江蘇省南京市2023-2024學(xué)年高一年級下冊3月月考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

江蘇省南京市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.cos17°sin13°+sinl7°cos13°=()

A.gB.cos4°C.sin4°D.B

22

2.已知向量a，6滿足忖=1,愀=2,若￡與匕的夾角為:，貝0+H=().

A.1B.6C.V5D.77

3.已知a=(l,—2),6=(3,4),若(3a-6)〃(a+助)，則實數(shù)上的值為()

A.~B.—C.1D.一

233

4.已知正三角形ABC的邊長為1,^AB=c,BC=a,CA=b,那么cb+bv+ca的值

是（）

A.3

B.C.；D.--

2222

5.已知sin[a+3(7171^

=7^G-_，則sina的值為（)

5<26J

人3-4出口3+4月「3-2^n3+273

’10101010

，b滿足。=2忖，且G1\r

6.已知非零向量a-b)1b,則a與b的夾角為（）

7171-2幾5兀

A.B.C.—D.

T3~6

7.已知。,力為銳角，sin[a—m]=q^,cos(a+/?)=—三,則夕=()

兀-5兀

A.—D.—

612

8.騎自行車是一種環(huán)保又健康的運動，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖

中的圓A（前輪），圓。（后輪）的半徑均為均是邊長為4的

等邊三角形.設(shè)點尸為后輪上的一點，則在騎行該自行車的過程中，ACAP的最大值為

()

二、多選題

9.下列等式成立的有（）

sin（A+B）Bcosl5sinl5=

A.——---------=tanA+tanB-T0-f0f

cosAcosB

-2cosl00-sin2001+tan15°_6

C.----------------------=11D.

cos20°l-tanl50-

10.已知二ABC是邊長為2的等邊三角形，￡>,E分別是4。,48上的兩點，且4￡=￡?，

40=2。。,30與可交于點。，則下列說法正確的是（）

A.ABCE=-1B.OE+OC=0

C.\OA+OB+OC\=—D.在BC上的投影向量的模為二

II26

11.如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，M,N分別為邊3C,CD上的兩個動點,

旦BM+DN=MN.記tan9=f,下列說法正確的有（）

jr2-2?

A.為定值;B.MN=--------

41+t

D.AM?AN的最小值為8&-8

三、填空題

21tancc

12.已知sin（i+0=z，sin（a—〃）=—￡,則;~的值為________.

35tan/

13.已知平面向量?=（百,3）,b=（sin20o,cos20。），則向量的夾角等于.

14.已知「ABC內(nèi)接于一個半徑為2的圓，其中。為圓心，G為nABC的重心，則

試卷第2頁，共4頁

OG.O3+OC的取值范圍為.

四、解答題

15.已知cos[a-(=j,sin(a+/?)=[,其中0</?<友<a<".

(1)求sine的值;

(2)求cos[/+?J的值.

16.如圖，在平行四邊形ABCD中，己知

(1)若=+求加，”的值和向量EF的模長;

(2)求EF和BD夾角的余弦值.

17.已知向量〃=(cosa+Geos尸,sina),b=^coser,siner-sin?，且aJ_Z?.

⑴求cos(a+/)的值;

若，，且

(2)ae",]'q,tana=3-2近,求2a+夕的值.

18.如圖，在矩形ABCD中，點E在邊上，且4E=2￡B,M是線段CE1上一動點.

(1)ME=mMA+nMB,m,?eR,求機,"的值;

(2)若AB=9,CACE=43,求(始+2MB).MC的最小值.

19.已知平面直角坐標系中，點A(a,O),點8(0,6)(其中G匕為常數(shù)，且肪/0),點。

為坐標原點.

⑴設(shè)點尸為線段42近A的三等分點，OP=2OA+(1-2)05(2eR),求2的值;

(2)如圖所示，設(shè)點耳,鳥,心,匕一是線段48的”等分點，其中〃eN*,〃》2,

①當”=2024時，求|。4+。6+。鳥+…+0匕_；+0目的值(用含6的式子表示);

②當a=b=l,〃=10時.求OPL(OR+OP^(l<i,j<n-1,i,jeN*)的最小值.

(說明：可能用到的計算公式：1+2+3+.+”=M^+D,〃eN").

2

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【分析】逆用和角正弦公式化簡三角函數(shù)式，即可求值.

【詳解】cos17°sin13°+sinl70cos13°=sin（13°+17°）=sin30°=1,故A正確.

故選：A.

2.D

【分析】根據(jù)已知條件和卜+61=/+/+2°/算出答案即可.

【詳解】因為卜|=1,1|=2,°與匕的夾角為三，

所以卜+0=o~+6~+2a-6=l+4+2xlx2xg=7,即卜+0=近

故選：D

3.B

【分析】首先求出3a-6，a+協(xié)的坐標，再利用向量共線定理即可得出.

【詳解】由題意知。=（1,一2）,6=（3,4）,

所以3。-6=（0,TO）,a+kb=（l,-2）+（3k,4k）=（1+3k,-2+4k）,

因為（3。-6）//,+助），所以0+（-l0）x（l+3左）=0,解得左=-；,故B正確.

故選：B.

4.B

【分析】考察向量的線性運算和數(shù)量積運算，結(jié)合等邊三角形的特點即可計算

【詳解】因為a+〃+c=0,所以（a+b+c）=0,BP|o|+|/J|+|C|+2^a-b+b-c+c-=0,

3

所以3+2（a%+b.c+c.Q）=0,所以〃.b+匕.c+c.〃=.

故選：B

5.A

【分析】

先求出cos"",利用差角公式求解答案.

【詳解】因為所以a+畀［一\外，所以

V26J3V62J

答案第1頁，共12頁

..(兀兀)./兀、兀(兀、.兀

sincr=sina-\--------=sina+—cos—cosa+—sin—

33；3j313)3

314V33-4指

—XX=-----------------

5252

故選：A.

6.B

【分析】由(a-6)D,可得(a-用力=0,進一步得到|。|聞85,內(nèi)-萬2=0,然后求出

夾角即可.

【詳解】V(a-b)lb,

{a-b)-b=ab-b2=\a\\b\cos(^a,b^-b2=0,

叫21

cos(a,b)=

\a\\b\2

他〃)w[0,7l],

〈a，b)=*

故選：B.

7.C

【分析】先根據(jù)題意求出cosc=cos(a-2]+g=)及sina=*叵,然后再由

I3J377

sin/7=sin[(a+￡)-a]從而可求解.

答案第2頁，共12頁

=旦二空乂@3則su4石

1421427

因為tz,〃,所以a+/e(O,兀)，所以sin(?+/?)>0,

又因為cos(a+￡)=-^,所以sin(a+〃)=5上

14

所以sin(3=sin[(e+月)—tz]=sin(cf+coscr—cos(?+/7)sintz

71

5A1(11、4A/3若KU2Q44,「丁母

U-x一—一-\x-^—=—,所以方="，故C正確.

147114)723

故選：C.

8.C

【分析】

連接AC,利用向量的線性運算、數(shù)量積的運算律、數(shù)量積的定義列式計算即得.

【詳解】依題意，連接AC,在"CE中，AE=CE=4,ZAEC=120,

貝1|/。4。=44位=30,4。=46，AO=8,

因止匕AC-AP=AC-(A3+DP)=AC-AO+AC-DP

=|AC||AD|cos30+1AC||DP|cos(AC,。尸〉=4Ax8x#+4—x退cos〈AC,DP)

=48+12cos<AC,DP><48+12=60,當且僅當AC與。尸同向時取等號，

所以ACAP的最大值為60.

故選：C

【分析】利用正弦函數(shù)兩角和公式展開后再利用正切公式可對A判斷；逆用正弦函數(shù)兩角

差公式可對B判斷；利用正余弦兩角差公式可對C判斷；逆用正切兩角和公式即可對D判

斷.

■、斗AAsin(A+B)sinAcosB+cosAsinBsinAsinB4,,A

【詳解】對A：一-----人=------------------------------=--------+-------=tanA+tanB,故A正

cosAcosBcosAcosBcosAcosB

答案第3頁，共12頁

確;

對B：18sl5。sinl5』in4—』15』in（45。-15。）=癡3。。=；,故

B錯誤;

2cosl00--cosl0°+—sinl0°

2cos10°-sin20°_2cos10°-sin（30°-10°）_________22

對C：=

cos20°cos（30°-10°）

—cos100+-sin10°

、22

cos100+-sin10°

2

1=6,故C錯誤;

cosl0°+—sinl0°

2

1+tan15°tan450+tan15°

對D：=tan（45°+15°）=tan60°=^,故D正確.

1-tan15°1-tan15°tan15°

故選：AD.

10.BCD

【分析】

以E為原點建立平面直角坐標系，根據(jù)條件寫出所有點的坐標求解即可.

【詳解】由題意可知：E為A8中點，則CE人AB,

以E為原點，EAEC分別為了軸，y軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示:

設(shè)。（0，y）（ye（0,石）），80=（1,y）,DO=,BO!/DO,

所以=解得y=l,即。是［￡中點，+OC=0，所以B正確;

332

\OA+OB+OC\=\2OE+OC\=\OE\=^~,所以C正確；

因為CE4AB,所以CE-AB=0,所以A錯誤；

答案第4頁，共12頁

2~+2

易知匹=z*,BC=1,V3),則助在BC方向上的投影為斗嘩=「=?,所以

I33)''\BC\26

D正確.

故選：BCD.

11.ACD

【分析】先根據(jù)已知條件將所有線段長用含有f的式子表示，再對各選項進行分析.對于A可

以轉(zhuǎn)化為N3AM+NZMN的值；對于B根據(jù)己求式直接表示即可；對于C可以在咫DAN

中利用cos/ZMN將AN與AO聯(lián)系起來即可；對于D利用向量的基底法將所求數(shù)量積進行

轉(zhuǎn)化，再利用基本不等式求解最小值即可.

【詳解】根據(jù)題意可知，BM=ABtan0=2t,則。0=2-2和不妨設(shè)DN=x,則

MN=BM+DN=x+2t,CN=2-x.^Rt中根據(jù)勾股定理得CN?+CA/2=92,即

（2-尤）+（2-2f）=（尤+2r）,解得片三手.所以。N=q皆,MN=x+2/=（i/.

r）N1-t

對于A,在DAN中tanN0AN=——=——,所以

DA1+t

tanADAN+tan0_]+/+，IT

tan（ND4N+6）根據(jù)圖形可知0<NZMN+e<g,所以

1-tanADANtan01

i---------1

1+t

ITIT

ZDAN+0=-,因為ND4N+6+NMAN=一，所以

42

jr

ZMAN=-,故A正確；

4

對于B,由易求可得的V=x+2f=故B錯誤；

%+1

A-rr-JT

對于C,在向DW中，cosNDAN=—,因為NZMN=--ZMAN-0=--3,AD=2,

,AN24

AN=_j、

所以cos]｝。J故C正確；

對于D,根據(jù)圖形以及向量運算法則可知

AMAN=^AB+BM^AD+DN^=ABAD+ABDN+BMAD+BMDN,所以

2—2/4/2+429

AM-AN=0+2x------+2x21x1+0=-=----4---?--1）+2，因為f+l>0,>0,所

%+11+17Z+71r77T

以根據(jù)基本不等式得卜+=一?擊2一

41)+2>42“f+l)2=80-8,當且僅當

t+1

答案第5頁，共12頁

7

/+1=鼻即/=0-1時等號成立，即AM.A7V的最小值為8&-8,故D正確.

故選:ACD

12.—

13

【分析】分別利用兩角和與差的正弦公式化簡已知式子，聯(lián)立化簡后的式子可求出sinacos"

和cosasin)的值，然后把所求的式子利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，將求出的值代

入即可求得結(jié)果

21

【詳解】因為sin(tz+尸)=§,sin(a-/?)=--,

2

所以sin(cr+/)=sinacos/3+cosasin/3=—,

sin(cr—)3)=sinacos/}—cosasin(3=一：,

713

兩式相加得sin】cosy0=z,兩式相減得cosasin/=z,

sina7

所以,ana二cosa二sinacos/7二云二7

tan/3sin/?cosasinpU13

cosP30

7

故答案為：—

13.10°

【分析】根據(jù)向量夾角的坐標公式運算即可.

[詳解】a=(A/3,3),b=(sin20°,cos20°),

一：a-bsin20。+3cos20。sin20°+V3cos20°

cos<a,b>=--------=---------/----------=--------------------------

|a||^|^3+32xl2

2(gsin20°+'cos20°)

_2

=sin80°=cos10°

—>—>

0°?<Q,Z?>W180。，

—>一

/.<a,b>=10°

故答案為：10。

14.[-；,8)

答案第6頁，共12頁

【分析】如下圖所示，建立平面直角坐標系，設(shè)&C、。、A的坐標，得出點A的軌跡方

程，根據(jù)三角形的外心和重心的性質(zhì)，求得點。、G的坐標，運用向量數(shù)量積的坐標運算可

求得范圍.

【詳解】解：如下圖所示，以所在的直線為x軸，以BC的中點。為坐標原點，建立平

面直角坐標系,設(shè)3(V,0),C(M))(>0),0(0,n),.-.n2+t2=4=>-2<n<2

設(shè)A(x,y),所以|。山=m2+(y-",J=2,即+(y—=4=〃-2Vy<〃+2,

又ABC的重心G為］￡|,所以O(shè)G=(河一〃J,O8=(T,i),OC=(f),

所以O(shè)G.(OB+OC)=「q_w)(0,_2〃)=_￡x(y_3〃)=g“(3w_y),

又一2〈幾<2,n-2<y<n+2,

244

所以］+1)<—x2x3=8,

2小、4/1、4rz1、2L1

JJJ4tTJ

19z

綜上得一幾(3〃-y)<8,

所以O(shè)G-(O3+OC)的取值范圍為七,8).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查向量的數(shù)量積運算，關(guān)鍵在于建立適當?shù)淖鴺讼?，利用外?

重心的性質(zhì)得出點的坐標，再利用函數(shù)的性質(zhì)求得范圍.

15.

6

08&-3

15

7TJr37rTT37r

【分析】（1）由已知函數(shù)值以及角的范圍得彳＜"4＜彳,5＜a+y且

771T

"。守+"結(jié)合兩角和差公式即可求直

答案第7頁，共12頁

（2）根據(jù)尸+f=（6+a）-（。-￡）結(jié)合兩角和差公式即可求值

44

【詳解】（1）兀知：＜學(xué)，因為cos（a-g]=：,則

2444I4）3

7171

故sina=sinCC-------1—

44

.(TC\n(7i\.n^220+14+0

=sina----cos——FCOSa------sin—=——x-----------=---------

k4J4{4J4236

(2)由cos[乃+iJ=cos[(/?+a)—(a—R],

fJIJI

cos[分+1J=cos(尸+a)cos(a-—)+sin(尸+a)sin(a-—),

由0<,<5<a<乃知：,va+,<,

3結(jié)合（1）有sin（l-?）=半,

/.由題意,得cos(夕+a)=

5

3142V2872-3

cos(77+?------X--1——X-----------

535315

16.(l)m=--,//=—；|￡F|=A/3

⑵等

【分析】⑴利用向量運算求得即，由此求得狐〃，進而求得⑼

（2）利用向量夾角計算公式，計算得EF和BC夾角的余弦值.

【詳解】(1)EF=AF-AE=AD+DF-(^AB+BE^

=AD+-AB-IAB+-AD\=--AB+-AD

3(2j32f

[4221r2r

J—AB——AB-AD+—AD=J4——x3x2xcos60°+1=v3.

\934V3

（2）因為BO=A￡）一AB，

答案第8頁，共12頁

-JAB+^A^AD-AB

則cos尸,20=EFBD

EF||BD|/xJ(AD—AB)2

2271.2271

-AB——AB-AD+-AD—x9——x3x2xcos600+—x4

362362

43X^AD2-2AD-AB+AB2^/3X^/4-2X3X2XCOS60°+9

9

2_3721.

一島占一14

17.⑴一也

3

【分析】(1)由已知可得出〃.。=0,結(jié)合兩角和的余弦公式化簡可得結(jié)果;

(2)求出tan(a+0的值，利用兩角和的正切公式可求得tan(2o+0的值，求出2。+乃的

取值范圍，即可得解.

【詳解】(1)解：a±b則〃*=cosa(cosa+百cos0+sina(sina—括sin6)

=cos2a+sin2a+43(cosacos尸一sinasin4)=1+geos(a+尸)=0,

cos(a+^)=-^~

因此,

(2)解：因為tana=3-2亞且《，所以，

E、Ic兀1fln%c77?r7n1Ac'4兀萬

因為夕w7，乃，則Z<a+〃<--,—<2a+(3<——,

k2；2o26233

因為cos(a+〃)=一等w

I故三<a+B<7i,

所以，sin(a+尸)=Jl-cos?(a+尸)=,所以，tan(a+6)==_g,

tana+tan(a+〃)3-30

所以,tan(2a+⑶=tan[a+(a+/7)]=

]-tanatan(a+￡)l+@3-2碼

因此,2c+￡=,

18.(1)-

9

答案第9頁，共12頁

⑵q

【分析】

12

(1)由題意利用平面向量的線性運算可得旌=耳加4+§班，從而可求解.

(2)由題意可先求出|AZ)|=4,|CE|=5,設(shè)|ME|=r(O<r<5),則得

(MA+2MB^MC=產(chǎn)-t,從而可求解.

［詳解］(1)因為AffiMMA+AEMMA+ZEBuMA+zlMB—ME),

1212

化簡得腔=+所以m=§,n=~,

172

所以m-n=-x—=—.

339

(2)因為C4=-A2一AD，CE=CB+BE=-AD-；AB,

(1)1-24-2

所以CACE=(-A5-AO).-AO-5A5=§A5+-ABAD+AD

1221c-2

=-AB+AD=-x92+AD=43

33

所以,4=4,則AO=3C=4,又BE=3,

所以1cq=5,

設(shè)|網(wǎng)=/,則|函=5一f(O4fV5),

(M4+2MB)'MC=，ME+E45F?aE^MC=MEMC=-t(T)=產(chǎn)-t,

因為二次函數(shù)y=3產(chǎn)-15f開口向上，故最小值在對稱軸處取得，即f時，

^MA+2MB^MC=~—,

所以(M4+2MB^MC的最小值為《.

2

19.(1)-

⑵①受77^；②fl

【分析】（1）利用向量的線性運算得出AP=（2-1）BA，結(jié)合AP=；A5即可得出結(jié)果;

答案第10頁，共12頁

⑵①由題意可得O6+0^023=3+08,進而推出。烏+。夕=。4+。8,代入題中的等式即

可；②當a=6=i,后io時，?！?21，.］，0q=(/^京］，進而得到

^1010J^1010J

八ncnij-5i-5j+50“K/曰I、(Z-5)J+Z2-15Z+100司….附后,士刖力

OP；OPj=J——k——，從而得0號(04+0?，="^——'50--------，列出,的取值即可

得到對應(yīng)的函數(shù)值.

【詳解】(1)因為AP=O尸一OA=(/1_1)OA+(1_/1)O3=(2_1)(OA_05)=(/1_1)3A

而點P為線段AB上靠近點A的三等分點,

1