江蘇省連云港市東海縣2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試題(解析版)

學業(yè)質量階段性檢測

九年級數(shù)學試題

（請考生在答題卡上作答）

注意事項：

1.考試時間為120分鐘.本試卷共6頁，27題.全卷滿分150分.

2.請在答題卡規(guī)定的區(qū)域內作答，在其它位置作答一律無效.

3.作答前，請考生務必將自己的姓名、考試號和座位號用0.5毫米黑色簽字筆填寫在答題卡

及試題指定位置.

4.選擇題答題，用2B鉛筆填涂在答題卡的相應位置上.如需改動，用橡皮擦干凈后再重新

填涂.

5.作圖題需用2B鉛筆作答，并請加黑加粗.

一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）

1.已知點P在半徑為5cm的圓內，則點P到圓心的距離可以是（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【答案】A

【解析】

【分析】直接根據(jù)點與圓的位置關系進行判斷.

【詳解】：點P在半徑為5cm的圓內，

???點P到圓心的距離小于5cm,

所以只有選項A符合，選項B、C、D都不符合；

故選A.

【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點

到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系.

2.在市長杯足球比賽中，五支球隊的進球數(shù)分別為3,5,8,4,8,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.8

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查中位數(shù)，找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)（或兩個數(shù)的

平均數(shù)）為中位數(shù).

【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列為：3,4,5,8,8,

位于最中間的一個數(shù)是5,

因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5,

故選C.

3.在一個暗箱里放入除顏色外其它都相同的1個紅球和11個黃球，攪勻后從中任意摸出一個球，摸到紅

球的概率是（）

11110

A—R—C—D—

111210,11

【答案】B

【解析】

【分析】此題主要考查了概率公式的應用，解題的關鍵是掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

根據(jù)一個暗箱里放入1個紅球和11個黃球，這些球除顏色外都相同，直接利用概率公式求解即可.

【詳解】：一個暗箱里放入除顏色外其它都相同的1個紅球和11個黃球，

???攪勻后從中任意摸出一個球，摸到紅球的概率是：

故選：B.

4.實數(shù)以b、c、d在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論中正確的是（）

abcd

-5-4-3-2,-l6*12345*

A.a>-4B.bd>0c,網(wǎng)>忖D.b+c>0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)a，b，c，d在數(shù)軸上的位置，結合有理數(shù)的乘法、加法，絕對值的意義可得答案.

【詳解】解：由題意得：a<b<0<c<d,

由題意可得，a<-4,所以A錯誤，

由bV0,d>0,則bdVO,所以B錯誤，

由a<6V0,則-"一6>0,即網(wǎng)>陣所以c正確,

?：-2<b<-\,0<。<1,."+。<0,所以D錯誤，

故選擇：C.

【點睛】本題考查有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的加法與乘法結果的符號的確定，絕對值的大小，掌握以上

知識是解題的關鍵.

5.把二次函數(shù)N=3x2的圖象向左平移2個單位，所得函數(shù)圖象的表達式是（）

A.夕=3（尸2"B.'=3x2-2c.y=3x2+2D,y=3（x+2）2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答.

【詳解】解：把二次函數(shù)了=3x2的圖象向左平移2個單位，所得函數(shù)圖象的表達式是V=3（x+2）2,

故選：D.

【點睛】本題考查的是函數(shù)圖象的平移，用平移規(guī)津，左加右減，上加下減'‘直接代入函數(shù)解析式求得平移后

的函數(shù)解析式.

6.拋物線歹=%2—X+2與x軸的交點個數(shù)是（）

A.OB.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】把二次函數(shù)的問題轉化為一元二次方程的問題，根據(jù)A=b2-4ac的取值情況來進行判斷.

［詳解］解：：-4ac=（-1）2-4x1x2=-7<0,

..?拋物線歹二%2—X+2與X軸的交點個數(shù)是0,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，掌握根據(jù)△=4-4。。的取值情況判斷拋物線與x軸的交

點，其中二次函數(shù)的問題轉化為一元二次方程的問題是解題關鍵.

7.寬與長的比是近二1的矩形叫黃金矩形.心理測試表明：黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調、勻

2

稱的美感.現(xiàn)在，按照如下的步驟作圖：

第一步：作一個正方形N8CD；

第二步：分別取Z。、8c的中點加、N,連接MN：

第三步：以點N為圓心，長為半徑畫瓠，交8C的延長線于點E；

第四步：過點E作印交的延長線于尸.

則所作圖形中是黃金矩形的是（）

BNC

A.矩形MNCDB,矩形DCEFC.矩形MNEFD.矩形DCEF和ABEF

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了正方形的性質，勾股定理.設正方形48。的邊長為2〃，則MN=CO=2a,

MD=NC=a由勾股定理可得N￡>=J%，進而可得CE=,再利用黃

金矩形的定義進行判斷即可得出答案.

【詳解】解：設正方形Z8CD的邊長為2a,則A/N=CO=2a,MD=NC=a,

由勾股定理得ND=JS+NO=國,

由作圖知NE=ND=,

Qs-lX,BE=pa+a=G+ja

CE=y/5a-a=

NCa1史」，不是黃金矩形，

矩形MNCD,_=—=—*

CD2a22

Qs-lX

矩形OCEE,CE—邪j,是黃金矩形，

CD2a2

MN2a2J5J5-1

短形MNEF,3=，-=C—工二一，不是黃金矩形,

NEJ5a52

AB(2a\=—1

矩形ABEF,詆=\/5-i-lAz-2，是黃金矩形，

綜上可知，所作圖形中是黃金矩形的是矩形DCE尸和/8EF,

故選：D.

8.若函數(shù)圖像上至少存在不同的兩點關于原點對稱，我們把該函數(shù)稱為“美好函數(shù)”，其圖像上關于原點

對稱的兩點叫做一對“美好點若點力（2,加）,8（〃,一5）是關于》的“美好函數(shù)"y=ax2+bx+c（a^0）

上的一對“美好點”，且該函數(shù)的對稱軸始終位于直線x=4的右側.有下列結論①4a+c=0；

>5555

②人;不；③-<。<n0；@—>a+b+c>3.其中正確的是（）

27loTlo

A.①②③B.①③④C.①②④D.（2X3）@

【答案】A

【解析】

【分析】此題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質，待定系數(shù)法，"美好函數(shù)”，“美好點”的

定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數(shù)解決問題.

先根據(jù)題意求出加，”的取值，代入V=ax2+bx+c得到“，b,c的關系，再根據(jù)對稱軸在x=4的右側即

可求解.

【詳解】解：?.?點為Q,加),8(",—5)是關于x的“美好函數(shù)”歹="2+樂+以。工0)上的一對“美好

點”，

二48關于原點對稱，

.?.m=5,〃=一2,

??.4(2,5),8(-2,-5),

代入y=ax2+6X+C(Q。o)

4。+2b+c=5

得</G人，

4。-2b+c=-5<

[b,

2,

4a+c-0

①②正確，符合題意，

...該函數(shù)的對稱軸始終位于直線x=4的右側，

.b

?F>4，

5

_2>4，即=>1

——7rloa

2a

當?！?時，兩邊同乘。得：-2>a,無公共解集，舍去.

16

當。<0時，兩邊同乘a得：-自<a,

16

16'

???③正確，符合題意，

4a+c=0,

.?.c=-4a,

--Lx(_4)>-4〃>0

16

,5

整合條件：<人=2

0<c<—

I4

三式相力口得：—+0<a+/)+c<0+—+—,

16224

35,15ar115735

..----<Q+b+C<-----,即--->4+Z?+C>—

164416

，④錯誤，不符合題意.

綜上所述，結論正確的是①②③.

故選：A.

二、填空題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.不需要寫出解答過程，請把答案直

接填寫在答題卡相應位置上)

9.已知的三條邊分別為6、8、10,若江比尸的最短邊為3,則最長邊為

【答案】5

【解析】

【分析】本題考查相似三角形的性質，根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求解.

【詳解】解：設最長邊為x,

/\4BCsaDEF,a“BC的三條邊分別為6、810,4謝最短邊為3,

3_x

6-10*

解得x=5,

即tJ)EF最長邊為5,

故答案為：5.

10.如圖，。4、08是。。的半徑，C是。。上一點，408=42。，則NRC8=

【答案】21°

【解析】

【分析】此題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理的內容是解題的關鍵.

根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角度數(shù)一半即可得到答案.

【詳解】?.?408=42°,

ZACB=-ZAOB=lx42°=21°.

22

故答案為：21°.

11.在周長為600米的三角形地塊中修建如圖所示的三條水渠，則水渠的總長為米.

中點

【答案】300

【解析】

【分析】本題考查三角形中位線的的應用，根據(jù)“三角形中位線等于第三邊的一半”即可求解.

【詳解】解：如圖，-8C周長為600米，瓦廠分別為的中點，

則DE,EF,DF均為14BC的中位線,

D￡+￡/^+DF=L（BC+AB+AC）=lx600^300（米）,

即水渠的總長為300米，

故答案為：300.

12.二次函數(shù)歹=依2的圖像經過點（一2,8）,則a的值為.

【答案】2

【解析】

【分析】直接將坐標代入二次函數(shù)表達式即可求出。的值即可.

【詳解】解：將（一2,8）代入y=ax2得8=4。，解得"2,

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像上的點，掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵.

13.如圖，在6x6正方形網(wǎng)格中，點A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點.將“8C的

三邊4、b、°按照從小到大排列為(用“〈”連接).

【答案】c<a<b

【解析】

【分析】本題考查了格點正方形與勾股定理，解題的關鍵是將三角形的頂點平移到格點位置上.

將三角形向右平移小正方形邊長的一半距離，然后利用勾股定理計算三角形的各邊長，最后進行比較大小

即可.

【詳解】解：如圖.將“8C向右水平平移小正方形邊長的一半，使三角形各頂點落在正方形格點上.

根據(jù)勾股定理得：a=BC=B'C=VP+42=717，

b=AC=A'C'=J42+32=5，

c=AB=A'B'=4.

：42<QTY)<52,即C2<〃2<b2,

c<a<b.

故答案為：c<a<b.

14.某汽車廠商經過兩次增產，將汽車年產量由4.86萬輛提升至6萬輛，設平均每次增產的百分率是x,

可列方程為.

【答案】4.86(1+x)2=6

【解析】

【分析】根據(jù)等量關系：增產前的產量x(1+X)2=增產后的產量列出方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，得：4.86(1+x)2=6,

故答案為：4.86(1+x)2=6.

【點睛】本題考查一元二次方程的應用，理解題意，找準等量關系是解答的關鍵.

15.若6-2*=3產_2,則代數(shù)式8%+12產-3的值為.

【答案】29

【解析】

【分析】本題考查了代數(shù)式求值：先把所求的代數(shù)式根據(jù)已知條件進行變形，然后利用整體的思想進行計

算.

由6-2x=3尸一2變形得到2x+3y2=8,再把8x+12y2—3變形為4(2x+3y2)-3,然后利用整體代入思

想進行計算.

【詳解】V6-2x=3y2-2,

2x+3y2=8.

8》+12產一3=4(2X+3J；2)-3=4x8-3=29,

故答案為：29.

16.如圖所示，在平面直角坐標系中，正六邊形。4BCDE邊長是6,則它的外接圓圓心尸的坐標是

【答案】1,30)

【解析】

【分析】如圖所示，連接P。，PA,過點P作PG10Z于點G,由正六邊形CU8CQE推出AOPN為等邊

三角形，進而求出OG、PG的長度即可求得尸點坐標.

【詳解】解：如圖所示，連接尸O,PA,過點P作PG1OA于點G,則NOGP=90。，

?.?多邊形OABCDE為正六邊形,

.-.ZOPA=60°,

?：PO=PA,

.?.△。尸4為等邊三角形，

又：PG10A,

.?.PG平分N0P4,

.?.N"G=30°,

又??QA=6,

...OG=loP=I。/=1x6=3

222'

???由勾股定理得：PG=—OGz=7^37=3K,

??.P的坐標是Q，3弟），

故答案為：

【點睛】本題考查正多邊形外接圓的問題，熟練掌握正多邊形的性質，靈活運用三角形相關知識解決邊角

關系是本題的關鍵.

17.如圖，矩形紙片中，46=16,40=24,將紙片裁成如圖所示的扇形/8E,若將此扇形圍成

圓錐側面，則此圓錐的底面半徑為.

【答案】4

【解析】

【分析】本題考查了圓錐的底面半徑，根據(jù)弧長等于底面圓的周長，即可求解.

【詳解】解：設圓錐的底面圓半徑為「，

90RXAB90兀乂16

依題意，得2“=

180180

解得r=4.

故圓錐的底面半徑為4.

故答案為：4.

18.如圖，是半OO的直徑，點C在半上，AB=5cm,AC4cm,。是8C上的一個動點,

連接4。，過點C作CE_L4Z）于￡,連接8E.在點。移動的過程中，8E的最小值為

【答案】（聲—2）cm

【解析】

【分析】本題主要考查了勾股定理、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是確定點E的運動軌跡是在以力C

為直徑的圓上運動，屬于中考填空題中的壓軸題.

如圖，取力。的中點為°,，連接60'、BC,在點。移動的過程中，點E在以NC為直徑的圓上運動，當

。'、E、8三點共線時，8E的值最小，最小值為。'8-利用勾股定理求出0'8即可解決問題.

【詳解】解：如圖，取ZC的中點為?！?，連接80'、BC,

2，

CE1AD,

4EC=90。，

，在點。移動的過程中，點E在以力C為直徑的圓上運動,

；是直徑，

4ACB=90°,

在Rt△45C中，???4C=4cm,AB=5cm,

/.BC=y]AB2-AC2=J52-42=3cm,

在RtABCO'中，BO'=JS2+8C2=722+32=7T3cm,

O'E+BE>O'B,

.??當。'、E、8三點共線時，8E的值最小，最小值為：O'B—O'E=JIW—2(cm),

故答案為：(尸一2)cm.

三、解答題(本大題共9小題，共96分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要

的文字說明、證明過程或演算步驟)

19.(1)X2-5x=0

(2)%2-6x-16=0

【答案】(1)5=0,X,=5；(2)5=-2,X,=8

【解析】

【分析】本題考查解一元二次方程：

(1)利用因式分解法求解；

(2)利用因式分解法求解.

【詳解】解：(1)X2-5X=0,

x(x-5)=0,

x=0或x-5=0,

解得q=0,3=5；

(2)X2-6x-16=0,

G+2)Q-8)=0,

x+2=0或x-8=0,

解得x「-2,3=8.

20.為了弘揚雷鋒車精神，某校組織“學習雷鋒車精神，爭做時代好少年”活動.根據(jù)活動要求，每班需

要2名宣傳員.九(1)班決定從甲、乙、丙、丁4名同學中隨機選取2名同學作為宣傳員.

(1)“甲、乙兩名同學都被選為宣傳員”是事件；(填''必然”“不可能”“隨機”)

(2)用畫樹狀圖法或列表法，求甲、丙同學都被選為宣傳員的概率.

1

【答案】(1)隨機(2)工

6

【解析】

【分析】本題考查隨機事件，利用列表或畫樹狀圖求隨機事件的概率：

(1)“甲、乙兩名同學都被選為宣傳員”可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，因此為隨機事件；

(2)先畫樹狀圖得到所有等可能的情況數(shù)與符合條件的情況數(shù)，再利用概率公式計算即可.

【小問1詳解】

解：“甲、乙兩名同學都被選為宣傳員”是隨機事件,

故答案為：隨機；

【小問2詳解】

解：畫樹狀圖為：

開始

共有12種等可能的結果，其中選中的兩名同學恰好是甲、丙的結果數(shù)為2,

21

所以選中的兩名同學恰好是甲、丙的概率為：石=工.

12o

21.小聰、小明準備代表學校參加市里的“黨史知識”競賽，老師對這兩名同學進行了5次測試，兩人5

次測試的成績(滿分10分)如下：

小聰：8,8,7,8,9小明：10,9,7,5,9

(1)填寫下表：

平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

小聰88

小明93.2

(2)根據(jù)上面的計算，老師選擇小聰代表班級參賽，理由是什么？

(3)如果再組織一次測試，小明得8分，那么小明成績的方差.(填“變大”、“變小”或“不

變”)

【答案】21.8,0.4,8,9

22.選擇小聰，理由見解析

23.變小

【解析】

【分析】本題考查求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、方差、中位數(shù)、平均數(shù)，利用平均數(shù)、方差作決策：

(1)根據(jù)眾數(shù)、方差、中位數(shù)、平均數(shù)的定義求解；

(2)利用平均數(shù)、方差作決策；

(3)根據(jù)方差公式計算出新方差，與原方差比較大小即可.

【小問1詳解】

解：小聰5次成績?yōu)?,8,7,8,9,

眾數(shù)為：8,

方差為：(8-8>+(8-8>+(7-8>+(8-8>+(9-8>]=0.4.

小明5次成績從小到大排列為：5,7,9,9,10,

中位數(shù)為：9

平均數(shù)為：lx(10+9+7+5+9)=8,

故答案為：8,0.4,8,9；

【小問2詳解】

解：選擇小聰，理由為：小聰和小明的平均成績相同，但小聰?shù)姆讲畋刃∶鞯男。煽兏€(wěn)定;

【小問3詳解】

解：如果再組織一次測試，小明得8分，那么小明成績的平均數(shù)仍為8分，

方差變?yōu)椋簂x^(5-8>+(7-8>+(9-8>+(9-8>+(10-8>+(8-8>]=|<3.2,

故答案為：變小.

22.已知關于x的方程X2+/nx+加一2=0.

(I)若此方程的一個根為1,求根的值；

(2)求證：不論"7取何實數(shù)，此方程都有兩個不相等的實數(shù)根.

【答案】(1)L；(2)證明見解析

2

【解析】

【分析】(1)直接把尸1代入方程%2+加工+加-2=0求出〃7的值；

(2)計算出根的判別式，進一步利用配方法和非負數(shù)的性質證得結論即可.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意，將代入方程X2+〃a+加-2=0,

得：1+陽+加一2=0,

解得：m=—.

2

(2);A=加2-4x1x(加-2)=加2—4加+8=(〃7—2)2+4>0,

...不論加取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根.

【點睛】本題考查根的判別式，一元二次方程的解，熟記根的判別式與一元二次方程根的關系是解題的關

鍵.

23.元旦節(jié)期間，兩位同學一同去商場調查某種服裝的銷售情況，下面是兩位同學的對話：

求這種服裝每件售價是多少元？

【答案】這種服裝每件售價是70元或80元.

【解析】

【分析】此題主要考查了一元二次方程的應用，熟知利潤、售價、成本、銷售量之間的關系是列方程求解

的關鍵.

設每件服裝售價提高的次數(shù)為x,根據(jù)‘'利潤=(售價—成本)x銷售量”建立一元二次方程，求解后，進

一步計算出售價即可.

【詳解】設每件服裝售價提高的次數(shù)為無，則每件服裝的售價為(60+5x)元.

根據(jù)題意得：12000=[(60+5x)-50]x(800-l00x)

化簡整理，得：X2-6X+8=0

(X-2)G-4)=0

解得：*=2,》2=4

當x=2時，60+5%=60+5x2=70(元)；

當x=4時，60+5x=60+5x4=80(元).

經檢驗上述兩種情況均符合題意，

答：這種服裝每件售價是70元或80元.

24.(1)如圖①，中，NC=90°,N。平分/8ZC交8C于點。，點。在邊Z8上，且。。經過

A、O兩點，分別交48、4C于點E、F.求證：是。。的切線：

陽①

（2）如圖②，/3c中，ZC=90°,用直尺和圓規(guī)作OP,使它滿足以下條件：圓心尸在邊Z8上,

經過點A,且與邊8c相切.（保留作圖痕跡，不用寫出作法）

圖②

【答案】（1）證明見解析

（2）作圖見解析

【解析】

【分析】本題考查了圓的性質、圓的切線的判定、等邊對等角、平行線的判定與性質，解題的關鍵是作出

恰當?shù)妮o助線.

連接OD,由04=。。得ZOAD=ZODA,再由N04D=NC4￡>得ZODA=ACAD,從而得

OD//AC,結合NC=90°可證0。_L8C,因為圓的半徑，從而得證.

【詳解】（I）證明：連接00,如圖.

■①

???OO經過人。兩點,

：.OA=OD,

：.ZOAD=NODA,

?.-4D平分NBAC

：.ZOAD=ACAD

：.ZODA=ACAD

：.OD//AC

?：ZC=90°,

/.NODB=90°,

：.OD1BC,又點。在G）O上，

BC是。。的切線.

（2）根據(jù)（1）題的證明過程，所作OP如下圖.

25.學校體育器材室有一扇長2米，寬1米的矩形窗戶，現(xiàn)需設計一個不銹鋼的護欄.數(shù)學興趣小組的同

學提出的設計方案如下：如圖，底部設計一條拋物線，拋物線的頂點到底部距離為0.5米，為牢固起見，

拋物線上方按相等間距加設三根不銹鋼管立柱.請你根據(jù)興趣小組同學的設計，求出所需三根不銹鋼管立

柱的總長度.

【答案】L75米

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應用，以8c中點。為原點建立平面直角坐標系，利用待定系數(shù)法求出

拋物線解析式，根據(jù)解析式求出GE和〃進而求出G"和"N,即可求解.

【詳解】解：如圖，以8C中點o為原點建立平面直角坐標系，

P（0,0.5）,C（1,O）,F（0.5,0）,￡（-0.5,0）,

設拋物線解析式為V=0X2+4,

將Mo,0.5）,C（l,o）代入，得廠

k=L

解得j2],

I2

11

.??拋物線解析式為丁=一'X2+5,

cu1cu13

當》=±0.5時，y=--xO.52+_=_,

3

GE=HF=二,

8

35

:.GM=HN=1—二=1

88

...GA/+/^V+Pg=|+|+^l-l^=Z=1.75,

即所需三根不銹鋼管立柱的總長度為L75米.

26.如圖，拋物線y=-x2+bx+c經過點4一2,0）,8（3,0）,與V軸交于點C,點P是拋物線上一動點.

(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式；

(2)如圖，當點P在直線8c上方時，過點P作夕￡>垂直于x軸于點。，交直線BC于點E.若

2PE=ED,求此時點P的坐標：

(3)拋物線在第一象限的部分記為“，現(xiàn)將加繞點0逆時針旋轉a度(0<a<180。)，使得加上每一點

始終在第一象限，求點8所經過的路經長.

【答案】(1)y=-x2+x+6

(2)P(l，6)

(3)點8經過的路徑長為列邑

4

【解析】

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解一元二次方程、直線與拋物線相切時的特點、一元二次

方程根的判別式、勾股定理求線段長、扇形弧長的求法等，解決第(3)問的關鍵是畫出圖形幫助分析解

法.

(1)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式.

(2)先求得點C的坐標，然后用待定系數(shù)法求得8C的解析式，設點。、E、0的橫坐標為”，然后用含

字母。的代數(shù)式表示出等式關系2PE=EO,可求得。值，即可求得點尸的坐標.

(3)設經過點C且與拋物線相切的直線。。的解析式為歹=團》+6,聯(lián)立拋物線方程，當關于x的二次方

程的判別式為0時可求得直線的解析式，從而可求得直線CQ與y軸的夾角即是M的旋轉角，點8經

過的路徑是一段圓弧，其圓心角就是這個旋轉角，半徑為BC,即可求得圓弧長.

【小問1詳解】

解：將點/(一2,0),6(3,0)的坐標代入拋物線y--X2+/?x+c中，

0=-4—2力+。[b=1

L,解得：：公

0=-9Q+,3b+c[c=6

...拋物線對應的函數(shù)表達式是：y=-x2+x+6.

【小問2詳解】

令x=0,則拋物線y=-X2+x+6=6,

.?.點。(0,6).

設直線BC的解析式是夕=h+6,

將6（3,0）、C（0,6）的坐標代入［3：+b

［6=b

:.b=6,k=-2,

直線8c的解析式是y=-2x+6.

設點0、E、尸的橫坐標為0,則點E的縱坐標為（―2。+6）,點。的縱坐標為（一G+a+6）,

?:2PE=ED,

2［（-°2+a+6）-（-2a+6）］=-2a+6

化簡得：。2-44+3=0

解得：。=1（〃=3不合題意，故舍去）

1?點P的縱坐標為一〃2+〃+6=6

此時點尸的坐標是（1,6）.

【小問3詳解】

設在點C（0,6）處與拋物線相切的直線與X軸相交于點。，直線的方程為卜=妹+〃，則〃=6,即

直線的解析式為：y=mx+6,

y=mx+6

聯(lián)立方程組彳久，消去y,得加x+6=—+x+6,

y--X2+x+6J

整理得：X2+（/??-l）x=0

/.△=（加-1）-4x1x0=0,

解得：m=\,

二.直線CD的解析式為：N=X+6.（如圖）

令y=0,則x=-6,

OD=OC=6,

AOCZ）是等腰直角三角形，NOCD=45。.

二當M（拋物線在第一象限的部分）隨直線CD繞點c逆時針旋轉45。時，使得M上每一點始終在第一

象限，

.?.8點經過的路徑是以點C為圓心，圓心角為45。的圓孤嬴（如上圖）.

?..圓弧半徑BC=J62+32=3./5，

45-71.3^53小式

；?88'的長度為:

-180-4

即點2所經過的路經長為序.

27.問題探究：如圖①，在四邊形NO8C中,NACB=NADB=90°,AD=BD,探究線段4C、

BC、CO之間的數(shù)量關系.

小江同學探究此問題的思路是：將△8CD繞點。逆時針旋轉90°到△/￡￡）處，點8、C分別落在點4

E處，易證點C、4、E在同一條直線上，并且ACOE是等腰直角三角形，所以CE=&CD,從而得出

結論：AC+BC=&CD.

簡單應用：（1）在圖①中，若/C=2,8C=4,則CO=；

（2）在圖②中，48是的直徑，點。、。在OO上，。是弧Z8的中點.若4B=17,BC=15,則

CD=；

拓展延伸：（3）如圖③，4cB=NADB=90。,AD=BD,AC<BC.探究線段NC、BC、CD之

間的數(shù)量關系：若圖③中8c=5,設CO的長為x,△48的面積為了,求了與x之間的函數(shù)關系式，并

求出A/C￡>面積的最大值；

問題解決：（4）如圖④，公園里有一個四邊形的人工湖Z8C。，8C=CD=130米，/。=100米，已

經修建一座觀光橋NC,恰巧滿足ZC=130米，現(xiàn)在再修建一座觀光橋尸。，其中P、Q

分別是48、工。的中點，則。。的長度為米.

【答案】（1）CD=3x/2;（2）c0=23『；（3）BC-AC+y/2CD；y=-Lx2+t^x；“CD

25-

面積的最大值為（4）855/2

【解析】

【分析】（1）由題意可知：AC+BC=&CD,所以將NC與的長度代入即可得出CO的長度；

（2）連接ZC、BD、力。即可將問題轉化為第（1）問的問題，利用題目所給出的證明思路即可求出

CO的長度；

（3）過點。作DE'BC于點號在8c上截取凡使BF=4C,證明A、B、C、。四點共圓，得出

ZDCE=ZDAB=45°,NCAD=NDBF,證明△4C0%"Z）（SAS）,得出CD=DF,

NCDA=NFDB,證明&CDF為等腰直角三角形，得出CF=&CD,即可得出

BC=BF+CF=AC+yf2CD；

（4）連接C。、BD,延長6C,過點。作。EL8c于點&DF工4c于點、工根據(jù)等腰三角形的性

*ADCQ100x1201200?“

質和三角形面積公式求出=—彳二=:八=一『，證明四邊形CEDF為矩形，得出CE=,

AC13013

根據(jù)勾股定理得：DE1=CD2