安徽省合肥市2022屆高三年級(jí)下冊(cè)第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)卷附答案解析

安徽省合肥市2022屆高三下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)全集U=R,集合M={x|y=ln(x-1)},N={x|y=J4-4}，則下面上;〃〃圖

中陰影部分表示的集合是()

A.(1,2)B.(1,2]

C.(2,+oo)D.[2,+8)

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz-3-i=z,貝丫的虛部為()

A.-2iB.2iC.-2D.2

3.某市高三年級(jí)共有14000人參加教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)J近似服從正態(tài)分

布N(90,〃)(試卷滿分150分)，且玖42100)=0.3,據(jù)此可以估計(jì)，這次檢測(cè)數(shù)學(xué)成

績(jī)?cè)?0到90分之間的學(xué)生人數(shù)為()

A.2800B.4200C.5600D.7000

4.考拉茲猜想是引人注目的數(shù)學(xué)難題之一，由德國(guó)數(shù)學(xué)家洛塔爾?考拉茲在20世紀(jì)30

年代提出，其內(nèi)容是：任意正整數(shù)S,如果S是奇數(shù)就乘3加1,如果S是偶數(shù)就除以

2,如此循環(huán)，最終都能夠得到1.下邊的程序框圖演示了考拉茲猜想的變換過程.若

輸入s的值為5,則輸出i的值為()

試卷第1頁，共6頁

A.3B.4C.5D.6

5.設(shè)。為第二象限角，若sina+cosa=,則tan(a+f)=()

54

.一1

A.—2B.—

2

C.yD.2

6.中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國(guó)空間

站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天

實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同

的安排方案共有()

那天實(shí)驗(yàn)艙

A.8種B.14種C.20種D.116種

7.函數(shù)〃切=b4-b(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖象關(guān)于()

A.直線x=-e對(duì)稱B.點(diǎn)(-e,0)對(duì)稱

C.直線x=-2對(duì)稱D.點(diǎn)(-2,0)對(duì)稱

試卷第2頁，共6頁

8.將函數(shù)＞=sinx的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來g（縱坐標(biāo)不變）后，再向左平移

2個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)＞=/（x）的圖象，當(dāng)時(shí)，/（x）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[TJ]B.---

FVs1D,卜r子i一-

9.拋物線C:/=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為尸，A為拋物線C上一點(diǎn)，以尸為圓心，|以|

為半徑的圓交拋物線C的準(zhǔn)線/于M,N兩點(diǎn)，\MN\=2^＞p,則直線小的斜率為

（）

A.±1B.±72

C.百D.±Vs

10.已知直線4：加x—〉=0（加￡氏）過定點(diǎn)A,直線，2：x+叩+4-2加=0過定點(diǎn)5,4與

，2的交點(diǎn)為。，貝！JVZ5C面積的最大值為（）

A.VToB.25/5

C.5D.10

JT

II.在四面體/BCD中，NACB=NADC=-,AD=DC=CB=2,二面角

2.

24___

8-的大小為多，則四面體/3C。外接球的表面積為（）

1640

A.一71B.一71

33

C.16aD.24萬

12.過平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線＞=|ln^兩條互相垂直的切線人12,切點(diǎn)為耳、P]（月、

巴不重合），設(shè)直線4、4分別與7軸交于點(diǎn)A、B,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是

（）

①片、6兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值；

②直線4心的斜率為定值；

③線段48的長(zhǎng)度為定值；

④三角形48尸面積的取值范圍為（0川.

A.1B.2C.3D.4

試卷第3頁，共6頁

二、填空題

13.已知向量方=(-1,2),布=(2fJ+5),若A、B、C三點(diǎn)共線，貝〃=.

14.已知雙曲線C：《—4=l(a>0,6>0)的右焦點(diǎn)為尸，A為雙曲線C右支上一點(diǎn)，

0為坐標(biāo)原點(diǎn).若AMOF為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為.

15.已知V/3C的內(nèi)角A.B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若6+2cosB+bcoM=6,

a=2,則V/3C面積的取值范圍為.

16.在正方體/BCD-44G。中，E為線段的中點(diǎn)，設(shè)平面43G與平面CQE的

交線為/,則直線/與BE所成角的余弦值為.

三、解答題

17.記"為數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和，已知為=1,且S"=%+]-3.

(1)求數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列匕｝滿足,記，為數(shù)列匕｝的前“項(xiàng)和，證明：T?<2.

nlogd

從①——卡一瓦②2=兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在第(2)問中

-2

(。M+1-1)(。n+l)an+\

的橫線上并作答.

18.如圖，在矩形A8C。中，48=240,點(diǎn)〃■為邊43的中點(diǎn).以CM為折痕把

JT

3cM折起，使點(diǎn)3到達(dá)點(diǎn)尸的位置，使得=連結(jié)尸區(qū),PB,PD.

⑴證明：平面尸MC_L平面；

(2)求直線PC與平面PAD所成角的正弦值.

19.通信編碼信號(hào)利用信道傳輸，如圖1,若BEC信道傳輸成功，則接收端收到

的信號(hào)與發(fā)來的信號(hào)完全相同；若2EC信道傳輸失敗，則接收端收不到任何信號(hào).傳統(tǒng)

通信傳輸技術(shù)采用多個(gè)信道各自獨(dú)立傳輸信號(hào)(以兩個(gè)信道為例，如圖2).

試卷第4頁，共6頁

,——信號(hào)O

信號(hào)"----{BEC信道（枳］

益敏/無信號(hào)

圖1

圖2

華為公司5G信道編碼采用土耳其通訊技術(shù)專家ErdalArikan教授的極化碼技術(shù)（以兩

個(gè)相互獨(dú)立的5EC信道傳輸信號(hào)為例）：如圖3,信號(hào)人直接從信道2傳輸；信號(hào)-

在傳輸前先與4“異或”運(yùn)算得到信號(hào)X1,再從信道1傳輸.接收端對(duì)收到的信號(hào)，

運(yùn)用“異或”運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行解碼，從而得到或得不到發(fā)送的信號(hào)L或6.

圖3

（注：“異或”是一種2進(jìn)制數(shù)學(xué)邏輯運(yùn)算.兩個(gè)相同數(shù)字“異或”得到0,兩個(gè)不同數(shù)字

“異或'得到1,“異或'運(yùn)算用符號(hào)'十”表示：0?0=0,1?1=0,1?0=1,

0?1=1.“異或，，運(yùn)算性質(zhì)：/十8=C,則4=C十8）.假設(shè)每個(gè)信道傳輸成功的概率

均為0（0<0<1）.?！薄?={0，1}.

⑴在傳統(tǒng)傳輸方案中，設(shè)“信號(hào)a和4均被成功接收”為事件A,求P（/）：

（2）對(duì)于極化碼技術(shù)：①求信號(hào)G被成功解碼（即根據(jù)BEC信道1與2傳輸?shù)男盘?hào)可

確定Ui的值）的概率；②若對(duì)輸入信號(hào)-賦值（如5=0）作為已知信號(hào)，接收端只

解碼信號(hào)仇，求信號(hào)6被成功解碼的概率.

20.已知橢圓。:=+==1（〃〉6>0）的左焦點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為A,離心率為不，M

ab2

為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，AFAM面積的最大值為述.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點(diǎn)M的直線/：>=履+1與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為N,P為線段MN的中點(diǎn)，射線

OP與橢圓交于點(diǎn)。.點(diǎn)。為直線。上一動(dòng)點(diǎn)，且麗.麗=歷2,求證：點(diǎn)。在定

試卷第5頁，共6頁

直線上.

21.已知函數(shù)/(x)=e，+cosx-ex,/(x)是〃x)的導(dǎo)函數(shù).

⑴證明：函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)；

⑵若關(guān)于龍的方程/'(X)=母e⑷在(0,萬)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根三,三，證明：

x=1+6t

22.在直角坐標(biāo)系x(2y中，直線/的參數(shù)方程為L(zhǎng)a為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為

y=l-Ct

極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

(1)求直線/的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

TTTT

⑵若直線。=:(。€幻與直線/交于點(diǎn)直線。=：(/?€&與曲線C交于點(diǎn)42,

且求實(shí)數(shù)。的值.

23.已知函數(shù)/(x)=2|x+l|+|x+2|的最小值為加.

⑴求機(jī)；

(2)已知a,b,。為正數(shù)，且abc=5n，求(a+6/+c'的最小值.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.A

【解析】

【分析】

由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，二次根式定義確定集合然后確定降"〃圖中陰影部分表示的集合

并計(jì)算.

【詳解】

由題意加={刈》-1>0}="|工>1},"={刈/24}={刈>￥4-2或》22},

0N={%|-2<x<2},

Venn圖中陰影部分為Nn?N)="|l(尤＜2}.

故選：A.

2.C

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,再根據(jù)虛部的定義即可得解.

【詳解】

解：因?yàn)閕z-3-i=z,所以(l-i)z=-3-i,

—3—i(-3-i)(l+i)—2—4i

則2==-l-2i

1-i-(l-i)(l+i)~~

所以z的虛部為-2.

故選：C.

3.A

【解析】

【分析】

根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)即可解出.

【詳解】

因?yàn)槭?2100)=0.3,J近似服從正態(tài)分布"(90,〃),

所以尸(80<J<90)=尸(90<片<100)=P(<>90)-尸(J>100)=O.5-O.3=0.2,

答案第1頁，共19頁

即這次檢測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0到90分之間的學(xué)生人數(shù)大約為14000x0.2=2800.

故選：A.

4.C

【解析】

【分析】

根據(jù)程序框圖列舉出算法循環(huán)的每一步，即可得出輸出結(jié)果.

【詳解】

第一次循環(huán)，!s=geZ彳

、成立，s=3x5+l=16,2=0+1=1,s=l不成立；

第二次循環(huán)，gs=8eZ成

;立，s=—xl6=8,/=1+1=2,s=l不成立；

2

第三次循環(huán)，gs=4eZ成

;立，貝！Js=-x8=4,z=2+1=3,s=l不成立；

2

第四次循環(huán)，gs=2eZ成

;立，貝|s=-x4=2,，=3+1=4,s=l不成立；

2

第五次循環(huán)，gs=leZ成立，貝|s=；x2=l,z=4+1=5,s=l成立.

跳出循環(huán)體，輸出；5.

故選：C.

5.B

【解析】

【分析】

結(jié)合平方關(guān)系解得sina,cos1,由商數(shù)關(guān)系求得tanc,再由兩角和的正切公式計(jì)算.

【詳解】

2—2102.3

由sina+cosa得sin6T+2sinorcosa+cosa--=—,sinacosa=-----,

525510

二是第二象限角，cosa<(),sina>0,

[.3,3V10

sinacosa=-----sina=-------

所以由.常,解得：1二，

Vio

sma+cosa=-----cosa---------

15[10

，sina?

所以tana=-------=-3,

cosa

71

tana+tan—

/兀、4-3+1_1

tan(cr+—)=--------------—-

4I-tanatan—l-(-3)xl-2?

4

答案第2頁，共19頁

故選：B.

6.B

【解析】

【分析】

按照同個(gè)元素(甲)分類討論，特殊元素和特殊位置優(yōu)先考慮即可得解.

【詳解】

按照甲是否在天和核心艙劃分，

①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的三人中選取兩人，剩下兩人去剩

下兩個(gè)艙位，則有C；-￡=3x2=6種可能；

②若甲不在天和核心艙，需要從問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙中挑選一個(gè)，剩下四人中選取三

人進(jìn)入天和核心艙即可，則有C；?C：=2x4=8種可能；

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有6+8=14種可能.

故選：B.

7.D

【解析】

【分析】

根據(jù)對(duì)稱性進(jìn)行檢驗(yàn).

【詳解】

e*2e+4_e-?T)=-x-2e4_2ex

由題意-2e-x)=e+e+)它與/(%)之間沒有恒等關(guān)系，相加也

不為0,AB均錯(cuò)，

而/(-4一%)=e-T+4-=e-_e4+x=-/(x),所以的圖象關(guān)于點(diǎn)(一2,0)對(duì)稱.

故選：D.

8.C

【解析】

【分析】

利用三角函數(shù)圖象變換可求得〃x)=sin(2x+f],由xJ,引可求得2x+f的取值范

圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)/(x)的值域.

【詳解】

答案第3頁，共19頁

將函數(shù)＞=sinx的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來!(縱坐標(biāo)不變)后，可得到函數(shù)

y=sin2x的圖象，

再將所得圖象向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)＞=/(x)的圖象，則

f(x)=sin+=sin^2x+y^,

當(dāng)z時(shí)，一+耳，所以，/(x)=sin卜x+

故選：C.

9.D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意求出點(diǎn)A坐標(biāo)，即可求出直線斯的斜率.

【詳解】

由題意可知：|E4|=|F"|=R,設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于H,

因?yàn)閜W|=26p,所以=且|F”|=p,

所以=|FA/|=J|所=2p,

設(shè)/(%,%),由拋物線定義可知回=%+勺

所以％=學(xué)，代入拋物線中得％=±?，所以/(學(xué),土島)，且尸［多。

所以直線小的斜率為土百.

故選：D

答案第4頁，共19頁

10.c

【解析】

【分析】

由直線方程求出定點(diǎn)48,確定即C在以為直徑的圓上，由圓的性質(zhì)得點(diǎn)C到

AB的距離最大值為圓半徑，由此可得面積最大值.

【詳解】

由直線4的方程是機(jī)x-y=0得直線4過定點(diǎn)4(0,0),同理直線方程為，x+沖+4-2〃?=0

即(x+4)+7”⑶-2)=0,所以定點(diǎn)8(-4,2),

又加xl+(-l)x加=0,所以即C在以為直徑的圓上，

|^5|=7(-4)2+22=275,由圓的性質(zhì)知點(diǎn)C到48的距離最大值等于圓半徑，即

；|明=石,

所以V/3C面積的最大值為S=gx2右x石=5.

故選：C.

11.B

【解析】

【分析】

取NC中點(diǎn)E,4B中點(diǎn)尸，連接DE,EF,DF,證明斯是二面角。-/C-3的平面

27r

角，ADEF=—,E是直角V4DC的外心，尸是直角△/CB的外心，在平面￡7)戶內(nèi)過E

作EOLDE,過尸作。尸，跖，交點(diǎn)。為四面體48co外接球球心，求出球半徑可得表面

答案第5頁，共19頁

積.

【詳解】

取NC中點(diǎn)E,N3中點(diǎn)尸，連接DE,EF,DF,則EF//BC,EF=\BC,

2

jr

AD=DC=2,ZADC=-,所以E是直角VNDC的外心，DE1AC,DE=s/2,

jr

ZACB=-,BC=2,所以￡F=1,EFVAC,

277

所以/D斯是二面角。-/C-8的平面角，ZDEF=—,

廠是42中點(diǎn)，則尸是直角△/€?的外心，

由DE_L4C,EF1AC,DE^EF=E,u平面?！晔?C_L平面。,

/Cu平面4DC,所以平面?！闒_L平面4DC,同理平面?！晔琠L平面48C,

平面DMc平面4DC=r?E,平面〃斯_1平面Z8C=EF,

在平面EZ"內(nèi)過￡作EO_LOE,則EO_L平面/OC,

在平面廠內(nèi)過尸作。尸_1_跖，則尸。_1_平面4BC,EO與。尸交于點(diǎn)O,

所以。為四面體/BCD的外接球的球心，

TTTTTTTT

YOEF中/OEF=DEF-/DEO=%,AEOF=

卜L卜L卜L(C)EF1-2

所以sinNEOPu^，所以一sinNEOF，——5

E(Jsin—

OD=^ED2+OE2=J(也了+(,)2=聘,

1A4077-

所以外接球表面積為S=4萬-O?=4%乂了=口一.

故選：B.

12.C

【解析】

答案第6頁，共19頁

【分析】

設(shè)點(diǎn)耳、E的橫坐標(biāo)分別為X］、*2，且不＜%,分析可知。＜玉41＜々或。＜再＜14%，利

用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷①的正誤；利用斜率公式可判斷②的正誤；求出點(diǎn)A、8的坐

標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可判斷③的正誤；求出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)，利用三角形的面積公式

可判斷④的正誤.

【詳解】

-Inx,0<x<1

因?yàn)閥=|lnx|=

Inx,x>1

所以，當(dāng)o＜xvi時(shí)，y=--；當(dāng)xNl時(shí)，yr=-

XXf

不妨設(shè)點(diǎn)片、鳥的橫坐標(biāo)分別為多、X2,且玉＜/，

若0＜再＜/＜1時(shí)，直線4、4的斜率分別為左二一,、k2=-—,止匕時(shí)左向=」一＞0,不

玉x2XxX2

合乎題意；

若馬＞玉川時(shí)，則直線4、才2的斜率分別為《='、左2=一,止匕時(shí)左1左2=—＞0,不合乎

題意.

,1,1

所以，0＜再41＜%或0＜再＜14%，則左=-1，心=1，

,,1,

由題意可得秘2=-------=T,可得占％=1,

若再=1,貝若％=1,則再=1,不合乎題意，所以，0＜%!＜1＜X2,①對(duì);

對(duì)于②，易知點(diǎn)4（%,一111再）、^（x2,lnx2）,

Jn豆+1喳」n（色）=0,②對(duì);

所以，直線62的斜率為原馬

x2一再x2-xx

對(duì)于③，直線4的方程為y+ln再=-'(x-xJ,令x=0可得y=l-ln%，即點(diǎn)

x\

/(0,1-lnxJ,

?1/\

直線4的方程為y-ln%=—(X-%),令x=0可得了=lnx2-l=-lnx「l,即點(diǎn)

X2

5(0,-In$-1),

所以，M同=|(l-lnxJ_(T-lnxj=2,③對(duì);

答案第7頁，共19頁

y-x+1—InXj

對(duì)于④，聯(lián)立:可得辱=2乎=含，

1,X.+xX,+1

y=—x+In%2—12

、工2一

2x/、2(1——)

令〃無)=—，其中xe(O4)，則/(x)=/F￡>0,

所以，函數(shù)〃無)在(0,1)上單調(diào)遞增，則當(dāng)xe(o,l)時(shí)，/(x)e(O,l),

所以，SAHBP=1'網(wǎng),|x/=￡^e(O,l),④錯(cuò).

故選：C.

13.-1

【解析】

【分析】

ULUULILI

由己知可得/8//8C,利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)/的值.

【詳解】

ULUUL1U/、

由已知4?〃BC，則4/=-。+5),解得，=-1.

故答案為：-L

14.V3+l##l+V3

【解析】

【分析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為點(diǎn)尸，，連接尸尸，可知VPE「為直角三角形，以及/P尸戶=30°,將

歸尸|,|尸尸|用c表示，然后利用雙曲線的定義可求出雙曲線離心率.

如圖所示，設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為點(diǎn)尸‘，連接小

答案第8頁，共19頁

△OP尸為等邊三角形，

:.\OP\=\OF\=\OF'\,

所以，V尸尸戶為直角三角形，且/尸尸尸為直角，且/尸尸尸=30°,

.-.\PF\=^\FF'\=c,

由勾股定理得|尸尸［=y)\FF'f-1PF|2=V3c,

由雙曲線的定義得|尸尸'|-歸司=2。，

即V3c-c=2a,

e=—=-f=--=V3+1,

aV3-1

因此，雙曲線C的離心率為g+1,

故答案為：V3+1.

15.(0,2百

【解析】

【分析】

由余弦定理變形得出|/2|+|/C|=6,A在以8C為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓上，因此當(dāng)A

是橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，A到8c的距離最大，由此可求得三角形面積最大值，從而可得面積

取值范圍.

【詳解】

b+2cos5+bcosA=6,a=2,

22_A2L2,2_2

由余弦定理得［+“?+/°—"?二6,所以6+c=6,

2ac2bc

即網(wǎng)+困|=6,即忸q=2,

所以A在以8,C為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓上(不在直線2C上)，如圖以為X軸，線

22

段8c中垂線為了軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為鼻+右=1,則q=3,C=1,所以

ab

b=yla2—c2=2V2，

當(dāng)A是橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，A到5C的距離最大為6=2及，

所以凡的的最大值為92x28=2收，可無限接近于0,無最小值，

答案第9頁，共19頁

SV/BC的取值范圍是（0,2拒］,

故答案為：（0,2逝］.

1A國(guó)

10.----

10

【解析】

【分析】

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD,/4所在直線分別為X、了、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

計(jì)算出平面4BG、的法向量，可求得直線/的一個(gè)方向向量，再利用空間向量法可

求得直線I與BE所成角的余弦值.

【詳解】

解：設(shè)正方體42。-4片G2的棱長(zhǎng)為2,

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、44所在直線分別為％、7、z軸建立如下圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

答案第10頁，共19頁

則4（0,0,2）、3（2,0,0）、G（2,2,2）、C（2,2,0）、￡（0,1,0）,

設(shè)平面48G的法向量為蔡=（再,凹,zj,54=（-2,0,2）,西=（0,2,2）,

m?BA1=一2項(xiàng)+2z=0

x取玉=1,可得加=（1,一1,1）,

m?BCX-2必+22i=0

設(shè)平面CGE的法向量為1=(%,%,Z2),￡C=(2,1,0),eq=(0,0,2),

ri-EC=2X+y=0

22取工2=1,可得3=(1,-2,0),

n-CCX=2Z2=0

設(shè)直線/的方向向量為〃=（x,y,z）,/u平面48G,/u平面CC\E,則加J_〃，〃_L〃，

所味[m—-u=x-y少+z=0‘取I，則-I/4-1、)，

——■/、-u?BE—3

BE=（-2,1,0）,cos<u,BE>=—亡=---,

、'I”即V6xV510

因此，直線/與BE所成角的余弦值為我.

10

故答案為：也.

10

[1,〃=1,

〃⑴%小心2.

（2）證明見解析

【解析】

【分析】

答案第11頁，共19頁

(1)分類討論〃=1和"》2,利用作差法得。角=2a“，從而根據(jù)等比數(shù)列定義求出與；

(2)若選擇①利用裂項(xiàng)相消求和，若選擇②利用錯(cuò)位相減求和，最后證明結(jié)論即可.

(1)

.?,Si向-3①，

當(dāng)〃=1時(shí)，％=&-3,七=4；當(dāng)"22時(shí)，S".=-3②

①-②得，即a?+i~2ct"

又.?,”=4*2,

%

數(shù)列｛4｝是從第2項(xiàng)起的等比數(shù)列，即當(dāng)“22時(shí)，%=2-2"-2=2".

1,?=1,

2",n>2.

⑵

若選擇①:

限=2"2=22=2P_______

（%「1）（%+1一2）（2n+1-l）（2w+1-2）（2用—1）（2〃—1）（2〃一12〃+="'

1

2〃一1

H+2EIT34W+1n+21_34n+1〃+2

若選擇②，則7^初十夢(mèng)+…+芝廣+萬育③，/=聲+夢(mèng)+?..----------1---------

C"=2”+12〃+i2〃+2

④,

③-④得「=:+]&+;+...+/

77+4

<2.

2向

18.(1)證明見解析

(2)等

【解析】

【分析】

(1)利用幾何關(guān)系和勾股定理逆定理證明尸。1平面/MCD,再根據(jù)面面垂直的判定方法

即可確定最終答案.

(2)根據(jù)。P,CM,相互垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC,OB,OP所在的直線分別

答案第12頁，共19頁

PC-n

為x,了，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面尸的法向量為，利用———即可求出

\PC\-\n\

最終答案.

(1)

證明：取線段CMr的中點(diǎn)。，連結(jié)30,PO,

71

ZPMB=-,PM=BM,

3

「.A/"四為等邊三角形，

PB=PM=PC=BM=BC.

BOVCM,PO1CM.

JT

又???/CBM=ZCPM=—,

2

BO=PO=-CM=—PB,

22

BO2+PO2=PB2,

71

:.ZPOB=-,

2

又?.?CMfW=O,

PO1平面AMCD.

POu平面PMC,

平面PMC1■平面AMCD

⑵

由（1）知，OP,CM,08相互垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0C,OB,。尸所在的直線分

別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

答案第13頁，共19頁

設(shè)AB=2AD=2亞,貝!JCM=2,PO=BO=1,連結(jié)。M,則r)M_LGW,且。初=2,

..「(0,0,1),C(l,0,0),D(-l,2,0),5(0,-1,0),

73C=(l,0,-l),PD=(-1,2,-1)，AD=BC=(1,1,0).

設(shè)力=(x,%z)為平面尸4D的一個(gè)法向量，

,n-PD=0[-x+2y-z=0

則一一即1\,

n-AD=0[x+y=0

令x=l,則kT,z=_3,

設(shè)直線PC與平面PAD所成角為e,

-Q\-\|PC-n42V22

/.sint^=COS<PC,H>=-----=—(=—―=------,

11\PC\-\n\A/2.VHH

直線PC與平面PAD所成角的正弦值為拽1.

11

19.⑴加；

⑵①/；②2p-pl

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得答案；

(2)①當(dāng)且僅當(dāng)信道1、信道2都傳輸成功時(shí)，由。2、乂的值可確定G的值;

②若信道2傳輸失敗、信道1傳輸成功，6被成功解碼的概率為(1-0)。；若信道2、信

道1都傳輸失敗，此時(shí)信號(hào)。2無法成功解碼；由此可求得答案.

(1)

解：設(shè)“信號(hào)G和&均被成功接收”為事件A,則P(⑷=p.0=/；

(2)

解：①?.乜十4=X，.?乜=6十X-

當(dāng)且僅當(dāng)信道1、信道2都傳輸成功時(shí)，由。2、X的值可確定-的值，所以信號(hào)-被成

功解碼的概率為22；

答案第14頁，共19頁

②若信道2傳輸成功，則信號(hào)6被成功解碼，概率為P；

若信道2傳輸失敗、信道1傳輸成功，則。2=4十典，因?yàn)閝為已知信號(hào)，信號(hào)4仍然

可以被成功解碼，此時(shí)6被成功解碼的概率為(1-。)。；

若信道2、信道1都傳輸失敗，此時(shí)信號(hào)4無法成功解碼;

綜上可得，信號(hào)4被成功解碼的概率為P+0(1-°)=2p-.

20.⑴蘭+片=1

43

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)按照題目所給的條件即可求解；

⑵作圖，聯(lián)立方程，將M,N,P,Q,。的坐標(biāo)用斜率人表示出來,

(3)按照向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則即可.

(1)

設(shè)橢圓的半焦距為。，由橢圓的幾何性質(zhì)知，

當(dāng)點(diǎn)M位于橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，AFAM的面積取得最大值，

此時(shí)SvFAM=5("+c)b,

+=:.(a+c)b=3也..

c]

由禺心率一=大得Q=2。，/.b=，解得。=1,a=2,b=址＞,

a2

22

.??橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1；

43

⑵

由題意作下圖：

答案第15頁，共19頁

y=kx+l

設(shè)”(再,必)，N(x2,y2).由x?/得(3+4F)/+8履一8=0.

143

QKQ

???點(diǎn)(。,1)在這個(gè)橢圓內(nèi)部，所以A＞°'再+%=-市廿洛=一際

，/、c8左2c6

—(…)+2—E+2=E'

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為「建，/f

當(dāng)上片0時(shí)，直線。尸的斜率為-弁，，直線O尸的方程為夕=-三》，即x=-9y,

4左4k3

將直線OP的方程代入橢圓方程得力2=-^―,xj=羋匕

4k+J4k+3

以上4k)麻麗=而得-號(hào)(4ky3_16k29

設(shè)點(diǎn)--Yy，y)由CTJJ+止+3"-4k2+3+止+3

16r+916k2+9

化簡(jiǎn)得3(4公+3)'V=4胃+3化簡(jiǎn)得＞=3,.?.點(diǎn)。在直線y=3上,

當(dāng)直線/的斜率上=0時(shí)，此時(shí)尸(0,1),。(0,6),

由痂?麗=歷2得0(0,3),也滿足條件，.?.點(diǎn)。在直線y=3上；

綜上，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+片=1,點(diǎn)。在直線＞=3上.

43

【點(diǎn)睛】

本題的難點(diǎn)在于聯(lián)立方程，把M,N,P,Q,。點(diǎn)的坐標(biāo)用左表示出來,

有一定的計(jì)算量，其中由于。尸與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

在表示近的時(shí)候用歷2表示，可以避免討論點(diǎn)。在那個(gè)位置.

21.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性以及符號(hào)即可證明；

(2)應(yīng)用極值點(diǎn)偏移的方法即可證明.

(1)

函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/''(x)=eX-sinx-e.

當(dāng)x40時(shí)，/(x)=ex-sinx-e<1-sinx-e<0；

答案第16頁，共19頁

當(dāng)x>0時(shí)，^//(%)=/(x)=ex-sinx-e,則/z(x)=eX-cosx〉0,

???〃(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

Xv/z(0)=l-e<0,〃O)=e〃-e>0,3x0￡(0,%)，使得力(④())=0,

x

即e°-sinx0-e=0,

當(dāng)O<x<%o，時(shí)，f\x)<0；當(dāng)x〉/時(shí)，/(x)>0,

???函數(shù)/(X)在(-00,%)上單調(diào)遞減，在(%,+8)上單調(diào)遞增，

.?./(X)只有一個(gè)極小值點(diǎn)心,無極大值點(diǎn)；

(2)

由(1)知，函數(shù)/'(X)在(0/)上單調(diào)遞增，/'(%)=0,

且/d=-sin、-e>e，-1-e=e-1-1>e(1.6-l)-l>0,

.?.x0<1,函數(shù)/(x)在(O,x0)上單調(diào)遞減，在(%,萬)上單調(diào)遞增，

不妨設(shè)