠ABD＝m°?＝當(dāng)t＞6時(shí)，可得：∠DBE＝∠CBE?∠CBD＝45°?＝；3.（2019·北京市期末）如圖，在直角三角形中，，．點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)，重合)，連接，在線段的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得．過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若，則_________；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并判斷與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并證明；（3）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________．【答案】（1）15°；（2）（3）見(jiàn)解析.【解析】（1）解：∵∠BPC=∠DPC=60°，∠ACB=90°∴∠ACD=90°，∠D=30°∵BE⊥DP∴∠E=90°∴∠EBD=60°∵∠BAC=45°∴∠ABC=45°∴∠ABE=15°.（2）∠ABE=∠ABP證明：∵BE⊥DP∴∠EBD+∠D=90°又∠DPC+∠D=90°∴∠EBD=∠DPC∵∠BPC=∠DPC∴∠EBD=∠BPC∵∠BAC=45°∴∠ABP=45°－∠BPC，∠ABC=45°∵∠ABE=∠ABC-∠EBD=45°-∠EBD∴∠ABE=∠ABP；（3）由（1）（2）可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC與CA的延長(zhǎng)線上時(shí)∠ABE=∠ABP，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)∠D=∠DBP=x∴∠BPE=2x，∴∠PBE=90°－2x∵∠ACB=90°，∠BAC=45°∴∠ABC=45°∴∠ABE=∠ABC+∠CBP+∠PBE=135°－x，∠ABP=45°+x∴∠ABE+∠ABP=180°當(dāng)點(diǎn)P在線段AC與CA的延長(zhǎng)線上時(shí)∠ABE=∠ABP，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)∠ABE+∠ABP=180°.4.（2019·湖北黃石期中）如圖：已知在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A（a，b）點(diǎn)B（a，0），且滿足|2a-b|+（b-4）2=0．（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)C（0，b），點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿x軸負(fù)方向以1個(gè)單位每秒的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從