2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)模擬卷6（新高考九省聯(lián)考題型）（解析版）

決勝2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)卷06

數(shù)學(xué)

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己

的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知樣本數(shù)據(jù)為芯、巧、無(wú)3、％、/、4、/，去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后的數(shù)據(jù)與原來(lái)

的數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征一定不變的是（）

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

【答案】C

【解析】樣本數(shù)據(jù)為為、巧、七、％、％、/、巧，去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后的數(shù)據(jù)與原

來(lái)的數(shù)據(jù)相比，假設(shè)從小到大就是從看到與，極差可能變化，故A錯(cuò)；

平均數(shù)為「=々+%3+1+匕+工6,可能變，故B錯(cuò)；

中位數(shù)還是按從小到大排序中間位置的數(shù)，故C正確；

方差為S2=g［（z-丁『+（￡-?。?+（--可?+（匕-丁『+（4-可［，有可能變，故D錯(cuò).

故選：C

2.已知全集。=1<,集合/,囪茜足A=（AcB）,則下列關(guān)系一定正確的是（）

AA=BB.BcAC.Ar\（CvB）=0D.（C［/A）nfi=0

【答案】C

【解析】因?yàn)榧?礴足B）,故可得ACB，

對(duì)A：當(dāng)A為8的真子集時(shí)，不成立；

對(duì)B：當(dāng)A為8的真子集時(shí)，也不成立；

對(duì)C：4c（QB）=0,恒成立；

對(duì)D：當(dāng)A為8的真子集時(shí)，不成立；

故選：C.

3.p:m=2,q：（mx+y）5展開(kāi)式中/丁項(xiàng)的系數(shù)等于鈉，則。是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】（ax+y）5的展開(kāi)式中含Yy3項(xiàng)為C；（如）2y3=C；m2fy3,

故=40,解得m=+2,

故“加=2”是"加=±2”的充分不必要條件.

故選：A

4.若cos[]+2a]—4sin2a=—2,則tan2o=（）

1

A.-2B.——C.2D.

22

【答案】C

【解析】由8$[+2“一4511120=-2,得-sin2a-4sin2a=-2,

22

Rn2sinorcos+4sina.Rn2tanor+4tana.

即----「-------2-----=2，即-------2---------2，

sina+cosatan。+1

所以2tana+4tan2a=2tan2a+2,所以tana=1-tan2a，

2tana

則tan2a==2

1-tan2a

故選：C.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量OA與05關(guān)于H由對(duì)稱，向量〃=（?！梗?，若滿足

Q^+G.ABMO的點(diǎn)2的軌跡為其則（）

A.￡是一條垂直于行由的直線B.￡是一個(gè)半徑為1的圓

C.廢兩條平行直線D.￡是橢圓

【答案】B

【解析】設(shè)A（x,y）,由題有。4=（x,y）,OB=（x,—y）,

所以3（羽—y）,AB=（O-2yy

所以O(shè)A+a-AB=x2+y2-2y=0>即.f+（y—1）2=1,

所以點(diǎn)A（x,y）的集合是以（0,1）為圓心，1為半徑的圓.

其軌跡E為半徑為1的圓，

故選：B.

6.夾彈珠游戲是兒童特別喜歡的游戲，夾彈珠能有效提高參與者的注意力與協(xié)調(diào)性，調(diào)整邏輯思維判

斷和空間控制平衡能力，鍛煉小肌肉，增強(qiáng)手眼協(xié)調(diào)，培養(yǎng)敏捷的反應(yīng)能力，從而提高參與者的適應(yīng)

能力.如圖，三個(gè)半徑都是J8cm的玻璃彈珠放在一個(gè)半球面形狀的容器（不計(jì)厚度）中，每顆彈珠的

頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個(gè)容器的表面積（包括容器的內(nèi)部和外部?jī)刹糠郑┦?/p>

（）

A,（5+A/^T）兀cn?B,2（5+A/^T）兀cm?。4（5+V^l）兀cn?D,8（5+V^I）兀cm?

【答案】D

【解析】。在面上的投影為為大球球心，。，。2，03為小球球心?

。02=。2。3=003=2百,。1"=岸X2百=2,0M=百，大球半徑為R，

(R-百)2=4+3=7,=77+6，

S表=4?！?=4兀?(10+2?)=8兀(5+?),

故選：D.

7.已知函數(shù)/(jr)=sin°xcos0+cosssin"(0〉O,O<0<3,〃%)=0,/伍)=1，若

人—司的最小值為方且則〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

兀7571

A.—+2E,一兀+24兀,keZB.——兀+24兀,一+24兀,A;eZ

6666

37兀7?兀2

C.------兀+左兀,-----FK71,KGZD.-------------------12kit,—兀+2左兀，左wZ

121233

【答案】B

【解析】因?yàn)?(x)=sinG%cos0+cosGxsin°=sin(0x+0),

又/(石)=0,/(%2)=1,且上一百的最小值為I",

T712兀

所以———，即丁=2兀，又G>0,所以。=—=1,

42T

所以〃x)=sin(x+0),又了(卜;，所以sin1'+O1

即cos°=一,

2

ITTT

因?yàn)椤?lt;夕<3，所以°=§,

所以/(x)=sin[x+耳J,令―/+2AJI?%+9<5+2AJI,k￡Z,

5兀71

解得----F2kit<%<—F2kit,kwZ,

66

5jr

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一石兀+2也,％+2版,ksZ.

故選：B

8.已知耳，工是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P,9是它們的兩個(gè)公共點(diǎn)，且產(chǎn)，供于原點(diǎn)對(duì)稱,

e；3四……

若橢圓的離心率為雙曲線的離心率為02,則.」，+,，2；的最小值是（)

e-+l紇+3

A2+若R1+6「2超

3333

【答案】A

【解析】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為由,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為外，

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：|尸司+|P&|=M，|PG|—|P^|=2a2,

2兀

=4+局二%—%,設(shè)閨周=2c,ZP&Q=，

71

根據(jù)橢圓與雙曲線的對(duì)稱性知四邊形PFQF2為平行四邊形，則/RPF2

則在△尸4耳中，由余弦定理得，4c2=（1+%『+（q-g）--2（q+。2）（。1一。2）85"|，

13

化簡(jiǎn)得a；+3靖=4c之，即-y+”■=4,

eie2

f、

則…1313113、11

+i~r+3,—+1H--^-+1X—

i~r3,ee6

?+?+\\2>

7

-7

3134+i43+i34A1+i

,2

1

=—X4+-^——+4+2&_)

61131

7+1~2+1~2+1

e\,2qe2

1（4+2省卜耳?

=-x

6

23A/3+4

e,=---------<1

當(dāng)且僅當(dāng)JUi2)111

L時(shí)等號(hào)成立,

3_24+90]

=4

8-373-37

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為-；,弓，貝U()

2224

A.|z|=lB.z+z=1C.z+z+l=OD.z°=2

【答案】ACD

【解析】由題可知，z=—；+#i，|z|=F1J+與=1，故A正確；

z=———,z+~z=—1>故B錯(cuò)誤；

22

z2=-----F-^-i=----——i=------——i,所以z2+z+1=—1+1=0，C正確;

2244222

所以z2024=z2022.z2=z2022.z2=(z3)674-z2=z2=z,故D正確.

故選：ACD

I7-3

10.設(shè)A3是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且尸(A)=—,P(B)=—,P(A+B)=—,則()

234

B.(而

A.P(AB)=—P)=g

12

_3

C.P(B\A)=-D.P(A|

6

【答案】ACD

--11-3-1

【解析】P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=-+——P(AB)=-,P(AB)=—,故A對(duì).

23412

P(B)=P(AB)+P(AB),.-.-=P(AB)+—,P(AB)=-,故B錯(cuò).

3124

]

P(匈4)=冬甌=早=,，故CM

P(A)16

2

P(B)=P(AB)+P(AB)=P(AB)+P(A)-P(AB),

_J.

-=P(AB)+P(AB)=-,P(A|=l故口對(duì)

32124P(B)28

3

故選：ACD.

11.已知定義在R上的函數(shù)/(%),1?(%)，其導(dǎo)函數(shù)分別為

/,(x),g,(x),/(l-x)=6-g,(l-x),/(l-x)-g,(l+x)=6,且g(x)+g(r)=4,

則()

A.g'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱B.g'(x+4)=g'(x)

c.r⑹=/gD./⑴+"3)=12

【答案】BCD

/(1—x)=6—g'(1—x)，/、/\

【解析】由題意可得《［八1-二=6+,1+:’兩式相減可得g'0+止―/(1)①，

所以g'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，A錯(cuò)誤；

由g(x)+g(-x)=4②，②式兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得g'(x)=g'(—x),可知g'(x)偶函數(shù),

以1+尤替換①中的x可得g'(2+x)=—g'(-x)=-g'(x),

可得g'(4+x)=—g'(2+x)=g'(x),所以g'(x)是周期為4的周期函數(shù)，B正確；

因?yàn)椤▁)=6—g'(x),可知〃x)也是周期為4的周期函數(shù)，即〃x+4)=/(x),

兩邊求導(dǎo)可得了'(x+4)=/'(%),所以/⑹=/12),C正確;

因?yàn)間'(l+x)=—g'(l—x),令尤=0,則g'(l)=—g'⑴，即g'(l)=0,

又因?yàn)間'(x)是偶函數(shù)，所以g'(-L)=g'(l)=0,

又因?yàn)間'(x)是周期為4的周期函數(shù),則g'⑶=^(-1)=0,

由心…⑺可得愕:m

所以/'(1)+/(3)=12,D正確.

故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,公差不為0,若外,%，小成等比數(shù)列，則｛%｝的前5項(xiàng)的和為

【答案】-15

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d且dHO,且q=1,

因?yàn)榈?，?，。6成等比數(shù)列，可得片=/4,即(1+24)2=(1+4)(1+54),

即d=-2或&=0(舍去)，

5x4

所以S5=5xl+^-x(-2)=-15.

故答案為：-15

13.已知圓錐的母線長(zhǎng)為2,則當(dāng)圓錐的母線與底面所成的角的余弦值為時(shí)，圓錐的體積最

大，最大值為.

【答案】逅16A/3

71

327

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑r,母線為1,高為力,

設(shè)母線與底面所成的角為?（0<?<!）,

丁

則cosa=—(0<cosa<1),

貝ijr=2cosa，

貝U%=A//2-r2=2^1-cos2a，

則圓錐的體積為V=^7r-r2-h

令尤=cose(0vx<l),貝ljV(x)=g乃

令=x4-x6,求導(dǎo)得fr(x)=4x3-6x5=2X3(2-3X2),

令r(x)=0,則x=Y5或一

舍去）,

3

f'(x)>0/（無(wú)）單調(diào)遞增,

當(dāng),1時(shí)，r（x）<o/（X）單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=Y6時(shí)，A?取得極大值，也是最大值.

3

此時(shí)V（x）=|m/xJf最大,匕砥=丫（4）=3，萬(wàn)，

即圓錐的母線與底面所成的角的余弦值cos1=@時(shí)，

3

圓錐的體積最大，最大值為更趙不

27

故答案為：漁；巫兀.

327

14.在J\BC中，角A,瓦C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=2,c=3,cosB=bcosC,P,Q分別在邊AB

和CB上，且PQ把_A3C的面積分成相等的兩部分，則尸。的最小值為.

【答案】石

A

由cosB=bcosC,得0*T=b?°I

laclab

即任一.生z

解得b=

2x2x32x2b

a2+c2-b2636

cosB==-x2x3x

lac2x2x323'2

c_3上&RP一RC_l君_3百._3

Sp-——，?BP=x,BQ=y.—x-y-——=-xy=3,y=—^

,BQ4224x

0<x<3

39l

令<3，得一<%<3,PQ2=~2xycosB=-\—--322,9—3=3,

0<—<22x

Lx

所以P&n=G，當(dāng)且僅當(dāng)Y=N即％=百時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：百.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.為了開(kāi)展“成功源自習(xí)慣，習(xí)慣來(lái)自日?！敝黝}班會(huì)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的行為習(xí)慣，提高

學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，在全校學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生的某年度綜合評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)成績(jī)，研究學(xué)習(xí)成

3

績(jī)是否與行為習(xí)慣有關(guān).已知在全部100人中隨機(jī)抽取一人，抽到行為習(xí)慣良好的概率為g，現(xiàn)按''行

為習(xí)慣良好”和“行為習(xí)慣不夠良好”分為兩組，再將兩組學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)分成五組：［50,60）、

［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］,繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）若規(guī)定學(xué)習(xí)成績(jī)不低于80分為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件填寫(xiě)下列2x2列聯(lián)表，并判斷

是否有99%的把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵與行為習(xí)慣是否良好有關(guān)”；

行為習(xí)慣良好行為習(xí)慣不夠良好總計(jì)

學(xué)習(xí)標(biāo)兵

非學(xué)習(xí)標(biāo)兵

總計(jì)

（2）現(xiàn)從樣本中學(xué)習(xí)成績(jī)低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記抽到的學(xué)生中“行為習(xí)慣不夠良好”

的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

n^ad-bc^

參考公式與數(shù)據(jù)：力2其中〃=a+Z?+c+d.

(〃+b)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

尸（土訓(xùn)0.1000.0500.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

Q

【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有（2）分布列見(jiàn)解析，E（X）=-

3

【解析】（1）已知在全部100人中隨機(jī)抽取一人，抽到行為習(xí)慣良好的概率為

32

則100名學(xué)生中，行為習(xí)慣良好的有100x1=60人，行為習(xí)慣不夠良好的有100x1=40人.

由頻率分布直方圖可知，行為習(xí)慣良好組中不低于80分的學(xué)生有（0.025+0.045）x10x60=42人,

行為習(xí)慣不夠良好組中不低于80分的學(xué)生有（0.010+Q030）xl0x40=16人

則2x2列聯(lián)表為：

行為習(xí)慣良好行習(xí)慣不夠良好總計(jì)

學(xué)習(xí)標(biāo)兵421658

非學(xué)習(xí)標(biāo)兵182442

總計(jì)6040100

2

,2=100(42x24—18x16)2=1800工,P(z>6.635)=0.01,

60x40x42x58203

因?yàn)?.867>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵與行為習(xí)慣是否良好有關(guān)”.

（2）行為習(xí)慣良好組中低于60分的學(xué)生有0.005x10x60=3人，

行為習(xí)慣不夠良好組中低于60分的學(xué)生有0.010x10x40=4人，則X的可能值為0、1、2,

2

P(X=0)=^c°c=1,尸(X=l)=0器1014P(X=2)=「§2r9o=)*

X的分布列為:

X012

￡42

P

777

1428

期望￡(X)=Ox—+lx—+2x—=—.

v77777

1

16.已知/(%)=ln%+5%9~cix(aeR).

1°1

(1)若/(%)?一爐——在工+8)恒成立,求a的范圍;

22x

(2)若/(九)有兩個(gè)極值點(diǎn)s,3求/⑺+/(s)的取值范圍.

【答案】⑴[-,+?)(2)(-oo,-3)

2

1丫21

【解析】(1)由函數(shù)〃x)=lnx+一/一以，因?yàn)椤狶在[1,8)上恒成立,

222x

InxI

即a2——+「在工+8)恒成立，

x2x2

人，/、Inx1-,/、x-xlnx-1

令h(x)=—+—-,可得"(x)=----------,

x2x'x

令t(x)=x-xlnx—1,可得f'(x)=-InxM0,

所以f(x)在［1,+?))單調(diào)遞減，所以f(x)<?)=0,

所以“(X)W0恒成立，所以丸⑴在口,+<?)單調(diào)遞減，所以//(X)max=久1)=；，

所以所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為己,+8).

22

(2)因?yàn)?(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)取，

可得S,t是尸(x)=L+X_a=XiX+1=0的兩不等正根,

XX

A=/—4>0

即s"是兄2—Q%+1=0的兩不等正根，則滿足Vs+/=〃>0,解得〃>2,

st=1

則f(%)+f(s)=In%+Ins++—,y2—(i(j+5)—ln(s/)+—(Z+5)2—ts—+s)

—ln(s%)H—Q+s)2~ts—a(t+s)=—/_1<—x22—1——3,

222

所以/⑺+/(s)的取值范圍為(—8,—3).

17.如圖，在三棱錐A—BCD中，和△BCD都是正三角形，￡是5。的中點(diǎn)，點(diǎn)用黃足

DF=2EA(2^0).

A

F

C

（1）求證：平面ABC1平面ADF；

（2）若|AD|=|3C|=2jL且跖〃平面AGO,求QP的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）6

【解析】（1）如圖，連接QE,因?yàn)?。k=/LEA，所以DF//AE.所以4E,D,硒點(diǎn)共面.

因?yàn)樵谌忮FA—3CD中，和△BCD都是正三角形，破3C的中點(diǎn)，

所以AEL2C,DE±BC.因?yàn)槠矫鍭"，AEDE=E,所以工平面A",

又3Cu平面ABC,所以平面ABC1平面ADF.

（2）如圖，記△BCD的中心為。，連接。4,由（1）得AO人BC.同理可證AOLCD,

且3CcCC>=C，所以40,平面BCD,以媯坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)閍BCD是正三角形，忸。|=26，所以|如=2,|。目=1,|。4|=2也.

所以4。,0,20）,B（-A-l,0）,C（A-1,O）,￡>（0,2,0）,E（0,-l,0）.

所以C4=（—6,1,20）,CD=（-^,3,0）.

nCA=0—yfix+y+2\[^z=0

設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為"=（九,y,z）,則，即《

n-CD=0—>/3x+3y=0

令y=丘,則X=A/^，z=1>所以”=(J^,1).

因?yàn)辂?倒,1,2匈,BD=(A3,0),

所以3/=30+￡>/=3D+/IEA=(6,3,0)+%(0,1,20)=(石,X+3,2a).

因?yàn)?尸〃平面4CD,所以a.3尸=0，

即出x逐+(4+3)&+2a=0,解得X=—2,

此時(shí)|DF|=2|EA|=6.故)=的長(zhǎng)為6.

z

18.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸,△「色?各頂點(diǎn)均在。上，且「尸+。/+氏/=0.

（1）證明：/是，PQR的重心；

（2）PQR能否是等邊三角形？并說(shuō)明理由；

（3）若RQ均在第一象限，且直線尸。的斜率為畫(huà)，求-PQR的面積.

3

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）不肯能，理由見(jiàn)解析（3）三匡

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【解析】（1）設(shè)尸。的中點(diǎn)為M，QR的中點(diǎn)為N,

因?yàn)镻F+Qb+RF=O，所以尸P+JFQ=2K0=RE,

又尸為公共端點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，

同理可得2FN=P7,又歹為公共端點(diǎn)，所以￡N,P三點(diǎn)共線，

所以RM,PN是PQR的兩條中線，

所以廠是,PQR的重心；

（2）由題意尸（1,0）,設(shè)P（石,另）,。（無(wú)2，%），氏（&，%），

則尸尸=（1_石,乂）,0尸=（1_%2，%），即=（1_/，%），

由PT7+。/+RF=0,可得%+%+%3=3,%+%+%=°，

由拋物線的定義可得1PH=石+1,依/曰氏+1,|即=七+1,

若-PQR是等邊三角形，則由⑴知|PF|=|QF|=|RF|,

^\PF\=\QF\,可得西=々，

又因RQ不重合，所以％=—%/0,

所以%=—（%+%）=0，

3

所以退=。,％=%=］，尺（0,0）,

故附=|叫=>1=牙呼|=1,這與附=|QF|=|RF|矛盾,

所以PQR不可能是等邊三角形；

（3）設(shè)直線尸。的方程為y=叵％+人，

3

,=叵+1

聯(lián)立《"亍，化簡(jiǎn)得7f+（2同?-12卜+3/=0,

y2=4x

△=（2^0—12）2—4x7x302=48（3—后。）>0,所以匕〈浮,

由韋達(dá)定理得xl+x2=12；b,石々=三,

+,、后/\9+2421b

由（2）有七=3—（玉+工2）=-----------，