2024年1月“七省聯考”高考數學押題預測卷5解析版（新高考地區(qū)專用）

2024年1月“七省聯考”押題預測卷05

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

A-y=8=卜|y=ln(2x-2)}

1.已知集合,則-8=

x|l<X<-|

B.

C.^x|l<X<—|D,

【答案】B

【解析】由3—2x〉0解得x<|,所以/={x|x<||,

由2*-2〉0解得x>l,所以3={x|x>l},

所以NcB=

故選：B

2.復數z滿足(l+>z=l—產25,則三的虛部為()

A.iB.-1C,-zD.1

【答案】D

【解析】V(l+z)-z=l-z2025=l-z,

B=(j)2=-2i=

一/—l+1(l+z)(l-z)-2-'

：.Z=1

所以I的虛部為1.

故選：D.

3.英國數學家哈利奧特最先使用“〈”和“>”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影

響深遠.對于任意實數。、b、c、d,下列命題是真命題的是（）

A.若a2Vb2,則a<bB.若a<b,則。。<be

C.若c<d,則QC<bdD.若Q<b,c<d,則a+c<6+d

【答案】D

【解析】對A：因為/<〃，可能6<。<0,故錯誤；

對B：當c<0時，若a<b,貝Uac>be,故錯誤；

對C：當a<3<0,c<d<0時，貝!Jac>bd,故錯誤;

1

對D：若a<b,c<d,則a+c<b+",故正確.

故選：D.

jrsin(a+—

4如圖所示,a為射線加盤的夾角，43="點PT3）在射線。上'則)

cosa

C2e+1D.中

,2

【答案】A

=三=①，cos即

【解析】設射線03所對的角為尸，則有sin夕

Vio1010

TT

又因為=+—,

71

所以。二，一一,

4

sina=sin(,一；)=~~(sin°-cos/?)=cosa=cos/(Ap--兀)、=

1.V3275+715

所以sin(a+-1-)二一sina+——coscr=-------------

2210

.，兀、275+715

所以sm(a+§)2+6

rnbA—r=一~

cosaV52

5

故選：A.

5.下列函數中，既是偶函數又在（0,2）上單調遞減的是)

A.尸2國B.y=-x3

x2—x

C.y=cos—D.1y=ln----

22+x

【答案】C

【解析】對于A,函數/（x）=2國的定義域為R,關于原點對稱,

2

且/(—x)="T=2忖=/(x),所以函數/⑸為偶函數，

當xe(0,2)時/(》)=2,，函數/(x)單調遞增，故A不符合題意;

對于B,函數/(x)=-/的定義域為R,關于原點對稱,

且/(_》)=_(—x)3=x3=—/(x),所以函數/(x)為奇函數,

由基函數的性質知函數歹=d在R上單調遞增,

所以函數/(x)=-/在R上單調遞減，故B不符合題意；

對于C,函數/(x)=C0S；的定義域為R,關于原點對稱，

VV

且f(-X)=cos(--)=COSy=/(x),所以函數/(x)為偶函數,

當xe(0,2)時*(0,1),又力

所以函數/(X)=cos］在(o,1)上單調遞減，故C符合題意；

2—x

對于D,函數/(x)=ln——的定義域為(-2,2),關于原點對稱,

2+x

且/(—x)=ln言=ln(三3T=—In2-x

=—/(')，

，X2+x2+x

2x

所以/(x)是奇函數，又/'(x)=^——--

2—x2+x(2-x)(2+x)

令/'(x)<00-2cx<0,令/'(x)>0n0<x<2,

所以函數/(x)在(-2,0)上單調遞減，在(0,2)上單調遞增，故D不符合題意.

故選：C.

6.已知圓。：(》-1)2+3-1)2=1上兩動點/,3滿足為正三角形，。為坐標原點，貝1E+礪|的最

大值為()

A.2也B.272

C.2V2-V3D.2V2+73

【答案】D

【解析】由題可知是邊長為1的正三角形，

3

設45的中點為W,則‘必=手，

又所以點M的軌跡方程為(x—ly+O—l)2=j,且|。。|=拒.

因為方+礪=2兩，所以母+西=2畫I，

m^0M\<\0C\+\MC\=42+^~,

當且僅當點C在線段0M上時等號成立,

所以

所以。4+。5的最大值為2行+省.

故選：D.

7.現有4名男生和3名女生計劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)附近訂購了一

家酒店的5間風格不同的房間，并約定每個房間都要住人，但最多住2人，男女不同住一個房間，則女生

甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是()

【答案】C

【解析】3名女生需要住2個房間或3個房間.

若3名女生住2個房間，則不同的方法種數為C；C；A；；

1,?

若3名女生住3個房間，則不同的方法種數為

其中，女生甲和女生乙恰好住在同一間房的方法種數為C：A〉

C冠2

所以女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是

C；C；A：+；C；A：7-

故選：C

8.o=2hl.01,6=lnl.02,c=VL04-1，貝U()

A.a<b<cB.b<C<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【解析】依題意，6z-c=21nl.01+l-VT?04,c-Z)=Vf04-l-lnl.02,

令/(%)=2ln(l+x)+1-Jl+4x,0<x<1,

4

222222

求導得/'(x)=>0,

1+XJl+4xy/l+2x+x2Jl+4x

因此函數在(0,1)上單調遞增，/(0.01)>/(0)=0,即a—c>0,則a>c；

，/、1111

令g(x)=Jl+2x-1-ln(l+x),0<x<1,求導得g⑶=Tt石一are飛二

因此函數g(x)在(0,1)上單調遞增，g(0.02)>g(0)=0,即C—6>0,則c>6,

所以6<c<a.

故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列命題正確的是()

A.若樣本數據再廣2,…的方差為2,則數據2國-1,2馬-1,…,24-1的方差為8

B.若尸(2)=0.6,尸(8)=0.8,尸(么|8)=0.5,則P(3|Z)=j.

C.在一組樣本數據(七,必),(//2)，…，(X"匕)，(n>2,xi,x2,---,xn,不全相等)的散點圖中，若所有

樣本點(者,上)。=1,2「一,〃)都在直線了=-3》+1上，則這組樣本數據的線性相關系數為

D.以模型y=ce辰去擬合一組數據時，為了求出經驗回歸方程，設z=liy,求得線性回歸方程為

z=4x+0.3,則c,左的值分別是e°-3和4

【答案】ABD

【解析】對于選項A：若樣本數據…，4的方差為2,則數據2/-…,24-1的方差為

22x2=8^7,故A正確；

對于選項B：若尸(/)=0.6,尸(8)=0.8,尸(2|8)=0.5,則

尸(人)=厘=尸(8)尸(小嘰必”二2

-,故B正確;

尸(Z)P(A)0.6

對于選項C：在一組樣本數據(七,%),(12，%)，?，(當,無)，Cn>2,x1,x2,---,xn,不全相等)的散點圖中,

若所有樣本點E/JO=1,2,…,〃)都在直線j=-1x+l±,其中-；是線性回歸方程的一次項系數，不

是相關系數，相關系數是刻畫一組數據線性相關程度一個量，范圍是[T,1],當相關系數為正時呈正相關

關系，為負時呈負相關關系，故C不正確；

對于選項D：以模型y=ce%去擬合一組數據時，為了求出經驗回歸方程，設2=3，

則z=my=lnc+lneh=lnc+"，由題線性回歸方程為2=4x+0.3,則Inc=0.3,左=4,故c,左的值

5

分別是e°-3和4,故D正確.

故選：ABD.

711

10.已知函數/(x)=cos2（0＜0＜兀）的一個對稱中心為，則（）

652

A./（x）的最小正周期為兀

71

B.

12

57r

C.直線X=衛(wèi)是函數/（X）圖像的一條對稱軸

若函數V=/（妙）（。〉0）在［0,7i］上單調遞減，則。e［0,《

D.

【答案】AC

117TTTjr

【解析】/（x）=—cos（2x+0）+—則有2義一+0=—+左兀，左￡Z,解得夕=—+阮,左wZ,

22626

因為。＜。＜兀，所以夕=巴，所以/（》）=Los2”711

+2,

626

則/（x）的最小正周期為兀，故A正確;

兀

—cos—+—=—,故B錯誤;

122324

2x學+2=兀，則直線x=m是/（x）圖像的一條對稱軸，故C正確;

12612

1(7n1}17T兀C兀

y=/(0x)=—cos2(DXH—H—,當xe［0,兀］時，20》+不?一,2〃＞兀+一,

26266

若函數y=/（①x）（?！?）在［0,7i］上單調遞減，則有2。兀+四＜兀，

6

解得則。｛0,卷,故D錯誤.

故選：AC

〃eN*.”=^-

11.已知正項數列｛4｝的前〃項和為J,?,=1,且2（S"+S“_J=d+1（〃之2）,

北為抄/的前〃項和.下列說法正確的是（

A.a2=2

6

C.an=2n-\D.Tn<—

【答案】CD

【解析】2(S“+S“T)=a：+l(〃22),an>Q,

可得〃=2時，2(l+g+1)=d+1,解得4=3,故A錯誤，

當〃23時，由2⑸+Si)=a；+1，可得2⑸T+S,T)=靖T+1,

上面兩式相減可得2(%+%_J=d-a,ti=(%+%)(%-%)，

由于4所以%-%t=2,

而出_%=2,U(|an=a2+2(n-2)=3+2(n:-l)=2n-l,首項也符合,

所以〃eN*.故B錯誤，C正確,

-----------二一(-----------)

(2M-1)(2〃+1)22n-l2〃+1

-----)=—(1)<—D正確,

2"+1---22?+12

故選：CD

12.如圖所示的六面體中，SA,SB,SC兩兩垂直，ST連線經過三角形的重心M,且

SM=AMT(A>0),則()

S

T

A.若;1=工，則TCL平面Z48

2

B.若4=2,則S4〃平面7BC

C.若5,4民C,T五點均在同一球面上，則2=工

2

D.若點T恰為三棱錐S—48C外接球的球心，則4=2

7

【答案】BCD

【解析】因為六面體中，SA,SB,SC兩兩垂直，ST連線經過三角形48C的重心

所以可以將六面體放在長方體中，點T在對角線MV上運動，

以S為坐標原點，S8,SC,S4所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

設SB=m,SC=n.SA=t,

則N（加,。/（0,0"）,C（0,”,0）,5（加,0,0）,

設5c的中點E，連接4F，與MV交于點且W=2MF\

WW1=—m,w=—n,e=—t,故Afj1加,，〃,，.，SM=—SN,

333

1—.1—.

A選項，若2=—,即SW=—朋7,此時點T在點N處，

22

此時TC=（0,〃,0）-（%,〃,/）=（-叱0,T）,TA=（0,0,/）-（-私-〃,0）,

由于元?江=（—加,0,T）?（—加，—〃,0）=加2/。，故TC,口不垂直，

故TC與平面刀48不垂直，A錯誤；

[mn

設平面的法向量為J=（x,j,z）,

8

j-CB=^x,y,zy^m,-n,Q^=mx-ny=0

解得z=0,令x=",則>=加，故］=(〃,加,0),

又￡4=（0,0,7）,故/-￡4=（〃,加,0）?（0,0,/）=0,

故7,豆，所以“〃平面7BC,B正確；

C選項，由于長方體的頂點在同一球面上，若S,43,C,T五點均在同一球面上，

則點T一定在點N處，此時C正確；

2

D選項,三棱錐S-ABC的外接球即為長方體SN的外接球，

若點T恰為三棱錐S-ABC外接球的球心，則點T為對角線S7V的中點，

所以;1=2,D正確.

故選：BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知非零向量z，b>"滿足同=國，C=1a,若"為B在￡上的投影向量，則向量］夾角的余

弦值為________

【答案】-

3

-1-一一--1-

【解析】由c為刃在a上的投影向量，c=

3

所以=cos卜,,故cos(a,B)=；

故答案為：一

3

14.(/+1)(》一2)4展開式中V項的系數為.

【答案】8

【解析】由題意可知：(x—2尸展開式的通項公式為=C［xi2丫/=0,1,2,3,4,

所以(/+1)(%-2)4展開式中d項的系數為C：x(-2)4+C*x(-2)=16-8=8.

故答案為：8.

15.已知直線y=kxx與y=k2x(kx>k^是曲線j=ar+21n|x|(<2eR)的兩條切線，則

k1-k2=________

9

4

【答案】一

e

【解析】由已知得，曲線的切線過(0,0),

x>0時，曲線為y=ax+21nx,設再>0,直線y在曲線上的切點為(西,。西+21nxJ,y=a+—,

X]

(2)

切線：y-{axx+21nx1)=a+—(x—xj,又切線過(0,0)

Ixi)

(2)2

_QX]—2InXj—ciH—(一陽)，「?X]=e,k]=aH—,

IxiJe

同理取x<0,曲線為^=辦+2111(-%),設％2<0,直線歹二左2、在曲線上的切點為(％2，。、2+21n(—%2)),

,2

y=a+—,

x2

(2、

切線：y-(^x2+21n(-x2))=a+一(x-x2),又切線過(0,0)

%2——eik?=a--i:?k、-k2=一,

一一ee

4

故答案為：一

e

16.已知橢圓C：?+.y2=i的左、右焦點分別為F2,"是C上異于頂點的一點，。為坐標原點，E

為線段"G的中點，/片”工的平分線與直線￡。交于點尸，當四邊形九有”的面積為20時，

sinN/G=

由題可知閨閭=26，|阿|+|5]=4.

10

因為兒。平分/月"工，所以P到〃G，4里的距離相等，

設為"貝空.”=；（|町|+|四|）力=2肌

易知?！晔恰髌瑑豪锏闹形痪€，延長耳尸，兒見交于點G,則P為片G的中點,

過片作片于〃,

易得\FxH\=2h=\FxF21sin乙明片，則5岫豳=2八也/加巴耳=2逝，從而sinZMF^=g

故答案為：JL

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在“8。中，角4,B,。所對的邊分別為a,b,c,且a=b（#sinC+cosC，

（2）已知BC=2百，。為邊48上的一點，若BD=1,ZACD=~,求/C的長.

2

【答案】（1）3=巴.（2）

62

【解析】（1）由sinC+cosC）,根據正弦定理得，sin/=sinB（JIsinC+cosCb

即sinBcosC+cosBsinC=6sin8sinC+sinBcosC>

所以cosBsinC=J^sinBsinC，因為sinC>0,

所以cosB=GsinB>所以tanB=—>

3

因為Be（0,7r）,所以3=巳.

（2）因為BC=2百，BD=1,B=g根據余弦定理得

O

CD2=BC2+BD2-2BC-BD-cosB=l+12-2xlx2y/3x—=l，,CD=V7.

2

11

?/ZBDC=—+ZA,：.sinZBDC=sin—+ZA|=cosZ.

2〔2)

2V3V7

BCCD

在△B￡）C中，由正弦定理知,,,cosAj_，

sinZBDCsinNS

2

.?.cos八理，儀03，所以sin/=U

.「an"皿=^=烏,.?.ZC=@

cosA3AC2

18.如圖，三棱錐P—/BC的平面展開圖中，ABIBC,RB=AB=&,P2A=AC=4,RC=2枝,

E為的中點.

(1)在三棱錐P—45c中，證明：BE上AC；

(2)求平面PBC與平面ABC夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）翅11

33

【解析】（1）

由RB=AB=4^,得PB=AB=&，且E為PN的中點,

所以8ELR4,

12

取/C中點為R,連接EF,BF.

pci-

可得防=，=夜，

2

在△PR4中，BE7AB之-AE。=血，

AT

在“BC中，BF=—=2,

2

所以BE。+FE?=BF?，

所以BE_LEF

因為EEnR4=E,EF,P4u平面上4C,

所以BE,平面R4C,

因為/Cu平面上4C,

所以跖，/C；

(2)如圖，過點E作EG，R4,交/C于點G,

以西，EA＞麗分別為x軸，V軸，z軸正方向建立空間直角坐標系.

則￡(0,0,0),2(0,2,0),5(0,0,V2),P(0,-2,0),

在AA5C中，可得點。到P4距離為J7，

故可得c(、/7,—1,0),

A8=(0,-2,V2),5C=(V7,-1,-V2),P5=(0,2,V2)

設平面48c與平面P5C的一個法向量分別為4=(XQI，ZJ,%=(x2,j2,z2),

平面必C與平面48c的夾角為

%Z8=-2%+七］=03后后

由＜屋前=gxf-缶=0%=〒/i

所以％=手叫

13

n2-PB=2y2+42z2=0g

由＜五灰=62f-隹=o%=Tr=7，z2=j2,

10

n\-rii7_V165

所以

cos6==^~-

叫〃2V30xV2233

7

所以〃2=1,A/2

7

所以兩平面的夾角的余弦值為R匝.

33

19.已知數列｛%｝是各項都為正整數的等比數列，4=3,且%是在與的等差中項，數列｛〃｝滿足

4=1也+1=26“+1.

（1）求數列｛2｝,｛4｝的通項公式；

（2）若上號*-%28〃+2左-24對任意〃€“恒成立，求實數左的取值范圍.

【答案】（1）4=3x2"-14=2"—1；（2）[4,+s）.

【解析】（1）設數列｛4｝的公比為/則qeN*,

33

。3是。2與1。4的等差中項，「?2a3=。2+

32

A2q=l+-q2,解得2或q=§（舍去），.??%=3X2〃T

.??4+1=2"+1，，“+|+1=2（a+1）,

又4+1=2,.??數歹|｛〃+1｝是以2為首項，2為公比的等比數列,

nn

:.bn+l=2,:.bn=2-l；

（2）由左—%28〃+2左一24,

2

整理可得上（2力+2）—3x2"-1>8（n-3）+2k,即（"3）?2^>8（n-3）,

k—3n—3

???—>—r對任意〃eN*恒成立，

162

人,（、〃一3.,、/、n-2n-3（〃一2）-2（〃一3）4-n

令/（〃）=▼，則/（〃+1）_/（〃）=聲一石=1^-=^r

14

當〃〈4時，/(n+l)>/(?),當“25時,/(?+1)</(?),

.??當〃=4或5時，/（〃）取得最大值,

???/（"L=/（4）=16

k-31

------2—.解得左24.

1616

故實數上的取值范圍是［4,+?））.

20.某中學有43兩個餐廳為老師與學生們提供午餐與晚餐服務，王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都

在學校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統計如下：

選擇餐廳情況（午餐，晚餐）（4，）(45)（民，）（B,B）

王同學9天6天12天3天

張老師6天6天6天12天

假設王同學、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率.

（1）估計一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；

（2）記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數，求X的分布列和數學期望￡（X）；

（3）假設M表示事件乜餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學生去/餐廳就餐”，P（M）＞0,已知推出

優(yōu)惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證

明.尸同.

【答案】（1）0.6（2）分布列見解析，1.9（3）證明見解析

【解析】（1）設事件C為“一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”,

因為30天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數為6+12=18,

1Q

所以0（c）=元=06

（2）記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數,

則X的所有可能取值為1和2,

所以尸(X=l)=0.3x0.2+O.lxO.4=0.1,

p(X=2)=l-P(X=l)=0.9,

所以X的分布列為

X12

P0.10.9

所以X的數學期望E(X)=lxO.l+2xO.9=1.9.

15

(3)由題知產(N|M)〉P(N|W，所以=P(N)―:(7)

v17v'P(M)P(M)1-P(M)

所以「(2W)〉尸(N)?尸(M),

所以P(NM)-P(N)P(NM)>P(N>P(M)-P(N)P(NM),

即P(NM).P(N)>P(N}P(NM),

所以黑即?

21.如圖，在平面直角坐標系xQy中，R為x軸正半軸上的一個動點.以P為焦點、。為頂點作拋物線

C-.y2=2px(p>0).設尸為第一象限內拋物線C上的一點，。為x軸負半軸上一點，設。0),使得尸。

為拋物線。的切線，且|PQ|=2.圓G、G均與直線OP切于點尸，且均與X軸相切.

(1)試求出凡夕之間的關系;

(2)是否存在點/，使圓C1與Q的面積之和取到最小值.若存在，求出點少的坐標；若不存在，請說明

理由.

【答案】(1)4/+2必=4(2)存在，,——一,0

U3-V3)

【解析】(1)由條件拋物線C：「=2.(P〉0),點。(一生0)(。>0),

設:》=叩一。(加>0),將其與拋物線C的方程聯立，消去工得「一2夕掰了+20。=0.①

因為尸。與拋物線C切于點尸，所以，方程①的判別式為A=4p2加2一4x2夕。=0,解得壯=^

16

22

進而，點P(a,42pa).故\PQ\=yjl+m\yp_0[=Jl+—^2pa=^4a+2pa.

由歸。|=2,則4a2+2pa=4.4a2+2pa=4.

(2)設G、G的圓心分別為°i(x2J、O2(x2,y2).

注意到，OP與￡、。2圓切于點P故OP^OiQ.

設圓G、G與X軸分別切于M、N,如圖所示:

則。。1、。。2分別為NPOM、NPON的角平分線，故|。眼卜|。『|,|QN|=|QP|，NOQQ=90°,

v

易知VOPQ:OXPO,

%%=QM?|M=IM'\°iP\=\°P『=$+%=/+2pa.

結合式②有必，,=a~+2pci=4—3a~.③

y\-yIMiQ^Lv.

由OpP、。2三點共線得-°匕P化簡可得

力-％0N

yj2pa-y2|PQ|\2\%

2

x+%=/r——y^2.④

72pa

令丁=歹；+貨，于是，圓G、。2的面積之和兀T.

根據題意，僅需考慮T取最小值的情形，根據③、④知

2

T=（M+%『-2J1J2=4,立%-乂%二J2（4-3-2（4-3\）（；

2pa4-4a'7x71-a

17

3r+1r+1

令，=1—由4/=4—4。2=2。。>0,t>0,r=()()=3r+J_+4>2j3r-+4=2^+4.

當且僅當/=也

3

P_=

結合式②得2—

22.已知tz€R

X

(