2024屆上海華東師大二附中高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2024屆上海華東師大二附中高考數(shù)學(xué)一模試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足，=1—i,則彳=（）

Z

2.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120。，并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩色光的小燈泡且在

背面用導(dǎo)線相連（弧的兩端各一個(gè)，導(dǎo)線接頭忽略不計(jì)），已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度

為（）

A.58厘米B.63厘米C.69厘米D.76厘米

3.已知。：cosxusinl/+y],4：x=y則o是0的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-iz=2+i（i為虛數(shù)單位），貝！Jz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.已知數(shù)列滿足：二二二日、：.若正整數(shù)二（二25,使得

I;*1:--二==二；二」二I成立，則二=（）

A.16B.17C.18D.19

6.已知aeR,bcR,貝!直線ax+2y—l=0與直線（a+l）x—2ay+l=0垂直”是“。=3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.在正方體ABCD—ABiG，中，點(diǎn)P、。分別為A3、4。的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作平面a使用P〃平面a,4Q〃平

面a若直線用2c平面。=河，則號的值為（）

1112

A.—B.—C.—D.一

4323

8.已知機(jī)，”是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，給出四個(gè)命題：

①若。/3=m,”ua,n±m(xù),則。_1〃；②若加_La,m_Lj3,則?！??；

③若加〃八，mua,all（3,則〃〃，；④若〃?J_a,nL/3,mLn,則。J■,

其中正確的是（）

A.①②B.③④C.①④D.②④

9.阿基米德（公元前287年一公元前212年）是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱

為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說，他自己覺得最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并

且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個(gè)結(jié)論，要求后人在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一

個(gè)球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為54"的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為（）

111

“64〃

A.47rB.167rC.36"D.——

3

10.已知根，〃是兩條不重合的直線,a是一個(gè)平面，則下列命題中正確的是（）

A.若m/la,n/la,則相〃〃B.若mlla,〃ua,則加〃〃

C.若〃mLa,貝!l〃//aD.若m_Le,nlla,則根_L〃

（）[25

已知數(shù)列｛見｝滿足：a=\

11.n16（”eN*））若正整數(shù)上（左25）使得a；+…+=a1a2….成

**

立，則左=（）

A.16B.17C.18D.19

12.在區(qū)間[-1內(nèi)上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)左，使直線丁=左（4+3）與圓好+/=1相交的概率為（）

11C.比D.正

A.-B.-

2424

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在直四棱柱ABC。-Age；。中，底面ABC。是平行四邊形，點(diǎn)E是棱8片的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是棱CQ靠近

G的三等分點(diǎn)，且三棱錐A-AEP的體積為2,則四棱柱A3CD-A4G，的體積為

14.將函數(shù)/(x)=sin2x的圖像向右平移TT丁個(gè)單位，得到函數(shù)g?)的..圖像，則函數(shù)y=/(x)-g(x)在區(qū)間0TC,-上

6L2_

的值域?yàn)?

15.在四棱錐尸—A5CD中，是邊長為2G的正三角形，ABC。為矩形，AD=2,PC=PO=05.若四棱

錐尸-A5CD的頂點(diǎn)均在球。的球面上，則球。的表面積為.

16.若(2x+1)，=%+<?j(x+1)+G,(x+1)2H-F&(x+1)，>貝！Ia。+[+2a2+3a3+4a4+5%+6a§=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=|2x+a|-|x-3|(aeH).

(1)若a=—1,求不等式/。)+1>0的解集；

(2)已知a>0,若/'(x)+3a>2對于任意xeR恒成立，求。的取值范圍.

18.(12分)已知函數(shù)/(力=3X2一以+(a一1)1ng(x)=b—xlnx的最大值為L

(1)求實(shí)數(shù)分的值；

(2)當(dāng)。>1時(shí)，討論函數(shù)〃司的單調(diào)性；

(3)當(dāng)a=0時(shí),令"x)=2〃%)+g(x)+21nx+2,是否存在區(qū)間|m,乃仁(1,+8),使得函數(shù)1(%)在區(qū)間[肛"]

上的值域?yàn)閇4(加+2),左("+2)]?若存在，求實(shí)數(shù)"的取值范圍；若不存在，請說明理由.

22

19.(12分)已知橢圓。：工+3=1(。〉6〉0)的上頂點(diǎn)為3,圓。'：/+/=4與丁軸的正半軸交于點(diǎn)人，與。有

ab

且僅有兩個(gè)交點(diǎn)且都在C軸上，歐1=也(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

\OA\2

(1)求橢圓。的方程;

(2)已知點(diǎn)1,^］，不過。點(diǎn)且斜率為的直線/與橢圓C交于兩點(diǎn)，證明：直線DM與直線DN的斜

率互為相反數(shù).

114

20.(12分)在①&=&，②------③風(fēng)=35這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

d?1^2

已知等差數(shù)列｛??｝的公差為d(d>0),等差數(shù)列也｝的公差為2d.設(shè)4,紇分別是數(shù)列｛%｝,也｝的前〃項(xiàng)和，且

4=3,&=3,,

(1)求數(shù)列｛%｝,｛2｝的通項(xiàng)公式；

3

(2)設(shè)c“=2%+廠廠，求數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和S”.

—+1

21.(12分)如圖所示,在四棱錐尸-A5CD中，底面A6C。是棱長為2的正方形，側(cè)面上4。為正三角形,且面PAD±

面ABCD,及尸分別為棱鉆,尸C的中點(diǎn).

(1)求證：E列平面PAD；

(2)求二面角P—EC—。的正切值.

22.(10分)已知｛為｝是公比為q的無窮等比數(shù)列，其前幾項(xiàng)和為S“，滿足%=12,.是否存在正整數(shù)3

使得工>2020?若存在，求上的最小值；若不存在，說明理由.

從①q=2,②q=g,③q=-2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則化簡即可得到結(jié)論.

【詳解】

111+z1+z11.

z1-1（l-zj（l+zj222

-11

所以，z=——i.

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

由于實(shí)際問題中扇形弧長較小，可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計(jì)算即可.

【詳解】

因?yàn)榛￠L比較短的情況下分成6等分，

所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，

故導(dǎo)線長度約為——x30=20乃土63（厘米）.

3

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了扇形弧長的計(jì)算，屬于容易題.

3、B

【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡sin|^|+yj=cosy再分析即可.

【詳解】

兀、JrjJTTTjTC

-+ykcosy，所以g成立可以推出p成立，但〃成立得不到q成立，例如cos-=cos—中—,

（NJJ55J

所以P是g的必要而不充分條件.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查充分與必要條件的判定以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到z,由此得到對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定所處象限.

【詳解】

2+/_(2+，)(1+，)_1+3/_13.

=

由z—zz2+i得：1-i~(l-z)(l+z)-222?

??.z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第一象限.

故選：A-

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

由題意可得二=二?=二.=二，=二，=二，二'=二，?匚?二一二-二=：'-?=",口d時(shí)，二1匚....二

將二換為二-1,兩式相除，Oj^OD^-Oa+J,口4

累加法求得二;+匚.+…+口；=匚二+：-二：+二一J即有1

二;+二；+…+二：="二工+：-二，+二C-16,結(jié)合條件，即可得到所求值.

?-5=C:.；+

【詳解】

解：二二二［--三一八二6二*),

I-；一：?-?—二7一，■,--

口一工,

_:_；=24

兩式相除可得二『二二-,

順2=口3-口a"口4

由口｝=dy—四+J,

—FT_FT_i_1

可得二;+匚+-+Z；=ZR-二，十二-：

且—,—;?-

正整數(shù)二二;時(shí)，要使得二-二--二=二二:二］成立，

則-二一.一?=二二..,

則二=r,

故選：z.

【點(diǎn)睛】

本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法，注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系，從而可簡化與數(shù)

列相關(guān)的方程，本題屬于難題.

6、B

【解析】

由兩直線垂直求得則。=0或。=3,再根據(jù)充要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】

由題意，"直線ax+2y-l=0與直線(?+l)x-lay+1=0垂直”

則a(a+l)+2x(—2a)=。，解得。=0或a=3,

所以“直線ax+2y-l^0與直線(a+l)x—2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分條件，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得。的值，同時(shí)

熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

作出圖形，設(shè)平面a分別交42、G2于點(diǎn)E、F,連接￡>E、DF、EF,取CD的中點(diǎn)G,連接PG、QG,

連接AC交與。于點(diǎn)N,推導(dǎo)出4P〃GG,由線面平行的性質(zhì)定理可得出GG〃。/7,可得出點(diǎn)歹為GA的中點(diǎn),

MD.

同理可得出點(diǎn)E為4。的中點(diǎn)，結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得房的值.

JVLD}

【詳解】

如下圖所示：

設(shè)平面a分別交4A、GA于點(diǎn)E、F,連接。E、DF、EF,取CD的中點(diǎn)G,連接PG、QG,連接&G交

B〔D［于苴N,

四邊形ABC。為正方形，P、G分別為45、CD的中點(diǎn)，則曲力CG且BP=CG,

四邊形3CGP為平行四邊形，且PG=8C,

B.CJIBC且Bg=BC,PGgG且PG=Bg,則四邊形BgGP為平行四邊形，

B.PUCfi,4P〃平面a,則存在直線au平面a,使得用刊/a,

若GGu平面a,則Ge平面a,又平面a,則CDu平面1，

此時(shí)，平面a為平面CD2C，直線4。不可能與平面a平行，

所以，。0(2平面￡，，(716〃。，.?.。0〃平面￡,

GGu平面CDRG,平面CDD［C］「平面a=DF,：.DFUCfi,

QF//DG,所以，四邊形CjGDF為平行四邊形，可得￡石=。6=3。。=；。1。1，

11MD,1

L

.?./為G。的中點(diǎn)，同理可證E為42的中點(diǎn)，BREF=M,:.MDx=-DxN=-BxDi9因此，—=

z,4j

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查線段長度比值的計(jì)算，涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是找出平面a與正方體各棱的交點(diǎn)位置，考

查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.

8、D

【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①；根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③；根

據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.

【詳解】

對于①，若。0=ni,ncza,n_Lm,a,￡兩平面相交，但不一定垂直，故①錯(cuò)誤；

對于②，若加，a,m±j3,則?！ㄊ?，故②正確；

對于③，若加小，mua,a//j3,當(dāng)〃u〃，則九與夕不平行，故③錯(cuò)誤；

對于④，若加_1_。，H±/?,mLn,則。-L，，故④正確；

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系，圓柱的表面積為S=2nR2+2TIRx2R=54?，解得球的半徑R=3,再

代入球的體積公式求解.

【詳解】

設(shè)球的半徑為R,

根據(jù)題意圓柱的表面積為S=2汽即+2iRx27?=54"，

解得R=3,

所以該球的體積為廠==-xx33=36乃.

33

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對數(shù)學(xué)史了解，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：選項(xiàng)A中直線加，〃還可能相交或異面，

選項(xiàng)B中祖，n還可能異面，

選項(xiàng)C,由條件可得〃//a或〃ua.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

計(jì)算+…+a；=an+l—a6+n—5,故“「+a2~+...+ak~=ak+l+A：-16=ak+l+1,解得答案.

【詳解】

當(dāng)“26時(shí)，=即4；=%+1-4+1，且4=31.

故+cij"+...+a；=(%—4)+(/—%)+.??+(%+i—"—5=tz;;+1—4+“—5,

aj+a2-+...+a：=ak+i+Z—16=ak+1+1,故％=17.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.

12、D

【解析】

利用直線丁=左(％+3)與圓/+/=1相交求出實(shí)數(shù)上的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的

概率.

【詳解】

由于直線丁=左(％+3)與圓好+丫2=1相交，則/^<1,解得—受〈女〈立.

“2+144

9①

因此，所求概率為D彳、歷.

r=-----------=-----

24

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用直線與圓相交求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、12

【解析】

由題意，設(shè)底面平行四邊形A3CD的=且邊上的高為力，直四棱柱AB。-A耳的高為//,分別表

示出直四棱柱的體積和三棱錐的體積，即可求解。

【詳解】

由題意，設(shè)底面平行四邊形ABC。的AB=。，且邊上的高為沙，直四棱柱A3CD-4用GA的高為〃，

則直四棱柱ABCD-A4G。的體積為V=Sh=abh,

又由三棱錐的體積為〃“V…小"彳…得制=2，

解得abh=12,即直四棱柱的體積為12。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了棱柱與棱錐的體積的計(jì)算問題，其中解答中正確認(rèn)識幾何體的結(jié)構(gòu)特征，合理、恰當(dāng)?shù)乇硎局彼睦庵?/p>

三棱錐的體積是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，以及空間想象能力，屬于中檔試題。

rV31

14、--,1

2

【解析】

根據(jù)圖像的平移變換得到函數(shù)g(x)的解析式，再利用整體思想求函數(shù)的值域.

【詳解】

函數(shù)f(x)=sin2x的圖像向右平移f個(gè)單位得g(x)=sin2(x--)=sin(2x--),

663

?*-y=/(%)—g(%)=sin2x-sin(2x--)=—sin2x+cos2x=sin(2x+—),

c?C冗冗4萬

XG0,—2%H----€—

233T

G1

/.yG------,1.

2

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖像的平移變換、值域的求解，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算

求解能力，求解時(shí)注意整體思想的運(yùn)用.

15、287r

【解析】

做AO中點(diǎn)口，的中點(diǎn)G,連接PF,PG,FG,由已知條件可求出PE=3,PG=&§，運(yùn)用余弦定理可求

NPFG=120,從而在平面尸尸G中建立坐標(biāo)系，則尸,GG以及AR4D的外接圓圓心為。?和長方形ABC。的外接

圓圓心為。2在該平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)可求，通過球心。滿足。。1LEG,即可求出。的坐標(biāo)，從而可求球

的半徑，進(jìn)而能求出球的表面積.

【詳解】

解：如圖做AQ中點(diǎn)產(chǎn)，的中點(diǎn)G,連接PF,PG,FG,由題意知

PF±AD,PG±BC,MPF=273xsin60=3,PG=J22-3=M

2

設(shè)APAD的外接圓圓心為。1,則。1在直線PF上且PO{=-PF

設(shè)長方形ABCD的外接圓圓心為。2,則。2在FG上且FO]=GO?.設(shè)外接球的球心為。

3222-191

在NPFG中,由余弦定理可知cosZPFG=---+-------=——，,NPFG=120.

2x3x22

在平面P尸G中，以口為坐標(biāo)原點(diǎn)，以FG所在直線為x軸，以過尸點(diǎn)垂直于x軸的直

線為V軸，如圖建立坐標(biāo)系，由題意知，。在平面P尸G中且

故答案為：287r.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何體外接球的問題，考查了球的表面積.關(guān)于幾何體的外接球的做題思路有：一是通過將幾何體補(bǔ)充到長

方體中，將幾何體的外接球等同于長方體的外接球，求出體對角線即為直徑，但這種方法適用性較差；二是通過球的

球心與各面外接圓圓心的連線與該平面垂直，設(shè)半徑列方程求解；三是通過空間、平面坐標(biāo)系進(jìn)行求解.

16、13

【解析】

由導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用得：設(shè)/(X)=(2尤+1)6,g(x)=+%(x+1)+〃2(%+1)2+…+〃6(%+1)6,

所以尸(%)=12(2%+以，，(%)=%+2%(犬+1)+…+64(犬+1)5,又/(x)=g(x),所以r(x)=g'(x),即

12(2]+1)'=q+2aAx+1)+???+64(尤+1)，，

由二項(xiàng)式定理：令x=0得：％+2%+3/+4%+5%+64,再由秋。)=/(。)，求出。o，從而得到

%+%+2a2+3a3+4%+5/+6%的;

【詳解】

解：設(shè)/(x)=(2x+l)6,g(x)=/+4(%+1)+。2(兀+1)2+…+。6(%+1)6，

5r5

所以f\x)=12(2%+1),g(x)=q+2a2(%+1)+…+6?6(x+1),

又“x)=g(x),所以尸a)=g'(%),

即12(2%+1)，=q+24(x+1)+...+64(x+1)，f

取%=0得：q+2a2+3a3+4-ci4+5%+6&=12,

又g(0)=〃0),

所以4=1,

%+4+2a2+3a3+4a4+5a5+64=1+12=13,

故答案為：13

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、二項(xiàng)式定理，屬于中檔題

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1){x[x<-l或%>1}；(2)(2,+00).

【解析】

(1)a=-1時(shí)，分類討論，去掉絕對值，分類討論解不等式.

(2)。>0時(shí)，分類討論去絕對值，得到/(x)解析式，由函數(shù)的單調(diào)性可得/(%)的最小值，通過恒成立問題，得

到關(guān)于?的不等式，得到?的取值范圍.

【詳解】

c1

—X—2,x<一

2

(1)因?yàn)椤ǘ?,所以/(%)=<3x—4,g?x<3,

x+2,x>3

x<Z——<%<3x>3

所以不等式/(力+1>。等價(jià)于2或2一一或

4[x+2+l>0

—%—2+1>03%—4+1>0

解得XV-1或%>1.

所以不等式/(力+1>0的解集為{x|x<—1或％>1}.

。a

—x—a—3,%<—

2

(2)因?yàn)椤?gt;0,所以/(%)=<3%+〃一3,-"|4％43,

x+tz+3,x>3

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)“力的最小值為=-1-3,

因?yàn)椤ㄓ?+3。>2恒成立，所以一1―3+3”>2,解得a>2.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,內(nèi)).

【點(diǎn)睛】

本題考查分類討論去絕對值，分段函數(shù)求最值，不等式恒成立問題，屬于中檔題.

18、(1)Z?=0;(2)a=2時(shí)，”力在(O,"Q)單調(diào)增；1<。<2時(shí)，/(尤)在(aT1)單調(diào)遞減，在(0,。—1),(1,+<?)

單調(diào)遞增；a>2時(shí)，同理/(九)在(La—1)單調(diào)遞減，在(0,1),(a—L”)單調(diào)遞增；(3)不存在.

【解析】

分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)x=，時(shí)，g(x)取得極大值，也是最大值，

由=1+6=可得結(jié)果；°)求出了'(X)，分三種情況討論4的范圍，在定義域內(nèi)，分別令/'(%)>0求得x

的范圍，可得函數(shù)/(￡)增區(qū)間，/'(x)<0求得x的范圍，可得函數(shù)/(光)的減區(qū)間；(3)假設(shè)存在區(qū)間

[;n,?]c(l,+a)),使得函數(shù)歹(%)在區(qū)間回,〃]上的值域是[左(加+2)水("+2)],貝！J

F(yyj\—nj2—ynJrini-I-Q—1^(rn-I-

{2,，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程xlnx+2=Mx+2)在區(qū)間(l,+8)內(nèi)是否存在兩

rI77I—zz—YILYITT++

個(gè)不相等的實(shí)根，進(jìn)而可得結(jié)果.

詳解：⑴由題意得g'(x)=Tnx—l,

令g")=0,解得x=J

當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=，時(shí)，g(x)取得極大值，也是最大值，

所以6=L解得5=0.

\ejee

(2)/(九)的定義域?yàn)?0,+8).

/，⑴=…+三

XXX

①a—1=1即a=2,貝！)/(力=(1)_,故/(尤)在(0,+8)單調(diào)增

②若。一1<1,而。>1,故1<。<2,貝!!當(dāng)]€(?—1,1)時(shí)，/f(%)<0；

當(dāng)xe（0,a-l）及時(shí)，

故“可在（a—1,1）單調(diào)遞減，在（0,a—1）,（1,+8）單調(diào)遞增.

③若a—1〉1,即a>2,同理/（%）在（La—1）單調(diào)遞減，在（0,1）,（a—L+s）單調(diào)遞增

（3）由（1）知/（%）=爐一xlnx+2,

所以F（x）=2x-lnx+l,令o（x）=F（x）=2x-lnx+l,則以'（%）=2-工>0對Vxe（l,+oo）恒成立,所以F（九）

在區(qū)間（1,內(nèi)）內(nèi)單調(diào)遞增，

所以尸（力>?、?1>0恒成立,

所以函數(shù)b（可在區(qū)間（1,+8）內(nèi)單調(diào)遞增.

假設(shè)存在區(qū)間［m,〃仁（1,+<?）,使得函數(shù)F（x）在區(qū)間［狐n］上的值域是［上（加+2）,左（“+2）］,

F(m)=m2-mlnm+2=k{m+2)

則｛

F(n)=n2-nlnn+2=k(n+2)

問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程*_Hnx+2=左（％+2）在區(qū)間（1,+?））內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根,

x2-xlnx+2

即方程左=在區(qū)間（1,+8）內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根,

x+2

2_YinY+?/、7,/\x2+3%-4-21nx

令/?(%)='r~,xe(l,+8),貝岫(力=-----：~-5----,

、7x+2(%+2)

設(shè)p(x)=x2+3x-4-21ILY,xe(l,y),則p(x)=2x+3—2=l)°+2)〉0對\/%€(1,-1<0)恒成立,所

XX

以函數(shù)p（x）在區(qū)間（1,+8）內(nèi)單調(diào)遞增,

故P（X）>,⑴=0恒成立，所以"（￡）>o,所以函數(shù)〃（可在區(qū)間。,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，所以方程人工1生竺土2在

x+2

區(qū)間（L內(nèi)）內(nèi)不存在兩個(gè)不相等的實(shí)根.

綜上所述，不存在區(qū)間海，〃旭（l,y），使得函數(shù)b（可在區(qū)間［機(jī)"］上的值域是［左（加+2）水（〃+2）］.

點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值值，屬于難題.求函數(shù)極值、最值的步驟：（1）確定函

數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；（4）列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號，如果

左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個(gè)

極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小.

19、(1)工+乙=1(2)證明見解析

43

【解析】

(1)根據(jù)條件可得a=2,進(jìn)而得到b=6,即可得到橢圓方程;

1

y=—x+m

設(shè)直線跖的方程為2

(2)Vy=-gx+m，聯(lián)立

22，分別表示出直線DM和直線DN斜率，相加利用根與

—%?—-——11

[43

系數(shù)關(guān)系即可得到.

【詳解】

解：(1)圓。'：/+y=4與。有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)且都在工軸上，所以。=2,

22

故橢圓C的方程為L+2L=1；

又需等3冬解得…43

1

y

2

(2)設(shè)直線MN的方程為丁=—+m,聯(lián)立＜整理可得4爐—4mx+4m2-12=0,

則△=（—4加了―4x4（4病—12）=48（4—加2）＞o,解得—2vznv2,

設(shè)點(diǎn)/（%,%）,N（%2，%），

貝（]%]+=加，石％2=加2—3,

331313

---X,+771----—x.+m—

所以性%—5%—22121222

Xj+1x2+1Xj+1x2+1

2

+(zw-2)(%1+x2)+2m-3_3—蘇+m_2m+2m-3

(%1+l)(x2+1)(x1+l)(x2+l)

故直線DM與直線DN的斜率互為相反數(shù).

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題.

20、(1)a“=n,b“=2n+l；(2)2n+1-3(，；+2)

2n+3

【解析】

方案一：⑴根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前"項(xiàng)和公式列方程組，求出內(nèi)和d,從而寫出數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式;

(2)由第(1)題的結(jié)論，寫出數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)%=2"+】(3；-7工],采用分組求和、等比求和公式以及裂

212〃+12〃+3J

項(xiàng)相消法，求出數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和s“.

其余兩個(gè)方案與方案一的解法相近似.

【詳解】

解：方案一：

(1)?.?數(shù)列｛4｝，｛d｝都是等差數(shù)列，且4=3,2=&，

2a+d=3fa,=1

??.〈＜｝八一，解得L1

5q+l0d=9+6d[d=l

an=ai+(n-l)d=n,

bn=bx+(n-l)2J=2n+l

綜上%=n,b〃=2〃+l

(2)由(1)得:

c〃3c〃3/111

2H---------------2H--------------

(2〃+l)(2〃+3)2⑵+12〃+3)

2

:.Sn=(2+2++(-----------)]

2n+l2n+3

21—

1-22(32n+3)

=2,+i35+2)

2"+3

方案二：

114

(1)???數(shù)列｛%｝，也｝都是等差數(shù)列,且4=3,-.....,

CLyCl2^^2

2CL+d—3fa,=1

-.J解得)

4q