重慶市青木關(guān)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

青木關(guān)中學(xué)高2025級(jí)高一（上）期末考試數(shù)學(xué)試題滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先表示出集合，再由交集和補(bǔ)集的運(yùn)算得出結(jié)果即可.【詳解】集合，集合，集合，所以.故選：D2.方程的解所在區(qū)間可以為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，在上為增函數(shù).，，所以由零點(diǎn)存在性定理可知：方程的解所在區(qū)間為：.故選：C.3.若，則（）A. B.12 C.48 D.144【答案】D【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知.故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，再利用誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B.5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，即可求出結(jié)果.【詳解】由得到或，令，則，因?yàn)樵诙x域上是減函數(shù)，又的開(kāi)口向上且對(duì)稱軸為，易知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：B.6.（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式以及兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】故選：A7.函數(shù)的定義域?yàn)?，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得恒有成立，結(jié)合二次不等式恒成立性質(zhì)對(duì)進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意得恒成立，當(dāng)時(shí),恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí),,解得,綜上.故選:C.8.已知命題“對(duì)，都有恒成立”為真，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在的最小值滿足，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可求出.【詳解】令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上的最小值滿足即可.當(dāng)時(shí)，，最小值為，符合題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而適合題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，則，所以；綜上的取值范圍為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中不止一項(xiàng)符合題目要求.全選對(duì)得5分，沒(méi)選全得3分，選錯(cuò)得0分.）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.“冪函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充要條件為“”C.命題的否定為：D.已知一扇形圓心角，且其所在圓的半徑，則扇形的弧長(zhǎng)為【答案】AD【解析】【分析】由充分必要條件舉例可得到A正確；由冪函數(shù)的單調(diào)性可得到B錯(cuò)誤；由全稱與特稱命題的性質(zhì)可得到C錯(cuò)誤；由弧長(zhǎng)公式可得到D正確.【詳解】A：，可以是，所以充分性不成立；若，則恒成立，所以必要性成立，故A正確；B：由題意可知，又冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故B錯(cuò)誤；C：命題的否定為：，故C錯(cuò)誤；D：扇形圓心角，所以由弧長(zhǎng)公式可知弧長(zhǎng)為，故D正確.故選：AD10.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則的最小值為4B.若，則的最小值為1C.若，則的最大值為6D.若，且，則【答案】ACD【解析】【分析】A由基本不等式和乘法可得；B舉反例可得；C由二次函數(shù)的性質(zhì)可得；D由基本不等式和解不等式可得.【詳解】A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；C：設(shè)，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，最大值為，故C正確；D：由已知可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號(hào)，由解得或，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的部分圖象如下，則以下說(shuō)法正確的是（）A.B.的一個(gè)對(duì)稱中心為，一條對(duì)稱軸為C.向左平移個(gè)單位后為偶函數(shù)D.向右平移個(gè)單位后為奇函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】首先由圖像和三角函數(shù)的性質(zhì)得到，得出A錯(cuò)誤；由正弦函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心得出B正確；由平移變換和奇偶性得出CD正確.【詳解】由圖像可得，，由，因?yàn)椋?，所?A：由以上解析可知故A錯(cuò)誤；B：對(duì)稱中心：，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱中心；對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，故B正確；C：向左平移個(gè)單位后為，為偶函數(shù)，故C正確；D：向右平移個(gè)單位后為，為奇函數(shù)，故D正確；故選：BCD.12.下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，是單調(diào)函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，是單調(diào)函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镈.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性和值域求參數(shù)即可.【詳解】若是單調(diào)函數(shù)，而的對(duì)稱軸為，則，解得，顯然A正確，B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)和上分別單調(diào)遞減，而,此時(shí)滿足，由二次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)得的值域?yàn)椋蔆正確，當(dāng)時(shí)，，故的值域不為，則D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.）13.已知，則__________.【答案】##【解析】【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式列方程組解出或，再由誘導(dǎo)公式算出結(jié)果即可.【詳解】由誘導(dǎo)公式可知，又因?yàn)?，由以上兩式可解得或，所以，代入以上兩種結(jié)果得到.故答案為：.14.函數(shù)且的定點(diǎn)為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的性質(zhì)即可確定定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】因?yàn)榍?，令，得到，此時(shí)，所以函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，故答案為：.15.若，當(dāng)時(shí)，，則__________.【答案】6【解析】【分析】先求出是以為周期的周期函數(shù)，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以是以為周期的周期函?shù)，又因?yàn)橛?，故，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以.故答案為：6.16.若滿足以下條件：①；②的圖象關(guān)于對(duì)稱；③對(duì)于不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)，有成立，則的解析式可能為_(kāi)_________.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，圖象關(guān)于對(duì)稱，和對(duì)于不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)，有成立共同得出即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋蕽M足①；圖象為：故滿足②；設(shè)，則，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，故，所以滿足③；當(dāng)，則，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，故，也滿足③.故答案為：(答案不唯一).四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分.）17.化簡(jiǎn)或計(jì)算下列各式：（1）；（2）【答案】17.1818.【解析】【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到結(jié)果.（2）由半角和全角公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】18.若函數(shù)，（1）若不等式的解集為，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的解集.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用韋達(dá)定理建立方程組，且，即可求出結(jié)果；（2）利用含參的一元二次不等式的解法，分，，和三種情況討論，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈慕饧癁椋郧?，解?【小問(wèn)2詳解】，，所以，即，又，當(dāng)，即時(shí)，的解集為；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，解集為，當(dāng)，解集為；當(dāng)，即或時(shí)，的兩根為，，且有，此時(shí)，的解集為或，綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)，解集為，當(dāng)，解集為；當(dāng)或時(shí)，的解集為或.19.已知函數(shù)，求：（1）函數(shù)的最小正周期及對(duì)稱中心；（2）先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.【答案】（1）最小正周期為，（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)為，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出即可.（2）先經(jīng)過(guò)平移伸縮變換后再由正弦函數(shù)的單調(diào)性求出值域即可.【小問(wèn)1詳解】,令所以對(duì)稱中心為【小問(wèn)2詳解】經(jīng)平移變換后，，因?yàn)?，則，20.如圖所示，是一塊邊長(zhǎng)為8米的荒地，小花想在其中開(kāi)圼出一塊地來(lái)種植玫瑰花.已知一半徑為6米的扇形區(qū)域TAN已被小明提前撒下了蔬菜種子，扇形區(qū)域外能供小花隨意種植玫瑰花.最后小花決定在能種植玫瑰的區(qū)域選定一塊矩形PQCR區(qū)域進(jìn)行種植，其中在邊上，在邊上，是弧上一點(diǎn).設(shè)，矩形的面積為平方米.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）求的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用三角函數(shù)分別表示出，再由矩形的面積公式表示出關(guān)于的函數(shù)解析式即可.（2）令，由同角的三角函數(shù)關(guān)系得到，即，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出取值范圍即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).由四邊形是正方形，四邊形是矩形，可知.由，可得，..【小問(wèn)2詳解】令，由，可得，故，即，，其對(duì)稱軸為所以當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為16；所以當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為14.即.21.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）設(shè)，且在區(qū)間上不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）在上是單調(diào)遞增的，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）法一由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得出；法二奇函數(shù)的定義和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出；（2）由函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求令在上有零點(diǎn)，則在上有解，再由單調(diào)性列出不等式，求出，再取補(bǔ)集即可.【小問(wèn)1詳解】（法一）因?yàn)橛幸饬x時(shí)，，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即經(jīng)檢驗(yàn)適合題意.（法二）由知，即，則，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，無(wú)意義，故.【小問(wèn)2詳解】在上是單調(diào)遞增的，證明如下：,設(shè)，則，由知，，則且，所以從而，即，則在上單調(diào)遞增函數(shù).【小問(wèn)3詳解】令在上有零點(diǎn)，則在上有解，令，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減知：，即，那么在區(qū)間上不存在零點(diǎn)時(shí)，22.已知函數(shù).（1）若對(duì)于，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得到，再由基本不等式得到在上有