2023-2024學年安徽省安慶九年級（上）期中數(shù)學試卷

2023-2024學年安徽省安慶外國語學校九年級（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列y關于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）

A.y=ax2+bx+cB.y=V2x2

C.y=（x—2）2—x2D.y=3x2—2

2.若"I，則中的值等于（）

A弓B-|C.|D.|

3.已知點M（3,在反比例函數(shù)y=《圖象上，則點M一定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.下列函數(shù)在第一象限中，了的值隨著x的增大而減小的是（）

2]

A.y=x2+1B.y=-C.y=x+1D.y=--

5.如圖，直線乙色色，直線/C分別交。，%，6于點/，B,C,直線。尸分別交乙，\A￡）/

12,&于點。，E,F,若4B=5,BC=3,則跖：。尸的值等于（）

A4

B.|

C4

Dl

6.如圖，尸是的邊4C上的一點，下列所添加的條件不能判定△BCP與aACB相AA

似的是（）

A.乙CBP=乙4

cPCBC

B—=—

,BCAC

「BC_BPBC

^,AC~AB

D.乙BPC=乙ABC

第1頁，共20頁

7.若線段MN的長為2c冽，點尸是線段MN的黃金分割點，則最短的線段M尸的長為（）

A.(V3—l)cmB.^cmC.(3—y/-5)cmD.3『cm

8.在同一平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y第2一入一k的大致圖象是（）

9.已知二次函數(shù)y=mx2—2mx+2（m。0在一2<x<2時有最小值-2,則血=（）

A.-4或一：C.-4或：D.4^1

10.如圖，反比例函數(shù)y=5化>0）的圖象與矩形/OBC的邊/C、3c分別

相交于點￡、凡點C的坐標為⑶與，將△CEF沿昉翻折，。點恰好落在

03上的點。處，則左的值為（）

B.6

C.12

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

11.拋物線y=（x+I）2-4的頂點坐標是.

12.如圖，四邊形2BCD?四邊形斯G8,乙4=80。，ZF=70°,乙G=90°,貝！UD=,

第2頁，共20頁

E

A

13.已知在二次函數(shù)y=ax2+b比+c中，函數(shù)值y與自變量x的部分對應值如表:

X.??-10123???

???

y830-10

則滿足方程a/+bx+c=0的解是.

14.圖1是一個瓷碗，圖2是其截面圖，碗體DEC呈拋物線狀側體厚度不計），碗口寬CD=12cm,此時面

湯最大深度EG=8cm.

⑺當面湯的深度E7為4c加時，湯面的直徑PQ長為

⑵如圖3,把瓷碗繞點8緩緩傾斜倒出部分面湯，當N4BM=45。時停止，此時碗中液面寬度C”=.

圖2圖3

三、解答題：本題共9小題，共90分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題8分）

已知：=1=5，且a+36-2c=9,求a+b-c的值.

Zj4

16.體小題8分）

如圖，在5x5的網(wǎng)格中，線段的端點都在格點上倆條網(wǎng)格線的交點叫格點）.請用無刻度的直尺畫出符

合要求的圖形，并保留畫圖痕跡壞要求寫畫法/

0在圖1中畫出一個以48為邊的ABC,使頂點。在格點上;

0在圖2中的線段"上找出一點D,使器=看

第3頁，共20頁

（圖1）（圖2）

17.體小題8分）

如圖，線段B。、CE是△4BC的兩條高.求證：AACE^AABD.

18.體小題8分）

已知二次函數(shù)y=x2+4x+k-1.

切若拋物線與x軸有兩個不同的交點，求左的取值范圍；

⑵若拋物線的頂點在x軸上，求左的值.

19.體小題10分）

如圖，在平行四邊形A8CD中，E是邊4D的延長線上一點，連接交邊CO于點R交對角線/C于點G.

⑺求證：△BGCS^EGA；

⑵若曝=求黑的值.

oLr

20.體小題10分）

如圖所示，一次函數(shù)丫=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=?的圖象相交于兩點71）,B（-3,-1）,與了軸相

交于點C.

第4頁，共20頁

0求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)表達式；

⑵直接寫出：不等式依+6＞三的解集是

⑸求△4。8的面積.

21.體小題12分）

已知二次函數(shù)y=x2+bx-c的圖象經(jīng)過點（3,。，且對稱軸為直線久=1.

⑺求b+c的值.

（2）當一時，求了的最大值.

⑸平移拋物線y=d+6%-以使其頂點始終在二次函數(shù)y=2/—x—j上，求平移后所得拋物線與y軸交

點縱坐標的最小值.

22.（本小題12殳）

如圖，四邊形/2C。中，ZXDC=AACB=90°,DC-AC=BC-AD,￡為43的中點，/C交?！暧邳cF.

求證：NC平分N￡MB

⑵/o求T證、-c：而FC_=記EC

⑸若4D,48的長是/一/在+3。=。的兩根，求器的值.

23.（本小題14分）

在平面直角坐標系中，已知拋物線y=a/+族+c與x軸交于點4（-3,0,B（7,。兩點，與/軸交于點C〃3）,

點P是拋物線上的一個動點.

第5頁，共20頁

切求拋物線的表達式；

⑵當P在x軸上方時，連接BP,當△4BP的面積等于4時，求尸點坐標;

㈤當點尸在直線NC上方的拋物線上時，連接8P交NC于點。，如圖，當前的值最大時，求點尸的坐標及

界的最大值.

UD

第6頁，共20頁

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4當時，y=Q/+b%+。不是二次函數(shù)，不符合題意；

By=V2x2,不是二次函數(shù)，不符合題意；

C.y=(x-2)2-x2=-4x+4,是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，不符合題意；

D.y=3x2-2,是二次函數(shù)，符合題意.

故選：D.

根據(jù)二次函數(shù)的定義，逐項判斷即可求解.

本題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關鍵是掌握形如丫=。/+6%+?口、氏。為常數(shù),a的函數(shù)叫做二

次函數(shù).

2.【答案】B

【解析】解：?--=!，

a2

設b=3k,a=2k(kH0),

.a+b_2k+3k_5

**~a2k2"

故選：B.

根據(jù)比例的性質即可得到結論.

本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵.

3.【答案】A

【解析】解：?.,點M(3,何在反比例函數(shù)y=《圖象上，

1=2,

???M(3,2),

???點/一定在第一象限.

故選：A.

方法二：

??,反比例函數(shù)中，k=6>0,

???圖象的兩個分支在一、三象限，

???點、M(3,加在反比例函數(shù)的圖象上，

第7頁，共20頁

.?.點M一定在第一象限.

故選：A.

把點M(3,加代入反比例函數(shù)解析式，可得m=2,可得點M(3,2)一定在第一象限.

考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；用到的知識點為：反比例函數(shù)的比例系數(shù)大于0,圖象的兩個分支在

一、三象限；關鍵是得到反比例函數(shù)的比例系數(shù)的符號.

4.【答案】B

【解析】解：4、y=x2+l,二次函數(shù)，開口向上，y軸是對稱軸，第一象限中，y的值隨著x的增大而增

大，不符合題意；

B,y=~,是反比例函數(shù)，圖象分布在一三象限，在第一象限中，y的值隨著x的增大而減小，符合題意；

C、y=x+/是一次函數(shù)，k=l>0,在第一象限中，y的值隨著X的增大而增大，不符合題意；

D、y=--,圖象分布在二四象限，不符合題意.

JX

故選：B.

根據(jù)函數(shù)的種類，分別進行判斷分析即可.

本題考查了反比例函數(shù)的性質，熟練掌握反比例函數(shù)的性質是解答本題的關鍵.

5.【答案】D

【解析】解：???A8=5,BC=3,

AC=AB+BC=8,

望直線。掰2M3,

EFBC_3

''DF=AC=Q-

故選：D.

根據(jù)平行線分線段成比例，可以解答本題.

本題考查平行線分線段成比例，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

6.【答案】C

【解析】解：,??NCBP=ZC=ZC,

■■.ABCP^AACB,

故N不符合題意；

PC_BC_

「前=就'"=/r

.?.△BCPs^ACB,

第8頁，共20頁

故3不符合題意；

??筆=黑，NC不是其夾角，

/ICZiD

???不能判定△BCP^A力CB相似，

故。符合題意；

/.BPC=/.ABC,ZC=",

:ABCPsAACB,

故。不符合題意，

故選：C.

根據(jù)相似三角形的判定定理逐一判斷即可.

本題考查了相似三角形的判定，熟記相似三角形的判定定理是解題的關鍵.

7.【答案】C

【解析】解：較長的線段兒。的長為XC7”，則較短的線段長是已一切cm.

則X?=2(2—x),

解得x=V3-/或一G一舍去)

較短的線段長是2-(6-1)=3-yH(cm)

故選：C.

較長的線段MP的長為xcm,則較短的線段長是但-切ent根據(jù)黃金分割的定義即可列方程求解.

本題考查了黃金分割，與一元二次方程的解法，正確理解黃金分割的定義是關鍵.

8.【答案】D

【解析】解：當k>0時，反比例函數(shù)y=力0的圖象經(jīng)過第一、三象限，二次函數(shù)y=d一kx-1圖象

的對稱軸久=當在y軸右側，并與y軸交于負半軸，則8選項不符合題意，。選項符合題意；

當k<。時，反比例函數(shù)y=(化70的圖象經(jīng)過第二、四象限，二次函數(shù)y=%?+kx-k圖象的對稱軸％=5

在丁軸左側，并與了軸交于正半軸，則/、C選項都不符合題意；

故選：D.

根據(jù)人的取值范圍分當k>0時和當k<0時兩種情況進行討論，根據(jù)反比例函數(shù)圖象與性質，二次函數(shù)圖象

和性質進行判斷即可.

本題考查反比例函數(shù)的性質及二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是根據(jù)題意對k的取值進行分類討論(當k>0時

和當k<0時)，注意運用數(shù)形結合的思想方法，充分尋找圖象中的關鍵點，結合函數(shù)解析式進行求解.

第9頁，共20頁

9.【答案】B

【解析】解：,?,二次函數(shù)y=m久2一2m久+2=小白:一/尸一tn+2,

???對稱軸為直線x=/,

①加>0,拋物線開口向上，

久=/時，有最小值y=—m+2=-2,

解得：771=4;

②小<。，拋物線開口向下，

,?,對稱軸為直線x=1,在—2<x<2時有最小值—2,

x=-2口寸，有最小值y=9m—m+2=—2,

解得：m=~—

故選：B.

先求出對稱軸為x=1,分m>0,機<0兩種情況討論解答即可求得機的值.

本題考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

10.【答案】D

【解析】解：???將ACEF沿跖對折后，C點恰好落在。2上的M點處,

:.乙EMF==90°,EC=EM,CF=MF,

乙DME+乙FMB=90°,

而ED1OB,

:.乙DME+乙DEM=90°,

■■■/.DEM=Z.FMB,

Rt△DEMsRt△BMF；

又EC=AC-AE=8-1，CF=BC-BF=6-^,

oo

kk

/.EM=8-y,MF=6-^,

6o

k

.EM_8o-&_4

??~MF一口一

08

/.ED：MB=EM：MF=4：3,而ED=6,

9

??.MB=I，

在RtaMBF中，MF2=MB2+BF2,即（6—：產(chǎn)=4產(chǎn)+尸，

第10頁，共20頁

解得k=日，

故選：D.

過點￡作￡7)10B于點D,根據(jù)折疊的性質得NEMF=乙。=90°,EC=EM,CF=DF,易證Rt△MEM^Rt△

BMF-,而EC=4C-4E=8-5，CF=BC-BF=6得到EM=8-&MF=6-5,即可得給的比值;

故可得出￡"：MB=ED：MF=4：3,而ED=6,從而求出然后在Rt△MBF中利用勾股定理得到關

于左的方程，解方程求出發(fā)的值即可得到廠點的坐標.

本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)的性質、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，折疊的性

質、勾股定理以及三角形相似的判定與性質等知識，難度適中.

11.【答案】(—7,—力

【解析】解：拋物線y=(x+1)2-4的頂點坐標是(一/，一4),

故答案為：(-1,-4).

直接利用頂點式的特點可求頂點坐標.

本題主要考查二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵，即在y=aR-%尸+k中，對稱軸為

x=h,頂點坐標為色,k).

12.【答案】120°

【解析】解：???四邊形48CD?四邊形EFGH,

:.乙F=AB=70°,NG=NC=90°,

■-NA=80°,

:.乙D=360°一乙A一4B—=120°,

故答案為：120°.

根據(jù)相似多邊形的對應角相等求解即可.

本題考查了相似多邊形的性質，解題的關鍵是理解相似多邊形的對應角相等.

13.【答案】比=/或3

【解析】解：觀察表格發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象經(jīng)過億000,

.,?滿足方程ax2+bx+c=0的解是x=/或3.

先確定拋物線對稱軸，再觀察表格確定函數(shù)值為0時的自變量的值即可解決問題.

本題考查拋物線與x軸的交點、一元二次方程等知識，解題的關鍵是靈活應用拋物線的性質解決問題，是

數(shù)形結合的好題目，屬于中考?？碱}型.

14.【答案】6c號C

第H頁，共20頁

【解析】解：以歹為原點，直線N3為x軸，直線昉為y軸，建立平面直角坐標系，如圖:

設點E的坐標為：〃c),則拋物線的表達式為：y=ax2+c,

則點C的坐標為：(6,8+c),點Q(X4+c),

將點C、Q的坐標代入拋物線表達式得：

2

14+c=a*+。lx=372

即拋物線的表達式為：y=￡%2

PQ=2XQ=6yl~2,

故答案為：

0將瓷碗繞點8緩緩傾斜倒出部分面湯，當乙48K=45。時停止，所以旋轉前C"與水平方向的夾角為45。，

設直線CH的解析式為y=x+b,

將點C的坐標代入上式的：直線CH的表達式為：y=x—6+8+c=x+2+c②,

聯(lián)立①②并整理得：2/-9x-18=0,

則％j+%2="|，X/2=_9,

22

則伉/-x2)=(X1+x2)-4x^2=―,

則I%/-X2\=y,

由CH的表達式知,其和X軸的夾角為45。，

貝UCH=4四一刈=學心，

故答案為：學，

(〃設點E的坐標為：(0,0,則拋物線的表達式為：y=ax2+c,則點C的坐標為：(6,8+%點Q(X4+。,

再用待定系數(shù)法即可求解；

第12頁，共20頁

但）確定直線CTf的表達式為：y=x—6+8+c=x+2+c,求出打+X2=?/犯=—9,進而求解.

本題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)以及直角三角形在實際生活中的應用，建立合適的直角坐標系和待定系數(shù)

法求解析式是解題的關鍵.

15.【答案】解：令f=4弋=鼠

???a=2k,b=3k,c=4k,

va+3b-2c=9,

：.2k+3x3k-2x4k=9,解得：k=3,

a=6,b=9,c=12,

a+b—c=3；

【解析】令廣合尸匕再代入a+3b-2c=9,求出左，即可求解.

本題主要考查了比例的基本性質，掌握解一元一次方程、代數(shù)式求值是解題的關鍵.

16.【答案】解：⑺如圖1,取格點C,連接/C和8C,

（圖1）

由題意可知:乙ACB=90。,

■.AABC^jRtAABC；

⑵如圖2,取格點E,F,連接斯交48于點D

第13頁，共20頁

.BD_3

"AD~2'

.??點D即為所求.

【解析】。取格點C,連接/C和8c即可；

⑵取格點E,F,連接即交48于點，點。即為所求.

本題考查了考查了作圖-應用與設計作圖，勾股定理，勾股定理的逆定理以及相似三角形的判定與性質，解

題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性質.

17.【答案】證明：,線段3D、CE是△ABC的兩條高，

???CE1AB,BD1AC,

^AEC=4ADB=90°,

又?:NA=乙4,

■■■/XACE^AABD.

【解析】根據(jù)三角形高的定義得到“EC=NADB=90。，進而根據(jù)兩組角對應相等的兩個三角形相似進行

證明.

本題主要考查了相似三角形的判定，根據(jù)三角形高的定義得到N4EC=乙ADB=90。,進而根據(jù)兩組角對應

相等的兩個三角形相似進行證明是解題的關鍵.

18.【答案】解：〃)???二次函數(shù)y+4久+k-1的圖象與x軸有兩個不同的交點

b2-4ac=42-4x1x(k-1)=20-4k>0

k<5,

則左的取值范圍為kv5；

0根據(jù)題意得：

2

4ac—b_4(/c—1)-16_n

-4a4x1"

解得k=5.

【解析】(〃根據(jù)拋物線y=/++k-/與x軸有兩個不同的交點，得出/-4ac>0,進而求出左的取值

范圍.

⑵根據(jù)頂點在x軸上，所以頂點的縱坐標是0,求出即可.

此題主要考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0的圖象與x軸交點的個數(shù)的判斷以及圖象頂點在坐標軸上

的性質，熟練掌握其性質是解題關鍵.

第14頁，共20頁

19.【答案】0證明：???四邊形Z5C。是平行四邊形,

BC//AD,

Z-GAE=Z-GCBtZ-GEA=乙GBC,

???△BGCSAEGA：

0解：???四邊形45C。是平行四邊形，

BC=AD,

設BC=AD=2x,

???BC//AD,

???△BGCSAEGA,

.BC_CG_2

?'版―前一

AE=3x,

??.DE=x,

同(〃證4DEFSACBF,

.DF_DE_1

'''CF

【解析】⑺根據(jù)平行四邊形的性質可得BC〃4D,進而可以證明△BGCsaEGA；

⑵設BC=4D=2x,由，〃得△BGCsaEG4對應邊成比例，再證△CBF,即可解決問題.

本題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，解決本題的關鍵是得到△DEFS^CBF.

20.【答案】解：(〃???反比例函數(shù)y=強勺圖象過B1—3,—1),

■■■m=(—3)x(—I)=3,

???反比例函數(shù)的解析式為：y=-,

JX

???點4(7,“在反比例函數(shù)圖象上，

???1義n=3,

?,?點4的坐標為(7,3),

將點4,B坐標代入一次函數(shù)y=kr+b中,

俎仇+b=3

^i-3k+b=-T

???一次函數(shù)的解析式為：y=x+2.

第15頁，共20頁

(2)-3<x<0或%>7,

⑶過點4作AGly軸于點G,過點5作軸于點如下圖所示:

?.?一次函數(shù)y=％+2與歹軸相交于點C,

???C點坐標為(0,2),

OC=2,

力點坐標為(7,3),

AG=1,

B點坐標為(一3,-1),

：.BH=3,

SAAOB=S^AOC+Sgoc=：X2X/+￡X2X3=4.

【解析】解：⑺見答案；

(2)根據(jù)圖象可知，不等式kx+b>?的解集是：一3Vx<0或%>/.

故答案為：一3<刀<。或%>1；

⑶見答案；

⑺用待定系數(shù)法先求出反比例函數(shù)的解析式，再求出/點坐標，再將48點坐標代入一次函數(shù)求解即可;

⑵根據(jù)圖象即可得出不等式的解集；

⑸先求出C點坐標，再分別求出△AOC和aBOC的面積即可求出△力。B的面積.

本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐

標特征，三角形面積，數(shù)形結合是解決本題的關鍵.

21.【答案】解：?二次函數(shù)y=x2+bx-c的對稱軸為直線x=1,

b_j

-2=7

???b=—2,

第16頁，共20頁

???二次函數(shù)y=x2+bx-c的圖象經(jīng)過點(3,0，

9—6—c=0,

???c=3,

/.b+c=7；

0由(7)可得y=x2—2x—3=(x—I)2—4,

???拋物線的對稱軸為直線％=1,

4<x<3,

.,?當％=-4時，y有最大值21；

⑶平移拋物線y=/-2%-3,其頂點始終在二次函數(shù)y=2/一%一/上，

??..設頂點坐標為仇,2層-八一〃，故平移后的解析式為y=(x-h)2+2h2-h-1,

???y=x2—2hx+九2+2h2—h—1=x2—2hx+3h2—h—1,

設平移后所得拋物線與歹軸交點的縱坐標為w,

貝!Jw=3h2—h—1=3(h——:，

.??當九=”時，平移后所得拋物線與了軸交點縱坐標的最小值為-普.

o1Z

【解析】0由對稱軸一■1=/,求出b的值，再將點⑶。代入y=W+bx-c,即可求解析式；

⑵由題意可得拋物線的對稱軸為直線％=/,結合函數(shù)圖像可知當x=-4時，>有最大值21；

⑸設頂點坐標為色2h2-h-l),可求平移后的解析式為y=(x-h)2+2h2-h-1,設平移后所得拋物線與

y軸父點的縱坐標為w,則W=3h~—h—1=3(h—*尸—卷，即可求解.

本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，圖形平移的性質是解題的關鍵.

22.【答案】(7)證明：???DC-AC=BC-AD,

???^ADC=^ACB=90°,

:.△DCAs&CBA,

???/-DAC=Z.CAB,

.?.ZC平分皿IB；

⑵證明：???Z71CB=90°,AE=EB,

CE=AE=EB,

???Z.EAC=Z-ECA,

Z.DAC=Z-CAE,

第17頁，共20頁

??.z_DAC=Z-ACE,

??.AD//EC.

.FC_EC

AF~AD；

-AD,48的長是/一〃x+30=0的兩根,

AD=5,AB=6,

vZ-ACB=90°,AE=EB,

CE=^AB=3,AD//CE,

.CF_EC_3

"AF~AD~5f

AC8

JAF=5'

【解析】0欲證明ZC平分乙D4B,只要證明

0根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質可知EC=EA=EB,推出乙口4c=乙EAC=乙4CE即可證明；

(3)由ZD〃CE,可得益=%=[